1.6. процессы переноса

1.6. Процессы переноса
1.6.1.Средняя длина пробега молекул гелия при нормальных условиях
равна   1,8 107 м . Определить коэффициент диффузии гелия D.
Решение
1. Определим среднюю арифметическую скорость молекул гелия
при нормальных условиях р = 10 5 Па, Т = 273 К
8RT
8  8,3  273
м
(1)

 1200 .
3

3,14  4 10
с
2. Подставим значение средней арифметической скорости в уравнение для коэффициента диффузии
1
м2
D  v   0,33 1200 1,8 10 7  7,2 10 5
.
(2)
3
с
v 
1.6.2. Диффузия кислорода при температуре Т = 273 К равна D =
1,910 5 м2/с. Определить при заданных условиях длину свободного пробега молекул.
Решение
1. Определим среднюю арифметическую скорость молекул кислорода при заданной температуре и молярной массе  = 3210 3 кг/моль
8RT
.
(1)

2. Запишем далее уравнение для коэффициента диффузии и решим
его относительно средней длины свободного пробега
v 
D
1
3D

3,14  32 10 3
м2
v  ,  
 3D
 6 10 5
 1,4 10 7
3
v
8RT
66 ,4  273
с
1.6.3. Определить отношение коэффициентов диффузии в двух состояниях азота N2: при нормальных условиях и при давлении р =100 Па
с температурой Т = 300 К.
Решение
1.Для азота, находящегося в нормальных условиях уравнение коэффициента диффузии можно записать следующим образом
94
1 8RT1
1
,
(1)

3 
2d 02 n 1
где n1 концентрация молекул азота при нормальных условиях,  молярная масса азота, d0 эффективный диаметр молекулы.
2. Выразим концентрацию n1 через давление
p
(2)
p  nk B T,  n 1  1 .
k B T1
3. Подставим значение концентрации молекул из уравнения (1) в
уравнение (2)
D1 
k B T1
1 8RT1
.
(3)

3 
2 d 02 p1
4. Запишем по аналогии с уравнением (3) соотношение для коэффициента диффузии для второго, заданного по условию задачи, состояния
k B T2
1 8RT2
.
(4)
D2 

3 
2d 02 p 2
D1 
5. Найдём отношение D1/D2
D1

D2
T13  p 2
T23  p1
273 3 100

300 3 10 5
 8,8 10 4 .
(5)
1.6.4. Найти отношение коэффициентов диффузии D1 газообразного кислорода О2 и газообразного водорода Н2, находящихся в одинаковых условиях.
1. Воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи
D1 
1 8RT
1
,

3  1
2 d12 n
D2 
1 8RT
1

,
3  2
2 d 22 n
(1)
где 1, 2 молярная масса кислорода и водорода, соответственно, d1, d2
эффективные диаметры молекул этих газов.
2. Найдём отношение коэффициентов диффузии
1  d12
D2


D1
 2  d 22
32 10 3  9 10 10
2 10 3  6,25 10 10
 5,8 .
(2)
1.6.5. Определить зависимость коэффициента диффузии D от
температуры Т при изобарном изменении состояния. Привести качественный график зависимости.
95
Решение
1. Воспользуемся уравнением коэффициента диффузии, в котором концентрация молекул газа выражена через
давление, коэффициент Больцмана и
температуру, уравнение (3) задачи 1.6.3
k BT
1 8RT
D

 С  T 3 , (1)
2
3 
2d 0 p
10
D
9
8
7
6
5
4
3
2
где С комбинация постоянных величин,
входящих в уравнение (1).
2. Построим далее в относительных
1
T
0
1
2
3
4
5
единицах график зависимости D . Т 3 .
1.6.6. Определить зависимость коэффициента диффузии D от
температуры Т при изохорном изменении состояния. Привести качественный график зависимости.
Решение
D
3
2
1. Постоянство объёма и массы
вещества обуславливает низменность
концентрации молекул, таким образом, в уравнении коэффициента диффузии
D 
1
1 8RT
1

,
3 
2 d 02 n
(1)
переменной величиной является только температура.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 T
2. Коэффициент диффузии пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры
0
DC T.
(2)
1.6.7. Определить зависимость коэффициента диффузии D от
температуры Т при изобарном изменении состояния. Привести качественный график зависимости.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи, выразив концентрацию молекул n через давление р и температуру Т
96
p  nk B T,  n 
D
1 8RT
3 
D
p
,
k BT
(1)
14
k BT
D  C T3
12
.
(2)
2d 02 p
2. В уравнении (2) переменной величиной является только температура Т,
потому его можно представить следующим образом
8
4
0
6 T 8
2
4
D  C T3 ,
(3)
т.е. коэффициент диффузии в изобарном процессе пропорционален корню квадратному из куба температуры.
1.6.8. Получить график зависимости коэффициента диффузии кислорода D от температуры Т в интервале температур
100 ≤ Т ≤ 1000 К при постоянном давлении p = const = 0,1
МПа.
100
60
D10 , м / с
40
20
D  9,4 10-9 T3
10
Решение
1. Для получения графической зависимости D  f(T) воспользуемся
уравнением
(3)
предыдущей задачи, определив
предварительно численное значение коэффициента С
С
1 8R
3 
kB
2d 02 p

