ИрГУПС

.Вариант
№1
Задача 1. Найти область определения функции
z  arcsin( 5 x  y  2) .
Задача 2.
а).
Найти
полный
дифференциал
функции
2z
u  (2 x  3 y ) .
б). Показать, что функция z  x ln y удовлетворяет
уравнению
2z y 2z

 0.
xy x y 2
в). Найти производные
 z z
,
сложной функции:
 x y
u2
, где u  x  2 y , v  xy .
v
Задача 3.
а). Дана функция z  x 2  xy  2 y 2  3x  2 y  1 , вектор

 
z
l  2i  j и точка A(1;2). Найти
grad z (A) ,
A ,
l
grad z(A) .
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности x 2  2 y 2  z 2 в точке A 1; 1; 3 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
1
независимых переменных z   x 2  8 xy  y 3  14 x  12 y .
2
z


Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
1
2 x 2
0
x
интеграле:  dx
 f ( x, y)dy .
Контрольная работа № 3, 4
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
x3
а) x  y , y 
, x  0.
3
б) окружностью   2 и кардиоидой   21  cos  
(вне кардиоиды).
3
2
1
0
-6
-4
-2
-1 0
2
4
-2
-3
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями: R : x 2  y 2  9, z  9  x 2 , z  0 .
Задача 8. Вычислить криволинейный интеграл I рода:
2
 xdl, L : x  3 y от A(3, 3) до B(2 3 , 4) .
L
Задача 9. Найти центр тяжести однородной пластины
D , ограниченной линиями:
x  1, x  3, y  x 2 , y  0.
2
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 2
Задача 1. Найти область определения функции
z  4  x  ( y  2) 2 .
Задача 2.
а).
Найти
полный
2
3
u  arcsin( x  xy  zx  2 z ) .
дифференциал
б). Показать, что функция
z
функции
y2
 arcsin( xy)
3x
z
z
 xy  y 2  0 .
x
y
 z z
в). Найти производные
,
сложной функции:
 x y
удовлетворяет уравнению x 2
v2
, где u  x  2 y , v  x 2 y .
u
Задача 3.
z  3x 2  xy  y  x , вектор
а). Дана функция



z
l  3i  2 j и точка A(1;3). Найти
grad z (A) ,
A ,
l
grad z(A) .
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности x 2  4 y 2  z 2 в точке A 1; 1; 5 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  x 3  5xy  5 y 2  7 x  15 y .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
z

1

x
интеграле:  dx  f ( x, y )dy .
0
x
3
3
Контрольная работа № 3, 4
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
а) 3x  y  4 , y 2  6 x .
3
б)   ,   2  sin 3 (вне окружности).
2
4
3
2
1
0
-4
-2
0
2
4
-1
-2
-3
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями:
R : x 2  y 2  x, x 2  y 2  2 x, z  x 2  y 2 , z  0 .
Задача 8. Вычислить криволинейный интеграл I рода:
 x  t  sin t ,
L ydl , L :  y  1  cos t , (первая арка).
Задача 9. Найти момент инерции относительно оси
Oy фигуры, ограниченной линиями x  4  y 2 , x  0 ,
  2 .
.
4
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 3
Задача 1. Найти область определения функции
x y
.
z
x  y 1
Задача 2.
а).
Найти
полный
дифференциал
функции
2
2
2
u  ln( x  y  z  1) .
б). Показать, что функция z  cos y  ( y  x) sin y
2 z
z
.

xy y
 z z
в). Найти производные
,
сложной функции:
 x y
u
z  ln , где u  x  3 y , v  x 2 y .
v
Задача 3.
 

а). Дана функция z  xy  2 y 2  2 x , вектор l  i  5 j
z
и точка A(1;2). Найти
A , grad z (A) , grad z (A) .
l
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности 5x 2  y 2  z 2 в точке A 1;1; 6 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  2 x 2  5 xy  2 y 3  3x  4 y .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
удовлетворяет уравнению ( x  y)

2
2 x
0
2 x x2
интеграле:  dx

 f ( x, y)dy .
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
5
Контрольная работа № 3, 4
3 2
y 1.
4
б)   1,   1  sin 2 (вне окружности).
а) x  y 2 , x 
2
1,5
1
0,5
0
-2
-1
0
1
2
-0,5
-1
-1,5
-2
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями: R : x 2  y 2  4, x  y  z  6, z  0 .
Задача 8. Вычислить криволинейный интеграл I рода:
dl
1
L x  y , L : y  2 x  2 от A(0,  2) до B(4, 0) .
Задача 9. Найти координаты центра тяжести
y 2  4x  4 и
площади, ограниченной параболами
y 2  2 x  4 .
6
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 4
Задача 1. Найти область определения функции
z
y2  x2  4 .
Задача 2.
а).
Найти
полный
3
2
u  sin( x  y  5z ) .
дифференциал
б). Показать, что функция
функции
z  ln( x 2  y 2  2 x  1)
2 z 2 z
удовлетворяет уравнению 2  2  0 .
x
y
z
в). Найти производные
,
x
z
y
сложной
функции: z  e u v , где u  sin x  3 y , v  xy .
Задача 3.



