Косинский Ю.И. Вывод основных соотношений между потенциальной и кинетической энергией термодинамической системы Основные соотношения статистической физики были получены при теоретическом исследовании взаимодействия между макроскопической системой и термостатом (метод Гиббса). При этом под макроскопическими понимались системы, построенные из большого числа частиц, которые в случае идеального газа обладают только кинетической энергией поступательного движения. Материальные тела и силы, ограничивающие движение частиц газа и объем исследуемых систем, в определение макроскопических систем не входят. В теории этим факторам отведена второстепенная роль или термостата или внешних параметров. В действительности, газ в стационарном состоянии не может существовать без сосуда, в котором он находится, и без поршня с его потенциальной энергией, который удерживает газ в определенном объеме. Поэтому представляет несомненный интерес найти энергетические соотношения такой термодинамической системы газового состояния. Термодинамическая система Фрагмент взаимодействия частиц с поршнем h V0 v x (t ) - скорость частицы в зоне взаимодействия частицы с поршнем. v x (t ) v x a t a - ускорение действующее на частицу в зоне взаимодействия. h - длина проникновения частицы в зону взаимодействия. 2t h - время нахождения частицы в зоне взаимодействия. v th x , a a t h2 v x2 h vx th . 2 2a Будем считать, что частицы, обладающие определенной скоростью v , распределены равномерно по объему термодинамической системы с плотностью n v , где nv l s l - линейная плотность частиц со скоростью v , s - поверхностная плотность. N1 2 s . s N l 1 , l v N N1 N1 1 N1 2 l v t - интервал времени, через которое частицы, обладающие скоростью v , влетают в зону взаимодействия (для одной траектории). t l N1 2 vx 2 , l v x Al - количество частиц, одного сорта v , которые находятся в зоне взаимодействия (для одной траектории). Al 2t h l v x2 t a Al S - количество частиц, имеющие скорость v , которые находятся в зоне взаимодействия по всей площади поршня. S - площадь поршня. AlS Al s S v x2 nv S a Поршень и частицы, которые находятся отталкиваются друг от друга с силой Fv , где в зоне взаимодействия, Fv AlS m a m v x2 nv S При этом частицы оказывают давление p p F m v x2 n v S nv - плотность атомов, имеющие скорость v в интервале dv x , dv y , dv z . n v C f (v 2 ) dv x dv y dv z C f (v 2 ) v 2 dv Sin ( ) d d . С определим из условия формировки: 2 0 0 0 n0 nv C d Sin ( ) d f (v 2 ) v 2 dv C 2 2 1 C таким образом: nv n0 , 4 n0 f (v 2 ) v 2 dv Sin( ) d d . 4 Про суммируем вклады от всех ансамблей. p p, 2 m n0 p 4 2 v x v Cos( ) 2 d Cos 0 2 ( ) Sin ( ) d v 2 f (v 2 ) v 2 dv 0 0 p 2 mv2 2 n0 f (v 2 ) v 2 d v n 0 E , 3 0 2 3 где E - средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу. F - суммарная сила, распределенная по поверхности термодинамической системы, которая удерживает атомы в локальном объеме V . F p S n0 E 2 S 3 для сферы R 4 V R 3 3 4 3 1 1 F 2n 0 E ( R ) 2n 0 EV 3 R R S 4R 2 для куба l S 6l 2 V l3 1 1 2n0 EV l l 2 2 Для этих случаев потенциальная энергия U поверхностных сил равна U FR F l 2n0VE 2 NE 2 где N n0V - количество атомов в термодинамической системе. F 2n0 E (l 3 ) Подсчитаем потенциальную энергию поверхностных термодинамической системы произвольной формы. 2 n 0 E dS 3 2 2 U d F R n0 E R d S n0 E ( R x dS x R y dS y R z dS z ) 3 3 S dF сил для U 2 2 n 0 E ( x dy dz y dz dx z dx dy ) n 0 E 3V 2 NE 3 3 S Таким образом доказано, что для термодинамической системы произвольной формы справедливо соотношение: (1) E пот 2E кин где E пот R d F FR F l 2 E кин N E Полученный результат можно записать в известной форме: p 2 n0 E , 3 умножив на V , получим pV 2 NE 3 (2) Согласно (1),термодинамическая система состоит из потенциальной и кинетической энергий, между которыми существуют определенные соотношения (1). Потенциальная энергия поверхности противостоит кинетической энергии частиц газа и удерживает их в определенном объеме. Полная энергия термодинамической системы E полн равна их сумме: E полн E пот E кин (3) Подставив (1) в (3), получим: (4) E полн 3E кин 3 E пот 2 2 E полн 3 E полн или E пот (5) (6) Соотношения (1), (6) известны в механике. Их дает вириальная теорема для частного случая, когда частицы находятся в поле потенциальных сил, энергия которых пропорциональна первой степени координаты. Соотношение записывается в таком виде: (7) U 2T где U потенциальная энергия, T кинетическая энергия. Черта обозначает усреднение по времени. Эта теорема указывает на то, что полная энергия системы равна: U T , откуда можно получить: U 2 , 3 1 T . 3 Соотношения (1) и (6) совпадают с известными (7) и (8) соответственно. (8) Следует отметить, что соотношение (2) (известное в термодинамике), которое эквивалентно (1), по форме совпадает с (8), если ошибочно предположить, что: pV E пот U NE E полн (9) Именно эти предположения и были сделаны в термодинамике. Соотношение (6) справедливо только для тех термодинамических систем, у которых поверхностные силы, удерживающие газ в определенном объеме, скомпенсированы силами сопротивления газа. При этом имеется в виду, что газ полностью окружен элементарными бесконечно маленькими подвижными поршнями, расположенными вплотную друг к другу. Примером может служить резиновый шар, наполненный газом при определенном давлении.