7
5
3
2
T, K
1,0
100
200
300
400
500
700
1000
1
8  8,3
1,4 10 23
м2
9
,

9
,
4

10
3 3,14  32 10 3 1,41  9 10 20 10 5
с К3
D  9,410-9 T 3 .
(1)
1.6.9. Во сколько раз изменится коэффициент диффузии молекул
кислорода, находящихся в закрытом объёме, если количество молекул и
температуру увеличить в четыре раза?
Решение
1. Увеличение числа молекул в четыре раза при фиксированном объ97
ёме приведёт к пропорциональному увеличению концентрации молекул.
Уравнения для коэффициентов диффузии молекул газа в заданных
условиях, с учётом уравнения (1) задачи 1.6.6 можно записать следующим образом
D1 
1 8RT
1

3 
2 d 02 n
D2 
1 8R 4T
1

,
3

2 d 02 4n
(1)
2. Отношение коэффициентов диффузии, таким образом, определится соотношением
D2

D1
4T 4n
8.
T n
(2)
1.6.10. Азот N2, находящийся в закрытом объёме подвергли мгновенному нагреву, увеличив температуру в 100 раз, так что половина
молекул распалась на атомы. Во сколько раз, при этом, изменился коэффициент диффузии газа?
Решение
1. Если в первоначальном состоянии количество молекул обозначить
через N, то после диссоциации молекул, количество частиц станет равным 1,5 N, другими словами, концентрация частиц увеличится в 1,5 раза.
2. Уравнения коэффициентов диффузии (1) предыдущей задачи
можно переписать следующим образом
D1 
1 8RT
1

,
3 
2 d 02 n
D2 
1 8R 100  T
1

.
3

2 d 02 1,5n
(1)
2. Изменение коэффициента диффузии представится следующим
образом
D2
100

 6,7 .
D1
1,5
(2)
1.6.11. Определить динамическую вязкость  кислорода О2, находящегося при температуре Т =273 К и давлении р = 0,1 МПа.
Решение
1. Коэффициент динамической вязкости идеального газа определяется уравнением
1
  v  ,
(1)
3
98
где  плотность газа,  v  средняя арифметическая скорость,  
средняя длина свободного пробега молекул.
2. Плотность газа  определим из уравнения Клайперона Менделеева
m
m RT
p
.
(2)
pV  RT , p 
, 

V 
RT
3. Подставим в уравнение (1) значение плотности, средней арифметической скорости и средней длины свободного пробега
1 p 8RT
1
.
(3)


3 RT

2d 02 n
4. Заменим далее значение концентрации n, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.6.7
k BT
kB
1 p 8RT
1 8T
.
(4)





2
3 RT

2 d 0 p 3 R
2d 02

5. Подставим в уравнение (4) следующие значения параметров кислорода  = 3210 3 кг/моль, d0 = 2,210 10м

1 8  32 10 3  273
1,4 10 -23

 3,6 10 5 Па  с .
-20
3
26
4,4  4,84 10
(5)
1.6.12. Определить среднюю длину свободного пробега    молекул
азота N2, находящегося в нормальных условиях, если его динамическая
вязкость равна  = 17 мкПас.
Решение
1. Преобразуем уравнение (3) предыдущей задачи к следующему
виду

1 p 8RT

  ,
3 RT

(1)
откуда
3 RT
.
(2)
p
8
2. Подставим в уравнение (2) заданные параметры: Т = 273 К,  =
2810 3 кг/моль, р = 10 5 Па
3 RT 3 17 10 6 3,14  8,3  273
(3)
 

