МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физический факультет
Кафедра радиофизики, полупроводниковой микро- и наноэлектроники
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
_____________В.П. ГАРЬКИН
«____»_______________ 2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
основная образовательная программа специальности 010701.65 – Физика»
(цикл «Общие математические и естественнонаучные дисциплины»;
раздел «Федеральный - компонент»)
Квалификация выпускника
Специалист
Форма обучения
Очная
Курс - 3, семестр - 5
Самара
2012
1
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования специальности 010701 Физика,
утвержденного 17.03.00.(номер государственной регистрации 172 ен/сп) и типовой
(примерной) программы дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика», одобренной Советом по физике УМО по классическому университетскому
образованию.
Составитель рабочей программы: к.ф.-м.н., профессор Зайцев В.В.
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Трещев В.М.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры радиофизики,
полупроводниковой
микро-
и
наноэлектроники
(протокол
№
от
«____»____________2012 года)
Заведующий кафедрой
«____»_________________2012 года _____________________ ЯРОВОЙ Г.П.
СОГЛАСОВАНО
Декан факультета
«____»_________________2012 года ___________________ ИВАХНИК В.В.
СОГЛАСОВАНО
Начальник методического отдела
«____»_________________2012 года ___________________ СОЛОВОВА Н.В.
ОДОБРЕНО
Председатель
методической комиссии факультета
«____»_________________2012 года ___________________ ЦИРОВА И.С.
2
1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню
освоения содержания дисциплины
1.1. Цели и задачи изучения дисциплины
Цель дисциплины  сформировать представления о вероятностных методах
описания физических явлений и моделирования физических процессов, а также
выработать навыки вероятностно-статистического анализа процессов и статистической
обработки результатов эксперимента.
Задачи дисциплины:

рассмотреть соотношение динамических и статистических закономерностей
в окружающем мире, показать роль вероятностных законов в физике;

определить основные положения, логическую структуру и взаимосвязи
теории вероятностей, математической статистики и теории случайных
процессов;

изложить основные методы вероятностного анализа физических явлений и
процессов, а также методы статистической обработки экспериментальных
данных;

дать введение в методологию построения вероятностных и стохастических
моделей физических систем.
1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной
дисциплины
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны знать:

классификацию случайных явлений;

основные понятия теории вероятностей, математической статистики и
теории случайных процессов;

основные теоретические положения дисциплины (зависимости, формулы,
теоремы);

свойства вероятностных и статистических характеристик случайных
величин и процессов.
Студенты должны уметь:

выбирать адекватный способ вероятностного описания физического
явления;

применять методы теории для расчета и анализа характеристик случайных
величин и случайных;

применять методы статистической обработки данных;

разрабатывать вероятностные и стохастические модели исследуемых
физических явлений, процессов и систем.
1.3. Связь с предшествующими дисциплинами
Теоретические разделы курса основаны на материале дисциплин:

«Математический анализ»;

«Дифференциальные уравнения».

«Численные методы и математическое моделирование».
1.4. Связь с последующими дисциплинами
Изложенные в курсе вероятностные и статистические методы используются при
изучении дисциплин:
3




