Математика. МП. - Новгородский государственный университет

1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
МАТЕМАТИКА
Контрольные задания и методические указания
для студентов заочного отделения
психолого-педагогического факультета ИНПО
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2010
2
Рецензент
Кандидат физико-математических наук, доцент В.Ф.Витов
Математика: Контрольные задания и методические указания для студентов
заочного отделения психолого-педагогического факультета ИНПО/Сост.
В.Е. Рыбакова; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2010. –
с.
Пособие является руководством по выполнению контрольных работ по курсу
математики для студентов-заочников психолого-педагогическо направления. Оно содержит
вопросы и теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольных работ по
данной теме, примеры решения задач, контрольные задания и список литературы.
3
Введение
При изучении курса математики студент-заочник должен выполнить
ряд контрольных работ. Решения задач и пояснения к ним должны быть
достаточно подробными. Все решения надо приводить полностью,
чертежи и графики должны быть выполнены четко, с указанием масштаба
и названий координатных осей. Обозначения к задачам должны
соответствовать указаниям на чертежах и графиках. К выполнению
контрольного задания следует приступать после изучения теоретического
материала по учебникам и решения достаточного количества задач по
материалу, соответствующему этому заданию.
1. Элементы теории множеств и математической логики
Теоретические вопросы
1. Виды множеств. Подмножество. Дополнение множества.
2. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность.
3. Свойства операций над множествами.
4. Прямое произведение множеств.
5. Бинарные отношения и их свойства.
6. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы.
7. Высказывания. Логические операции над ними.
8. Свойства логических операций.
9. Равносильность формул. Законы логики.
10. Предикаты. Кванторные операции.
1.
2.
3.
4.
Литература
Лихтарников, Л.М. Математическая логика/ Л.М.Лихтарников, Т.Г.Сукачева. С.Петербург: Лань, 2008.–288с.
Практикум по математике для студентов ФПРР/Авт.-сост.: Дудко Л.Л., Рыбакова
В.Е./ Новгород, НовГУ им. Ярослава Мудрого, 1995.–52с.
Стефанова, Н.Л. Математика и информатика/ Н.Л.Стефанова, В.Д.Будаев и др. М.:
Высшая школа, 2004.– 349с.
Турецкий, В.Я. Математика и информатика. – М:ИНФРА-М, 2005. – 560с.
4
1 Элементы теории множеств и математической логики
Множества и операции над ними
1.1
Основным (неопределяемым) понятием теории множеств является
понятие множества. «Множество есть многое, мыслимое нами как
единое» (Г.Кантор). Синонимами слова «множество» являются слова
«совокупность», «набор», «семейство».
Объекты,
из
которых
состоит
множество,
называются
его
элементами.
Множества
обозначают
большими
буквами
латинского
алфавита A, B, C , элементы множеств – малыми буквами a, b, c  того
же алфавита.
Запись a  A читают: «а является элементом множества А» или «а
принадлежит множеству А».
Для наглядности множества изображают в виде геометрических
фигур: кругов, овалов, прямоугольников и т.д. Такие рисунки называют
диаграммами Эйлера-Венна.
А
Так на рис.1 буквой А обозначено множество,
∙а
Рис.1
∙с
элементами
которого
являются
точки
заштрихованной части плоскости, при этом
a  A, c  A .
Множества задаются двумя способами:
1. Перечислением всех элементов.
2. Указанием характеристического свойства.
Например, A  a, b, c, B   1,3,6,8, C  x  Z
и
 1  x  4 или
C   1,0,1,2,3,4.
Говорят, что множество A включено в множество B , и обозначают
A  B , если каждый элемент множества A является элементом множества
B (говорят также, что A – подмножество множества B ).
5
Два множества A и B называются равными, если каждый элемент
множества A является элементом множества B и каждый элемент
множества B является элементом множества A , т.е. A  B  A  B и
B  A.
Объединением множеств A и B называется множество A B ,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из множеств A или B , т.е.
A  B  x x  A или
x  B .
На диаграммах Эйлера-Венна объединение изобразится так:
B
B
B
А
А
А
A B
A B  B
A B
Пересечением множеств A и B называется множество A B ,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат
одновременно и множеству A и множеству B , т.е.
A  B  x x  A и
x  B.
На диаграммах Эйлера-Венна пересечение множеств изобразится
так:
B
А
А
А
A B
A B  
Например,
если A  0,1,2,5, B   3;2;4,5 то
A  B   3;0,1,2,4,5 и A  B  2,5.
A B  A
B
6
Разностью множеств
A и
B
называется множество
A \ B,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству
A и не принадлежат множеству B , т.е.
A \ B  x x  A и
x  B.
На диаграммах Эйлера-Венна разность множеств изобразится так:
B
A
B
B
A
А
A\B=A
A\B= 
Например,
A \ B  0,1,2,5 \  3,2,4,5  0,1,
B \ A   3,2,4,5 \ 0,1,2,5   3,4.
Дополнением множества A до универсального U
называется
разность U \ A и обозначается A , т.е.
A  U \ A  x x  U и x  A.
На диаграммах Эйлера-Венна дополнение A изобразится так:
U
А
Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B
называется множество A B , состоящее из всех упорядоченных пар, у
которых первая координата принадлежит множеству
множеству B , т.е.
A  B  ( x; y) x  A и y  B.
Например, если A  1,2,3, B  2;4, то
A , вторая –
7
A  B  1,2, 2,2, 3,2, 1,4, 2,4, 3,4,
B  A  2,1, 2,2, 2,3, 4,1, 4,2, 4,3.
Очевидно,
A B  B  A,
что
т.е.
для
операции
декартова
произведения множеств закон коммутативности не выполняется.
Наглядное изображение декартова произведения
A B
можно
получить при помощи графика. На рис.2 точками отмечены элементы
множества A  B  1,2,3 2,4.
y
4
*
*
*
2
*
*
*
1
2
3
x
Рис.2
Пример 1. Изобразить множества
A  x x  R,  1  x  4 и B  x x  R, 2  x  6 на числовой прямой.
Выполнить
операции:
A  B,
A  B,
A \ B,
A,
A  B.
Записать
результат каждой операции с указанием характеристического свойства.
Решение.
1)
A  x x  R,  1  x  4   1;4
B  x x  R, 2  x  6  2;6
.
-1
2
4
6
x
Если изобразить множества A и B на числовой прямой, то
объединение A  B есть часть оси, где имеется хотя бы одна штриховка,
т.е.
A  B   1;6  x x  R,  1  x  6.
2) Пересечение
штриховка, т.е.
множеств A  B есть часть оси, где есть двойная
8
-1
2
4
6
x
A  B  2;4  x x  R, 2  x  4.
3) Разность A \ B есть часть множества A , отмеченная лишь одной
штриховкой, т.е.
-1
2
4
6
x
A \ B   1;2  x x  R,  1  x  2.
Точка x  2  B и поэтому 2  A \ B .
4)
Найдем
A,
считая
универсальным
множество
всех
действительных чисел, т.е. A  R \ A .
-1
4
x
Дополнение множества A есть часть оси,
где нет штриховки, т.е.
A   ;1  4;   x x  R, x  1 или x  4.
Точка x  1  A , так как x  1  A , точка x  4  A , так как x  4  A .
5) Множество A   1;4 изобразим на оси Ox , множество B  2; 6
на оси Oy . Тогда декартово произведение изобразится заштрихованным
прямоугольником, но без его левой стороны, т.е.
A  B  x, y  x, y  R,  1  x  4 и 2  y  6.
y
6
2
-1
0
4
x
9
1.2. Законы алгебры множеств
Алгеброй множеств называется часть теории множеств, в которой
изучаются свойства операций над множествами.
Операции объединения и пересечения множеств обладают многими
свойствами хорошо известных алгебраических операций сложения и
умножения действительных чисел. Особенностью алгебры множеств
является закон идемпотентности, благодаря которому в алгебре множеств
нет числовых коэффициентов и степеней.
Законы алгебры множеств
1. 1. Закон коммутативности:
A  B  B  A;
A  B  B  A.
2. 2. Закон ассоциативности:
 A  B   C  A  B  C  ;
 A  B   C  A  B  C  .
3. 3. Закон дистрибутивности:
 A  B   C   A  C   B  C  ;
 A  B   C   A  C   B  C  .
4. 4. Свойства пустого множества:
A    A;
A  ;
A A  .
5. 5. Свойства универсального множества:
A U  U ; A U  A;
A A  U .
6. 6. Закон двойного дополнения:
A  A.
7. 7. Законы идемпотентности:
A  A  A;
A  A  A.
8. 8. Законы де Моргана:
A B  A  B ;
A B  A  B .
9. 9. Законы поглощения:
A   A  B  A ;
A   A  B  A .
10
Каждый из указанных законов является утверждением о равенстве
множеств. Установить его справедливость можно с помощью диаграмм
Эйлера-Венна.
Например, проверим верность закона A  B  A  B .
Изобразим на диаграммах Эйлера-Венна левую и правую части
равенства и сравним их:
U
U
A
B
A
A
– A B
B
A
– A B
Видно, что на обеих диаграммах получилось одинаковое множество
точек (слева –
; справа –
), поэтому можно сделать вывод о верности
этого закона.
Замечание. Важно понимать, что указанный способ всего лишь
демонстрирует
справедливость
равенства.
Строгое
математическое
доказательство опирается на определение равенства множеств и операций
над ними.
Пример 2. Изобразить множество M   A  B   C на диаграммах
Эйлера-Венна.
Решение. Множество M
является результатом операций над
множествами A, B и C . Изобразим результат выполнения этих операций
последовательно.
11
A
U
B
U
A
C
B
C
2. B
1. A
U
A
U
AA
B
C
B
C C
C
C  C  M
4.  A  B
C
3. A  B
Пример 3. Упростить выражение, пользуясь законами алгебры
множеств:
A   A  B   B  C   B .
Решение. Поскольку операция пересечения множеств имеет более
высокий приоритет, чем объединение множеств, то, если нет скобок,
изменяющих приоритет, сначала выполняется пересечение, а затем
объединение. Пользуясь этим правилом и законом ассоциативности
определим порядок действий:
2
 1
 3

 A  A  B   B  C   B  .

