На экран фотографию
реклама
Управление образования Дзержинского района «Прикладная направленность математики» Выполнила: учитель математики МАОУ «СОШ №55» Костина Марианна Рудольфовна Пермь 2004 Содержание Введение ……………………………………………………………………3 Глава 1. 1.1 Мировоззренческая и социально – педагогическая функции обучения математике……………………………………………5 1.2.Межпредметные связи как средство формирования мировоззрения учащихся …………………………………………………7 1.3. Воспитание интереса к математике …………………………………9 1.4. Развитие вычислительных и измерительных навыков учащихся ……………………………………………………… 1.5. Практическая направленность геометрии …………………………… 1.6. Прикладные задачи в мотивации обучения ………………………… 1.7. Исследовательские работы в школьном курсе…………………… Глава 2 Роль и место задач в усилении прикладной направленности обучения математике………………………………………………………….20 2.1. Основные этапы прикладного математического исследования ………21 2.2. Использование физического материала при изучении математики ……………………………………………………23 2.3. Примеры задач прикладной направленности с различной мотивацией ……………………………………………………..25 2.4. Пропедевтика аналитического аппарата в геометрических задачах….32 2.5. Задачи, предлагаемые при изучении некоторых тем 8 класса ……………………………………………………….37 2.6. Задачи, предлагаемые при изучении некоторых тем 9 класса ……………………………………………………….40 Заключение ……………………………………………………………………46 Список использованной литературы ………………………………………....47 Приложения Результаты районного мониторинга в 2003 – 2004 учебном году ..………..48 Конспект урока в 8 классе «Вписанный угол и его величина» ....................51 Конспект урока математики в 5 классе «Восхождение на Олимп или ещё раз об обыкновенных дробях» ……………………………………...55 Конспект урока математики в 6 классе «Немного из истории Перми» 2 (задачи с процентами)…………………………………………………………59 Результаты анкетирования учащихся 6«б» класса на уровень мотивации на уроках математики ………………………………63 Творческие работы учащихся…………………………………………………62 3 Введение Одной из первоочередных задач, стоящих перед школой в настоящее время, является задача дальнейшего совершенствования обучения и воспитания учащихся с тем, чтобы обеспечить наиболее полное развитие их личности и эффективную подготовку к жизни, другими словами одной из основных линий реформы современного образования является компетентностный подход к преподаванию. Под компетентностью понимается общая способность человека к высококачественной деятельности, мера включаемости человека в деятельность. Компетенции бывают: Политические и социальные, способность брать на себя ответственность, участвовать в совместном принятии решений, регулировать конфликты, участвовать в функционировании и в улучшении демократических институтов; Умение жить в многокультурном обществе, понимание различий, уважение друг друга, способность жить с людьми других культур, языков, религий; Владение устной и письменной речью важно в работе и общественной жизни до такой степени, что тем, кто ими не владеет, грозит исключение из общества; Владение новыми технологиями, понимание их силы и слабости, применение Способность учиться всю жизнь, непрерывная подготовка в профессиональном плане, а также в личной и общественной жизни. И компетентностный подход в преподавании заключается в формирование навыков самостоятельно применять знания в жизни. Ведь все качества, которые мы приобретаем, могут проявиться только в деятельности. По своей компетентности выпускник общеобразовательной школы может находиться на следующих уровнях: Когнитивный уровень. Это приобретённые знания, которые помогают решать стандартные ситуации, это надо просто знать. Деятельностный уровень. Когда выпускник школы в состоянии поставить цель – найти средства для реализации этой цели – выполнить блок необходимых действий – получить некий результат – уметь отрефлексировать его. Личностный уровень зависит от физических и психологических качеств, которые могут ограничивать возможности; стереотипа поведения; нравственно – этических основ данного человека. 4 Для формирования компетентности нужно привить выпускнику общеобразовательной школы следующие навыки: 1. Целеполагание 2. Проектирование собственной деятельности 3. Организация продуктивной деятельности: ученика нужно помещать в зону его ближайшего развития 4. Проблемное обучение, работа с проблемой 5. Самоконтроль в ходе деятельности 6. Работа в микрогруппах, благоприятный психологический климат 7. Рефлексивная деятельность Причем первый и седьмой пункты самые сложные и они взаимосвязаны: без рефлексии невозможно целеполагание и наоборот. Ведь компетентный человек – это субъект своей деятельности, целеполагающий, планирующий, думающий и рефлексирующий человек. И знание математики, в частности, рассматривается как элемент общей культуры человека. Кроме того, все области человеческой деятельности требуют овладения разносторонними знаниями и умениями, в том числе, умением применять на практике знания по математике. Это связано с процессом математизации многих отраслей науки, техники и производства. Математика превратилась в инструмент познания, учащимся надо показать, как работает этот инструмент, как им пользоваться. 5 Глава 1 Интерес учащихся к математическим знаниям периодически снижается. Одна из основных причин в том, что уроки математики не дают достаточно убедительного ответа на вопрос: зачем всё это нужно? Обещание благ в отдаленной перспективе не способствует усвоению абстрактных знаний. Проблема математического образования в школе сводится не только к передаче учащимся определенной суммы знаний и навыков по предмету математики. Не менее важной задачей является реализация возможностей предмета математики в развитии личности учащихся. Важно подбирать материал, содержание которого способствует воспитанию нравственности, чувства долга, ответственности, - через раскрытие роли ученых в развитии математической науки, ознакомление с их мировоззрением и общественной деятельностью, через использование текста условия задачи и подтекстуального содержания математических задач. В то же время роль математики в самых разнообразных сторонах жизни общества велика. Между учебным предметом и математикой, применяемой на практике, возникает определенная пропасть. Мостом между ними может и должно послужить существенное усиление прикладной направленности курса математики. 1.1 Мировоззренческая и социально – педагогическая функции обучения математике Под прикладной направленностью обучения математике понимается формирование у учащихся знаний, умений и навыков, необходимых для применения математики в других учебных дисциплинах, в трудовом процессе, в быту и т.п., а в идеале – и в развитии стремления к таким применениям. Усиление практической направленности математики – одна из основных задач, поставленных перед системой образования реформой общеобразовательной и профессиональной школы. Превращение науки в непосредственную производительную силу ведет к тому, что знания по предметам естественно – математического цикла становятся не только базой для овладения специальными знаниями: они выступают в качестве квалифицированного требования к рабочим многих современных профессий. В современной школе несколько нарушилась пропорция между теорией и практикой: учащиеся недостаточно владеют навыками работы с литературой, не умеют использовать полученные знания в нестандартных новых ситуациях, не могут привести примеры математических моделей и т.д. Все это свидетельствует об ослабленной практической направленности обучения математике, выполняющей две взаимосвязанные функции: мировоззренческую и социально – педагогическую. 6 Мировоззренческая функция реализуется в процессе изучения элементов истории возникновения математических понятий, при установлении связей математики с другими дисциплинами, в процессе составления алгоритмов и т.д. Социально – педагогическая функция реализуется через решение задач профессиональной ориентации средствами математики, при осуществлении экономического воспитания, при решении задач оптимизации технологических процессов в современном производстве и т.д. Эти две функции очень тесно связаны между собой. В школьном курсе математики особую ценность составляют задания, показывающие применение теоретических положений и выводов для практической жизни. Формирование способности и умений учащихся применять теоретические математические знания в конкретных ситуациях осуществляется в процессе целесообразного педагогического воздействия на протяжении длительного периода времени. Высокий уровень математической подготовки достигается в процессе обучения, ориентированного на широкое раскрытие связей математики с окружающим миром, в конкретных производственных процессах. Прикладная направленность обучения математике предполагает ориентацию его содержания и методов на тесную связь с жизнью, основами других наук, на подготовку школьников к использованию математических знаний в будущей профессиональной деятельности, на широкое использование в процессе обучения современной компьютерной техники. Одним из путей осуществления прикладной направленности обучения математике являются задачи, которые раскрывают применение математики в окружающей нас действительности (вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности; построение графиков, диаграмм и т.д.). Задачи с практическим содержанием используются в процессе обучения для раскрытия многообразия применения математики в жизни. Этимология математических терминов и объяснение их происхождения способствует хорошему запоминанию, правильному произношению и усвоению этих терминов. Включение в объяснение нового материала отдельных элементов из истории развития математики активизирует учащихся на организацию и проведение различных форм внеклассной работы: историкоматематические кружки, математические вечера, защита математических проектов и др. Математика обладает особыми возможностями для воспитания нравственных принципов. В процессе изучения математики у гуманитариев вырабатывается привычка к тому, что любая ошибка в вычисления или неточность в рассуждениях не останется незамеченной. Математика формирует целенаправленность, системность, последовательность. Каждый ученик должен достаточно точно и объективно оценить объем своих знаний 7 и степень вложения в работу усилий, т.е. дать самооценку, очень важную для формирования личности школьника. 1.2. Межпредметные связи как средство формирования мировоззрения учащихся Проникновение математических знаний и методов в различные учебные предметы создает благоприятные условия для формирования научного мировоззрения учащихся. Учет внутрипредметных связей школьного курса математики при обучении способствует систематизации и углублению знаний учащихся, формированию у них навыков и умений самостоятельной познавательной деятельности. Внутрипредметные связи – это взаимозависимость и взаимообусловленность математических понятий, которые разделены лишь временем их изучения. Внутрипредметные связи представляют собой объединение преемственных, рекурсивных связей и взаимосвязей между главными линиями и идеями развития науки математики. Межпредметные связи способствуют пониманию школьниками целостной картины мира, диалектических взаимосвязей явлений природы. Межпредметные связи с точки зрения комплексного подхода обеспечивают единый подход учителей разных школьных дисциплин к формированию основ научного мировоззрения школьников. Наличие межпредметных связей позволяет создать у учащихся интегративные представления о системе математических понятий и универсальных законов развития, об общих теориях и комплексных глобальных проблемах человечества. Благодаря межпредметным связям наука для учащихся представляется не только как система знаний, но и как система методов. Рассматривая такие функциональные зависимости, как линейная, квадратичная функции и др., учитель должен вкладывать в эти понятия элементы окружающей нас реальной действительности, законов природы, наблюдаемых вокруг нас закономерностей. Через практическую направленность математики учащиеся значительно глубже и сознательнее будут усваивать изучаемый материал. Смежные учебные предметы изучают некоторые смежные одноименные понятия, например «вектор», «график», «функция», «симметрия» и т.