 9 10 8 м .
p
8
10 5
8  28 10 3
 
99
1.6.13. Найти динамическую вязкость гелия при нормальных условиях, если коэффициент диффузии равен D = 110 4 м2/с.
Решение
1. Запишем уравнения для коэффициентов динамической вязкости и
диффузии
1
1
  v  , D v  .
(1)
3
3
2. Сравнение уравнений (1) даёт основание записать следующую
зависимость для коэффициента динамической вязкости
  D .
(2)
3. Плотность гелия ( = 410 3 кг/моль) определим из уравнения
Клайперона Менделеева
m RT
p
.
(3)
p
,  
V 
RT
4. Подставим значение плотности из уравнения (3) в уравнение (2)
p
10 5  4 10 3
(4)
D
 110 4 
 1,7 10 5 Па  с .
RT
8,3  273
1.6.14. Определить зависимость динамической вязкости  от температуры Т при изобарном процессе. Зависимость представить графически.
Решение
1. Запишем уравнение коэффициента динамической вязкости
1
1 p 8RT
1
p 8RT  2
  v  



  ,
2
2
3
3 RT

2 d 02 n 3 R T 
(1)
8
1
.
,  
RT
T
2. Таким образом, коэффициент 
динамической вязкости в изобарном
процессе пропорционален единице, 0,8
делённой на корень квадратной из абсолютной температуры. На рисунке в
относительных единицах приведена 0,6
зависимость  = f(T)/

(2)
0,4
1
100
3
5
7
9 T
1.6.15. Определить зависимость динамической вязкости  от температуры Т при изохорном процессе. Зависимость представить графически.
Решение
1. При V = сonst концентрация 
частиц остаётся тоже постоянной, 3
поэтому, давление в уравнении
плотности (3) предыдущей задачи
целесообразно записать следую- 2
щим образом
p nk B T nk B 
1



. (1)
RT
RT
R
2. Запишем уравнение для коэффициента динамической вязко- 0
5
3
9 T
1
7
сти, подставив туда значения
плотности , средней арифметической скорости  v  и средней длины
свободного пробега 

1 nk B T 8RT
3 RT

1

1 k B 8RT
3 R

1
,
(2)
2d n
2d 02
из полученного уравнения (2) видно, что коэффициент динамической
вязкости при изохорном процессе пропорционален корню квадратному
из температуры, т.е.  
2
0
T.
1.6.16. Установить зависимость коэффициента динамической вязкости  от давления р при изотермическом процессе.
Решение
1. В данном случае целесообразно воспользоваться уравнением (1)
задачи 1.6.14
1 p 8RT
1
,
(1)


3 RT

2d 02 n
выразив концентрацию частиц тоже через давление
p
n
.
(2)
k BT
2. Подставим значение концентрации n из уравнения (2) в уравнение
для коэффициента динамической вязкости (1)

101
k BT
1 p 8RT
.
(3)


3 RT

2d 02 р
3. Из уравнения (3) следует, после сокращения на р, что коэффициент динамической вязкости не зависит от давления.

1.6.17. Установить зависимость коэффициента динамической вязкости  от давления р при изохорном процессе .Зависимость изобразить графически.
Решение
1. Запишем уравнение для коэффициента динамической вязкости в
форме уравнения (3) предыдущей задачи
k BT
1 p 8RT
1  8RT k B
.
(1)




2
3 RT

2d 0 р 3 R 
2d 02
2. Выразим далее переменную в данном случае величину Т из уравнения Клайперона Менделеева
pV

pV  RT,  T 
(2)
3
R
и подставим это значение в уравнение (1)
2

1
0
1
3R
8pV

kB
2 d 02
.
(3)
3. Таким образом   p . Каче-
1
3
5
7
ственный график зависимости  =
f(p) приведён на рисунке.
9 p
1.6.18. Определить коэффициент динамической вязкости  и коэффициент диффузии D воздуха, находящегося при нормальном давлении
и температуре t = 10 0С. Диаметр молекул воздуха принять равным d0
 310 10 м.
Решение
1.Определим коэффициент диффузии молекул воздуха
D
1
1 8RT
v  
3
3 
k BT
 2 10 5
м2
.
с
(1)
2d 02 p
2. Определим далее коэффициент динамической вязкости, выразив
плотность воздуха из уравнения Клайперона Менделеева
102
1
p
10 5  3 10 2
   v   D 
D
 2 10 5  2,55 10 5 Па  с .
3
RT
8,3  283
(2)
1.6.19. Имеются два известных идеальных газа, находящиеся в одинаковых условиях. Определить соотношение их коэффициентов динамической вязкости.
Решение
1. Введём следующие обозначения: молярные массы газов обозначим 1,2, эффективные диаметры молекул d1,d2. Коэффициенты динамической вязкости газов определяться следующими уравнениями
1 
1 p1
3 RT
8RT
 1
k BT
2 
,
1 p 2
3 RT
8RT
 2
k BT
(1)
2d p
2 d 22 p
2. Внесём молярные массы под корень и поделим уравнения (1) друг
на друга
2
1
2
d 
  2  .
(2)
 d1 
Таким образом, при прочих равных условиях динамическая вязкость
газов зависит от их молярных масс и эффективных диаметров молекул.
1