 

Выполним преобразования, указывая номер закона над знаком
равенства:
1) A   A  B   A  A    A  B      A  B   A  B ;
3
4
4
12
1
2
7
2) B  C   B C  B   B  C  B  B   C  B ;
1
3)
2
1
 A  B   C  B   A  B   B  C   A  B   B  C 
9
 B  B  A  C  B  C.
Итак,
A   A  B   B  C   B  B  C.
1.3. Бинарные отношения и их свойства
Бинарным отношением между множествами A и B называется
любое подмножество декартова произведения A B .
Если A  B , то говорят, что бинарное отношение R задано на
множестве A , т.е. R  A  A .
Тот факт, что пара  x, y  принадлежит данному отношению R будем
записывать  x, y   R или xRy .
Бинарное отношение можно задать, указав характеристическое
свойство или перечислив все его элементы. Существуют и более
наглядные способы задания: график отношения, граф отношения, матрица
отношения.
График отношения изображается в декартовой системе координат.
Каждой упорядоченной паре отношения
 x, y   R
соответствует точка
плоскости с этими координатами.
Графом называется объединение конечного числа точек и линий,
которыми соединены некоторые из точек. Точки называются вершинами
графа, а линии, их соединяющие, – ребрами графа. Число ребер,
выходящих из вершины, называется степенью этой вершины. Пара точек
x и y соединяется дугой (линией со стрелкой) тогда и только тогда, когда
пара  x, y  принадлежит отношению R .
13
Матрица отношения R  A  A – это квадратная таблица, каждая
строка и столбец которой соответствуют некоторому элементу множества
A . На пересечении строки x и столбца y ставится 1, если пара  x, y   R ,
все остальные элементы матрицы заполняются нулями.
Например, пусть на A  1,2,3,4 задано отношение
R   x, y  x делится на y ; x, y  A.
Представим отношение R другими способами.
Перечислим элементы этого отношения
A  1,1, 2,1, 2,2, 3,1, 3,3, 4,1, 4,2, 4,4.
Изобразим график отношения R на рис. 2а и граф на рис.2б.
у
4

