сдвиговые деформации в простейшей модели неоднородной

СДВИГОВЫЕ ДЕФОРМАЦИИ В ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНОЙ
БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ
Л.Т. Смолюк, А.Т. Смолюк, Ю.Л. Проценко
ИИФ УрО РАН, Екатеринбург, Россия
justgazer@gmail.com
Аннотация. В работе предложена простейшая структурно-функциональная модель
квазидвумерного неоднородного образца биологической ткани, имитирующая на примере миокарда
механической поведение слоя вязкоупругой ткани. Неоднородность механических свойств ткани
вводится в модель на уровне отдельных взаимосвязанных друг с другом упругими элементами блоков,
представляющих собой морфофункциональные единицы ткани. В модели воспроизведены сдвиговые
деформации, возникающие при растяжении-сжатии неоднородной ткани. Полученные результаты
являются естественным и необходимым этапом в разработке модельного описания 3D механически и
геометрически неоднородной биологической ткани.
ВВЕДЕНИЕ
Неоднородность различных функциональных характеристик ткани сердца, в том числе и
вязкоупругих свойств, показана на различных уровнях организации миокарда: от клеточного до органного
[1-3]. Однако влияние локальной неоднородности вязкоупругих свойств сегментов стенки желудочка на
формирование механического отклика миокарда на сегодняшний день мало изучено. Во многом это
обусловлено сложностью экспериментального исследования взаимодействия неоднородных сегментов в
миокарде целого сердца. Поэтому использование математических моделей для анализа влияния
пространственной неоднородности в таких системах является практически единственным возможным
решением проблемы. Нами было показано, что невозможно достоверное описание неоднородных
вязкоупругих характеристик биологических тканей в рамках простых конфигураций, составленных из
моделей Максвелла, Кельвина и т.п. [4]. Нами установлено, что описание вязкоупругих свойств миокарда с
использованием принципа конструкционной жесткости подтверждается в биомеханических экспериментах
и одновременно удовлетворяет данным по морфологической структуре ткани сердца [5]. В разработанном
подходе связи между отдельными блоками миокардиальной ткани на разных уровнях структурной
организации также обладают конструкционной жесткостью и механические характеристики этих связей
нелинейно зависят от деформации. В работе предложена структурно-функциональная модель неоднородной
биологической ткани. Неоднородность механических и геометрических параметров вводится на уровне
блоков морфофункциональных единиц ткани. При этом возникают сдвиговые деформации блоков друг
относительно друга подобно сдвиговым деформациям в реальном миокарде.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
На основе модели морфофункциональной единицы биологической ткани [6] ранее нами была
предложена модель структурных связей блоков, позволяющих воспроизвести механическое поведение
неоднородной биологической ткани [7]. На рисунке 1 представлено деформированное состояние модели с
введением механической неоднородности по структурным блокам, обозначенным 2* и 2**.
В случае, когда блоки 2* и 2** эквивалентны (т.е. F2 *  F2 **  F2 (2) ) модель описывается системой
уравнений 1 [7].
l (i )  l 20 (i )
2  l1 (1)  F2 (1)  L(1)  l 2 (1) F1 (1)  0
2
F2 (i )  2
 E (i )  l3 (i ) 

2
2
2
l
(
i
)
20
2  l3 (1)   L(1)  l 2 (1)  4l1 (1) 
l30 (i )
2  l (2)  F (2)  L(2)  l (2) F (2)  0
2
2
1
l20 (i)  1   (i)  l2 (i)
l3 (i ) 
 1
 (i )  l20 (i )
2  l3 (2) 2  L(2)  l 2 (2)  4l1 (2) 2
,
(1)

d


F
(
1
)

2

F
(
2
)

0
,
F
(
i
)

k
(
i
)

l
(
i
)

l
(
i
)


