Метод решения функциональных уравнений. Теоретический материал. Методы решения функциональных уравнений основаны на следующих теоремах: Теорема 1. Корни уравнения , являются корнями уравнения . Теорема 2. Если - возрастающая функция на отрезке то на данном отрезке уравнения Следствие 1. Если и функция и возрастает и Если любого , уравнения равносильны. убывающая , и то на функция данном на отрезке отрезке уравнения равносильны. Следствие 3. Если функция убывает для любого и нечетное, уравнения равносильны. Следствие 4. Если функция убывает на своей области определения и нечетное, уравнения и Теорема 4. Если для возрастает на своей области определения, уравнения 3. равносильны. равносильны. Следствие 2. Если функция Теорема , равносильны. - возрастающая(или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения , то уравнения и равносильны. Следствие 5. Если - возрастающая(или убывающая) функция на области допустимых значений функций , то уравнения и равносильны. Теорема 5. Если четная функция возрастает (или убывает) уравнение определена на отрезке при , равносильно совокупности при условии, что и Задачи и решения. Алгебраические уравнения и системы. 1. Решите систему уравнений: то на данном уравнений . и отрезке и Решение: Перепишем уравнение в виде системы следует, что . Из первого уравнения . Введем в рассмотрение функцию определенную при , . В это случае систему уравнений можно представить в виде функционального уравнения: . Так как при является возрастающей и при этом уравнения и функция , то равносильны. Получим, что . Поучаем квадратное уравнение . Однако . Тогда , поэтому . Ответ: 2. На самостоятельное решение. Решите решение. Решите систему уравнений: . Ответ: решения нет. 3. На самостоятельное Ответ: (0; 0; 0), систему уравнений: . . 4. Решите уравнение Решение: Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде . Рассмотрим уравнение уравнения , корни которого являются корнями . Уравнение , принимает вид . Корнями уравнения являются , . Полученные корни являются корнями . Для поиска других корней уравнения представим его в виде: Так как уравнение имеет корни . , разделим данное уравнение на Получим корней не имеет. Ответ: 5. (2x+1)(2+ ( 2 x 1 )2 3 )+3x(2+ 9 x 2 3 )=0 Введем f(x) = x(2+ x 2 3 ), тогда исходное уравнение примет вид: f(2x +1)+ f(3x)=0 f(x) – нечетная функция, f(2x +1)= –f(3x) <=> f(2x+1)= f(–3x) , которое Далее, при x 0, функция f(x) равна произведению двух возрастающих функций => f(x)возрастающая при x 0. В силу нечетности функция f(x) возрастает при x < 0 => f(x) – возрастает для всех х. f(2x+1)= f(–3x) 2x+1= –3x 5x= –1 x= – 4 6. 1 1 Ответ: x= – . 5 5 2x 1 1 2 3 x 4 4 Решение: Замечаем, что х = 1 — корень уравнения. 1 3 2 x 1 и функция у = x 2 возрастают в области определения 4 4 уравнения, то есть на луче Функция у = 4 1 2 ; . Преобразовать уравнение к такому виду, чтобы одна часть представляла собой убывающую, а другая — возрастающую функцию, не удается. Поступим по-другому. Найдем производные функций: у1 = 4 1 3 2 x 1 и у2 = x 2 4 4 и вычислим их в точке х = 1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем: y1' 3 1 2 x 1 4 2 4 1 3 , y1' ( 1 ) 1 . Далее, y'2 x , y'2 ( 1 ) 1 . 2 2 2 4 2 2 x 1 Так как y1' = y '2 , то графики функций ух(х), у2{х) имеют общую касательную в точке (1;1). Но поскольку функция у2(х) выпукла вниз, а функция у1(х) выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а потому уравнение у1(х) = y2(x) имеет только один корень. Итак, х = 1 - единственный корень уравнения. Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства. 7. Решите систему уравнений: Решение: Из первого уравнения системы получим уравнение Пусть . , тогда получим функциональное уравнение как , то функция . Так возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение равносильно уравнению второго уравнения данной системы получим . Из . Так как , то . Ответ: (2, 2), (-2, -2). 