3

2
1
R

1

2
2




3
4
4
3
х
1
а)
б)
Рис.2
1 2
Запишем матрицу отношения: R 
1

1
1

1
0
1
0
1
3 4
0
0
1
0
0

0
0

1 
1
2
3
4
14
Основные свойства бинарных отношений
Бинарное отношение, заданное на некотором множестве, может
обладать рядом свойств, определяющих вид этого отношения.
Отношение R на множестве A называется рефлексивным, если
каждый элемент x  A находится в этом отношении сам с собой, то есть
x, x   R .
Например, отношение "" на множестве действительных чисел
рефлексивно, так как x  x для любого числа x . Также рефлексивным
является
отношение
параллельности
прямых,
а
отношение
перпендикулярности этим свойством не обладает, так как никакая прямая
не перпендикулярна сама себе.
Отношение R на множестве A называется симметричным, если из
условия  x, y   R следует, что  y, x   R .
Например,
отношение
параллельности
прямых
является
симметричным, так как для любых прямых a и b имеет место следующее:
если
a b , то
b a . Симметричным также является и отношение
перпендикулярности прямых.
Отношение R на множестве A называется транзитивным, если из
того, что  x, y   R и  y, z   R , следует, что x, z   R .
Например, отношение "" транзитивно, так как известно, что, если
x  y и y  z , то x  z . Также транзитивным является отношение
параллельности прямых.
Отношение
R
на
множестве
A
называется
отношением
эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности.
Например,
отношение
параллельности
прямых
и
отношение
равенства на множестве действительных чисел являются отношениями
эквивалентности.
15
Важной особенностью отношений эквивалентности является то, что
они разбивают всё множество A на непересекающиеся подмножества –
классы эквивалентности.
Пусть
–
R
эквивалентности,
отношение
эквивалентности
порожденным
на
x  A,
элементом
подмножество x  множества A , для элементов которого
условие  x; y   R , т.е. x  y y  A,
Классы
Классом
A.
называется
выполняется
x, y   R.
эквивалентности
образуют
систему
непустых
непересекающихся подмножеств множества A , в объединении дающую
всё множество A – то есть образуют разбиение множества A на классы.
Пример 4. На множестве A  1,2,3,4,5 задано бинарное отношение
R  x, y x  y  делится на 3; x, y  A. Построить граф отношения и
выяснить какими свойствами оно обладает.
Решение
Зададим отношение R перечислением всех элементов:
R  1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, 1,4, 4,1, 2,5, 5,2.
Построим граф отношения R .
Выясним, какими свойствами обладает
2
отношение.
1
3
Отношение
R
рефлексивно, т.к.
граф отношения имеет в каждой своей
5
4
вершине петлю, т.е. x, x   R для любого
x  A.
Отношение R симметрично, т.к. граф вместе с каждой стрелкой
содержит противоположную ей стрелку. Для упрощения проводят одну
линию с двумя стрелками.
Отношение R транзитивно, т.к. граф отношения вместе с каждой
парой стрелок xy и yz содержит стрелку xz .
16
Итак,
отношение
R
обладает
свойствами
рефлексивности,
симметричности и транзитивности, следовательно, является отношением
эквивалентности. На графе отношения
хорошо видны классы
R
эквивалентности – это подмножества множества A :
1  1;4, 2  2,5 3  3.
1.4. Высказывания и операции над ними
Понятие «высказывание» является первоначальным. В качестве
синонимов слова «высказывание» употребляют слова «утверждение»,
«суждение».
Под высказыванием понимают повествовательное предложение, о
котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно.
Высказывания
обозначают
большими
латинскими
буквами
A, B, C  . Если высказывание A истинно (верно), то пишут A  1; запись
A  0 означает, что A ложно (неверно).
Например, если A – это высказывание «Диагонали ромба взаимно
перпендикулярны», а B – «белые медведи живут в Африке», то A  1, а
B  0.
Среди высказываний можно выделить простые (или элементарные)
и сложные (или составные). Сложные высказывания строятся из простых
при помощи так называемых логических связок. Логические связки
соответствуют операциям над высказываниями и в языке выражаются с
помощью частиц и союзов «не», «и», «или», «если …, то», «тогда и только
тогда».
В
соответствии
с
перечисленными
связками
вводится
пять
логических операций.
Отрицанием
высказывания A называется новое высказывание,
которое обозначается A , читается «неверно, что A » или «не A », и
истинно, если A ложно, и ложно, если A истинно.
17
Конъюнкцией
высказываний
A
и
B
называется
новое
высказывание, которое обозначается A  B , читается «A и B» и истинно
только в случае, когда истинны оба высказывания A и B , в остальных
случаях ложно.
Дизъюнкцией высказываний A и B называется новое высказывание,
которое обозначается A  B , читается «A или B» и ложно только в случае,
если ложны оба высказывания A и B, в остальных случаях истинно.
Импликацией
высказываний
называется
новое
высказывание,
которое обозначается A  B , читается «если A, то B» или «из A следует
B», и ложно только в случае, если высказывание A истинно, а B ложно, в
остальных случаях истинно.
В импликации A  B высказывание A называется посылкой или