«Термодинамика»;
«Статистическая физика»;
«Квантовая механика»;
дисциплины специализации.
2. Содержание дисциплины
2.1. Объем дисциплины в виде учебной работы (в часах)
Очная форма обучения, 5 семестр – зачет.
Вид учебных занятий
Всего часов аудиторных занятий
Лекции
Семинары
Лабораторные занятия
Всего часов самостоятельной работы
Подготовка к семинарским занятиям
Подготовка к лекциям
Всего часов по дисциплине
Количество часов
48
32
16
—
32
24
8
80
2.2. Разделы дисциплины и виды занятий
№
п\п
1.
2.
3.
4.
5.
Название раздела дисциплины
Случайные события. Вероятность
Случайные величины
Совокупности случайных величин
Основы математической статистики
Случайные процессы
Итого
Количество лек. часов
6 часов
8 часов
4 часа
6 часов
8 часов
32 часа
2.3. Лекционный курс
ВВЕДЕНИЕ. Детерминированные и вероятностные модели физических систем.
ТЕМА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ
1. Событие – качественная характеристика эксперимента. Определение случайного
события. Невозможное и достоверное события. Несовместные случайные события.
2. Частота события. Устойчивость частот событий при большом числе опытов.
Определение вероятности. Свойства вероятностей.
3. Аксиомы теории вероятностей. Связь частотного и аксиоматического подходов к
определению вероятности.
4. Вычисление вероятностей. Равновозможные исходы опыта. Схема случаев.
5. Условная частота. Умножение частот. Условная вероятность. Вычисление условной
вероятности в схеме случаев. Вероятность совместного появления двух и более
событий.
6. Независимые случайные события.
7. Вероятности сложных событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
8. Пуассоновская последовательность событий. Условия реализации пуассоновской
последовательности. Уравнения для вероятностей различного числа событий.
Распределение Пуассона. Среднее число и дисперсия числа событий. Средняя частота
появления событий.
4
ТЕМА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1. Определение случайной величины. Значения случайной величины. Дискретные и
непрерывные случайные величины.
2. Вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в заданный
интервал. Плотность вероятности случайной величины. Свойства плотности
вероятности. Функция распределения случайной величины. Плотность вероятности
дискретной случайной величины
3. Статистическое усреднение. Начальные и центральные моменты случайной величины.
Среднее значение (математическое ожидание). Дисперсия. Связь дисперсии с
начальными моментами. Формализм угловых скобок.
4. Равномерно распределенная случайная величина. Ошибка квантования числа
цифровой системой. Усечение и округление. Дисперсия ошибки квантования.
5. Характеристическая функция случайной величины. Связь характеристической
функции и плотности вероятности. Моментное разложение характеристической
функции. Разложение логарифма характеристической функции в ряд Тейлора.
Кумулянты. Связь моментов и кумулянтов низших порядков.
6. Характеристическая функция и плотность вероятности нормально распределенной
(гауссовой) случайной величины. Ширина гауссовой кривой. Моменты нормально
распределенной случайной величины. Функция распределения.
7. Функции случайных величин. Преобразования плотностей вероятности при
функциональных преобразованиях случайных величин.
ТЕМА 3. СОВОКУПНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Совокупность двух случайных величин. Совместная плотность вероятности и ее
свойства. Характеристическая функция совокупности случайных величин. Обобщения
на многомерные случайные величины.
2. Условные
плотности
вероятности.
Умножение
плотностей
вероятности.
Статистически независимые случайные величины. Умножение математических
ожиданий независимых величин.
3. Совместные моменты совокупности случайных величин. Корреляция, коэффициент
корреляции. Некоррелированность и статистическая независимость. Условные
моменты совокупности двух случайных величин. Формула полного математического
ожидания.
4. Гауссова совокупность двух случайных величин. Двумерная нормальная плотность
вероятности. Независимость и некоррелированность гауссовых случайных величин.
5. Функциональные преобразования совокупностей случайных величин. Формула
преобразования многомерных плотностей вероятности.
6. Распределение суммы статистически независимых случайных величин. Предельные
теоремы теории вероятностей.
7. Физические распределения. Распределение Релея. Распределение Максвелла по
скоростям.
ТЕМА 4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1. Математическая статистика – инструмент обработки результатов эксперимента.
Статистические характеристики и их оценки.
2. Виды вероятностной сходимости. Сходимость в среднем квадратическом и
сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Связь между разными видами
сходимости.
3. Оценки характеристик случайных величин. Критерии качества оценок:
несмещенность, состоятельность, эффективность.
5
4.
5.
6.
Выборочное среднее – оценка математического ожидания (статистического среднего).
Несмещенность и состоятельность выборочного среднего.
Выборочная дисперсия. Смещение выборочной дисперсии. Несмещенная оценка
дисперсии. Состоятельность оценок.
Гистограммная оценка плотности вероятности. Проверка статистических гипотез.
Критерий хи-квадрат.
ТЕМА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
1. Случайный процесс: определение, математическая модель. Реализация случайного
процесса. Ансамбль реализаций.
2. Многомоментные (многомерные) плотности вероятности случайного процесса.
Характеристические функции.
3. Классификация случайных процессов. Стационарность процесса в широком и узком
смысле
(слабая
и
строгая
стационарность).
Эргодические
процессы.
Квазидетерминированные процессы. Совершенно случайные процессы.
4. Моментные функции случайных процессов. Корреляционная и ковариационная
функции.
5. Спектрально-корреляционная теория стационарных случайных процессов (ССП).
Спектр случайного процесса. Несостоятельность спектральной оценки ССП методом
преобразования Фурье. Корреляция спектральных составляющих ССП. Спектральная
плотность мощности. Формулы Винера–Хинчина. Преобразования спектров ССП
линейными системами.
6. Примеры ССП. Гармоническое колебание со случайной начальной фазой. Случайный