2
1
2
1.6.20. Заданы коэффициент динамической вязкости газа  и коэффициент диффузии молекул D. Найти концентрацию молекул n.
Решение
1. Как было показано в задаче 1.6.18, коэффициент динамической
вязкости и коэффициент диффузии связаны соотношением

  D,    .
(1)
D
2. Преобразуем далее уравнение плотности следующим образом
m
N N NN A N A
 ,
.
(2)
n 


V
V m
N

3. Подставим в уравнение (2) значение плотности из уравнения (1)
N A
.
(3)
n
D
1.6.21. Цилиндр радиусом R1 = 0,1 м и длиной l = 0,3 м на одной оси
располагается внутри другого цилиндра радиусом R2 = 0,105 м. Малый
цилиндр неподвижен, большой вращается вокруг геометрической оси с
103
постоянной частотой n = 15 с 1. В пространстве между цилиндрами
находится газ с коэффициентом динамической вязкости  = 8,5 мкПа.
Определить касательную силу F , действующую на поверхность внутреннего цилиндра площадью s = 1 м2 и приложенный к нему вращательный момент M(F ).
Решение
1. Касательную силу, обусловленную эффектами вязкости, определим, воспользовавшись уравнением
2nR 2
dv
v
F   s  
s
s
dz
z
R 2  R1
.
(1)
6 6,28  15  0,105
2
 8,5 10
 1,68 10 H
5 10 3

2. На внутренний неподвижный цилиндр
F
действует пара сил, которые приложены в
диаметрально противоположных точках
2R
неподвижного цилиндра. Модуль момента
пары сил определяется в виде произведения
модуля одной из сил на кратчайшее расстоF
яние между линиями действия сил
MF   F 2R 1  1,68 10 2  0,2  3,36 10 3 Н  м
1
1.6.21. Два горизонтальных диска радиусами R = 0,2 м расположены
друг над другом так, что их оси совпадают. Расстояние между дисками d = 510 3 м. Верхний диск неподвижен, а нижний вращается с постоянной угловой скоростью  = 62,8 рад/с. Между дисками находится воздух с коэффициентом динамической вязкости  = 1,7210 5 Пас.
Определить вращающий момент, приложенный к неподвижному диску.
Решение
1. Запишем уравнение касательной силы, возникающей вследствие
эффектов внутреннего трения воздуха о поверхности диска
dv
v
R
F   s  
s
R 2 .
(1)
dz
d
d
2. На неподвижный диск будет действовать пара сил, приложенных
в диаметрально противоположных точках обода неподвижного диска
2 2 R 4
20  62 ,8 1,6 10 3
MF   F  2R  
 1,72 10 5
 7 10 3 H  м . (2)
d
5 10 3
104
1.6.22. В ультраразреженном азоте, находящимся при давлении р =
1 мПа и температуре Т = 300 К, движутся друг относительно друга
две параллельные пластины со скоростью u = 1 м/с. Расстояние между
пластинами не изменяется и много меньше средней длины свободного
пробега молекул. Определить силу внутреннего трения, действующую
на пластины, если их площадь s = 1 м2.
Решение
1. Запишем уравнение силы внутреннего трения F
dv
F   s ,
(1)
dz
в которое входит неизвестный коэффициент динамической вязкости.
2. Определим далее коэффициент динамической вязкости, воспользовавшись уравнением (3) задачи 1.6.16
k BT
kB
1 p 8RT
1 T
.
(2)




2
3 RT

2 d 0 р 3 R
2 d 02
3. Поскольку расстояние между пластинами на много меньше средней длины свободного пробега молекул ультраразреженного газа, то
можно принять, что z   ,

z   
где 
k BT
2 d 02 p
,
(3)
средняя длина свободного пробега молекул газа.
4. Подставим значения z и  в уравнение (1)
2 d 02 p
kB
u
1 T
F   s 


 u s ,
z
3 R
k BT
2d 02
(4)
после преобразований получим
F 
1

28 10 3
pus  0,33
10 3 11  6,3 10 7 H .
3 RT
3,14  8,3  300
(5)
1.6.23. В разреженном газе с постоянной скоростью v движется
шар радиуса r. Концентрация молекул газа n, масса одной молекулы m0,
тепловые скорости молекул значительно меньше скорости шара.
Определить силу сопротивления, действующую на шар.
Решение
1. Действующая со стороны газа на шар сила вызвана эффектами
внутреннего трения.
105
v
s.
(1)
z
2. По условию задачи скорость шара во много раз больше средней
арифметической скорости теплового движения молекул. Поэтому в первом приближении можно считать, что шар движется в неподвижной
газовой среде, причём при соприкосновении с поверхностью шара молекулы изменяют свою скорость от нуля до v, поэтому v  v, а z 
 , т.е. длине свободного пробега.
3. Определим коэффициент динамической вязкости разреженного
газа
1
1
  v   m 0 nv  .
(2)
3
3
3. Подставим значение  в уравнение (1)
1
v
F  m 0 nv 
s,
(3)
3