условием, а B – заключением или следствием.
В виде импликации формулируется большинство математических
теорем.
Например: «Если три стороны одного треугольника соответственно
равны трём
сторонам другого треугольника, то такие треугольники
равны».
Эквиваленцией высказываний A и B называется новое высказывание,
которое обозначается A  B , читается « A эквивалентно B » или « A
эквивалентно B » или « A тогда и только тогда, когда B », истинно в
случае, если высказывания A и B принимают одинаковые значения
истинности, и ложно, если значения истинности высказываний A и B
различны.
Удобным описанием логических операций и составляемых с
помощью
них
высказываний
служат
так
называемые
таблицы
истинности – таблицы, в которых указаны истинные значения составного
высказывания
высказываний.
при
каждом
наборе
значений
составляющих
его
18
Таблицы истинности логических операций
A
B
A
A B
A B
AB
AB
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1.5.Формулы логики высказываний. Равносильность формул
Запись сложного высказывания в виде простых высказываний,
соединенных логическими связками, называется логической формулой.
Например, F   A  B   C   A .
Для упрощения записи сложных высказываний в логике принимают
ряд соглашений:
1. Внешние
скобки,
соответствующие
последней
логической
операции опускают.
2. Если надо выполнить подряд несколько однотипных операций, то
скобки между ними опускают, производя операции слева направо,
например: A  B  C  D   A  B   C   D .
3. Если скобки не поставлены, то операции выполняются слева
направо с учётом приоритета логических операций. При этом
убывание силы операций происходит в следующем порядке:
,,, ,  .
Учитывая эти соглашения, вышеприведенную формулу можно
записать короче: F   A  B  C   A.
В
логике
высказываний
особую
роль
играют
формулы,
принимающие значение «истина» при любых логических значениях
19
входящих
в
них
высказываний.
Такие
формулы
называются
тавтологиями или тождественно истинными формулами.
Высказывание, являющееся тавтологией, будем обозначать 1.
Формулы, принимающие значение «ложь» при любых логических
значениях входящих в них высказываний, называются противоречиями
или тождественно ложными.
Высказывание, являющееся противоречием, будем обозначать 0.
Формулы F1 и F 2 , зависящие от одного и того же набора
составляющих высказываний, называются равносильными, если они
принимают
одинаковые
значения
истинности
при
любом
наборе
логических значений высказываний, входящих в них. Записывают
равносильность так: F1  F2 .
Для доказательства равносильности двух формул достаточно
составить их таблицы истинности и убедиться, что они совпадают.
Пример 5. Доказать равносильность формул
F1  A  B и F2  A  B .
Решение
Поскольку F1 и F 2 зависят от двух простых высказываний A и B, то
таблица истинности будет содержать 2 2  4 строки.
A
B
A B
A B
A
B
AB
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
Сравнивая
выделенные столбцы таблицы, убеждаемся, что они
полностью совпадают, т.е. формулы равносильны: A  B  A  B .
Отношение
равносильности
на
множестве
формул
логики
высказываний является отношением эквивалентности, так как обладает
20
свойствами рефлексивности
(F  F
для любой формулы
F) ,
симметричности (если F1  F2 , то F2  F1 ) , транзитивности (если F1  F2
и F2  F3 , то F1  F3 ) . С помощью этого отношения все множество формул
логики высказываний разбивается на классы равносильных формул.
Приведем основные равносильные формулы, которые называются
законами логики высказываний.
1. Законы коммутативности:
A  B  B  A;
A  B  B  A.
2. Законы ассоциативности:
 A  B   C  A  B  C  ;
 A  B   C  A  B  C  .
3. Законы дистрибутивности:
 A  B   C   A  C   B  C  ;
 A  B   C   A  C   B  C  .
4. A  0  A; A  0  0 .
5. A  1  1;
A 1  A .
6. Закон исключённого третьего:
A A 1
7. Закон противоречия:
A A  0.
8. Закон двойного отрицания:
A  A.
9. Законы идемпотентности:
A  A  A;
A  A  A.
10. Законы де Моргана:
A B  A  B ;
A B  A  B .
11. Законы поглощения:
A   A  B  A ;
A   A  B  A .
21
12. Замена импликации:
AB  AB.
13. Замена эквиваленции:
A  B   A  B   B  A .
Применение логических законов позволяет упрощать сложные
высказывания, то есть заменять их равносильными, более простыми.
Пример 6. Упростить формулу логики двумя способами: а)
используя
таблицы
истинности;
б)
с
помощью
равносильных
преобразований: F  A  B  A  B.
Решение.
а) Учитывая приоритет логических операций, определим порядок
действий:
2
3
5
4
F  A  B  A B .
1
Составим
таблицу
истинности
формул
F,
последовательно
определяя истинность результатов участвующих в ней логических
операций. Поскольку F зависит от двух простых высказываний A и B , то
таблица истинности будет содержать 2 2  4 строки.
A
B
A
AB
AB
A B
A  B  A B
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
Сравнивая два последних столбца таблицы, видим, что они
полностью совпадают. Значит, формула F равносильна высказыванию
A  B , т.е. A  B  A  B  A  B .
б) Упростим данную формулу с помощью законов логики.
22
F  A  B  A  B  A  B  A  B  A  B   A  B 
12
12