телеграфный сигнал с пуассоновской статистикой переходов. Квазигармоническое
колебание с пуассоновской последовательностью переключений фазы. Однородное
уширение спектральной линии. Белый шум. «Цветные» шумы.
7. Марковские случайные процессы. Плотность вероятности перехода. Определение
марковского процесса. Марковские процессы и динамические системы. Уравнение
Колмогорова–Чепмена. Кинетическое уравнение марковского процесса. Непрерывные
марковские процессы. Уравнение Фоккера–Планка (УФП). Граничные и начальные
условия для УФП. Стационарные решения УФП.
8. Стохастические дифференциальные уравнения (уравнения Ланжевена). Связь
стохастических дифференциальных уравнений с УФП.
2.4. Практические (семинарские) занятия
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Тема занятия
Вычисление вероятностей. Схема случаев
Вероятности сложных событий. Формула полной
вероятности. Формула Бейеса
Плотность вероятности случайной величины. Функция
распределения. Характеристическая функция
Статистическое усреднение. Моменты случайной величины.
Среднее значение. Дисперсия
Функциональные преобразования случайных величин и
совокупностей случайных величин
Выборочные оценки характеристик случайных величин
Спектрально-корреляционная теория стационарных
случайных процессов
Уравнение Фоккера–Планка (УФП). Граничные и начальные
условия для УФП. Стационарные решения УФП
Количество
часов
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2.5. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум не предусмотрен.
3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
3.1. Контрольные работы
№ Тематика контрольных работ
п/п
1. Случайные события.
вероятность
2. Функциональные
преобразования случайных
величин и совокупностей
случайных величин
3. Спектрально-корреляционные
характеристики случайных
процессов
Сроки проведения
Темы дисциплины
3-й семинар
1
6-й семинар
2, 3
8-й семинар
5
3.2. Комплекты тестовых заданий
 Комплект тестовых заданий по основным темам курса.
3.3. Самостоятельная работа:
Перечень тем и вопросов, выделяемых на самостоятельную проработку (с
отчетностью на экзамене)
1. Тема 3 вопрос 4.
2. Тема 4, вопрос 2.
3.3.1. Поддержка самостоятельной работы (сборники тестов, задач, упражнений и
др.)
Задачи и упражнения из задачника:
Гмурман В.Г. Руководство к решению задач по теории вероятностей. – М.:
Высш. школа, 2004.
3.3.2. Тематика рефератов
Написание рефератов по курсу не предусмотрено.
3.4. Балльно-рейтинговая система
В ходе изучения курса предусмотрено проведение самостоятельных и контрольных
работ, каждая из которых оценивается от 2 до 5 баллов. Участие студента в практическом
занятии - от 5 до 10 баллов. Таким образом, в процессе обучения каждый студент
набирает сумму баллов, что позволяет оценить итоговый уровень знаний студента.
Оценке «отлично» соответствует от 80 до 100 рейтинговых баллов, означающих,
что теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые
компетенции и практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все
предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество их
выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному.
Оценке «хорошо» соответствует от 60 до 79 баллов, означающих, что
теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов; необходимые
компетенции сформированы; некоторые практические навыки работы с освоенным
материалом сформированы недостаточно; все предусмотренные программой обучения
7
учебные задания выполнены; качество выполнения ни одного из них не оценено
минимальным числом баллов, некоторые виды заданий выполнены с ошибками.
Оценке «удовлетворительно» соответствует от 40 до 59 баллов, означающих, что
теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного
характера, необходимые компетенции сформированы, необходимые практические навыки
работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство
предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые из
выполненных заданий, возможно, содержат ошибки.
Оценке «неудовлетворительно» соответствует 39 и менее баллов, означающих, что
теоретическое содержание курса не освоено, необходимые компетенции не
сформированы, необходимые практические навыки работы не сформированы,
выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная
самостоятельная работа над материалом курса не приведет к существенному повышению
качества выполнения учебных заданий.
Итоговый контроль проводится в виде зачета. Зачет проводится в 5 семестре. Если
сумма набранных баллов 60 баллов и выше, то студент получает зачет автоматически.
4. Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ
Использование ЭВМ на лекционных занятиях для демонстраций с
последовательностями выборочных значений случайных величин и случайных процессов.
5. Активные методы обучения
Решение задач по расчету вероятностей случайных событий,
статистических характеристик случайных величин и случайных процессов.
аналиху
6. Материальное обеспечение дисциплины
Персональные компьютеры.
7. Литература
Основная (одновременно изучают дисциплину 50-55 студентов)
1. Гмурман В.Г. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. –
М.: Высшая школа, 2002, 2003. (122 экз.)
2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.– 2-е изд. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2002 (гриф Минобразования). (2 экз.).
3. Гмурман В.Г. Руководство к решению задач по теории вероятностей. – М.:
Высш. школа, 2004 (116 экз.)
7.2. Дополнительная
1. Розанов Ю.А. Случайные процессы. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979 (гриф
Минобразования). (10 экз.)
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – 6-е изд. – М.: Эдиторал УРСС, 2001 (гриф
Минобразования).
3. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.:Наука, 1989 (гриф Минобразования).
4. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
5. Ветцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Академия
Издательский Центр, 2003.
6. Ветцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.:
Высш. школа, 2003 (гриф Минобразования).
8
7.3. Учебно-методические материалы по дисциплине
1. Учебно-методический комплекс по дисциплине "Теория вероятностей
математическая статистика". СамГУ. Кафедра РФ и ПМНЭ.2012.
и
9