F
где s = r2 площадь поперечного сечения шара.
4. Окончательное уравнение силы, действующей на шар примет следующий вид
1
F  m 0 nv 2 r 2 .
(4)
3
1.6.24. В разреженном газе с молярной массой  движется в
направлении своей оси диск радиуса r с постоянной скоростью v, которая много меньше средней арифметической скорости теплового движения. Определить силу, действующую на диск со стороны газа, если
известны величина давления р и температуры Т.
Решение
1. Определим коэффициент динамической вязкости газа
1
1 p 8RT
1
8
(1)
  v  
  p
 .
3
3 RT 
3 RT
2. Изменение скорости молекул происходит на расстоянии равном
средней длине свободного пробега молекул. Так как скорость диска
меньше скорости движения молекул, то при попадании молекул на поверхность диска их скорость будет нулевой, другими словами,
1
8 v

F p
 r 2  1,67 pvr 2
.
(2)
3 RT 
RT
106
1.6.25. В разреженном газе с молярs
v
ной массой  движется пластина. Оценить, какую силу необходимо прикладывать к пластине в направлении движения, чтобы её скорость v была постоянной. Площадь пластины s, давление разреженного газа р, температура Т.Скорость пластины мала
по сравнению со скоростью средней арифметической скоростью теплового движения молекул.
Решение
1. Движение пластины в разреженном газе будет замедленным, потому что вследствие эффектов внутреннего трения часть кинетической
энергии будет расходоваться на совершение работы против силы внутреннего трения. Чтобы движение стало равномерным необходимо прикладывать в направлении движения силу, равную по модулю силе внутреннего трения.
2. Силу, обусловленную эффектами вязкости, определим, воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи, с учётом того, что сила
внутреннего трения будет приложена к двум поверхностям пластины,
перпендикулярным направлению вектора скорости
1
8 v

.
F p
 2s  psv
3 RT 
RT
(1)
1.6.26. Дождевая капля радиусам r = 1,5 мм падает вертикально в
воздушной среде при температуре воздуха Т = 300 К и нормальном атмосферном давлении. Диаметр молекул воздуха составляет d0 = 310 10
м. При решении считать, что справедлив закон Стокса. Оценить максимальную скорость капли.
Решение
1. Ускоренное движение дождевой капли происходит под действием
двух, противоположно направленных сил: силы тяжести и силы сопротивления, возникающей вследствие вязкости воздуха
ma 
i 2
 F,
ma y  mg  F .
(1)
i1
2. Максимальной скорости капля достигнет в момент, когда сила
тяжести станет равной силе сопротивления
4 3
r g  6 v max r ,
(2)
3
107
где  = 103 кг/м3 плотность воды, g ускорение свободного падения, 
коэффициент динамической вязкости воздуха, vmax максимальная скорость дождевой капли.
3. Определим коэффициент динамической вязкости воздуха, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.6.24
1
1 p
  v  
3
3 RT

1 8T
3 R
kB

8RT
1
8
  p

3 RT
k BT
2d 02 p
,
3
110 23

 2 10 5 Па  с
3 3,14  9 10 20
(3)
2d 02
4. Разрешим уравнение (2) относительно максимальной скорости с
учётом значения коэффициента динамической вязкости
2gr 2 2 10 4  2,25 10 6
(4)
v max 