8
8, 2
9
 A  B  A  B   A  B    A  B   A  B.
1.6 Предикаты и кванторы
Предложение
с
переменной,
которое
при
каждом
значении
переменной из некоторого множества M становится высказыванием
(истинным или ложным) называется одноместным предикатом или
одноместной высказывательной формой.
Если предикат зависит от n переменных, его называют n-местным.
Предикаты
обозначают
большими
буквами
латинского
алфавита
P, Q, R,, в скобках указывая переменные, от которых зависит предикат.
Например, P x  – «целое число x – четное» – одноместный предикат.
При
x5
получаем ложное высказывание, при x  8 – истинное
высказывание.
Q x, y " x  y 2  10"
–
двухместный
предикат,
который
превращается в истинное высказывание, например, при x  6 и y  2 .
Областью определения предиката называется множество значений
переменных, превращающих его в высказывание, имеющее смысл.
Множество всех значений переменных, на котором предикат
принимает
значение
истина,
называется
областью
истинности
предиката, т.е.
M1P  x  M Px   1.
Так, например,
1) M  Z , M1P  x  Z x  2k , k  Z ;


2) M  N  N , M 1Q  x, y  x  y 2  10, x, y  N  1,3, 6,2.
23
Пусть два предиката P и Q определены на одном и том же
множестве M . Так как предикаты могут принимать только два значения
(истина или ложь), то к ним можно применять логические операции,
образуя новые предикаты: P , P  Q, P  Q, P  Q, P  Q .
Таким
же
образом,
как
для
высказываний,
определяется
и
Q x1 , x2 ,, xn 
называются
равносильность предикатов.
Предикаты
равносильными,
P x1 , x2 ,, xn 
если
при
любом
наборе
значений
переменных
полученные высказывания либо оба истинны, либо оба ложны.
Все
законы
логики
высказываний,
описывающие
основные
равносильные формулы, имеют место и для предикатов, например,
Px   Qx   Px   Qx  .
Кроме операций логики высказываний в логике предикатов
рассматриваются
используются
кванторные
символы:
–
операции.
квантор
Для
их
всеобщности,
обозначения
–
квантор
существования.
Рассмотрим эти операции на примере одноместных предикатов.
Пусть P x  – одноместный предикат, определенный на множестве
M . Тогда под выражением xP x  будем
понимать высказывание,
которое принимает значение истина тогда и только тогда, когда P x 
истинно для каждого элемента x M . Читаем так: «Для всех x выполнено
P x  » или «Для любого x верно P x  ». Переменную x в предикате P x 
называют свободной, а в высказывании xP x  – связанной квантором
всеобщности.
Под выражением xPx  понимают высказывание, которое является
истинным, если найдется хотя бы один элемент x M , для которого P x 
истинно, и ложным, если ни одного такого элемента в множестве M нет.
Читаем так: « Для некоторого x выполнено P x  » или «Существует x
24
такое, что P x  ». Высказывание xPx  не зависит от x, в нем
переменная x связана квантором существования.
Если мы рассматриваем предикат от нескольких переменных, то
кванторы могут быть приписаны либо ко всем переменным, либо только к
части переменных. Если все переменные связаны, то предикат становится
высказыванием. Если связанной является только часть переменных, то
получаем в результате предикат от меньшего числа переменных.
yQ  x; y 
Например,
переменная
– одноместный
переменная
y,
x
осталась
предикат, т.к. связана
свободной;
xyQ  x, y 
–
высказывание, т.к. связаны обе переменные.
Важно заметить, что при рассмотрении высказываний с кванторами,
полученных
из
предикатов
от
нескольких
переменных,
смысл
высказывания существенно зависит от того, в каком порядке записаны
кванторы и переменные, к которым они приписаны. Только одинаковые
кванторы, идущие подряд, можно, не теряя общего смысла предложения,
менять местами.
Чтобы построить отрицание высказывания с квантором, надо
квантор всеобщности заменить на квантор существования ( или квантор
существования заменить на квантор всеобщности), а предикат заменить
его отрицанием, т.е.
xPx   x Px ; xPx   x Px  .
Пример
7.
На
множестве
M  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
заданы
предикаты: A x  – «x делится на 2», B x  – «x ≥ 2», C  x  – «x – простое
число». Найти и изобразить при помощи диаграмм Эйлера-Венна области
истинности
предикатов:
а)
Px   Ax   Bx   C x  ;
Q x   B x   A x   C  x  .
Решение
б)
25
Найдем множества истинности данных предикатов:
M 1A  0,2,4,6,8,10; M 1B  2,3,4,5,6,7,8,9,10; M 1C  2,3,5,7.
Видим, что M 1C  M 1B . Учтем этот факт при изображении данных
множеств с помощью кругов Эйлера-Венна.
а) Найдем область истинности предиката Px   Ax   Bx   C x  .


M 1P  M 1A  M 1B C  M 1A  M 1B  M 1C  M 1A  M 1C  0,2,3,4,5,6,7,8,10.
M 1A
M
M 1C
M 1B
б) Для построения области истинности предиката Q(x) упростим его:
Q( x)  Bx   Ax   C x   Bx   Ax   C x  .
Тогда