д. В преподавании математики должны обеспечиваться согласованность в формировании понятий, расширение их объема и углубление содержания. Физика – предмет, где наиболее полно раскрываются разнообразные приложения математики. В тоже время физика является «поставщиком» математики, снабжая её неограниченным практическим учебным материалом. Физика школьного обучения включает в себя два основных метода исследования – экспериментальный и теоретический. Первый 8 широко используется для получения новых знаний, а также для проверки правильности теоретических положений. Причем в процессе обработки результатов широкое применение находят математические методы. Используется и математический язык, который нашел свое выражение в физических формулах и законах. Теоретический метод в физике тоже базируется на математике, как метод исследования и метод получения новых знаний. Физическая наука переводима лишь на математический язык. В основе изучения таких разделов физики, как механика, геометрическая оптика, теория электростатического и электромагнитного поля, лежит геометрия. Геометрия тесно связана с химией. Большое значение имеет стереохимия, в которой устанавливается связь между свойствами органических соединений и пространственным расположением атомов, образующих молекулу данного вещества. Глубокая прочная связь существует между геометрией и черчением, так как геометрия систематически пользуется чертежами для иллюстрации своих предложений и при решении различных задач. Черчение же, в свою очередь, пользуется законами геометрии для обоснования всевозможных построений. Наряду со школьными дисциплинами существует связь математических дисциплин с другими науками и областями знаний человеческой деятельности: существенную часть минералогии составляет кристаллография, которая изучает геометрические свойства кристаллов (многогранники) тесна связь геометрии и с геодезией, задачей которой является измерение поверхности Земли. Сама геометрия изначально рассматривалась как землемерие, откуда и получила свое название. Всякого рода землемерные работы опираются на законы геометрии. в современное время большое значение имеет геометрия недр – практическая наука об определении пространственных соотношений в условиях работы под землей (шахты, туннели, метро и др.) не меньшую роль играет геометрия и в строительном деле, при сооружении зданий, мостов, каналов, при прокладке дорог, постройке всевозможных гидротехнических сооружений. геометрия связана также со станкостроением, архитектурой, производственными процессами и т.д. Вопрос о путях установления межпредметных связей является одним из важнейших в проблеме совершенствования методов обучения. Наличие глубоких межпредметных связей в школьном курсе математики активизирует педагогов разных школьных дисциплин к сотрудничеству, к поиску совместных творческих проектов и взаимосвязанных проблем межпредметного содержания. 9 Конкретизация использования межпредметных связей в процессе осуществляется с помощью поурочного планирования. учебном 1.3. Воспитание интереса к математике Знакомство учащихся с практическим применением изученного материала способствует воспитанию интереса к математике. Интерес – один из инструментов, побуждающий учащихся к более глубокому познанию предмета, развивающий их способности. Для воспитания и развития интереса к предмету учитель располагает в основном двумя возможностями: работой на уроке и внеклассной работой. На уроке присутствуют все ученики класса, а кружок, факультатив, внеклассное мероприятие, как правило, посещают лишь немногие. На уроках необходимо отводить место рассказам о значении математики, о математике вокруг нас, о замечательных людях, посвятивших свою жизнь математике, о связи с другими предметами и т.д. Интерес к математике усиливается, если ребята видят её связь с другими предметами. В этом плане огромное значение имеют уроки, которые ведут 2 – 3 учителя по разным предметам. Так очень интересными могут быть уроки геометрии, совмещенные с уроками физики. На классных часах в 5 – 6 классе родители знакомят ребят со своей работой, рассказывая при этом, где и как у них применяется математика. Учащиеся получают задание совершить «экскурсию» на производство к своим родителям и затем написать реферат «Математика в профессии моих родителей», в котором должна содержаться задача с производственным содержанием, составленная учеником и её решение. Защита рефератов может быть проведена на совместных собраниях с родителями. Вначале слово предоставляется ученику, а затем его рассказ дополняет и оценивает мама или папа. Окончательную оценку реферата выдает комиссия, в состав которой входят другие родители, учащиеся, учитель. Комиссия учитывает сложность составленной задачи, красоту её решения. Во время экскурсии ребята стараются детально разобраться в сути дела, тщательно собирают данные для составления задачи, причем нередко бывают на работе родителей не один раз. Такая работа способствует развитию творческих способностей учащихся, при этом у них появляется и укрепляется чувство уважения к своим родителям, затрагиваются и вопросы профориентации. В 7 – 8 классах ребята могут писать рефераты на темы «Математика вокруг нас», «Математика за страницами школьного учебника», либо сочиняют сказки, рассказы на математические темы. Игра – спутник человеческой жизни от колыбели до глубокой старости. «Игра – путь детей к познанию мира, в котором они живут и который призваны понять», - писал А.М.Горький. в играх укрепляются и развиваются чувства товарищества, солидарности, честности, правдивости и другие качества. Игра является хорошей союзницей не 10 только в воспитании детей, но и в обучении их, поэтому учителям необходимо периодически пользоваться играми или вводить элементы игры и на уроках, и во внеурочное время. Познание же математики через игры прививает к ней любовь, переходящую иногда в потребность серьезно заниматься этой наукой. 1.4. Развитие вычислительных и измерительных навыков учащихся Первая математическая дисциплина, изучаемая в школе, - арифметика имеет огромное теоретическое и практическое значение, так как объект её изучения – число – охватывает широкий круг предметов и явлений. Задача учителя заключается, в первую очередь, в том, чтобы научить детей основам арифметики, её теории и практики. Учитель приближает преподавание арифметики к разрешению жизненно важных вопросов и воспитывает у учащихся умения и навыки, которые должны найти непосредственное применение в различных видах практической деятельности. При выполнении операций над целыми и дробными числами проводится: прикидка вычислений, проверка вычислений, вычисления на счетах, вычисления с помощью таблиц, процентные вычисления и т.д. При работе с приближенными вычислениями детям напоминается о том, что числа, с которыми мы встречаемся в газетах, справочниках, задачниках, на упаковочных материалах, почти все являются приближенными. Используется округление, деление с остатком, нахождение среднего арифметического, приближенного частного, абсолютной и относительной погрешности. В процессе изучения математики учащиеся должны знать единицы измерения величин, соотношения между ними и уметь выполнять действия над ними. Для овладения системой мер следует предлагать учащимся различные упражнения, например: найти вес различных жидкостей (керосин, масло, ртуть и т.д.) по данным объемам и удельным весам. Полезно ознакомить учащихся с действительными размерами известных им предметов, со средними скоростями пешехода, велосипедиста, автомобиля, поезда и т.д. Вычислительные и измерительные задания формируют у учащихся навыки, необходимые в их будущей трудовой деятельности. Такая работа осуществляется на практических занятиях по математике, на вычислительных практикумах, лабораторных работах по измерению геометрических величин, в процессе проведения приближенных вычислений, в ходе измерительной работы на местности и др. В учебном материале по математике описываются различные измерительные инструменты: астролябия, рейсшина, штангенинструмент и 11 т.д. Это дает возможность активизировать работу учащихся по формированию вычислительных навыков, навыков измерений и работы с единицами измерения. 1.5. Практическая направленность геометрии Любой учебный материал по геометрии имеет практическую направленность. Теоремы о равенстве треугольников. Признак равенства треугольников по трем сторонам является теоретической основой «жесткости» треугольника, что широко используется в технике при конструкции мостов, подъемных кранов и т.д. Параллельные прямые. На уроках целесообразно показывать методы построения таких прямых при помощи чертежного треугольника, рейсшины, а также построения на местности параллельных прямых с помощью экера – проведением перпендикулярных прямых к одной и той же прямой. Свойства параллелограмма. Из всех плоских геометрических фигур самой распространенной является прямоугольник, так как он имеет две оси симметрии. Наиболее удобная форма сельскохозяйственных полей для обработки сельскохозяйственными орудиями есть форма прямоугольника. Свойства пирамиды. При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, получается сечение, площадь которого прямо пропорциональна квадрату расстояния от её вершины. Это обстоятельство служит теоретическим объяснением зависимости между силой освещения и расстоянием от источника света, находящемся в вершине пирамиды. При удалении площадки (основания) на расстояние, вдвое большее от вершины, площадь увеличится вчетверо, а количество световой энергии, приходящейся на единицу площади, станет вчетверо меньше. Таким образом, сила освещения обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света. Пользуясь этим законом, современная астрономия определила расстояние до самых отдаленных объектов Вселенной, расстояния, которые луч света проходит за многие сотни тысячелетий. Поверхности и объемы тел. При их вычислении следует обращать внимание учащихся на тот факт, что при изменении линейных размеров тела поверхность его изменяется пропорционально квадрату, а объем – кубу этих размеров. 12 Занятия по геометрии должны сопровождаться практическими работами с привлечением всех учащихся. Это могут быть все виды моделирования, различные землемерные работы, измерение поверхностей и объемов предметов техники, домашнего обихода, хозяйственных построек и т.д. 1.6. Прикладные задачи в мотивации обучения В преподавании математики очень важна мотивационная сторона. Математическая задача воспринимается учащимися лучше, если она возникает как бы у них на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем. Ещё один прием мотивации – обращение к историческим событиям, создающее эмоциональный подъем в классе. Даже самая неинтересная тема способна увлечь школьников, если учитель сумеет связать с ней такие факты, которые вызывают светлое чувство у слушателей. Ссылка на историю всегда вызывает у учащихся интерес, а если еще задача предложена из какого-либо древнего источника со своеобразной формулировкой, то это ещё больше стимулирует школьников к её решению. С большим интересом воспринимаются задачи, вызывающие споры. Такие задачи сначала кажутся учащимся простыми, и ответы на них следуют немедленно. Однако ответы оказываются неодинаковыми, возникает спор. Рассудить спорящих может только убедительно изложенное решение. Важной особенностью прикладных математических задач является применение размерных величин. Наблюдение за размерностью величин в процессе решения задачи позволяет выявить ошибки в этом решении. Например, если a и b – длины, а в процессе решения появится выражение a2 - 2b, можно сразу сделать вывод, что допущена ошибка. Другая особенность прикладных задач состоит в постоянном стремлении довести решение до числа, причем «круглые» ответы здесь весьма редки. Задачи же, применяемые в школьной практике, порой создают у учащихся представление о том, что «некруглость» ответа является признаком его ошибочности. Существенным в прикладной направленности обучения математике является привитие методов самоконтроля Если задача решена в буквенном виде, то для контроля применяется проверка размерности полученного выражения; исследование поведения решения, когда параметры задачи обращаются в нуль или значительно возрастают, или принимают какие-либо иные характерные значения, при которых решение 13 можно получить из наглядных соображений. Если получено численное значение решения, то для контроля можно сравнить его с результатом грубой прикидки, с оценкой, полученной «по здравому смыслу». Предварительная прикидка ответа вообще весьма полезна. Все это помогает не только проконтролировать ответ, но и развить правильную интуицию. 