а). Дана функция z  x 2  3xy  6 y , вектор l  3i  5 j
z
и точка A(4;1). Найти
A , grad z (A) , grad z (A) .
l
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности 4 x 2  y 2  z 2 в точке A1; 0; 2 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  3x 2  10 xy  6 y 3  2 x  2 y  1 .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
интеграле:
1
1 y
0
 1 y 2
 dy
 f ( x, y)dx .
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
а) 2 y  x 2 , 2 x  2 y  3 .
7
Контрольная работа № 3, 4
б)
  2 cos ,   3  sin 2 (вне окружности).
4
3
2
1
0
-5
-1 0
5
-2
-3
-4
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями:
R : z  0, x  z  1, x  y 2 .
1
Задача 8. Найти длину дуги кривой x  y 2  1 ,
2
отсеченной осью Oy .
Задача 9. Найти статический момент относительно
оси Oy плоской однородной фигуры, ограниченной
линиями xy  3, y  3x, x  3 .
8
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 5
Задача 1. Найти область определения функции
z  arcsin( 3 x  y  2) .
Задача 2.
а).
Найти
полный
дифференциал
функции
2
2
2
u  ln( x  y  z  1) .
б). Показать, что функция z  e xy удовлетворяет
2z
2z
уравнению x 2 2  y 2 2  0 .
x
y
z
z
в). Найти производные
,
сложной
x
y
функции: z  ln
u2
, где u  xy , v  x 2  y 3 .
v
Задача 3.
а). Дана функция z  x 2  y 2  6 x  3 y , вектор

 
z
l  2i  j и точка A(2;3). Найти
grad z (A) ,
A ,
l
grad z(A) .
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности 3x 2  y 2  z 2 в точке A1;1; 2 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
7
независимых переменных z  3x 3  7 xy  y 2  60 x  2 .
2
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
1
3 y 2
0
y2
2
интеграле:  dy
 f ( x, y)dx .
9
Контрольная работа № 3, 4
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
1
а) x  y 2 , x  y  8, x  0 .
4
б)   1,   2  cos 4 (вне окружности).
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями:
2 z  x 2  y 2 , 2 x  3 y  6, x  0, y  0, z  0 .
Задача 8. Найти длину дуги кривой y  ln x от
x  3 до x 
Задача 9.
ограниченной
плотность  x,
8.
Найти координаты центра тяжести фигуры,
линиями x  y  2, y  x 2 , y  0 , если
y   x  1.
10
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 6
Задача 1. Найти область определения функции
z  x  x 2  y 2 1 .
Задача 2.
а). Найти частные производные первого порядка
функции u  e z sin( 2 x  3 y) .
б).
Показать,
что
функция
z  ln( x  e  y )
z  2 z z  2 z
удовлетворяет уравнению

 
0.
x xy y x 2
z
z
в). Найти производные
,
сложной
x
y
u2
функции: z  sin
, где u  xy , v  x 2  2 y .
v
Задача 3.
а). Дана функция
z  x 2  2 xy  3 y 2 , вектор



z
l  3i  4 j и точка A(2;1). Найти
grad z (A) ,
A ,
l
grad z(A) .
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности x 2  5 y 2  z 2 в точке A2;1; 3 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  2 x 3  y 2  6 xy  12 x .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
1
3x
0
2x
интеграле:  dx  f ( x, y )dy .
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
11
Контрольная работа № 3, 4
а) y  2 x , y  6  x, x  0 .
б)   3,   3(1  sin  ) , (вне окружности).
8
4
0
-6
-3
0
3
6
-4
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями: R : y  2  x 2 , y  1, z  0, z  3 .
 x  5 cos t
Задача 8. Найти длину дуги кривой 
от
 y  2 sin t
т. A5, 0  до т. B0, 2 .
Задача 9. Найти статический момент относительно
оси
фигуры,
ограниченной
линиями
Ox
2
x  y , x  9, y  0 , если плотность  x, y   x  2 .
12
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 7
Задача 1. Найти область определения функции
1
z
.
2
 x  y5
Задача 2.
а). Найти частные производные первого порядка
функции u  ln( xyz3 ) .
x
б). Показать, что функция z 
удовлетворяет
y
уравнению x
в).
 2 z z

 0.
xy y
Найти

производные

функции: z  ln u 2  v 2 , где u 
z
,
x
z
y
сложной
x
, v  x2  2 y .
2y
Задача 3.
а). Дана функция z  2 x 3  4 x 2  y 2 2 xy , вектор



z
l  2i  2 j и точка A(-2; 0). Найти
A , grad z (A) ,
l
grad z(A) .
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности 3x 2  2 y 2  z 2 в точке A1;1; 5 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  3x 2  6 xy  y 3  12 x  12 y .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
1
x 2 1
0
0
интеграле:  dx
 f ( x, y)dy .
13
Контрольная работа № 3, 4
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
а) 3 y  x 3 , y  x .
б)   2  cos 4 ,   3  cos 4 , (вне первой).
5
0
-5
0
5
-5
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями: R : x 2  y 2  z, y  6 x, x  1, y  0, z  0 .
Задача 8. Найти массу первого витка винтовой линии
 x  a cos t ,

 y  a sin t , если плотность в каждой точке постоянна и
 z  bt;