 222 м / с .
9
9  2 10 5
5. Следует отметить, что полученная величина скорости предполагает ламинарное обтекание сферической капли, т.е. без вихреобразования.
Ситуация значительно отличается от реальной, по сути, в данной задаче
не учитывается зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления капли от скорости, которая будет иметь степенной вид.
1.6.27. В аэродинамической трубе продувается модель крыла самолёта со скоростью потока воздуха v = 200 м/с. Пограничный слой у
крыла, где наиболее сильно проявляются эффекты внутреннего трения,
составляет z = 0,02 м. Определить величину касательной силы F
действующую на единичную площадь крыла. Испытания проводятся
при температуре Т = 300 К.
Решение
1. В соответствии с законом Ньютона на единицу площади будет
приходиться величина касательной силы внутреннего трения
v
Fs  
.
(1)
z
2. Значение коэффициента динамической вязкости воздуха определён в предыдущей задаче уравнением (3), будем считать, что скорость
внутри пограничного слоя меняется линейно, от нуля на поверхности до
скорости обтекания на границе слоя, т.е. v = v,
200
(2)
Fs  2 10 5 
 0,2 Н / м 2 .
0,02
108
1.6.28. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено кислородом при
нормальном давлении р0 и температуре Т = 300 К.
Радиусы цилиндров соответственно равны r1 =
0,1 м и r2 = 0,105 м. Внешний цилиндр вращается с
постоянной угловой скоростью  = 95 рад/с. Какой момент нужно приложить к внутреннему
цилиндру, чтобы он не вращался? Длина цилиндров равна L = 0,4 м. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным d0 = 310-10 м.
v2
O
v
r1 1
r2
Решение
1. Молекулы кислорода, адсорбированные на поверхности вращающегося цилиндра, будут иметь скорость поверхности v2 = r2. На поверхности внутреннего цилиндра скорость будет нулевой v1 = 0.
2. Касательная сила, действующая на поверхность цилиндра, обусловлена внутренним трением и определяется законом Ньютона
v
F  
s,
(1)
z
где s = 2r1L площадь боковой поверхности внутреннего неподвижного
цилиндра, z = r2 – r1 = 0,005 м расстояние между поверхностями цилиндров, на котором происходит изменение скорости молекул по линейному закону.
3. Определим далее коэффициент динамической вязкости кислорода
при заданных условиях, воспользовавшись уравнением (3) задачи 1.6.26

1 8T
3 R
kB

1 8  32  10 3  300
1,4  10 23

 6,6  10 5 Па  с .(2)
3
3,14  8,3
1,41  3,14  9  10 20
2 d 02
3. Подставим полученные значения величин в исходное уравнение
касательной силы (1)
r2
95  0,105
F  
 2r1L  6,6 10 5
2  3,14  0,1 0,4  3,3 10 2 H . (3)
r2  r1
0,005
4. Момент, действующий на внутренний цилиндр, определится как
M 0 (F )  F r1  3,3 10 2  0,1  3,3 10 3 Н  м .
(4)
1.6.29. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиусами r1 = 5 см и r2 = 5,2 см заполнено газом. Внешний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью  = 38 рад/с. Для сохранения
неподвижности внутреннего цилиндра высотой L =0,2 м к нему приложили касательную силу F = 1,410 3 Н. Определить, используя эти
109
данные, величину коэффициента динамической вязкости  газа, заполняющего пространство между цилиндрами.
Решение
1. Коэффициент динамической вязкости выразим из закона Ньютона, определяющего силу внутреннего трения, используя уравнение (3)
предыдущей задачи
r
F   2  2r1L,
r2  r1
(1)
F  r  r 
1,4  10 3  0,002
5
  2 1 

2
,
2

10
Па

с
.
r2 2r1L 38  5,2  10 2  6,28  0,05  0,2
1.6.30. Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса r1 и r2 находится разреженный газ.
Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой
1
скоростью 1. Оценить угловую скорость вращения
внешнего цилиндра 2.
о
2
r1
Решение
r2
1. Наружный цилиндр раскручивается посредствам
вращающего момента, обусловленного силами внутреннего трения, величина которых определяется законом Ньютона.
2. В стационарном состоянии цилиндры будут вращаться с постоянными угловыми скоростями 1 и 2, что даёт основание считать, что
приложенные к ним касательные силы одинаковы, т.е.
v
v
 1 s1   2 s 2 ,  v1s1  v 2 s 2 ,
(1)
z
z
где s1 и s2 площади поверхностей коаксиальных цилиндров.
3. В данном случае: v1 = v1 = 1r1; 2 = v2 = 2r2; s1 = r1L; s2 = r2L.
Таким образом, уравнение (1) перепишется следующим образом
r
1 r1  r1 L  2 r2 r2 L,  1 r12  2 r22 ,  2  1  1
 r2
2

 .