1.7. Исследовательские работы в школьном курсе Существенную роль в усилении прикладной и практической направленности и одновременно в развитии способностей учащихся к самостоятельным исследованиям играют задания, выполнение которых представляет собой относительно завершенный исследовательский цикл: наблюдение – гипотеза – проверка гипотезы. В качестве таких заданий целесообразно использовать исследовательские работы. Это одно из средств повышение активности школьников. Часть исследовательских работ может быть реализована не только на уроке, но и в качестве домашнего задания. В последнем случае на уроке обсуждаются результаты, полученные учащимися дома. Выполняя исследования, ученики также развивают и навыки использования инструментов. Понятие функции формируется в 7 классе на основе понятия зависимости. Этот этап крайне важен. Ведь мировоззрение формируется путем акцентирования прикладных аспектов обучения, связи математики с жизнью, с другими предметами. Выполняя исследовательские работы, ученики на конкретных, самостоятельно установленных зависимостях усваивают проблематику, которая затем будет являться ядром всей функциональной линии курса математики курса средней школы. Первая работа проводится непосредственно перед изучением темы «Функция» или в начале этой темы. Работа № 1. Исследование площади прямоугольника данного периметра. Периметр прямоугольника 24см, а его основание х см. Задайте формулой зависимость площади S (см2) прямоугольника от х. 1. Заполните таблицу х S 2 3 4 5 5,5 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,5 7 8 9 10 2. При каком значении х у вас получился прямоугольник наибольшей площади? Какова наибольшее из полученных значений S? Выберите сами 14 два каких-либо допустимых значения х и вычислите соответствующие им значение S. 3. Удалось ли вам получить значение S, большее чем найденное ранее? Какую гипотезу можно высказать на основании проведенного исследования о форме прямоугольника наибольшей площади, имеющего данный периметр? Работа № 2. (Лабораторная) Построение графика зависимости высоты столба жидкости в сосуде от объема жидкости. Приборы и материалы: ведро стандартное, банка литровая, линейка. 1. налейте в ведро 1 л воды. Измерьте высоту столба жидкости в ведре. Запишите полученный результат в таблицу Объем воды V 1 Высота столба h 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. Постройте график зависимости h от V. 3. Какой график получился: прямолинейный или криволинейный? В отличии от других работ, которые могут быть как классными, так и домашними, эта работа выполняется лучше в домашних условиях. А на уроке обсуждаются её результаты. Анализ различий в графиках, полученных школьниками, использовавших ведра различной формы, послужит развитию физических представлений о равномерных и неравномерных процессах. Работу целесообразно провести при изучении темы «График» Работа № 3. Исследование некоторых простейших множеств точек координатной плоскости. Данная работа наряду с развитием представлений о координатной плоскости осуществляет пропедевтику темы «Линейное уравнение с двумя переменными». Его можно предложить непосредственно перед изучение темы. Тогда результаты можно будет использовать для проблемного изложения темы «График линейного уравнения с двумя переменными» 1. Постройте на координатной плоскости несколько точек, у которых сумма абсциссы и ординаты равна 10 (при выборе координат используйте и отрицательные числа) 2. В чем особенность расположения построенных точек? 3. Выскажите гипотезу о том, как располагаются на плоскости все точки, обладающие таким свойством. 4. Возьмите несколько точек, у которых сумма абсциссы и ординаты: а) больше 10; б) меньше 10. 5. выскажите гипотезу об их расположении относительно предыдущего задания. 15 Работа № 4 График расстояния Эта работа имеет одной из целей формирование отчетливых представлений о различии между понятиями расстояния между точками и пройденного пути. Туристы отправились на байдарках по течению реки из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. После 3 ч пути они сделали остановку на 1 ч, а затем поплыли дальше со скоростью 6 км/ч. На рисунке изображена схема маршрута туристов, на которой отмечены отрезки пути длиной в 1 км. А В 1. Определите на схеме точку, в которой находились туристы через 1 ч после отправления из А 2. Найдите (по прямой) расстояние от этой точки до пункта А 3. Запишите полученный результат в таблицу Время t Расстояние d 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 4. Выполните указанные действия, выбирая приведенные в таблице значения t 5. постройте график зависимости d от t. Далее школьникам предлагается ответить на вопросы о наибольшем и наименьшем значении, о возрастании и убывании и т.п. Работа № 5 Исследование вписанного в треугольник. площади прямоугольника, Работа осуществляет пропедевтику геометрических задач на экстремум. Необходимые для строго обоснования гипотезы знания учащиеся получат в курсе следующего класса. Трудно предположить, что они все ещё будут помнить эту работу, но вместе с другими заданиями она призвана 16 подготовить их мышление к адекватному восприятию соответствующего материала. В треугольник АВС, основание которого равно 10см, а высота 8 см, вписано несколько прямоугольников различной высоты, имеющих две вершины на основании, а две другие на боковых сторонах треугольника. 1. Учитывая, что можно построить сколько угодно таких прямоугольников, постройте самостоятельно прямоугольники с высотами, указанными в таблице. 2. Измерьте основание каждого прямоугольника и его площадь, результаты занесите в таблицу. Высота h 0,5 Основание a Площадь S 1 2 3 3,5 4 4,5 5 6 7 7,5 3. При каком значении h получился прямоугольник наибольшей площади? Какова его площадь? 4. Сравните высоту, основание и площадь этого прямоугольника соответственно с высотой, основанием и площадью треугольника АВС 5. Какую гипотезу можно высказать в результате этого исследования? В 8 классе школьники изучают тему «Неравенства». Материал, которой позволит дать сформулированным гипотезам строгое обоснование. Работа № 6. При обсуждении результатов этой работы следует поставить перед учащимися вопрос о «поведении» графика при неограниченном увеличении значений х, осуществляя пропедевтику понятия предела. 17 К числителю и знаменателю дроби 1/2 прибавляется одно и тоже положительное число х. 1. Заполните таблицу, округляя значение дроби х 1+х 2+х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. Постройте график функции у = 1 + х при х 0 2+х 3. Как изменяется значение правильной дроби 1/2 при возрастании значений х? 4. Проведите аналогичное исследование, взяв неправильную дробь, например 5/2. 5. Сформулируйте гипотезу об изменении значений правильной и неправильной дробей при увеличении числителя и знаменателя на одно и тоже положительное число. При изучении тригонометрического материала по некоторым программа в 9 классе, по другим в 10 классе, очень познавательна следующие работы. Они также ориентированы на развитие стереометрических представлений учащихся Работа № 7. Для изготовления водопойного желоба на животноводческой ферме решили сбить три одинаковые доски длиной 4 м и шириной 25 см каждая. Вместимость (V) желоба равна произведению площади трапеции АВСД на длину желоба. 1. Задайте формулой зависимость вместимости желоба от угла при основании ВС трапеции АВСД. 18 2. Заполните таблицу (в градусах) объем 90 100 110 120 130 140 150 3. При каком из указанных в таблице значений получится желоб наибольшей вместимости? Работа № 8 Учет уложенных в штабель бревен ведется с использованием коэффициента полнодревесности , который равен частному от деления объема древесины от объема самого штабеля. Найдите коэффициент полнодревесности прямоугольного штабеля, в основании которого 4 бревна, а число бревен по высоте равно 3. (Все бревна считать одинаковыми цилиндрами радиуса R) Зависит ли от числа бревен в прямоугольном штабеле? А если штабель будет треугольным, в основании которого n бревен? Рассмотрите случаи, когда n = 3; 4. Работа № 9 «Определение числа атомов, приходящихся на ячейку кристаллической решетки» Выполнение такой работы развивает пространственное представление учащихся, расширяет и углубляет знания о свойствах параллельных и перпендикулярных плоскостей, о понятиях симметрии и параллельного переноса, помогает объяснить многие явления из химии и технологии материалов, облегчает решение многих задач. Определите средне число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку. В случае, когда она одна – 9, для двух смежных 14 : 2 = 7. 19 Как будет изменяться количество атомов с увеличением числа ячеек? Имеет ли оно предел? Количество ячеек постепенно наращивается, сначала в один слой, потом в несколько слоев. Если обозначить через k количество ячеек в ряд, то нетрудно вывести формулу числа атомов в ряду N = 4(k + 1) + k При увеличении числа слоев, обозначим это количество l. Формула числа атомов выводится N = 3kl + 2l + 2k + 2. При наращивании слоев в третьем измерении m формула приобретает следующий вид: N = 2klm + lm + km + kl + k + m + l + 1. Если тело кубической формы, т.е. k = l = m, N = 2k3 + 3k2 + 3k + 1 Исследовательские работы удачно вписываются в общую структуру учебного процесса, позволяя связать между собой отдельные вопросы курса алгебры, геометрии, физики, химии, а также осуществить достаточно серьезную пропедевтику некоторых вопросов из школьного курса начал анализа. 20 Глава 2 Роль и место задач в усилении прикладной направленности обучения математики Учитывая дидактическое назначение задач с точки зрения прикладной направленности, можно ввести такие термины: «практическая задача», «задача с практическим содержанием», «прикладная задача», «задача с прикладной направленностью». Под практическими понимаются задания с использованием практических навыков, например, «Измерить свою ступню с точностью до 0,5 см. Каким прибором следует воспользоваться?» или «Составить смету на ремонт класса». К ним могут быть отнесены также измерительные работы на местности, опытное исследование зависимости одной величины от другой и т.п. При решении таких задач ученик оказывается в конкретной практической ситуации, он должен применить полученные математические знания на практике. Задачи с практической направленностью предполагают отработку математического аппарата (математических знаний, умений и навыков), необходимого в практической деятельности. Например, «Решить уравнение 45 : (у – 1) = 9», «Построить график по данным, указанным в таблице» и т.д. Решение прикладных задач состоит из трех этапов: формализация, реализация, интерпретация. Прикладными можно считать текстовые задачи, представленные в действующих учебниках, однако большинство из них ориентирует учащихся лишь на определение количественной характеристики описываемых явлений: «Найти скорость велосипедиста, мотоциклиста, автобуса, поезда, теплохода, течения реки и т.д.», «Сколько часов потратил велосипедист, мотоциклист, автобус и т.д.?». Очевидно, такие задачи необходимо переформулировать, с тем, чтобы переориентировать учащихся с установления количественной характеристики связей, отраженных в задаче, на выявление их сущности. Задачи с прикладной направленностью входят в качестве составного элемента в решение прикладных задач. К ним можно отнести задачи на построение моделей, на интерпретацию полученных результатов, внутримодельные задачи. Такие задачи могут быть сформулированы как на практическом материале, так и на математическом. Иногда на уроках математики при решении текстовой задачи стараются как можно быстрее перейти к математической формулировке, например к уравнению, сосредотачивая всё внимание на решении этого уравнения. Наверное, это не совсем верно. Пусть задач будет решено меньше, но не следует жалеть времени на неформальное обсуждение условия исходной задачи, уяснения смысла участвующих в ней величин, на выбор и мотивировку гипотез, на адекватность математической модели, на обсуждение выводов из её изучения. Эти моменты вызывают наибольшие затруднения, и именно владением ими определяется умение применять математику за её пределами. 21 2.1.Основные этапы прикладного математического исследования Рассмотрим задачу прикладного характера с указанием основных этапов простого прикладного математического исследования. Задача. Требуется установить оптимальные (в смысле минимума расходов) размеры бака данного объема V = 0,25 м3 с квадратным основанием, если стоимость сварки шва составляет 100 р. за 1 метр., а стоимость жести 200 рублей за 1 м2. 1. Предварительное рассмотрение объекта. Учащиеся уточняют условие задачи. Например: есть ли крышка, по каким швам ведется сварка? Рассмотрим случай бака с крышкой и со швами, проходящими по ребрам оснований и одному боковому ребру. Для образного содержания задачи изображается геометрическая модель бака в виде прямоугольного параллелепипеда. Интересующими нас величинами являются площадь поверхности, длина швов и стоимость изготовления. Анализируя модель, учащиеся выясняют, что боковые грани – прямоугольники, верхнее и нижнее основания – квадраты, общая длина швов равна сумме периметров обоих оснований и длины бокового ребра. 