движение частицы материала по гравитационной кривой

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ МАТЕРИАЛА
ПО ГРАВИТАЦИОННОЙ КРИВОЙ
Октябрьский М.Л.
Красноярский государственный аграрный университет, Красноярск, Россия
The article deals with material particle movement on gravitation curve taking
into account friction force and environment resistance.
Число задач сельскохозяйственной техники, требующих для своего
решения применения основ теории движения частиц (или тела) по
фрикционным поверхностям, беспрерывно увеличивается. Если раньше
объектами для таких задач были в основном гравитационные плоскости, то в
настоящее время к ним добавляются различного рода гравитационные
поверхности,
плоскости,
совершающие
возвратно-поступающие или
вращательное движение и т.п.
Во время работы фрезерного погрузчика взаимодействие рабочего органа
с консервированным материалом характеризуется сложными физическими
явлениями, которые не поддаются строгому аналитическому описанию. Только
при сочетании теории с экспериментом возможен подход к пониманию полной
физической картины этого процесса.
Первые фундаментальные исследования, посвященные вопросам теории
движения материальной частицы или тела по поверхности, принадлежат
Галилею, Ньютону, Гюйгенсу и М.В. Остроградскому. Позже выдающихся
успехов этом направлении достигли русские исследователи И.И. Рахманинов,
П. Воронец и гениальный советский ученый С.А. Чаплыгин и др. Результаты их
исследований имеют большое общетеоретическое значение для разработки
данной проблемы, хотя эти исследования и не охватывают собой всего
комплекса задач и особенно задач, имеющих непосредственное практическое
значение в области сельскохозяйственной техники. В одних случаях они
выполнены в общем виде, и для получения решения той или задачи в конечном
виде требуются дополнительные разработки, в других случаях предполагается
наличие идеальных связей (отсутствия, например, сил трения), и поэтому
применение этих исследований для практических расчетов является не всегда
приемлемым и т.д. Это и послужило, очевидно, основанием для указания
академиком В.П. Горячкиным на необходимость дальнейшей разработки
теории движения материальной частицы применительно к задачам
сельскохозяйственного машиностроения [1].
Дальнейшее развитие применительно к задачам сельскохозяйственного
машиностроения отражено в трудах В.П. Горячкина [2], Л.Б. Левенсона, Б.А.
Берга, П.М. Василенко и др. В работах [3, 4] обобщен материал, накопленный
по данному вопросу, приведены примеры решения новых задач теории
движения материальной точки.
Кривые или поверхности, по которым перемещение частицы
осуществляется вследствие действия силы тяжести, носят название
гравитационных. При учете силы трения дифференциальное уравнение
движения будет иметь такой вид (рисунок 1):
m
d
 mg sin   fN ;
dt
N  mg cos   m
2
rê
(1)
,
(2)
где, α – угол направления подачи потока кормовой массы, при ее сходе с
гравитационной кривой к горизонтали, град; N – нормальная реакция (кривой),
Н; m – масса элементарной порции потока, кг; g – ускорение свободного
падения, м/с2; rк – радиус кривизны, м; f – коэффициент трения; υ – линейная
скорость частицы, м/с.
В этом случае кинематические элементы движения будут зависеть также
от формы гравитационной кривой.
Рисунок 1 – Схема сил действующих на частицу
Если кривизна незначительна, то центробежной силой m
2
rê
можно
пренебречь. Тогда уравнения (1) и (2) перепишем так:
m
Откуда
d
 mg sin   fN ,
dt
N  mg cos  .
d
 g sin   fg cos  .
dt
Но так как
sin  
dy
dx
; cos  
,
ds
ds
то этому уравнению можно придать такую форму:
(3)
(4)
(5)
d  gdy  fgdx .
Интегрируя, получим:
 2  2 g ( y  fx)  Ñ ,
(6)
где, С – произвольная постоянная.
y  x  0 ,   0 ,
Если при
то
C   02
И уравнение (6) примет вид:
   02  2 g ( y  fx) .
(7)
Определив y из уравнения связи f ( x, y )  0 и подставив в уравнение (7),
найдем скорость в функции от x:
  f (x) ,
(8)
и обратно
x  f ( ) .
(9)
А так как пройденный путь s может быть выражен в функции от x, то он
может быть также выражен в функции от скорости:
s  f ( ) ,
(10)
и обратно
  f (s ) .
(11)
При движении частицы в воздушной среде, на частицу, кроме силы
тяжести, действует сила сопротивления среды, которая становится
значительной для относительно легких частиц или частиц, движущихся с
большой скоростью. На характер движения может влиять форма частиц,
шероховатость поверхности.
Нами исследован вопрос о движении частицы по гравитационной кривой
при учете силы трения и сопротивления среды. При этом установлен общий вид
решения задач рассматриваемого движения частицы, который при наличии
уравнения связи приводит к частным решениям (уравнения 7), пригодным для
практических расчетов, необходимых при определении кинематических
элементов этого движения.
Литература
1. Василенко, П.М. Теория движения частиц по шероховатым
поверхностям сельскохозяйственных машин [Текст] / П.М. Василенко; под ред.
акад. М.И. Медведева. – Киев Изд-во Укр. Акад. с.-х. наук, 1960. – 283 с. с черт.
2. Горячкин, В.П. Собрание сочинений [Текст]: в трех томах. Изд. 2-е. Т.
3 / В.П. Горячкин. – М.: Колос, 1968. – 455 с.
3. Резник Н.Е. Теория резания лезвием и основы расчета режущих
аппаратов.- М.: Машиностроение, 1975. – 311с.
4. Анисимов, А.В. Повышение эффективности процесса загрузки
транспортных средств комбинированными кормами путем обоснования
конструктивно-режимных
параметров
загрузочного
распределяющего
устройства [Текст]: дис. … канд. техн. наук: 05.20.01: защищена 2006 г / А.В.
Анисимов. – С., 2006. – 186 с.