(2)
1.6.31. Вычислить теплопроводность  гелия, находящегося при
нормальных условиях.
Решение
1. Запишем уравнение коэффициента теплопроводности в виде
110
1
1
8RT
  k Bn v   k Bn
3
3

1
.
(1)
2d 02 n
2. Примем следующие значения входящих в уравнение (1) величин:
d0 = 210 10 м;  = 410 3 кг/моль; Т = 273 К.
3. Упростим уравнение (1) и подставим значения входящих в него
величин

8RT k B

 3 2d 02
8  8,3  273
1,4 10 23
Вт
.
 0,1
3
20
3,14  4 10 4,23  4 10
мК
(2)
1.6.32. В приближённой теории явлений переноса взаимосвязь между коэффициентами теплопроводности и динамической вязкости описывается соотношением / = сV, где сV удельная теплоёмкость газа
при постоянном объёме. В более строгой теории соотношение представляется в виде / = КсV, где К = (9 - 5)/4 постоянный безразмерный коэффициент, определяемый значением показателя адиабаты.
Используя табличные данные коэффициента теплопроводности, найти
значение К для: 1) аргона Ar, 2) водорода H2, 3) кислорода O2, 4) паров
воды H2O.
Решение
1. Примем для сравнения следующие значения коэффициентов теплопроводности для заданных веществ в газообразном состоянии
№
Вещество
1
2
3
4
Аргон (Ar)
Водород (Н2)
Кислород (О2)
Пары воды (Н2О)
Динамическая вязкость , Пас
2,1510 5
8,6610 6
2,4410 5
8,3210 6
Теплопроводность ,
мВт/(мК)
16,2
24,1
24,4
15,8
2. Определим значение коэффициента К и показателя адиабаты  =
(i+2)/i, где i число степеней свободы молекулы
№
Вещество
1
2
3
4
Аргон (Ar)
Водород (Н2)
Кислород (О2)
Пары воды (Н2О)
Число
степеней
свободы i
3
5
5
6
111
Показатель
адиабаты 
Коэффициент К
1,67
1,4
1,4
1,33
2,51
1,9
1,9
1,74
3. Вычислим удельные теплоёмкости газов при постоянном давлении, воспользовавшись уравнением c V  iR / 2 :
3  8,3
Дж
 311,2
,
2  4 10 2
кг  К
5  8,3
Дж
 10375
водорода c V 
,
2  2 10 3
кг  К
5  8,3
Дж
 648,4
кислорода с V 
,
2  32 10 3
кг  К
6  8,3
Дж
 1383,3
паров воды с V 
.
2 18 10 3
кг  К
4. Определим значение безразмерного коэффициента К для заданных веществ, воспользовавшись уравнением / = КсV , откуда
K   (с V ) :
аргона c V 
16,2 10 3
 2,3 ,
2,15 10 5 103 ,75
24,110 3
для водорода К 
 1,9 ,
8,66 10 6 10375
24,4 10 -3
для кислорода К 
 1,88 ,
19,8 10 -6  650
15,8 10 3
для паров воды К 
 1,37 .
8,32 10 6 1383
для аргона K 
1.6.33. Коэффициент динамической вязкости воздуха, находящегося
в нормальных условиях равен  = 17,210 6 Пас. Определить коэффициент теплопроводности воздуха при тех же условиях.
Решение
1. Коэффициенты вязкости  и теплопроводности  связаны соотношением

(1)
 Kс V ,

где К = (9 5)/4 = 1,74 постоянный безразмерный коэффициент,  = (i +
2)/i = 1,33 показатель адиабаты, i = 6 число степеней свободы молекулы
воздуха, сV = iR/2 = 830 Дж/(кгК)
2. Выразим из уравнения (1) коэффициент теплопроводности и
определим его величину
  Kc V  17 ,2 10 6 1,74  830  24,8 10 2 Вт (м  К) .
(2)
112

3
1.6.34. Найти зависимость
теплопроводности  от температуры Т при изобарном процессе.
Зависимость изобразить графически.
2
1
Решение
1. Запишем уравнение для коэффициента теплопроводности 

0
1
1
p
8RT
k B n v   k B
3
3 k B T 
2
k BT
2d p
2
0
4

1 8RT
3 
6
kB
2 d 02
8
T
,
(1)
 T .
(2)
2. Коэффициент теплопроводности, таким образом, прямо пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры, на рисунке
приведена качественная зависимость.
1.6.35. Найти зависимость теплопроводности  от температуры Т
при изохорном процессе. Зависимость изобразить графически.
Решение
1. При изохорном процессе, V = const концентрация молекул газа
предполагается постоянной, поэтому уравнение коэффициента теплопроводности целесообразно следующим образом

1
8RT
k Bn
3

1

1 8RT
3 
kB
.
(1)
2d n
2 d 02
2. При изохорном процессе коэффициент, так же как и в предыдущей задаче прямо пропорционален корню квадратному из абсолютной
температуры. Качественная зависимость  = f(T) будет иметь такой же
вид, как и в предыдущей задаче.
2
0
1.6.36. Найти зависимость теплопроводности  от давления р при
изотермическом процессе.
Решение
113
1. Для анализа зависимости  = f(p) воспользуемся зависимостью (1)
задачи 1.6.34
1
1
p
8RT k B T
1 8RT k B
.
(1)
  k B n v   k B

2
3
3 k B T 
2d 0 p 3 
2 d 02
Как видно из приведенного уравнения, коэффициент теплопроводности
при постоянстве температуры не зависит от давления.
1.6.37. Найти зависимость теплопроводности  от давления р при
изохорном процессе. Зависимость
изобразить графически.