2. Создание математической модели. Рассматриваемый параллелепипед определяется длиной стороны основания a и высотой h. В силу формулы V = а2h имеем h = V : a2 . Поэтому за искомую величину можно принять длину стороны основания. Обозначим её буквой х, площадь поверхности S(x), общую длину швов l(x), стоимость изготовления C(x). Нетрудно видеть, что S(x)= 2х2 + 4V/х, l(x)= 8х + V/х2, C(x)= l(x) + S(x),где стоимость сварки, - стоимость жести. C(x) = (8х + V/х2) + (2х2 + 4V/х). Для контроля проверяем, что правая часть имеет правильную размерность. Раскрывая скобки, получаем C(x)= 2х2 + 8х + 4V/х + V/х2. 22 Итак, математическая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом: для функции C(x), 0 х , требуется найти точку, при которой она принимает наименьшее значение. 3. Решение и исследование математической задачи. Подставив заданные значения , , V, получим выражение C(x)=400х2 + 800х + 200/х +25/х2. Найдем производную: C'(x)=800х + 800 - 200/х2 – 50/х3 =800/х3 (х4 + х3 – х/4 – 1/16) = 800/х3(х – ½)(х + ½)3. Отсюда видим, что при 0 х производная меняет знак при переходе через точку х = ½ с минуса на плюс. Поэтому ответом является х = ½, т.е. 0,5 м. Для подтверждения оптимальности результата полезно подсчитать стоимость бака при различных значениях х. 4. Интерпретация математических результатов. Проведенное исследование позволяет дать следующую рекомендацию. Оптимальные размеры для изготовления бака: длина стороны основания 0,5 м, высота бака 1 м. Стоимость изготовления при этом составит 1000 рублей. Решение подобных задач полезно во многих отношениях: 1. учащиеся овладевают приведенной схемой решения прикладных задач 2. такое решение способствует развитию прикладной математической культуры, выработке необходимых навыков применения математических знаний и способов действия при решении практических задач 3. происходит знакомство учащихся с ролью математики в практической деятельности 4. решение задач на оптимизацию служит экономическому воспитанию учащихся. Основными принципами работы над задачей являются: 1. методическая обработка задачи согласно целям обучения и требованиям к системе задач 2. обучение учащихся на каждом этапе процесса решения задач 3. использование при решении задач методов, близких к тем, которые встречаются в практической деятельности (поиск, исследование, правдоподобные рассуждения и интуиция, использование справочников, таблиц и т.д.) 4. рассмотрение нескольких способов решения и обсуждение оптимального варианта. Итак, задачи могут выступать основным средством усиления прикладной направленности обучения математике, если к ним правильно подходить. 23 2.2. Использование физического материала при изучении математики В курсе физики 7 – 9 классов изучаются помимо известной формулы движения s = vt, например, такие: 1. m = V, где m – масса, - плотность, V – объем 2. p = F / S, где p – давление, F – сила, S – площадь поверхности 3. A = Fs, где A – работа, F – сила, s – пройденный путь 4. U = IR, где U – напряжение, I – сила тока, R – сопротивление Вот примеры задач, использующих эти формулы. Задача 1. Имеются два слитка из разных сплавов, каждый массой в 720г. Плотность первого сплава на 1 г/см3 меньше плотности второго сплава. Найдите объем каждого слитка, если известно, что объем одного из них на 10 см3 больше объема другого. Решение задачи сводится к уравнению 720 720 х х + 10 или системе ху = 720, (х + 10)(у – 1)=720, где х – объем , а у – плотность второго сплава. Задача 2. На столе находится гиря массой в 200г. Когда её перевернули, площадь опоры уменьшилась на 1,5 10-3 м2, а давление на стол увеличилось на 1,2 103 Па. Найдите площадь опоры в каждом из этих случаев. Эта задача сводится к уравнению 2 2 -3 х – 1,5 10 х или системе ху = 2 (х - 1,5 10-3 )(у + 1,2 103 ) = 2, где х – первоначальная площадь, а у – давление. 24 Задача 3. При перемещении тела вдоль пути АВСД на участках АВ, ВС и СД была совершена работа, равная 36 Дж, 40 Дж и 63 Дж соответственно. Из-за различного характера поверхностей этих участков сила F2 на 2 Н меньше силы F1 и на 1 Н больше силы F3. найдите силы F1,F2,F3, если известно, что участки АС и СД имеют одинаковую длину. Данная задача сводится к уравнению 36 40 63 х+2 х х – 1 , где х – величина силы F2 . Задача 4. К выпрямителю с напряжением 22 В подключен реостат. Когда напряжение возросло на 10%, а сопротивление реостата уменьшили на 9 Ом, сила тока в цепи увеличилась на 1,1 А. Найдите первоначальное сопротивление реостата. Для решения этой задачи составляется уравнение 24,2 22 х–9 х или системе ху = 22, (х – 9)(у + 1,1) = 24,2, где х – первоначальное сопротивление, а у – сила тока. Хотелось бы заметить, что в курсе алгебры 8 и 9 класса для составления подобных уравнений и систем уравнений используются в основном задачи на движение, как например: Задача 5. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой должен был идти по расписанию, на 10 км/ч.какова скорость поезда по расписанию?. Видно, что по своему математическому содержанию задачи 1 – 4 не уступают последней, хотя их физическое содержание намного разнообразней. Интересно и то, что в задачах 1 и 5 получаются одинаковые уравнения. Совместное рассмотрение таких задач позволяет показать учителю роль математических моделей при изучении явлений различной природы. Целесообразность решения задач, использующих разнообразные сведения из физики, несомненна. 25 2.3. Примеры задач прикладной направленности с различной мотивацией Возникновение задачи как бы «на глазах». Наблюдая за солнечным зайчиком, учащиеся замечают, что свет от одной точки до другой распространяется по прямой, выбирая кратчайший путь, равный длине отрезка между этими точками. Возникает вопрос: «По какому пути распространяется свет, если он идет от одной точки к другой не прямо, а отражаясь от поставленного на пути зеркала? Выбирает ли при этом свет наименьшее расстояние?» Изучение распространения света приводит к геометрической задаче: «Точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, образованных прямой l. На прямой lнайти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до двух данных точек была наименьшей». Решение. Построим точку А1, симметричную точке А относительно прямой l. Прямая А1В пересекает прямую l в точке Х. длина отрезка А1В есть кратчайшее расстояние между точками А1 и В. Но А1Х = АХ. Значит ломаная АХВ наименьшая, удовлетворяющая условию задачи, а точка Х– искомая. Итак, физическая задача повлекла за собой задачу геометрическую, а от неё мы совершим краткий экскурс в историю. «Природа ничего не делает напрасно». Исходя из этого принципа, Герон Александрийский в начале нашего тысячелетия впервые высказал мысль о том, что свет распространяется кратчайшим путем, т.е. по прямой. Герон показал, что из всех ломаных линий АХВ, ведущих от предмета А к зеркалу Х и затем к глазу В, кратчайшей будет та, для которой выполняется АХХ2 = ВХХ1. Так возникает ещё одна геометрическая задача: «Доказать, что если точки А и В лежат в одной полуплоскости от прямой l и сумма расстояний от точки Х на прямой lдо точек А и В является наименьшей, то угол между лучом ХА и прямойl равен углу между лучом ХВ и прямой l.» Решение. В предыдущей задаче точка Х была построена как точка пересечения отрезка А1В и прямой l. Отсюда следует, что углы Х2ХА1 и 26 ВХХ1 вертикальные и АХХ2 = ВХХ1. Но АХХ2 = А1ХХ2, так как точки А и А1 симметричны относительно прямой l. Из доказанных равенств следует, что АХХ2 = ВХХ1. Итак, физическая проблема, возникшая первоначально, помогла мотивировать появление двух типичных школьных геометрических задач. Решая их, учащиеся фактически рассмотрели геометрическую основу закона оптики, который кратко формулируется: «Угол падения равен углу отражения». Обращение к историческим событиям. При изучении в 11 классе темы «Площадь поверхности сферы» в современных учебниках отсутствует формула площади поверхности сферического сегмента. А нахождение такой величины может вызвать интерес, если начать урок так: Сообщение ТАСС: 12 апреля 1961 года в Советском союзе выведен на орбиту вокруг Земли первый в мире космический корабль – спутник «Восток» с человеком на борту. Пилотом – космонавтом является Юрий Алексеевич Гагарин». Учащиеся, конечно, знают об этом событии. Но они могут и не знать о том, какой восторг в нашей стране и во всем мире оно вызвало. Учитель должен передать этот восторг своим чтением. «По предварительным данным, - снова начинает учитель, - период вращения корабля вокруг Земли – 89,1 мин; минимальное удаление от поверхности Земли равно 175 км, а максимальное расстояние – 302 км…». Теперь уже учащиеся удивлены: какое отношение имеет это к уроку геометрии и, в частности, к теме «Поверхность шара и его частей»? Их мысли можно прервать вопросом: «Какую часть поверхности Земли видел Ю.А.Гагарин, пребывая в апогее?». Вопрос вызывает у учащихся интерес, но через несколько минут самостоятельных размышлений они устанавливают, что из математических знаний пока не достаточно: неизвестно, каким образом вычисляется площадь поверхности шарового сегмента. Приходится пока отложить задачу и заняться выводом формулы. Но как только формула выведена, учащиеся снова возвращаются к задаче. Её решение следует из равенств 27 ВО2 = АО ОК, КС = ОС – ОК = rH / ( r + H), где r = 6370 км (радиус Земли), H = АС = 302 км. Задачу можно обогатить, предложив учащимся найти площадь поверхности Земли, которую видел Ю.А.Гагарин в течение всего полета. Такие задачи становятся лейтмотивом урока. Решая их, выводя нужные формулы ради них, учащиеся не ждут звонка, они с неохотой отрываются от интересного исследования. Ссылка на первоисточники. При изучении многих тем курса математики идет ссылка в основном на математиков Древней Греции. Хотя у народов Азии математических достижений ни сколько не меньше, однако о них почему – то в большинстве учебников либо умалчивается, либо очень скудные сведения. В начале 2-го тысячелетия до н.э. у народностей, населяющих территорию нынешнего Китая, образовалось классовое общество. К XVIII веку до н.э. относится возникновение рабовладельческого государства Инь. В это время уже было известно прядение и ткачество, зарождалась письменность. Одновременно развивались числовые обозначения, укоренилась десятичная система счета. В XII веке до н.э. государство Инь покорили кочевые племена Чжоу и основали новое царство, восприняв культуру завоевонного народа. Период от IV века до н.э. до VII века богат различными техническими и научными открытиями (царствование династии Цинь). В это время возникла математика и астрономия. С VII по IX века, во времена правления династии Тан, происходило дальнейшее развитие науки и техники. К X веку Китай стал обширным государством с территорией от Тихого океана до Тибета и от Великой Стены до Вьетнама. Китай установил и расширил сотрудничество с Индией, Индонезией, Ираном и Средней Азией. В период с X по XIV века династии сменяли одна другую. В стране отмечается рост ремесел, строительство дворцов, мостов и кораблей, развитие мануфактуры и торговли. На территорию Китая проникли первые европейцы. Уровень китайской науки, достигнутый в XVI веке, стал её вершиной. Первые, дошедшие до нас, математические тексты датируются I-м тысячелетием до нашей эры. Имеются сведения о десятичной системе счисления, специальной иероглифической символике чисел, об оперировании большими числами, о наличии вспомогательных счетных устройств, о применении 28 циркуля, линейки, угольника и т.д. китайским ученым принадлежит введение отрицательных чисел. Ко II веку до нашей эры относится создание наиболее древних из дошедших до нас сочинений – «Математика в девяти книгах», «Начала искусства вычисления», «Девять отделов искусства счета» и др. Задача 1. Имеется два сорта чая. 3 фунта первого сорта смешаны с 6 фунтами второго, после чего фунт смеси стоит 3 дяо. Если смешать 12 фунтов первого с 4 фунтами второго, то фунт смеси будет стоить 3,5 дяо. Сколько стоит фунт первого и второго чая в отдельности? Задача из типа на смеси, но предыстория этой задачи стимулирует учащихся на её решение. Задача 2. Имеется амбар. Ширина 3 чжана, длина 4 чжана 5 чи; наполняющее его просо составляет 10000ху. Спрашивается, какова высота амбара? (1 чжан = 10 чи; 1 ху = 51,775 литра; 27 чжан = 10000ху) Данная задача на применение формулы объема прямоугольного параллелепипеда. Задача 3. Продали 2 буйвола, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйвола, 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8 свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Сколько в отдельности стоит буйвол, баран и свинья? Задача может быть предложена при решении систем линейных уравнений, но для более сильных учащихся, т.