школьную олимпиаду по математике для 6,8,10,11 классов

Школьная олимпиада по математике
Школьная олимпиада по математике
8 класс
1. Решить уравнение
-
7
2
3
5
5
10 класс
х (0,6х + ) + 0,3 ( х + 0,4) = 0
10
(5 баллов)
2. Катер прошел по течению 90 км за некоторое время.
За то же время он прошел бы против течения 70 км.
Какое расстояние за это время проплывет плот?
(5 баллов)
3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы
углов А и В, угол между ними равен 125°. Найти угол С.
(10 баллов)
4. Задача-шутка:
Вдвоем с женою Елисей
съедают десять карасей,
а с сыном вместе восемь съест,
жена же с сыном – только шесть.
Так сколько для семейки всей
зажарить надо карасей?
(10 баллов)
5. Отметьте на плоскости 6 точек так,
чтобы на расстоянии 1 от каждой из них
находилось ровно 3 из отмеченных точек.
( 20 баллов)
1. При каких значениях k уравнение
(k – 1) х2 + (k + 4) х + k + 7 = 0 имеет единственный
корень?
(15 баллов)
2. Решить уравнение: |х2 + 4х + 2| =
5х+6
3
.
( 15 баллов)
3. Решить неравенство: (х2 – х – 2)√х² − х ≥ 0.
(15 баллов)
4. Один из углов треугольника на 120o больше
другого. Докажите, что биссектриса треугольника,
проведённая из вершины третьего угла, вдвое
длиннее, чем высота, проведенная из той же
вершины.
(20 баллов)
5. Прямоугольник 7 × 11 разрезали на квадраты 2 × 2
и трехклеточные уголочки (см. рис.).
Сколько всего фигур получили при разрезании?
(25 баллов)
Школьная олимпиада по математике
6 класс
1. Что больше 15% от числа 240, или число, 75% которого равно
27?
(15 б.)
2. В 9 часов утра со станции А отправился пассажирский поезд, а
вслед за ним в 11 ч. с той же станции отправился скорый поезд.
На каком расстоянии от станции А пассажирскому поезду надо
будет пропустить скорый, если скорость пассажирского поезда
54 км/ч, а скорого – 72 км/ч?
(15 б.)
3. Мальчик и девочка измеряли шагами расстояние 143 м, 20 раз
их шаги совпадали. Шаг мальчика 65 см. Чему равна длина
шага девочки?
(20 б.)
4. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры.
Сколько страниц в этой книге?
(20 б.)
5. В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре
из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться,
что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе
с каждой ровно по одному разу?
(30 б.)
Школьная олимпиада по математике
11 класс
1. Вычислить значение выражения 11  6 2  11  6 2 .
(15 б.)
2. При каких целых значениях а уравнение
имеет целые решения?
x(a-1)2=(a+4)(a-1)
(15 б.)
3. Целые числа a, b, c, d удовлетворяют соотношению
a b a b

. Может ли произведение abcd равняться 1000?
cd cd
(20 б.)
4. В равнобедренном треугольнике АВС (АС=ВС) провели
медиану СС1 и биссектрису АА1. Найдите величину угла АСВ,
если АА1 = 2СС1 .
(20 б.)
5. В каждой клеточке доски 5×5 сидит жук. В некоторый момент
все жуки переползают на соседнюю клетку (соседними считаются
те, которые имеют общую сторону). Докажите, что после того как
все жуки переползут, найдется клеточка, на которой будут сидеть
по крайней мере два жука.
(30 б.)