8. Решите уравнение: . Решение: Обозначим . Тогда уравнение можно переписать в виде функционального уравнения Поскольку . - функция нечетная, то . , то функция поэтому . Так как Ответ: . , которое имеет единственный 9. На самостоятельное решение. Решите уравнение: Ответ: 10. На . . самостоятельное Ответ: решение. . Решите уравнение: , n – целое число. 11. Решите уравнение: . Решение: Обозначим уравнение и . отсюда получаем кубическое уравнение . и - возрастает на области значений . Получим корень Для можно . Тогда переписать в виде функционального уравнения . Функция числовой прямой, , возрастает на всей поэтому уравнение квадратное уравнение равносильно . Ответ: . Задачи с параметрами на применение функционального метода. 1. Найдите все a, при которых уравнение 2 2x 1 x 2 x2 1 2 5 a 0 a cos 4 x (*) Имеет единственное решение. Решение: 1) Если x0 – корень уравнения , то и Он один, когда x0 = x 1 1 => 0 => (*) : x0 x 1 0 3 0 (D < 0 => a ) 4 х = 1: a2 a x = –1 3 a a 0 4 2 • Проверим: a Пусть x = tg 1 - корень. x0 1 a 2 подозрительны. 3 a 2 1 2 t , t (– π; 0) (0; π) 2 2 sint a cos( 2ctgt ) a 2 ОДЗ: sin t , Z t ≠0 t n 2 2 2 , n Z 5 0 4 sint cos( 2ctgt ) 2 21 (**) f1 f2 f1 (t) будем рассматривать как суперпозицию функций g(u)=cosu при изменении (t)=ctgt, , имеет два т.е. корня - для t (– π; 0), то (t) монотонно убывает от + до – => f(t) совершает колебания от (–1) до (1), при этом f 1 1 2 - для t (0; π) в силу четности f1(t) ситуация аналогична f 2 ( t ) 2 21sint g( u ) 2 21u u(t)= sint График функции g( u ) 2 21u поэтому при t (– π; π) f2 (t) сначала возрастает от f2 (– π) = 0 до f 2 1 , затем убывает от f 2 1 до 2 2 f 2 2 , потом опять возрастает от f 2 2 до f2 (π ) = 0. 2 2 Значит уравнение (**) имеет более одного корня при t (– π; 0) (0; π), т.о. a 1 не 2 годно. • Проверим: a 3 2 2 sint a cos( 2ctgt ) a 2 5 0 4 1 cos( 2ctgt ) ( 2 21 sint ) (***) 3 При t (– π; 0) (0; π) функция y = cos(2ctgt) принимает значение y [-1;1], 1 4 a функция y ( 2 21 sint ) принимает значения y [1;2]\ , c учётом ОДЗ 3 3 cos( 2ctgt ) 1 (***) <=> 1 => t= , t (– π; 0) (0; π) этот корень годен и для 1 sint (22 )1 2 3 первого уравнения системы. Ответ: a 3 2 2. Решить систему уравнений x a y b 1 y a x b 1 Решение: Вычтем из первого уравнения второе. Получим xa xb y a y b . Рассмотрим функцию f(t)= t a t b . Она возрастающая. Имеем f(x) = f(y). Следовательно, x = y. Отсюда x a x b 1 . Это уравнение равносильно системе: x a x b x a 1 2 x b x b x a x b 2 x b a b 1 x b1 x b a b 12 b x 4 Очевидно, что Ответ: Если 2 a b 1 x b b 4 2 a b 1 a b 1 , то x=y= 4 b; Если а < b + 1, то решений нет. 3. При каких а уравнение 4 x x a log 3 ( x 2 2 x 3 ) 2 ( x 2 x ) log 3 ( 2 x a 2 ) 0 2 имеет ровно три корня? Решение: Возможно, присутствие в данном уравнении повторяющихся выражений (имеется в виду |х - а|, х2 - 2х ) послужит подсказкой для следующих преобразований: 2 2 x a 2x 2 2 log 3 ( x 2 2 x 3 ) 2 x 2 x 3 2 log 3 ( x 2 2 x 3 ) 2 2 2 x log 3 ( 2 x a 2 ), 2 x a 2 log 3 ( 2 x a 2 ), Это уравнение следует «прочесть» так: левая и правая части — значения возрастающей функции y=2tlog3t соответственно при t x 2 2 x 3 и t 2 x a 2 . (Функцию у = 2tlog3t мы рассматриваем на области определения 2; т.е. на промежутке возрастания). Отсюда х2 - 2х + 3 = 2|х - а| + 2, (x -1)2=2|x - a|. Последнее уравнение должно иметь три корня. Искомое значение параметра можно получить, проведя дальнейшее исследование аналитически. Однако графический подход приведет к результату много быстрее. Поэтому мы прервем решение этой задачи и вернемся к нему в § 3.