к. содержит три переменных. Задача 4. (из «Математического трактата о морском острове») На холме растет сосна неизвестной высоты. Внизу на равнине поставлены два шеста, каждый высотой 20 футов, на одной прямой с деревом и на расстоянии друг от друга в 50 шагов. Верхушка дерева и конец первого шеста образуют прямую с точкой на земле, расположенной в 7 шагах и 4 футах позади шеста. Верхушка дерева образует опять-таки прямую линию с концом заднего шеста и точкой на земле в 8 шагах и 5 футах позади шеста. Требуется узнать высоту сосны и расстояние от переднего шеста до холма (1 шаг = 5 футов; 1 фут = 1 чи; 1 чжан = 10 чи). Эта геометрическая задача решается при изучении темы «Подобие треугольников» 29 Народности Индии уже в глубокой древности создали богатую и разнообразную культуру, оказавшую впоследствии влияние на другие народы. Уже в период первобытно – общинного строя (XXX – XXI вв. до н.э.) индийцы сооружали оросительные каналы, были знакомы с прядением и ткачеством, применяли гончарный круг. Тогда же они строили хорошо распланированные город, в которых были системы водоснабжения и многоэтажные здания, овладели искусством, успешно развивали ювелирное дело. В течении второго тысячелетия до н.э. на территории Индии происходил процесс формирования рабовладельческих государств, закончившийся к X – VIII вв до н.э. С IV века до н.э. по VIII век индийские народности были объединены. В этот период накопились знания во всех областях культуры и науки, в том числе астрономии и математики. Первые индийские математические тексты появились в эпоху составления религиозно – философских книг «Знания» («Веди»)в 1-м тысячелетии до н.э. Другие важнейшие математические рукописи появились с V по XVI век. Все они написаны на санскрите – языке индийской религии и науки. Ряд книг написан в стихах; правила, сформулированные в коротких строфах, заучивали. Математика издавна пользовалась в Индии глубоким уважением. Такое отношение к ней отчетливо выразил Брахмагупта (VII век): «Подобно тому, как солнце затмевает своим блеском звезды, так мудрец затмевает славу других людей, предлагая и особенно решая на народных собраниях математические задачи» и Бхаскара II (XII век): «Я глубоко почитаю математику, потому что знакомые с нею имеют в ней средство и понимание всего существующего; она есть основание всего видимого». 30 Задача 1. Известна во многих учебниках алгебры при изучении темы «Геометрическая прогрессия» «В старинной легенде рассказывается, что изобретателю шахмат предложили просить любую награду. Он попросил себе следующую: в первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, во вторую – 2, на третью – 4 и т.д. Сколько зерен запросил мудрец себе в награду?» Задача 2. « Два светила находятся на данном расстоянии друг от друга и движутся с разными скоростями. Когда они встретятся?» Эта задача обошла мировую алгебраическую литературу под названием «Задача о курьерах». Заимствована она из астрономии. И вполне может быть рассмотрена при решении задач на движение. Задача 3. (Брахмагупты) «Найди высоту свечи, зная длины теней, отбрасываемых гномоном в двух различных положениях, при условии, что известно расстояние между гномонами». Задача 4. (Шрихарды) Есть кадамбы цветок, На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла Вся в цвету сименгда И на ней третья часть поместилась. Разность ты их найди, Её трижды сложи И тех пчел на кутай посади. Лишь одна не нашла Себе места нигде. Все летала то взад, то вперед И везде ароматом цветов наслаждалась. Назови мне теперь, Подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось? 31 Задача сводится к решению простого линейного уравнения. х/5 + х/3 + 3 (1/3х – 1/5х) + 1 = х Задачи, вызывающие спор. «Два железнодорожных пути пересекаются под прямым углом. По направлению к перекрестку движутся два поезда: первый со скоростью 800м/мин, второй – 600м/мин. В 10 часов утра первый поезд находился в 40 км от перекрестка, второй в 50 км. В какой момент расстояние между поездами будет минимальным? Где будут находиться поезда в этот момент?» Не задумываясь, многие учащиеся отвечают, что минимальное расстояние между поездами тогда, когда один из них находится на перекрестке. Но некоторые оспаривают этот ответ, утверждая, что минимальное расстояние между поездами может быть и в тот момент, когда они оба ещё не дошли до перекрестка. Для точного ответа нужно рассмотреть решение чисто математически. Решая эту задача, учащиеся 9 класса вводят прямоугольную систему координат так, чтобы оси ОХ и ОУ совпали с направлением железнодорожных путей и предполагают, что верный ответ будет при расположении поездов как на первом рисунке. Теперь задача сводится к нахождению расстояния d между точками А1 (0; 40 – 0,8t) и В1 (50 – 0,6t; 0), где t (мин) – время движения поездов после 10 часов утра: d = А1В1 = (50 - 0,6t)2 + (40 – 0,8t)2 = t2 - 124t + 4100 = (t – 62)2 + 256 ≥ 16. Отсюда ясно, что dmin = 16 км при t = 62 мин. За 62 минуты первый поезд, идущий от точки А, пройдет 49,6 км, т.е. окажется за точкой О, за перекрестком. Второй поезд пройдет 37,2 км, значит он не дойдет до перекрестка 12,8 км. Таким образом, истинное расположение поездов будет таким, как на втором рисунке. Решив задачу, учащиеся увидели, что формула для вычисления расстояния между точками вывела их из заблуждения, позволив получить и верный числовой результат и правильную схему расположения поездов, которая никак не ожидалась в самом начале. Терпимость формулы к человеческим ошибкам, её запас прочности весьма повышает авторитет этой формулы (да и всей математики вообще) в глазах учащихся. 32 2.4. Пропедевтика аналитического аппарата в геометрических задачах После изучения темы «Упрощение выражений в 6 классе можно рассмотреть с учащимися геометрические задачи, которые решаются с помощью уравнений. При этом учащиеся убедятся, что уравнения могут быть получены в результате буквенной записи соотношений между элементами фигуры. На первом этапе обязательным сопровождением такой задачи является чертеж, предъявляемый школьникам. На чертеже указано, какая величина обозначена через х и какие обозначения получили другие величины. Приведем несколько примеров задач для решения на данном этапе. 1.1 Составьте уравнение по рисунку и решите его. Найдите длины отрезков, обозначенных на рисунке 3х и 2х. АВ + ВС + СД = 120 см. 1.2. Периметр треугольника на рисунке равен 288 см. найдите стороны треугольника. 1.3. Площадь четырехугольника на рисунке равна 27 см2. Четырехугольник разбит на равные треугольники площади хсм2. Найдите площадь заштрихованной части четырехугольника. 1.4. На рисунке изображены два прямоугольника, имеющие равные площади. Найдите неизвестную сторону второго прямоугольника. 33 1.5. Составьте уравнение по рисункам и решите их. 1.6. Используя рисунок, составьте уравнения и решите их, если объем прямоугольного параллелепипеда в случае а) 16дм3; б) 135дм3; в) 6м3. Решая подобные задачи учащиеся учатся «читать» чертежи, находить в условии задачи данные для составления уравнения, обосновывать составление уравнения, интерпретировать полученные результаты. Беседа по вопросам обеспечивает активизацию учащихся. Вопросы могут быть следующие: «Какая фигура изображена на рисунке? Что известно в задаче? Что требуется найти? Как составить выражение для нахождения неизвестной величины?» Рассмотрим теперь следующий этап – составление уравнения к текстовым задачам с геометрическим содержанием. Теперь уже ребятам самим придется сделать чертеж к задаче и на нем указать алгебраические выражения, с помощью которых будет составлено уравнение. 2.1. Отрезок АВ равен 20см. Точка С делит отрезок АВ на два отрезка, причем отрезок ВС в три раза длиннее отрезка АС. Найти длину отрезка АС. Решите с помощью уравнения.. 2.2. одна из сторон прямоугольника в три раза короче другой. Найдите стороны прямоугольника, если периметр равен 192см. Решите двумя способами: с помощью уравнения и без него. 2.3. Одна из сторон прямоугольника в два раза больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь 50см2. 34 При решении таких задач важно концентрировать внимание учащихся на основных моментах: введение неизвестного, обозначение других величин через неизвестное, составление выражения, описывающего соотношения между величинами, составление уравнения. Полезно разобрать различные уравнения к одной и той де задаче. Например, если в задаче 2.3. обозначить через х меньшую сторону, то уравнение получится 2х х = 50. Если же принять за х большую сторону, то уравнение примет вид 0,5х х = 50. Надо дать учащимся право самим сделать выбор и, вводя неизвестное х, составить уравнение, а затем убедиться, что при любом выборе мы получаем одинаковый результат. На третьем этапе можно приступить к заданиям по геометрической интерпретации уравнений. 3.1. По уравнению 6х + 3х + 5х = 28 составьте задачу на: а) нахождение длин звеньев ломаной; б) длин сторон треугольника. Сделайте рисунок. 3.2. Составьте задачу на нахождение длин сторон квадрата, которая может быть решена с помощью уравнения х2 = 9. Сделайте рисунок. 3.3. Составьте задачу на нахождение длин сторон прямоугольника, которая может быть решена с помощью уравнения 3х2 = 27. Сделайте рисунок. 3.4. Составьте задачу на нахождение длин ребер куба, которую можно решить с помощью уравнения х3 = 27. Сделайте рисунок. 3.5. Дано уравнение 2,5х = 15. Составьте по этому уравнению задачу на нахождение длины одного из прямоугольников, имеющих равные площади. Рассмотрим эту задачу подробнее. Прежде чем приступить к ней, продемонстрируем учащимся следующие заготовки (как в задаче 1.4.): 35 Обсудим различные возможности записи уравнения 12х = 48: а) 2х 6 = 12 4 ; б) 3х 4 = 3 16 ; в) 4х 3 = 2 24 и т.п. Далее переходим к задаче 3.5. Обсуждаем с учащимися различные варианты записи уравнения 2,5х = 15 и поясняем их соответствующим рисунком: Учащиеся подводятся к тому выводу, что уравнение можно записать по-разному и для каждой записи найти соответствующие размеры прямоугольников. Ребята также убеждаются в том, что по одному и тому же уравнению можно составлять задачи с различными данными. В более подготовленном классе работу можно усложнить, предложив учащимся самостоятельно составить задачу с совершенно другой фабулой по тому же уравнению. Возможность различных геометрических интерпретаций одного и того же уравнения создает условия для гибкости математического мышления учащихся. Систематическое составление уравнений по рисункам геометрических фигур и, наоборот, указание геометрических интерпретаций (подчас неоднозначных) к данным аналитическим выражениям заставляет учеников мыслить в двух противоположных направлениях, что способствует формированию нешаблонного мышления. Четвертый этап аналитической пропедевтики - составление математической модели. Рассмотрим следующие задачи: 4.1. Ученической бригаде поручили покрасить забор в детском саду. Высота забора 1м, длина 240м. В день бригада может покрасить 96 м2. 36 Сколько дней потребуется для выполнения работы (при двусторонней покраске)? 4.2. Сколько метров ткани шириной 1,5м потребуется, чтобы изготовить покрытие для арены цирка, если диаметр арены 13м? При правильном раскрое площадь раскраиваемой ткани составляет 120% покрываемой площади. 4.3. Найдите высоту слоя песка, если для засыпки прямоугольной площадки размерами 4м и 6,9м было израсходовано 13,8 м3 песка. 4.4. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 1,8 1 1м. Сколько времени потребуется для заполнения аквариума водой, если в минуту в него поступает 30л? При рассмотрении каждой из этих задач определяется форма предмета и устанавливается та величина, которая интересует нас в решении прежде всего – площадь, объем, длина и т.д. Наиболее сложной представляется задача 4.2. Перед её решением необходимо повторить формулу площади круга и определение процента. Затем организуется беседа по вопросам: «Какую форму имеет арена цирка? Как узнать её площадь? Какую величину в задаче можно принять за 100%? Что спрашивается в задаче? Какую форму имеет отрез ткани? Какую величину удобнее принять за х?» В итоге беседы учащиеся приходят к выводу, что сравниваются площади круга и прямоугольника. Можно сделать следующие записи: Площадь круга (м2) 3,14 6,52 Площадь арены излишком в 20% (м2) 3,14 6,52 1,2 с Площадь отреза ткани (м2) 1,5х Решение задач с практическим содержанием имеет большое значение – развивает интерес к математике, показывает учащимся силу математического метода. Получая в ходе решения практической задачи её математическую модель – уравнение – и, наоборот, составляя практические задачи, для которых данное уравнение является математической моделью, учащиеся овладевают способами действий, лежащих в основе математического моделирования. 