равна   3 .
Задача 9. Найти массу
фигуры, ограниченной
x
y  2 x, y  , x  2 ,
линиями
если
плотность
2
 ( x, y )  x  2 y .
14
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 8
Задача 1. Найти область определения функции
z  ln(  x  y ) .
Задача 2.
а). Найти частные производные первого порядка
x
функции u  x 2 y  y 3 z  .
z
б). Показать, что функция z  x y удовлетворяет
2 y
z
уравнению y
 (1  y ln x) .
xy
x
z
z
в). Найти производные
,
сложной
x
y
функции: z  cos
u3
, где u  xy , v  3x  y 4 .
v
Задача 3.



а). Дана функция z  x 2  y 2 3xy , вектор l  i  3 j
z
и точка A(-1; 5). Найти
A , grad z (A) , grad z (A) .
l
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности 4 x 2  2 y 2  z 2 в точке A1;1; 6.
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  x 3  6 xy  3 y 2  18x  18 y .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
3
2
3 y
0
2 y2
интеграле:  dy
 f ( x, y)dx .
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
15
Контрольная работа № 3, 4
а) y  x 2 , y   x  4 .
1
б)   sin 3 ,   (вне окружности).
2
2
2
1
0
-2
-1
0
1
2
-1
-2
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями: R : z  x 2  y 2 , z  0, y  x, x  4, y  0 .
Задача 8. Определить массу контура эллипса
2
x
y2

 1 , если линейная плотность его в каждой точке
4
9
М ( x; y ) равна   y .
Задача 9. Найти момент инерции относительно оси
фигуры,
ограниченной
линиями
Ox
2
x  y , y  1, y  1, x  2 .
16
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 9
Задача 1. Найти область определения функции
z  arcsin( x  2 y  5) .
Задача 2.
а). Найти частные производные первого порядка
функции u  x 2  y 2  z 2 .
б). Показать, что функция z  x e

y
x
удовлетворяет
 z
 z
 z
 2 xy
 y2 2  0 .
2
x
xy
y
z
z
в). Найти производные
,
сложной
x
y
функции: z  e uv , где u  x 3  cos y , v  xy2 .
Задача 3.
а). Дана функция z  x 2  y 2  5x  4 y , вектор



z
l  3i  4 j и точка A(3;2). Найти
grad z (A) ,
A ,
l
grad z(A) .
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности 4 x 2  3 y 2  z 2 в точке A1;1; 7 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  8 x 3  y 3  12 xy  1 .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
2
2
2
уравнению x 2
e
y
1
ln y
интеграле:  dy  f ( x, y )dx .
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
а) y  e x , y  e  x , x  1 .
17
Контрольная работа № 3, 4
б)   sin  ,   4(1  cos  ) (вне окружности).
4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2 -1
-6
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями:
R : z  y 2 , y  2 x, x  y  6, z  0, y  0 .
Задача 8. Найти длину дуги конической винтовой
линии x  2e t cos t , y  2e t sin t , z  2e t от точки A(2, 0, 2)

2
2

до точки B 2e , 0, 2e .
Задача 9. Найти момент инерции относительно оси
Oy фигуры, ограниченной линиями x  4  y 2 , x  0 .
18
Контрольная работа № 3, 4
Вариант № 10
Задача 1. Найти область определения функции
z  x2  3y  6 .
Задача 2.
а). Найти частные производные первого порядка
функции u  ln z  3cos 2 x  y 3 .
z  sin( x  3 y )
б).
Показать,
что
функция


2 z
2z
.

9
x 2
y 2
z
z
в). Найти производные
,
сложной
x
y
функции: z  ln u 2  v 2  , где u  x 3 y 2 , v  6 x  2 y .
Задача 3.

 
а). Дана функция z  2 xy  3 y 2  5x , вектор l  3i  j
z
и точка A(2;4). Найти
A , grad z (A) , grad z (A) .
l
б). Составить уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности 2 x 2  3 y 2  z 2 в точке A1;1; 5 .
Построить поверхность.
Задача 4. Исследовать на экстремум функцию двух
независимых переменных z  x 3  8 y 3  6 xy  1 .
Задача 5. Изменить порядок интегрирования в
интеграле:
удовлетворяет уравнению
12
2
1
1x
0
x2
12
x2
 dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy .
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
x
а) y  x 2 , y  , x  1.
5
19
Контрольная работа № 3, 4
б)   2(1  cos  ),   1  cos  , .
4
0
-5
0
-4
Задача 7. Вычислить объём фигуры R , ограниченной
поверхностями: R : x  y  3, y  x, z  0, z  3x .
1
Задача 8. Найти длину кривой x  t 2 , y  t t 2  3
3
между точками пересечения с осью Ox .
Задача 9. Найти координаты центра тяжести
площади,
ограниченной
параболами
y 2  4 x  4, y 2  2 x  4 .
20