(
i
)
l
(
i
)
 2
2
1
1
1
10
1
dt
2  L(1)    
2
1   1  1  10 

2  1  F2 (2)   2  L(2) 1  0
 3   3  30  3 

2









0
1
3
3
1

 2    L(2)2  4 2
2
1
 3
где l j 0 (i ) – начальная длина j-ого элемента i-ого блока, l j (i ) – текущая длина j-ого элемента i-ого блока,
k1 (i) – жесткость наклонного элемента i-ого блока, F j (i ) – сила, развиваемая j-м элементом i-ого блока,
E (i ) – модуль Юнга центральной части i-ого блока,  (i ) – коэффициент Пуассона центральной части i-ого
блока, L (i ) – текущая полная длина i-ого блока,  m 0 – начальная длина m-ой связки 1 и 2 блоков, m –
текущая длина m-ой связки 1 и 2 блоков,
 m – сила, развиваемая m-ой связкой 1 и 2 блоков,  2
- текущая
полная длина центральной части всей модели (см. рис. 1),  - полная длина всей модели, P - сила,
развиваемая всей моделью.
Рис. 1. Структурная схема простейшей модели неоднородной биологической ткани
Введение механической или геометрической неоднородности по элементам 2* и 2** приводит к
следующим соотношениям:
 F2 **   3  cos   1**  cos  **  0
  L( 2 * )
cos  *  2
 *
*
*
*
2  1
 F2   3  cos   1  cos   0

 2  L(2 ** ) ,
**
**
**


sin




sin


0
,
cos


 3
1
**
2  1

*
*
  3  sin   1  sin   0
L(2 ** )  L(2 * )
cos  
 L(2 ** )  2   **  cos  **    0
2  3
1
2

(2)
где  * ,  ** ,  – углы между соответствующими элементами (см. рисунок 1)
Подставляя соотношения (2) в систему уравнений (1) получаем решение для простейшей модели
неоднородной биологической ткани, составленной из 4 морфофункциональных единиц ткани.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
В представленной модели воспроизведены сдвиговые деформации каждого из структурных
элементов в ходе деформации. Это является необходимым этапом в построении более сложной модели
квазидвумерной плоскости, состоящей из произвольного числа морфофункциональных единиц ткани.
Модель квазидвумерной плоскости позволит максимально подробно воспроизвести сложный характер
нелинейного механического поведения слоя неоднородной вязкоупругой биологической ткани при
всевозможных деформациях. В свою очередь это, дает возможность исследовать влияние различных
локальных дефектов или повреждений ткани на результирующий механический отклик, что имеет важное
значение при исследовании структурно-функциональных патологических изменений в биологических
тканях.
Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН №
43 по стратегическим направлениям развития науки на 2015 г. «Фундаментальные проблемы
математического моделирования», гранта РФФИ №13-04-00367-А.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Antzelevitch, C. and J. Fish, Electrical heterogeneity within the ventricular wall. Basic Res Cardiol, 2001. 96(6):
p. 517-27.
Bogaert, J. and F.E. Rademakers, Regional nonuniformity of normal adult human left ventricle. Am J Physiol
Heart Circ Physiol, 2001. 280(2): p. H610-20.
Litten, R.Z., et al., Heterogeneity of myosin isozyme content of rabbit heart. Circ Res, 1985. 57(3): p. 406-14.
Кобелев, А.В., et al., Нелинейные вязкоупругие свойства биологических тканей. 2012, Екатеринбург: РИО
УрО РАН. 216.
Smoluk, A.T., L.T. Smoluk, and Y.L. Protsenko, Heterogeneity of Viscoelastic Properties of Myocardial Muscle
Fiber: Mathematical Model. J. Biomedical Science and Engineering, 2014. 7: p. 397-404.
Smoluk, L. and Y. Protsenko, Viscoelastic properties of the papillary muscle: experimental and theoretical study.
Acta Bioeng Biomech, 2012. 14(4): p. 37-44.
Смолюк, А.Т., Л.Т. Смолюк, and Ю.Л. Проценко. Моделирование механического поведения неоднородной
вязкоупругой биологической ткани при динамической деформации. БИОМЕХАНИКА-2014. Пермь. С. 123