(школьный тур)

Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 5 класс.
В каждой задаче вам нужно написать правильный ответ в указанном месте.
Задача 1. Постройте зеркальное отражение змейки справа от изображения:
Задача 2. Когда на колесе обозрения кабина с номером 29 находится в верхней точке
колеса, то кабина с номером 6 находится в нижней точке. Сколько кабин на колесе
обозрения?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 3. Сколько среди первых 2015 натуральных чисел нечетных?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 4. В комбинации цифр 2015201520152015 вычеркните 8 цифр так, чтобы
получилось наименьшее из возможных чисел. (Цифра 0 не может стоять в начале числа)
Ответ: _____________________________________________________
Задача 5. Расставьте скобки в записи
выражение, равное 50.
4 · 12 + 18 : 6 + 3 так, чтобы получилось
Ответ: _____________________________________________________
Задача 6. Ученики одного класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел 3
конфеты, а каждая девочка — 5 конфет. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек,
если всего в классе 25 человек?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 7. У Пети есть четыре палочки длиной 24 см и пять палочек длиной 36 см. Он
хочет разломать их на маленькие палочки длиной по 6 см. Сколько разломов ему придётся
сделать и сколько 6-ти сантиметровых палочек у него получится?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 8. В прямоугольной таблице 10 столбцов. В каждой клетке таблицы стоит число.
Сумма чисел в каждом столбце равна 21, а в каждой строке – 35. Сколько в таблице строк?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 9. В очереди за пирожками стоят Аня, Кира, Оля, Паша и Толя. Аня стоит раньше
Киры, но после Толи. Оля и Толя не стоят рядом, а Паша не находится ни рядом с Толей,
ни с Аней, ни с Олей. В каком порядке стоят ребята?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 10. Некоторое число зашифровано словом АПЕЛЬСИНЧИК, при этом одинаковым
цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным цифрам – разные буквы. Найдите
произведение цифр этого числа.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 11. У Васи есть кубик со стороной 6 см. Он его покрасил в синий цвет, а потом
распилил на кубики со стороной 1 см. Сколько получилось кубиков с двумя синими
гранями?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 12. Разделите фигуру по сторонам клеток на 3 части, равные по форме и размерам
Ответ: _____________________________________________________
Задача 13. В семье есть Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Петр
Сидорович, Петр Петрович. Один из них сейчас смотрит телевизор, его отец дремлет, брат
читает газету, а дети ушли гулять. Как зовут того, кто смотрит телевизор?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 14. В каждый промежуток между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте знаки
сложения и умножения так, чтобы значение выражения стало равно 100. (Скобки
использовать нельзя).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 15. Три гнома — Пили, Ели и Спали — нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз.
У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая
длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто что
нашел, если каждый гном нашел один предмет?
Ответ: _____________________________________________________
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 6 класс.
В каждой задаче вам нужно написать правильный ответ в указанном месте.
Задача 1. Двое поделили между собой 25 рублей, причем одному досталось на 3 рубля
больше другого. Сколько кому досталось?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 2. Какое число в 9 раз больше своей последней цифры?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 3. Сколько среди чисел от 1 до 2015 таких, которые делятся на 3?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 4. Три курицы за три дня снесли пять яиц. Сколько яиц снесут 12 кур за 15 дней?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 5. Какое число надо поставить вместо квадратика, чтобы получилось верное
равенство?
3362 + 7 − 335 ∙ 337 +
□ = 22
Ответ: _____________________________________________________
Задача 6. Весы пришли в равновесие, когда на одну чашу поставили гири по 2 кг, а на
вторую — по 5 кг, всего вместе 14 гирь. Сколько двухкилограммовых гирь поставили на
весы?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 7. Имеется 20 трехметровых бревен и 10 двухметровых. Сколько распилов
придется сделать, чтобы распилить их все на полуметровые поленья? Пилить несколько
бревен одновременно нельзя.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 8. Вычислите
0,64 
1
25
4