M 1Q  M 1B  M 1AC  M 1B  M 1A  M 1C  0,1 2  0,1,2.
M
M 1A
M 1C
M 1B
Области истинности предикатов P(x) и Q(x) показаны на рисунках
штриховкой.
26
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Теоретические вопросы
1. Виды матриц. Операции над матрицами: сложение, умножение на
число, умножение матриц.
2. Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.
3. Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица.
4. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера.
5. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
6. Векторы. Линейные операции над ними.
7. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
8. Векторное произведение двух векторов и его свойства.
9. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства.
10. Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых.
11.Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение
плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.
Литература
1. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1курс. М.: Айриспресс, 2004.– 576с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по математике. Ч.1. М.: Айриспресс, 2004.– 288с.
3. Турецкий, В.Я. Математика и информатика. – М: ИНФРА-М, 2005. –
560с.
4. Высшая математика: метод. указания и контрольные задания для
студентов заочного отделения.Ч.1/авт.сост. О.Н.Барсов; НовГУ
имени Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2009.– 75с.
27
Задачи для контрольных работ
Контрольная работа 1
Элементы теории множеств и математической логики:
Задание 1. Даны множества A и B . Изобразить и записать с
указанием
характеристического
свойства
результат
каждой
операции:
а) A B ; б) A  B ; в) A \ B ; г) B \ A ; д) A ; е) B ; ж) A B ; з) B  A .
1. A  x x  R,5  x  6,
B  x x  R,2  x  4.
2. A  x x  R,3  x  4,
B  x x  R,1  x  6.
3. A  x x  R, x  2,
B  x x  R, 1  x  4.
4. A  x x  R,4  x  6,
B  x x  R,3  x  7.
5. A  x x  R,1  x  5,
B  x x  R, x  2
6. A  x x  R,3  x  1,
B  x x  R,0  x  4
7. A  x x  R, x  2,
B  x x  R,5  x  8
8. A  x x  R,4  x  0,
B  x x  R,2  x  6
9. A  x x  R, x  1,
B  x x  R,4  x  3
10. A  x x  R, x  3,
B  x x  R, 1  x  5
Задание 2. На диаграммах Эйлера-Венна изобразить результат
операций, предварительно указав порядок действий в формуле.
28
1. A  B \ C
2. A  C \ B  A .
3. A  B \ B  C
4. A  B \ C  A
5. A  B \ A  C
6. A  C \ B  C 
7. A  C \ B  A
8. A \ B  C  A
9. A  B \ C  B
10. A  B  C  A
Задание 3. Упростить выражения, используя законы алгебры
множеств.
1.  A  B    A  B  .
2.  A  B    A  B    A  B  .
3. A  B  C  A  B  A  C .
4.  A  B    A  B    A  B  .
5. A   A  B   B  B  C   B .
6.  A  B    A  B    A  B  .
7. A   A  B   B .
8.  A  B  C    A  B  C   B  C  .
9.  A  B    A  B   A .
10.
 A  B   B   A   B .
29
Задание 4. Упростить формулы логики двумя способами: а)
используя таблицы истинности; б) с помощью равносильных
преобразований.
1.а) A  B  A  B ;
б) A  B  A  B  A .
2. а) A  B  B ;
б) A  A  B  A  B .
3.а) B  A  A  B ;
б) A  B  A  B .
4. а) A  B  B  A ;
б) A  B  A  B .
5. а) A  B  A  B ;
б) A  B  A  B  A .
6. а) A  B  A  B ;
б) A  B  A  B  A .
7. а) A  A  B  A ;
б) B  A  A  A  B .
8. а) A  B  B  A ;
б) A  B  A  A .
9. а) A  B  A  B ;
б) A  B  A  B .
10. а) A  B  A  B ;
б) A  B  B  A  A .
Задание 5. На множестве M  1,2,3,,15 заданы предикаты: A x  –
« x – чётное число»,
B x  – « x делится нацело на 3», C  x  – « x –
число простое», D x  – « x не делится на 5». Найти и изобразить при
помощи диаграмм Эйлера-Венна множества истинности предикатов
A x  , B x  , C  x  , D x  и следующих сложных предикатов:
1. а) Ax   Bx  ; б) Ax   C x   Dx  ;
в) Dx   Ax  .
2. а) Bx   Dx  ; б) Bx   Ax   Dx ;
в) Cx   Bx  .
3. а) C x   Ax  ; б) Ax   Bx   C x  ;
в) Bx   Dx  .
4. а) Dx   Cx  ; б) Bx   Cx   Dx  ; в) Ax   Cx  .
30
5. а) Bx   C x  ; б) Ax   Bx   Dx ;
в) C x   Dx  .
6. а) Ax   Dx  ; б) Bx   C x   Ax  ;
в) Dx  Bx  .
7. а) C x   Bx  ; б) Ax   Bx   Dx ;
в) Ax   C x  .
8. а) Bx   Dx  ; б) Ax   Cx  Bx  ;
в) DBx   Ax  .
9. а) Ax   C x  ; б) Bx   Cx   Dx  ;
в) Cx  Dx .
10.а) Cx   Dx  ; б) Ax   Bx  Cx  ;
в) Dx  Bx  .
Задание 6. На множестве M бинарное отношение R  M  M
задано характеристическим свойством. Представить отношение R
другими возможными способами. Выяснить какими свойствами оно
обладает.
1. M  1,2,3,4,5,
R  x; y  x  y – чётное;
x, y  M 
2. M   2;1,0,1,2,3,
R  x; y  x  y  3 ;
x, y  M 
3. M  1,2,3,4,5,6,
R  x; y  x  y делится на 2;
x, y  M 
4. M   1,0,1,2,3,4,
R  x; y  x  y  4 ;
x, y  M 
5. M  0;1;2;3;4; ,
R  x; y  x  y делится на 3;
x, y  M 
6. M  1,2,3,4,5,
R  x; y  x  y  5
x, y  M 
7. M   3,2,0,1,2,3,
R  x; y  x  y  0 ;
x, y  M 
8. M  0;1;2;3;4,
R  x; y  x  y делится на 3;
x, y  M 
9. M  1,2,3,4,5,
R  x; y  x  y  1 ;
x, y  M 
10. M   1;2;0;1,2,3,
R  x; y  x  y  2 ;
x, y  M 
31
Контрольная работа 2
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Задание 1. Найти значение матричного многочлена на f  A .
1. f x   2 x 2  3x  5,
1 2 
 .
A  
0

3


2. f x   3x 2  4 x  2,
 1 3
 .
A  
1
4


3. f x   x 2  2 x  3,
 2  1
 .
A  
3 5 
4. f x   4 x 2  x  1,
 1  1
 .
A  
2
0


5. f x   5 x 2  2 x  4,
 1 2
 .
A  

3
4


6. f x   3x 2  2 x  5,
0 2 
 .
A  
3

4


7. f x   2 x 2  5 x  6,
1 1 
 .
A  
3  2
8. f x   x 2  4 x  2,
 2 3
 .
A  
 1 4
9. f x   5 x 2  3x  1,
 2  1
 .
A  

3
3


32
10. f x   4 x 2  2 x  3,
 4  2
 .
A  
0
1


Задание 2. Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) с помощью формул Крамера; 2) средствами матричного исчисления.
 x1  x2  2 x3  1,