37 2.5. Задачи, предлагаемые при изучении некоторых тем 8 класса. Тема «Рациональные дроби» Из одного и того же пункта в одном и том же направлении отправляются Чебурашка со скоростью V1 и через t часов Крокодил Гена – со скоростью V2. Через сколько часов он догонит Чебурашку? У хозяйки – корзина слив. Она дала первому гостю половину всех и ещё одну, второму – половину остатка и ещё одну, третьему – половину второго остатка и ещё слив. Глядь – а корзина пустая. Сколько в ней было слив? Редактор стенгазеты 8 класса «Веселая перемена» поместил заметку: «Быстрее всех на школьных соревнованиях стометровку пробежал ученик нашего класса – Коля. Другие наши одноклассники пришли к финишу в таком порядке: Миша, Паша, Федя. И что удивительно – с одной той же разницей в скоростях: Коля затратил на эту дистанцию 12 сек., Миша – 13, Паша – 14, а Федя – 15». Проверьте, прав ли журналист? Тема «Квадратный корень» Крокодил Гена плывет на корабле «Черепаха» со скоростью полузла и хочет догнать Чебурашку, который на корабле «Змей Горыныч» покрывает 100t + 100 миль за t часов. Удастся ли ему это? По периметру сквера, имеющего форму ромба надо посадить деревья на расстоянии 5 м друг от друга. Известно, что площадь сквера 5808 м2, а длины дорожек, идущих по диагоналям, относятся как 3 : 4. Сколько саженцев нужно для посадки? Арка моста имеет форму параболы у = 0,04(100 – х2) высота её 4 м, ширина основания 20 м. под ней проходит плот с грузом, упакованным в контейнер. Найти зависимость максимально возможной ширины контейнера от его высоты. Вычислите возможную ширину контейнера высотой 3м. 38 Царь Салтан строит крепость в форме круга площадью в одну квадратную версту. И думает, какой же длины будет крепостная стена? На сколько короче эта стена по сравнению со стеной квадратной крепости с той же площадью? Тема «Квадратные уравнения» На рисунке изображен проект теплицы. На её покрытие имеется 89 м2 пленки. Заданы размеры теплицы: высота 2 м, длина 5м, наклон крыши - 45º. Найдите ширину теплицы, чтобы оптимально использовать пленку. Мальчик, стоя на склоне горы в 16м от её основания, ударил по футбольному мячу. Мяч катился вверх 3 секунды и укатился на 9м. через какое время он скатится с горки? У ученика 8 класса имеются резисторы с сопротивлением 2 Ома, а ему нужен резистор на 8,5 Ома. Восьмиклассник стал собирать схему их двух блоков, соединяя из последовательно: в первом блоке он соединил последовательно несколько резисторов, а во втором блоке столько же – параллельно. Получит ли он нужное сопротивление? тема «Неравенства» Мама с дочкой 55 минут лепили пельмени. Пока дочь лепит 3 пельменя, мама успевает сделать не меньше 4 штук, но через каждые 15 минут она отвлекается на 5 минут, чтобы раскатать тесто. Кто слепил больше пельменей? Бублик имеет дырку радиусом 5 см, а радиус внешнего края – 7 см. Оцените объем бублика. Из куска проволоки диной 20 см требуется изготовить модель треугольника со сторонами 7 и 9 см. какой может быть третья сторона? 39 тема «Степень с целым показателем» Среднее равно: o o o o o o o o o расстояние от Солнца до планет солнечной системы Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон 58 млн.км 108 млн.км 150 млн.км 228 млн.км 778 млн.км 1430 млн.км 2870 млн.км 4500 млн.км 5900 млн.км Выразить это расстояние в световых годах (1 св.год = 9,461012 км) Окись углерода вредна для здоровья, в жилых помещениях её содержание не должно превышать 0,2 10-2 г/м3. Какое максимально допустимое число молекул может находиться в помещении размером 4 5 2,5 м? В тридевятом царстве живет дракон, который увеличивает свой вес за день в 4 раза, если поймает и съест добра молодца; вдвое, если – красну девицу, и худеет на половину своего веса, если останется без добычи. За год он съел 15 девиц и 112 молодцев. Как изменился его вес за это время? 40 2.6. Задачи, предлагаемые при изучении некоторых тем 9 класса. тема «Квадратичная функция» Требуется изготовить ковш в форме усеченного конуса объемом 3л, высотой 20см, с диаметром нижнего основания 10см. Каков диаметр верхнего основания? справка: объем прямого усеченного конуса равен V = h/12 (d12 + d1d2 + d22), где h – высота, d1 ,d2 – диаметры оснований Агрономическими опытами установлена следующая зависимость между среднесуточной температурой Т, при которой выращивалась пшеница, и её урожаем У: Т (ºС) У (кг/м2) 14 0,91 16 1,06 22 0,88 Найдите квадратичную зависимость у = аТ2 + вТ + с между урожайностью и температурой. По этой зависимости найти оптимальную температуру, которая обеспечивает максимальный урожай. После начала торможения движение электропоезда описывается законом S = 16t – 0,1t2, а скорость меняется по закону V = 16 – 0,2t, где t – время (с), V – скорость (м/с), S – пройденный путь (м). через сколько секунд поезд остановится? Каков его тормозной путь? Составьте таблицу изменения скорости и пройденного пути за это время (с интервалом 10 сек) и нанесите на графики S = S(t) и V = V(t). Тема «Неравенства» Из автомата выстрелили вертикально вверх, пуля полетела с начальной скоростью 500 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, через какое время после выстрела пуля будет находиться выше 4,5м. Разбивается парк. Частью его является прямоугольная лужайка с площадью не менее 1 га, а одна из сторон прямоугольника на 45см больше другой. Вокруг лужайки строится дорожка шириной 4м. сколько для нее потребуется гравия, если его насыпать слоем не менее 15см? Тема «Целые уравнения» Среднее геометрическое двух положительных чисел обычно меньше среднего арифметического. Например, для чисел а = 9, в = 41 25 (а + в)/2 = 17, ав = 15, т.е. ав (а + в)/2. Докажите это неравенство. Найдите, в каком случае оно превращается в равенство. Когда среднее геометрическое составляет 60% от среднего арифметического? В кружке технического творчества устроили соревнование роботов на дистанции 600м. первый робот прошел 200м с некоторой начальной скоростью V, затем 378м – со скоростью на 2м/мин большей и остановился – кончился ресурс батарей. Второго робота сразу запустили со скоростью (V + 1) м/мин, а через 540м скорость увеличили ещё на 2м/мин. Через 56м остановился и второй робот, пройдя на 3мин больше первого. Так как они не преодолели дистанцию, победу присудили первому роботу, который прошел дистанцию с большей скоростью. Найдите его начальную скорость. Тема «Системы уравнений» Уравнение орбиты Земли у2 = 0,9997 (1 – (х - 0,017)2), а уравнение траектории кометы Галлея у2 = 0,06466 (322,2 – (х – 17,36)2). Может ли Земля столкнуться с кометой Галлея? Чтобы найти точки пересечения траекторий этих двух небесных тел, надо решить систему уравнений у2 = 0,9997 (1 – (х - 0,017)2), у2 = 0,06466 (322,2 – (х – 17,36)2). Левые части уравнений равны. Приравнивая правые, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим 0,9353х2 – 2,211х + 0,3493 = 0, х2 – 2,364х + 0,3734 = 0. Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти дискриминант Д/4 = 1,1822 – 0,3734 0, Следовательно, уравнение имеет корни, и есть вероятность столкновения Земли с кометой Галлея. Незнайка заказал Винтику и Шпунтику шкаф. - Чтобы одна сторона была 210, другая – 280, а третья – 300 - Чего? Сантиметров? - Нет. Дециметров - Как это? - Квадратных Найдите размеры шкафа. - Эй, чей это луг вы косите? - Маркиза Карабаса! – в один голос отвечали косцы. Помните, что дальше было в сказке «Кот в сапогах»? - А кому принадлежат эти поля? - Маркизу Карабасу. 42 Дальше был сад, мельница и, наконец, замок. Его величество не мог, конечно, не оценить прекрасных владений маркиза и поинтересовался их размерами. Так вот, дорога, по которой ехали король, принцесса и марких, была длиной 2 лье, т.е. 9км. Угодья слева от дороги (луг и поле) – 2900га, а сад – 800га. Найдите размеры всех угодий. поле поле сад луг тема «Последовательности» На Поле чудес растут волшебные деревья с золотыми монетами. Каждую ночь на каждом дереве вырастает одна монета.1 мая на них висело 1000 монет. В мае Буратино посадил еще одно дерево. 31 мая на деревьях стало 1995 монет. В какой день Буратино посадил дерево? Какую последовательность образует количество монет на деревьях каждый день мая? Каждая ступенька пирамиды имеет форму параллелепипеда с квадратом в основании и одну и ту же высоту - 0,8м. Сторона основания пирамиды-50 м, а у каждой следующей ступени она уменьшается на 2 м. Сколько ступеней у пирамиды, какова сторона основания последней? Каковы высота и объем пирамиды? Сосчитайте, сколько мух появилось бы за полгода от одной пары, если бы их потомство не погибало, а полностью сохранялось. Муха откладывает 160 яиц, будем считать, что в новом поколении половина само, они становятся взрослыми через 20 дней и откладывают яйца только один раз. Чтобы представить себе количество мух через 6 месяцев, оцените, как они будут 43 распределены по всей суше (площадь суши на земле – 1, 5 108 км2 = 1,5 1014 м2) Банк начисляет вкладчику за год долю х от вклада ( т.е 100 х %). Какая сумма будет на счету через t лет, если первоначальный вклад был Р руб.? Тема «Степень с рациональным показателем» Периоды обращения планет вокруг Солнца приведены в таблице (в земных годах): Меркурий 0,24 Венера 0,62 Земля 1 Марс 1,9 Юпитер 12 Сатурн 29,5 Уран 84 Нептун 165 Плутон 248 Вычислите средние расстояния от Солнца до этих планет (в астрономических единицах). Справка: если известны периоды обращения планет и расстояние R1 от Солнца до одной из планет, то другие расстояния можно найти по закону Кеплера: R2 = R1 (T2/T1)3/2 . Среднее расстояние от Солнца до Земли равно 1 а.е. = 149597892 км. Хозяйка сварила суп и кашу. Чтобы кастрюля с кашей не остыла слишком быстро, она завернула её в одеяло, а суп оставила на плите. Через час температура каши понизилась до 60º, а супа – до 30º. При этом температура воздуха в комнате была 20º. Какова будет температура супа и каши через 2 часа? Составьте таблицу зависимости их температур от времени (0 t 60мин) с шагом 5 мин. И нанесите обе кривые на один график. Справка: температура тела изменяется по закону Ньютона Т = (То – Тс)/2кt + Тс, где То = 100º - начальная температура тел, Тс = 44 20º - температура среды. Значения коэффициента k найти из условия, что температуры через t = 60мин известны. Скорость резания, допустимая при обтачивании стали на токарном станке, вычисляется по формуле V = 580 Т-1/3 Н-1/5 а-2/5 (м/мин), где Т(мин) – стойкость резца (время непрерывной работы до затупления), Н (мм) – глубина резания, а (мм/об) – скорость подачи. Вычислите V при следующих значениях параметров: Т=60 мин, Н = 3мм, а = 0,2 мм/об. Тема «Тригонометрия» Есть много способов измерения недоступных расстояний путем решения треугольников. Вот один из способов определения высоты скал, зданий, к которым нельзя подойти (недоступно основание высоты). Измеряют базис а и углы , . Как найти Н? а = АС – ВС = Нctg - Hctg = H (ctg - ctg), Н = а / (ctg - ctg) Кастрюля диаметром 26см и высотой 15см наполнена водой. Под каким минимальным углом к горизонту надо посмотреть, чтобы увидеть центр её дна? Какова будет при этом «кажущаяся глубина» кастрюли – больше или меньше реальной глубины? Чтобы увидеть центр дна, угол отражения должен быть равен ВСО. Найдем соответствующие ему углы , : sin = ОВ/ОС = 0,655 sin = 1,33 0,65 = 0,871, = 60º35, где 1,33 – показатель преломления двух сред для воды. 45 Угол к горизонту = 29º25. «Кажущаяся глубина» будет равна отрезку О1Д (точку О мы видим на месте О1), т.е. h1 = О1Д = СД ctg = 13 0,563 = 7,3см h/2. Приведем еще несколько примеров задач. Три латунных куба с ребрами 3, 4, и 5 дм переплавили в один куб. Найти длину ребра получившегося куба. Чугунная труба имеет квадратное сечение, её внешняя ширина 25 см, толщина стен 3см. какова масса одного погонного метра трубы? Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цистерна, имеющая форму цилиндра, с диаметром 18 м и высотой 7 м. (В данных задачах возникает необходимость взять из справочного материала плотность чугуна и нефти) Бревно длиной 20 дм имеет форму усеченного конуса с диаметрами 2 дм и 1 дм. Необходимо вырубить брус с квадратным сечением максимального объема, ось которого совпадает с осью бревна. Диаметр Луны составляет ¼ диаметра Земли. Сравните их объемы. Сколько кубических метров земли потребуется для клумбы в форме шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см. Стаканчик мороженого имеет форму конуса высотой 12 см и диаметром 5 см. в стаканчик положили две ложки мороженого в форме полушарий диаметра 4 см. переполнит ли мороженое стаканчик? 