0,3 :   1,25 
5

Ответ: _____________________________________________________
Задача 9. Корова в шесть раз дороже собаки, а лошадь вдвое дороже коровы. Собака, две
коровы и лошадь вместе стоят 200 рублей. Сколько стоит корова?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 10. Сколько всего треугольников можно найти на рисунке?
Ответ: ______________________________________________
Задача 11. Под крышкой каждой бутылки Нука-Колы нарисована одна из трех картинок:
звездочка, стрелочка или рожица. Если собрать две крышки с одинаковыми картинками,
то их можно обменять на шоколадный батончик. Какое наименьшее число бутылок надо
купить, чтобы гарантированно получить два шоколадных батончика?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 12. В каждый промежуток между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте знаки
сложения, вычитания, умножения или деления так, чтобы значение выражения стало
равно 111. (Скобки использовать нельзя).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 13. У 6 школьников одного кружка спросили, сколько лампочек на потолке в
кабинете, где проходит кружок. Получили такие ответы: Первый: больше одной, второй:
больше двух, третий: больше трех, четвертый: больше четырех. Пятый: меньше четырех,
шестой: меньше трех. Сколько лампочек может быть в кабинете, если ровно половина
школьников сказала правду? Требуется привести все возможные ответы!
Ответ: _____________________________________________________
Задача 14. Разрежьте фигуру по сторонам клеток на 4 части, равные по форме и размерам,
так, чтобы в каждой части был кружок.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 15. Друг с другом последовательно соединены 5 зубчатых колёс. У первого 40
зубьев, у второго — 16, у третьего — 12, у четвёртого — 15, а у пятого зубчатого колеса
10 зубьев. Размеры зубьев одинаковы. Первое колесо совершило полный оборот. Сколько
оборотов сделало пятое колесо?
Ответ: _____________________________________________________
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 7 класс.
В каждой задаче вам нужно написать правильный ответ в указанном месте.
Задача 1. 18 месяцев назад Тане было ровно 15 лет, а Мише будет ровно 18 лет через 15
месяцев. Кто из них старше и на сколько?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 2. В коробке лежат 16 шаров — белых, красных и черных, причем белых в 8 раз
больше, чем красных. Сколько в коробке черных шаров?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 3. Сколько среди чисел от 1 до 2015 таких, которые делятся на 3, но не делятся на
5?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 4. У Вани и Равиля были две одинаковые прямоугольные карточки. Каждый из них
разрезал свою карточку на два прямоугольника. Сумма периметров прямоугольников,
которые получились у Вани, равна 40, а у Равиля — 50. Чему равен периметр исходной
карточки?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 5. Сумма цифр двузначного числа N равна 14. Если к этому числу прибавить 48, то
получится число, произведение цифр которого равно 10. Найдите число N.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 6. За круглым столом сидели 4 олимпиадника. Химик сидел напротив Данилова
рядом с биологом. Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Бугрова — Титов и физик.
Какая профессия у Данилова?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 7. Сумма пяти последовательных натуральных чисел равна 2015. Найдите эти
числа.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 8. Вычислите
1 1