2
1
0
2
4
6

8
p
Решение
1. При постоянном объёме концентрация молекул газа n и его плотность  постоянны, уравнение коэффициента теплопроводности в этом
случае можно представить следующим образом
1
1 8RT
k Bn v  
3
3 
kB
,
(1)
2 d 02
преобразуем в последнем уравнении комбинацию величин RT посредствам уравнения Клайперона Менделеева
m RT
p
,
(2)
p
,  RT 
V 

где  плотность газа.
2. Подставим значение RT в уравнение (1)
1 8p k B
,
(3)

3  2d 02
т.е. коэффициент теплопроводности при постоянном объёме пропорционален корню квадратному из величины давления   p .
1.6.38. Построить график зависимости коэффициента теплопроводности водорода  от температуры в интервале температур 100 ≤
Т ≤ 600 К.
Решение
114
1. Запишем уравнение коэффициента теплопроводности в следующем виде


1 8RT
3 
1 8RT
3 
k BT
2d 02 p
k BT
2 d 02 p
cV 
cV
p
, (1)
RT
 , Вт/м К
0,08
0,07
0,06
2 k BcV
T
0,05
.
(2)
3 d 02
31  R
2. Подставим табличные зна- 0,04
чения величин в уравнение (2):  =
0,03
210 3 кг/моль, d0 = 2,810 10 м, сV =
iR/(2) = 10375 Дж/кгК

0,02
100
700
300
500
900 T, K
(3)
  0,0028 Т .
3. Составим таблицу расчетных значений коэффициента теплопроводности водорода Н2 и построим график зависимости  = f(T).
Т, К
100
300
500
700
900
1000
0,028
0,048
0,06
0,074
0,084 0,088
, Вт/мК
1.6.39. Углекислый газ СО2 и азот N2 находятся в одинаковых условиях. Определить отношение коэффициентов диффузии, коэффициентов динамической вязкости и коэффициентов теплопроводности, считая эффективные диаметры молекул одинаковыми.
Решение
1. Запишем уравнение для определения коэффициента диффузии
k BT
1 8RT
,
(2)
D

3 
2d 02 p
как видно, при прочих равных условиях, отношение коэффициентов
диффузии углекислого газа и азота будет определяться молярными массами
D(CO 2 )

D( N 2 )
( N 2 )

(CO 2 )
28 10 3
 0,8 .
44 10 3
(3)
2. Проанализируем далее уравнение коэффициента динамической
вязкости (см. задачу 1.6.28)
115

1 8T
3 R
kB
,
(4)
2 d 02
отношение коэффициентов динамической вязкости так же определяется
молярными массами
(СО 2 )
(СО 2 )
(5)

 1,25 .
(Т 2 )
( N 2 )
3. уравнение коэффициента теплопроводности можно представить
следующим образом
1
1 iR p 8RT k B T
,
(6)
  сV v  
3
3 2 RT 
2d 02 p
откуда очевидно, что
(СО 2 ) i(CO 2 ) ( N 2 )
6

  0,8  0,96 .
 (Т 2 )
i( N 2 ) (CO 2 ) 5
(7)
1.6.40 Расстояние между внутренними зеркальными стенками
термоса составляет h = 5 мм. До какой величины нужно довести давление во внутренней полости, чтобы теплопроводность воздуха начала
уменьшаться?. Температура окружающей среды составляет 300 К,
эффективный диаметр молекул воздуха принять равным d0 = 310 10м.
Решение
1. Термос представляет собой сосуд, теплоизолированный от внешней среды. Величина теплового потока через поверхность определяется
законом Фурье
T
q  -
s,
(1)
x
где T x градиент температуры, s площадь, расположенная перпендикулярно направлению теплового потока,  коэффициент теплопроводности прилегающей к стенке среды.
2. При прочих равных условиях величина теплового потока определяется коэффициентом теплопроводности и начнёт уменьшаться в том
случае, когда средняя длина свободного пробега молекул станет равной
расстоянию между стенками термоса, т.е. h  
h  
k BT
.
2 d 02 p
3. Разрешим далее уравнение (2) относительно давления
116
(2)
p
k BT
2 d 02 h

1,4 10 23  300
 2,2 Па .
4,2  9 10 20  5 10 3
117
(3)