46 Заключение Цели прикладной направленности обучения математике: формирование конкретных представлений о роли и месте математики в жизни современного общества и формирование знаний, умений и навыков, необходимых для решения практических задач с помощью математики. Главное в работе учителя по усилению прикладной направленности обучения – постоянная ориентация на применение изучаемого и системный подход к этой проблеме, заключающийся в следующем: 1. Усиление прикладной направленности при изучении основных содержательных линий. При этом задача учителя состоит в том, чтобы наполнить абстрактные понятия жизненным содержанием, убедить учащихся в необходимости математического метода познания и показать, что математические знания нужны не только тем, кто посвятит себя научной деятельности, но и тем, кто станет заниматься практическими делами. 2. Реализация прикладной направленности обучения с учетом структуры и логики построения учебного материала (осуществление внутрипредметных связей при изучении основных содержательных линий) 3. Осуществление двухсторонних межпредметных связей. У значительной части учащихся интерес к математике проходит именно через знакомство с её приложениями, когда они видят реальную пользу абстрактных теорий. 4. Использование внеклассной работы для усиления прикладной направленности обучения математике, основными направлениями которой являются: Развитие представлений о широте применимости и роли математики в науке, технике и производстве Углубление математических знаний (изучение внепрограммного материала прикладного характера) Формирование умений применять математические знания в практической деятельности Развитие прикладных умений и навыков Возможностей для этого много: факультативы, кружковая работа, вечера, конференции, викторины, конкурсы, ученические рефераты, оформление кабинета математики. 47 Список использованной литературы 1. А.А.Темербекова. Методика преподавания математики. Учебник для ВУЗов. 2003г. 2. В.П.Краснощекова. Прикладная направленность обучения математики в средней школе. Методические разработки по спецкурсу. Пермь, 1997г. 3. Ю.М.Колягин. Задачи в обучении математике. М.:Просвещение.1997г. 4. Н.А.Терешин. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. Для учителя. М.: Просвещение. 1990г. 5. И.М.Шапиро. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. М.: Просвещение, 1990г. 6. А.Е.Малых. История математики в задачах. ПОИПКРО, Пермь 1994г. 7. М.А.Фоминых, Ю.Ф.Фоминых. Алгебра – 8. Прикладные задачи. Пермь, 1993г. 8. М.А.Фоминых, Ю.Ф.Фоминых. Алгебра – 9. Прикладные задачи. Пермь, 1993г. 9. «Математика в школе». Научно – методический журнал. №2, 1981г.; №5, 6, 1985г.; №2,3,1987г.; №2, 1988г.; №2, 1990г.; №3, 1991г. 10.Математика. Приложение к газете «Первое сентября», «№ 11, 12, 2004г. 11.Региональные стандарты математического образования для города Перми. Пермь, 1995г. 48 ПРИЛОЖЕНИЯ 49 Результаты районного мониторинга по математики в 2003 - 2004 учебном году В 2003 – 2004 учебном году в МОУ «СОШ № 55» был проведен районный мониторинг, во время которого один из этапов назывался «Прикладная направленность математики». В мониторинге участвовали все учащиеся 5 – 11 классов. Проанализировав результаты выполнения данных работ в классах, в которых я работала (9 «Д» и 5 «Б»), получились следующие результаты: 9 "Д" класс 100 50 0 числа и вычисления выражения и преобразования уравнения и неравенства геометрия функции май.03 53 38 52 58 39 окт.03 67 59 67 80 77 фев.04 81 47 75 61 5 "Б" класс 120 100 80 60 40 20 0 числа и вычисления выражения и преобразования уравнения и неравенства геометрия функции май.03 94 68 87 64 62 окт.03 93 71 96 60 78 фев.04 91 50 75 50 В обоих классах к началу нового учебного 2003 – 2004 года показатель успеваемости по всем содержательным линиям находится на довольно высоком уровне (октябрь 2003 года). При написании теста с тематикой «Прикладная направленность математики» (февраль 2004) результаты в целом хорошие. В большинстве содержательных линий процент успеваемости намного выше отметки 50 %. Падение в целом успеваемости при написании данного теста можно объяснить лишь спецификой заданий прикладного характера. Причем очень высокий уровень написания прикладного теста учащимися 5 «Б» класса объясняется тем, что учащиеся идут по программе «Школа 2100», в которой достаточно много места и времени уже в рамках программы отдается заданиям прикладного характера, навыкам логического мышления. Учащиеся без труда решают задания, не требующие специальных математических умений и навыков, а лишь необходимо применить математические методы решения тех или иных заданий. 51 Конспект урока в 8 классе «Вписанный угол и его величина» Данный урок является пятым из семи уроков, отведенных на изучение темы «Окружность». На одном из первых уроков ученицей класса была проведена беседа, знакомящая учащихся с историей возникновения термина «окружность» и её основных элементов. Окружность – самая простая из кривых линий. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная должна двигаться по самой совершенной линии – окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружности. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учениями Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона. Ещё вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус. Слово это латинское и означает «луч». В древности не было этого термина. Евклид и другие ученые говорили просто «прямая из центра». В одной латинской рукописи XIв., названной «Искусство геометрии» и приписывается римскому автору Боэцию, встречается впервые термин «полудиаметр». Его употребляли также Фибоначчи и Неморарий (XIIIв.), Региомонтан (XVв.) и Тарталья (XVIв). Термин «радиус» впервые встречается в «Геометрии» французского ученого Рамуса, изданной в 1568г., а затем у Франсуа Виета. Последний писал, что «радиус» - это «элегантное слово», которое римские поэты Овидий и Виргилий употребляли в смысле «луч». Известный римский оратор Цицерон как-то сказал: «Шар образован равными радиусами (лучами), выходящими из его центра». Термин «радиус» становится общепринятым лишь в конце XVIIв. Термин «хорда» (от греческого «хорде» - струна) был введен в современном смысле европейскими учеными XII – XIIIвв. Определение касательной, как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике «Элементы геометрии французского математика Лежандра (1752 – 1833). В «Началах» Евклида дается следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении его не пересекает. 52 То, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, было известно ещё Архиту Тарентскому (430 – 365 гг. до н.э.) Архит – один из талантливейших греческих математиков – пифагорейцев, астроном и государственный деятель. В настоящее время некоторые историки считают его автором VII книги «Начал» Евклида. Древнеримский архитектор Витрувий (Iв.) рассказывает, что Архит был также замечательным инженером – механиком, строил разные машины, в том числе летающего деревянного голубя, детскую трещотку и др. В трудах Архита тесно переплетаются теория чисел, геометрия, теория музыки. Идеи Архита оказали большое влияние на Платона и на дальнейшее развитие греческой математики. Доказательство того, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, отсутствует у Евклида и приписывается Герону Александрийскому. К данному уроку учащиеся знакомы с понятиями касательной и её свойств, центрального угла и его величины. Урок начинается с отгадывания кроссворда, который висит на доске: 10 11 2 6 4 7 1 13 12 9 5 3 8 53 1. Самая совершенная линия по мнению Аристотеля 2. Элегантное слово, которое римские поэты Овидий и Верилий употребляли в смысле «луч» 3. В переводе с греческого – «струна» 4. Хорда, проходящая через центр окружности 5. Часть окружности 6. Единица измерения углов и дуг 7. Угол с вершиной в центре окружности 8. Прямая, которая встречает круг, но при продолжении не пересекает его (Евклид) 9. Прямая, имеющая с окружностью две точки 10.Идеальный параллелограмм, в котором легко вписывается окружность 11.Математик, организовавший в Сицилии свою школу 12.Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания 13.Род искусства, которым помимо геометрии занимался древнегреческий математик Архит После отгадывания кроссворда, по вертикали образуется слово «вписанный» - это и будет тема сегодняшнего урока, вводится определение вписанного угла. На доске рисунок: Найти на рисунке понятия и их свойства: окружность, радиус, диаметр, хорда, касательная, секущая, дуга, центральный угол, вписанный угол. Используя эти факты, самостоятельная работа по рядам (можно совещаться) с последующим обсуждением у доски: 54 ВС = радиусу Найти:АВС АОС АВ:ВС:АС=1:2:3 Найти:АВ, ВС, АС АД = 70º, ВС=50º АО = 15 Найти:ДС, ДОВ. Далее доказывается теорема о величине вписанного угла с рассмотрением первых двух случаев, третий случай дается в домашнюю работу. После доказательства запись двух следствий: - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны - вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой Потом решение трех устных задач на применение величины вписанного угла и его свойств: 1. Какой угол охватывает глаз лошади, когда она находится на краю арены, если она видит 1/6 часть окружности? 2. Под каким углом баскетболист видит сторону площадки с кольцом, находясь на трехочковой линии? 3. Какой величины надо отрезать дуги от дольки апельсина для украшения торта, если нужно вырезать равносторонний треугольник? В оставшуюся часть урока решение заданий из учебника. 55 Конспект урока математики в 5 классе «Восхождение на Олимп или ещё раз об обыкновенных дробях» Весь урок построен по типу «путешествия». На своем пути учащиеся встречаются с математиками Древней Греции, которые предлагают им различные задания. К данному уроку учащиеся знакомы со всеми действиями с дробями и умеют решать задачи трех типов на части: нахождение части от целого, целого по его части и какую часть составляет одно от другого. На доске задача, написанная в форме папируса Учащимся предлагается, посмотрев на задачу, назвать тему и цель урока. Совместными усилиями выясняется, тема - «Обыкновенные дроби», цель – повторение и закрепление ранее изученного. Наш сегодняшний урок – один из последних в этой теме. С дробями люди познакомились очень давно, а т.к. самые знаменитые математики были греками, мы с вами отправляемся в Древнюю Грецию, где встретимся с некоторыми математиками. Вспомните, пожалуйста, самое высокое место в Древней Греции – ОЛИМП. И мы отправляемся на «Математический Олимп». Путь наш не короткий, но и не длинный, потому что об обыкновенных дробях вы знаете достаточно много, но ещё и не все; не простой, но и не очень сложный, потому что многие из вас без труда решает сложные задачи. Доска открывается и на ней портреты математиков: Пифагора, Евклида, Фалеса и Архимеда. Итак, первый на нашем пути Пифагор – один из самых известных математиков, родился на острове Самос и знаменит тем, что открыл Пифагорийскую школу, в которой занимались не только математикой, но и другими науками, в частности философией. Одно высказывание мне хотелось бы вам привести: «Сыщи себе верного друга; имея его ты можешь обойтись без богов». Как вы это понимаете? 56 Пифагор первым разделил числа на четные и нечетные, простые и составные. Пифагор предлагает вам отгадать его кроссворд, заодно и вспомним некоторые правила действий с дробями. 2 5 1 4 3 1. Число, показывающее, на сколько равных частей разделено целое 2. Дробная черта – это действие … 3. Деление числителя и знаменателя на одно и тоже число называется … 4. Определите, не прибегая к вычислениям, какое выражение больше (первое или второе): 1 – 1/2003 или 1 – 1/2004? 5. Плод банан состоит из кожуры и мякоти. Кожура составляет 2/5 массы банана. Если бананы весят 10 кг, то сколько весит мякоть? А сколько стихов было написано в Пифагорийской школе. Я начинаю, а вы мне в рифму отвечайте: Каждый может за версту Ну а правильный ответ Видеть дробную черту. Кто мне даст? Над чертой – числитель, знайте, Под чертою – знаменатель. Чтобы дроби вычесть или Дробь такую непременно сложить Надо звать обыкновенной. Надо общий знаменатель Посмотрите, что за дробь – получить Дробь обыкновенная. Дробь на дробь просто умножить Проведем сегодня с ней Надо числители и знаменатели Действия мгновенные перемножить Одна вторая плюс две пятых Несложно дроби и разделить: Сколько будет? … Стоит лишь вторую заменить Действие неверное – Дробью для нас приятной, Действие мгновенное. Называется – обратной. Мы с вами повторили все правила действий с дробями, продолжаем путь дальше. Следующий на нашем пути – Евклид, родившийся в г.