 0,6    0,125 
4
15

  24 .
1
4


  0,4  
15 
3
Ответ: _________________________________________
Задача 9. Лошадь в восемь раз дороже собаки. Собака и две коровы вместе стоят 100
рублей. Корова и две лошади вместе стоят 205 рублей. Сколько денег потребуется, чтобы
купить одну лошадь, одну корову и одну собаку?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 10. Михаил сделал по 3 выстрела в каждую из четырех одинаковых мишеней.
Известно, что на первой мишени он выбил 26 очков, на второй — 40, на третьей — 44.
Сколько очков он выбил на последней мишени? (Попадание в каждое кольцо мишени
стоит определенное число очков).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 11. На острове рыцарей и лжецов в очереди стоят 15 человек. Каждый, кроме
первого, заявил, что прямо перед ним в очереди стоит лжец. Сколько лжецов могло быть в
этой очереди? Укажите все возможные ответы!
Ответ: _____________________________________________________
Задача 12. В каждый промежуток между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте знаки
сложения, вычитания, умножения или деления так, чтобы значение выражения стало
равно 200. (Скобки использовать нельзя).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 13. Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сушеные — 15% воды. Сколько
получится сушеных грибов из 34 килограмм свежих?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 14. Разрежьте фигуру на рисунке на буквы «Т».
Буква «Т» тоже изображена на рисунке, их можно
поворачивать как угодно
Ответ:
Задача 15. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на
пары и начали кататься. В каждой паре кавалер выше дамы, и никто не катается со своей
сестрой или братом. Самый высокий из компании — Юра Воробьёв, следующий по росту
— Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Серёжа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов,
Инна Крымова и Аня Воробьёва. Кто с кем катался?
Ответ: _____________________________________________________________________
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 8 класс.
1. Коля придумал себе развлечение: он переставляет цифры в числе 2015, после чего
ставит между любыми двумя цифрами знак умножения. При этом ни один из
получившихся двух сомножителей не должен начинаться с нуля. Затем он
вычисляет значение этого выражения. Например: 150 · 2 = 300, или 10 · 25 = 250.
Какое наибольшее число у него может получиться в результате такого вычисления?
2. Петя разрезал лист бумаги на 6 кусков. Некоторые из этих кусков он снова разрезал
на 6 кусков и т.д. Может и Петя таким образом получить 2015 кусков бумаги?
3. Имеет ли решение ребус ДО ●ЧЬ = МАМА?
4. Известно, что для натуральных чисел х, у и z выполняются два равенства 7x2 - 3y2
+ 4z2 = 8 и 16x2 – 7y2 +9z2 = - 3. Найдите значение выражения x2 +y2 +z2.
5. В равностороннем треугольнике АВС точка D – середина стороны ВС. Из
произвольной точки О, лежащей на стороне ВС, опущены перпендикуляры ОК и
ОМ на стороны АВ и АС . Найдите периметр четырехугольника АМОК, если
периметр треугольника АСD равен p.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 9 класс.
Задача 1:
Решите уравнение:
+2015x-2016 =0
Задача 2:
Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999.
Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль.
Задача 3.
Постройте график уравнения − =
, то есть изобразите на
координатной плоскости все точки, координаты (x, y) которых
удовлетворяют этому уравнению.
Задача 4.
Одна сторона параллелограмма в
раз больше другой стороны. Одна
диагональ параллелограмма в
раз больше другой диагонали. Во сколько
раз один угол параллелограмма больше другого угла?
Задача 5.
Квадрат 10 ×10 разрезали на прямоугольники, по линиям сетки, площади
которых различны и выражаются натуральными числами. Какое наибольшее
число прямоугольников получится? Пример
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 10 класс.
1. Найдите четырехзначное простое число, цифры которого образуют
арифметическую прогрессию.
2. Муха села в полдень на секундную стрелку часов и решила ездить,
придерживаясь правила: если одна стрелка обгоняет другую и муха
сидит на одной из этих стрелок, то она пересаживается на другую.
Сколько оборотов сделает муха к полуночи?
3. Решите уравнение х+у+с=хус в натуральных числах.
4. На доске записано число 111…11 (99 единиц). Двое играют в
следующую игру. Игроки ходят по очереди, причем за ход разрешается
либо записать нуль вместо одной из единиц (кроме первой и
последней), либо стереть один из нулей. Проигрывает тот, после хода
которого число будет делиться на 11. Кто выиграет при правильной
игре?
5. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Найдите угол
между прямыми АС и ВК.
В
С
А
К
Олимпиада по математике. 11 класс. Школьный этап.
1. Докажите неравенство:
2. Вычислите значение суммы sin200  sin800  sin1400.
3. Имеется 100 гирь весом 1 г, 2 г, 3 г, ... , 100 г. Гирю весом 51 г заменили
гирей весом 101 г. Можно ли получившийся набор гирь разделить на две
группы, равные по весу и по количеству гирь?
4. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные
перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на биссектрисе угла
E.
5. Решите уравнение: (x 1)5 (x 2)5  ... (x 2015)5 0 .