1. 2 x1  x2  2 x3  4,
4 x  x  4 x  2.
2
3
 1
 x1  3x2  x3  5,

2.  2 x1  x2  2 x3  6,
5 x  2 x  x  1.
2
3
 1
 x1  x2  x3  1,

3. 3x1  3x2  x3  13,
 2 x  x  x  4.
3
 1 2
 2 x1  x2  3x3  2,

4.  x1  4 x2  4 x3  10,
2 x  x  6 x  3.
3
 1 2
 x1  x2  2 x6  6,

5.  3x1  x2  8 x3  0,
 x  2 x  5 x  10.
2
3
 1
 x1  x2  2 x3  1,

6.  4 x1  x2  5 x3  7,
5 x  x  2 x  11.
3
 1 2
 3x1  3x2  2 x3  3,

7.  x1  2 x2  x3  1,
2 x  4 x  x  3.
2
3
 1
 x1  3x2  7 x3  2,

8.  2 x1  x2  x3  5,
3 x  7 x  2 x  7.
2
3
 1
 x1  3x2  2 x3  10,

9.  4 x1  5 x2  x3  5,
 2 x  2 x  x  2.
2
3
 1
 5 x1  2 x2  x3  5,

10.  x1  3x2  3x3  1,
3x  6 x  2 x  4.
2
3
 1
Задание 3. Даны векторы a , b , c . Найти: 1) линейную комбинацию
d векторов; 2) скалярное произведение a и d ; 3) угол между векторами
b и c ; 4) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b ; 5)
объём параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c .
1. a 2;1;1, b 1;1;1, c  1;3;2, d  3a  2b  c .
33
2. a 3;0;4, b 2;1;3, c 4;2;1, d  2a  4b  3c .
3. a  1;1;3, b 5;0;2, c 2;3;1, d  a  3b  2c .
4. a 4;0;1, b 2;2;3, c 0;1;2, d  4a  b  2c .
5. a 1;4;2, b 1;1;1, c  1;3;2, d  3a  2b  c .
6. a 5;2;3, b  4;0;4, c 2;3;0, d  a  2b  3c .
7. a 0;3;1, b 2;2;1, c 1;2;4, d  2a  b  2c .
8. a 1;4;3, b 2;3;0, c  1;2;1, d  3a  4b  c .
9. a 2;1;5, b 1;1;3, c 2;2;1, d  a  2b  3c .
10. a 3;5;4, b 4;1;2, c 1;0;3, d  2a  3b  c .
Задание 4.
Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1) длину
стороны BC ; 2) уравнение прямой BC ; 3) уравнение медианы BM ; 4)
уравнение высоты AD ; 5) площадь треугольника ABC ; 6) длину высоты
AD ; 7) уравнение окружности, для которой высота
диаметром.
1. A4;4, B6;10 , C  6;1.
2. A 6;8, B 8;6, C 4;3.
3. A5;7 , B7;7 , C  5;2.
4. A 7;2, B 9;12 , C 3;3.
5. A8;6, B10;8, C  2;1.
6. A 9;4, B 11;10 , C 1;1.
AD является
34
7. A6;6, B8;8, C  4;1.
8. A 5;4, B 7;10 , C 5;1.
9. A 4;3, B 6;11, C 6;2.
10. A8;8, B10;6, C  2;3.
Задание 5. Даны точки A, B, C и D . Доказать, что они не лежат в
одной плоскости. Найти: 1) уравнение плоскости ABC ; 2) уравнение
плоскости, параллельной ABC и проходящей через точку D ; 3)
уравнение прямой, проходящей через точку D и перпендикулярной ABC ;
4) длину высоты, опущенной из D на грань ABC ; 5) объём пирамиды
DABC .
1. A3;1;2, B1;2;1, C  2;1;0 D2;2;5.
2. A1;2;0, B1;1;2, C 0;1;1 D 3;0;1.
3. A4;0;0, B 2;1;2, C 1;3;2 D3;2;7 .
4. A2;3;1, B4;1;2, C 6;3;7  D 5;4;8.
5. A1;2;3, B1;0;1, C  2;1;6 D0;5;4.
6. A1;1;6, B4;5;2, C  1;3;0 D6;1;5.
7. A 2;4;1, B7;6;3, C 1;2;3 D4;3;1.
8. A2;1;1, B1;1;1, C  2;0;3 D2;2;4.
9. A1;3;6, B 1;0;1, C 2;2;1 D 4;6;3.
10. A3;0;3, B5;2;6, C 1;2;0 D8;4;9.
35
36
Оглавление
Введение
3
1.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
4
1.1 Множества и операции над ними
4
1.2 Законы алгебры множеств
9
1.3 Бинарные отношения и их свойства
12
1.4 Высказывания и операции над ними
16
1.5 Формулы логики высказываний. Равносильность формул
18
1.6 Предикаты и кванторы
22
2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
26
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
27
Контрольная работа 1
27
Контрольная работа 2
31