Александрия, которая знакома вам по знаменитому Александрийскому маяку – 57 одному из семи чудес света. Евклид является автором первого учебника по геометрии. Одна из легенд рассказывает, что к Евклиду обратился юноша с просьбой взять его в ученики, сказав, что желает изучать геометрию, она ему несомненно нужна. Вместо ответа Евклид повелел своему слуге:»Дай этому человеку три обола (древняя монета), он ищет в геометрии пользу». Евклид предлагает вам решить несколько задач (по вариантам) Чтобы построить дом, богатому греку нужно нанять 36 рабочих. 4/9 из них должны быть плотники, 1/6 – каменщики, остальные – разнорабочие. Сколько разнорабочих занято на строительстве? На своем участке земледелец посадил 3 локтя пшеницы и 5 локтей гречи, что составило 4/21 от всей площади земельного участка. Какова площадь участка? Фалес. Этот математик родился в г.Милет и также как Пифагор знаменит своей школой. Известно, что Евклид при написании своей книги пользовался очень многими открытиями Фалеса. Говорят, что Фалес первым посоветовал морякам ориентироваться по Полярной звезде. Давайте и мы с вами посмотри на «наше» небо. Учитель лазером рисует на потолке разные цифры – для учащихся это разминка для глаз. А Фалес предлагает вам посчитать. Предлагаются цепочки вычислений, задания к которым разложены на партах заранее. Смысл задания: У каждого ученика карточка с порядковым номером и заданием, которое необходимо выполнить с ответом предыдущего участника. У первого номера пример целиком. Весь класс разбит на три группы (по рядам). Ответы выписываются на доске. Каждый ученик будет выходить для этого к доске – хорошая физическая разминка. Последний математик, встретившийся на нашем пути – Архимед. Он родился в г.Сиракузы. этот великий ученый подарил человечеству крылатое восклицание: «ЭВРИКА!» И я вам предлагаю сделать небольшое открытие. Одним из самых загадочных образов математики является магический квадрат, его «волшебность» заключается в том, что по всем вертикалям, горизонталям и диагоналям сумма чисел одинаковая. Я вам предлагаю его заполнить. Одно число я уже записала, три вы впишите, решив задачи, а остальные посчитаете. 58 1. 3. 2. 1 2 1. Чтобы слепить статую богини скульптору нужно 50 кг различного материала – 24 кг глины, 16 кг гипса, остальное – вода. Какую часть всех материалов составляет вода? 2. Греческая аристократка приобрела на рынке 5 метров льна для пошива платья, 3/25 этого количества она отдаст швеям за работу. Сколько материала получают швеи? 3. На изготовление глиняного горшка у ремесленника ушло 1/10 пуда глины, что составляет 1/7 от всех имеющихся у него запасов. Сколько центнеров глины у ремесленника в запасе? Нужно вписать ответы в соответствующие клетки квадрата и заполнить его до конца. Итак, мы с вами преодолели не простой путь и взобрались на вершину горы, которую образно в начале урока назвали «Математический Олимп». Давайте определим, все ли успешно совершили восхождение. Кто считает, что его вершина достигнута и нечего больше делать? Современную систему записи дробей с числителями и знаменателями создали в Индии, только там писали наоборот – числитель внизу, а знаменатель – наверху. Записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы, но с ними мы встретимся в следующий раз. 59 Урок математики в 6 классе «Немного из истории Перми» (задачи с процентами) За столом учителя сидят два человека за компьютером – контролеры (учителя математики). Парты в классе стоят в два ряда по 6 парт Стол учителя Д О С К А Учитель: мы с вами совершим путешествие по Перми, я буду вашим экскурсоводом, мне помогают мои коллеги - учителя, которые будет фиксировать все ваши ответы и которые в конце путешествия сообщат об итогах. Для того, чтобы начать путешествие, давайте определимся, о чем мы будем говорить и что хотим получить в итоге: изучаемая тема – проценты, задачи на проценты; я уже сказала, что мы отправляемся в небольшую экскурсию по городу Перми. Значит сегодня на уроке мы будем выполнять задания с процентами, в которых речь будет идти о нашем городе. Закрепим свои знания о процентах, узнаем нечто новое т городе Перми. Тема урока «Задачи на проценты» Цель урока: отработать навыки решения задач на проценты Отправляясь в любое путешествие, необходимо взять с собой багаж. Наш багаж – это знания. Проверим их. Теоретические вопросы. - что такое процент – сотая часть числа - как найти 1% от числа – разделить его на 100 - как найти само число, если известен его 1% - умножить известное число на 100 - как перевести проценты в дробь – разделить количество процентов на 100 - как перевести дробь в проценты – умножить дробь на 100 - как найти часть р от числа а – умножить число а на р 60 - как найти само число, если известно, что его часть р равна а – разделить число а на р - как узнать какую часть одно число составляет от другого – разделить меньшее число на большее - расскажите, как найти 15% от 26; число, если его 15% равны 26; сколько процентов составляют 15 от 26 Итак, начинаем мы путешествие от памятника В.Н.Татищеву на экране фотография у памятника В.Н.Татищеву Была та смутная пора, Когда Россия молодая, В бореньях силу набирая, Мужала с именем Петра. Петр 1 ведет долгую 21 – летнюю войну со Швецией за выход к Балтийскому морю, но для того, чтобы воевать Росси нужны пушки, но металл для изготовления пушек Россия закупает у той Швеции через посредничество Англии и Голландии, что было крайне невыгодно. И вот Петр 1 издает указ: «Во всех местах, богатых медистыми песчаниками и рудой, строить заводы, независимо от того, кому бы эти земли ни принадлежали». Предварительную разведку и выбор места осуществил географ, историк и горный деятель - Василий Никитич Татищев. Такое место было найдено – в полуверсте от впадения маленькой речки Егошихи в великую русскую реку Кама. 4 мая 1723 года был заложен первый камень егошихинского медеплавильного завода Давайте и мы с вами поработаем строителями. Основная работа строителей связана с нахождением плоскости рабочей поверхности, чаще всего это прямоугольник. Как найти площадь прямоугольника? На листочках по три задачи. Каждый выбирает за 15 секунд кем бы он хотел работать. Обговаривается алгоритм решения и все решают соответствующую задачу самостоятельно столяры Раздаются прямоугольники. Площадь данного прямоугольника составляет 0,2% от площади пола в кабинете управляющего. Какова площадь кабинета? Измеряются стороны прямоугольника – 14 см и 6см. 14 6 : 0, 002 = 42000 см2 = 4,2 м2 стекольщики Чтобы застеклить все окна в здании управления понадобится некоторое количество стекол общей площадью 150 м2. Сколько понадобится стекол, ширина которых равна 30см и составляет 60% от длины? 61 30 : 0,6 = 50см – длина 30 50 = 1500 см2 – площадь стекол 150 : 0,15 = 100 штук каменщики Для сооружения стены цеха необходимо 2000 кирпичей. Длина кирпича равна 20см, а ширина 40% от длины. Найти площадь стены. 20 0,4 = 8см - ширина; 20 8 = 160см2 – площадь кирпича; 160 2000 = 320000 см2 = 32 м2 – площадь стены Ответы огласим. Оцените сами уровень своих знаний. Решения сдаем. Егошихинский медеплавильный завод проработал 65 лет, истощились запасы медистого песчаника и в 4 верстах от него, на речке Мотовилья был заложен новый завод. Этот завод является одним из крупнейших в Перми и сейчас. Самыми известными произведениями творениями мотовилихинского завода являются знаменитая пермская царь - пушка и паровой молот фотографии на экран. В первые дни Великой Отечественной войны рабочие завода получили ответственное задание: всего за месяц освоить и пустить в производство необходимое для фронта вооружение. На экран фотографию На листочках задачи разного уровня сложности. Учащиеся сами выбирают, что решать. Все решают в тетрадях самостоятельно. (1) За 2 месяца с начала выпуска новых пушек на фронт было отправлено 2000 орудий. Из них 85% сразу попали на передовую. Сколько пушек осталось в запасе? 2000 · 0,85 = 1700 – орудий на передовой 2000 – 1700 = 300 – в запасе. (2) В годы войны в сталелитейном цехе трудились 24 подростка в возрасте 14 – 15 лет, 46 женщин, а остальные старики. Какую часть всех работников составляли старики, если всего работало 80 человек? 80 – (24 + 46) = 10 человек – старики 10 : 80 = 0,125 = 12,5% Сдаем работы контролерам. Наш город по праву считается крупным промышленным центром, но и культуре в городе всегда уделялось большое внимание Одной из самых значимых фигур культурной жизни Прикамья является Сергей Павлович Дягилев. В конце 19 века семья Дягилевых жила в городе Перми. 62 На экран фотография дома Дягилевых. Сергей закончил Пермскую гимназию, получил блестящее образование. Дом Дягилевых был одним из самых культурных в Перми. Сюда собирались артисты, музыканты. Представим, что мы на концертной площадке. У всех на листочках одна задача. Желающие выступить артистом приглашаются к доске. Вышедший решают задачу, к нему может быть приглашен для создания дуэта ещё человек. (В это время фоном идет музыка) На благотворительный концерт были приглашены 28 кадетов, что составляет 56% от всех приглашенных на концерт, 24% - ученицы женской гимназии и несколько воспитанников приюта. Но в последний момент две ученицы отказались и их места были отданы в приют. Сколько воспитанников приюта пришло на концерт и какую часть от всех приглашенных они составляют? 28 : 0,56 = 50 человек всего на концерте 50 0,24 = 12 учениц приглашено 12 – 2 = 10 учениц пришло 50 – (28 + 10) = 12 воспитанников приюта 12 : 50 = 0,24 = 24% - воспитанники приюта Итак наше путешествие завершено, его конечный пункт – школа 55 Пока наши контролеры подводят итоги, я предлагаю обсудить то, что произошло сегодня на уроке. Как вы считаете, достигли ли мы цели урока? Отработать навыки решения задач на проценты? Что нового вы узнали для себя? В истории нашего города есть немало страниц, которые вы пока не знаете, И от того какой вклад в историю нашего города внесем мы с вами, зависит, вспомнит ли о нас когда – нибудь наши потомки. Что скажут наши контролеры? 63 Результаты анкетирования учащихся 6«б» класса на уровень мотивации на уроках математики Анкетирование было проведено психологом школы. Учащимся класса были предложены вопросы: 1. Тебе нравится на уроках математики или нет? 2. Утром, когда ты просыпаешься, и знаешь, что сегодня есть урок математики, ты с радостью идешь в школу? 3. Если бы учитель сказал, что на урок математики не обязательно приходить всем, ты бы пришел? 4. Тебе нравится, когда отменяют урок математики? 5. Ты хотел бы, чтобы по математике задавали меньше домашних заданий? 6. Ты хотел бы, чтобы в школе остались только определенные предметы? 7. Ты часто рассказываешь о школе родителям? 8. Ты бы хотел, чтобы у тебя был менее строгий учитель? 9. У тебя в классе много друзей? 10.Тебе нравятся твои одноклассники? Ни для кого не секрет, что в большинстве случаев, успешность ребенка в младших и в 5 – 6 классах, зависит от того, на сколько смотивирован приход ученика на урок. По результата анкетирования было выяснено, что 5% учащихся класса имеют низкую школьную мотивацию, у 24 % преобладает внешняя мотивация, 62% обладают средней нормой и 9% характеризуются высоким уровнем мотивации. Высокий уровень – ребенок положительно относится к предмету; предъявляемые требования воспринимает адекватно; учебный материал воспринимается легко; полно овладевает программой; внимательно слушает указания учителя; выполняет поручения без внешнего контроля; проявляет интерес к самостоятельной работе; занимает благопристойное статусное положение в классе. Средний уровень – ребенок положительно относится к школе; понимает учебный материал; усваивает основное в программе; самостоятельно решает типовые задачи; внимателен при выполнении заданий, указаний, но требует контроля; сосредоточен по интересу; дружит со многими детьми в классе. Низкий уровень – ребенок относится к школе безразлично; жалуется на здоровье; преобладает плохое настроение; нарушает дисциплину; учебный материал усваивает фрагментарно; к самостоятельным заданиям не проявляет интереса; к урокам готовится не регулярно; требует контроля и помощи; пассивен; близких друзей в классе почти нет. Выводы психолога взяты на заметку и при дальнейшей работе с классом на уроках этому вопросу уделяется больше внимания. 64 Творческие работы учащихся при изучении тем: 1. Функциональная зависимость 2. Составление задачи по заданному уравнению 3. Теорема Пифагора 4. Симметрия в жизни 65
