Теоретический материал: Уравнение Слуцкого Для описания декомпозиции изменения маршаллианского спроса в аналитической форме часто используется т.н. уравнение (или тождество) Слуцкого. Чтобы упростить наши выкладки, будем считать, что: - потребителю доступны два блага (1 и 2), - его первоначальный оптимальный набор: ( x10 , x 20 ) - доход потребителя – I, цена первого блага – p1, цена второго блага фиксирована и равна единице - функция маршаллианского спроса на благо 1: x1(p1, I) –> чтобы упростить запись, мы не записываем цену второго блага в числе аргументов, т.к. она все равно не будет меняться Тогда уравнение Слуцкого в простейшей форме можно записать так: x1 ( p1 ' , I ) x1 ( p1 , I ) x1 ( p1 ' , I ' ) x1 ( p1 , I ) x1 ( p1 ' , I ) x1 ( p1 ' , I ' ) общее изменение спроса эффект замещения эффект (1) дохода ЗАМЕТИМ, что это действительно тождество: вы можете привести подобные слагаемые в правой и левой частях уравнения, и убедиться, что оно выполняется для любых параметров p1, p1’, I и I’! Если обозначить каждую из разностей в фигурных скобках как соответствующую Δ (как это делает, например, Хэл Вэриан), уравнение (1) примет вид: x1 общее изменение спроса x1 S эффект замещения x1 N эффект (2) дохода <Нестандартный индекс N, обозначающий доход, вводится здесь лишь временно, ради некоторого технического приема, который вы увидите ниже> Уравнение Слуцкого часто представляют в виде отношений изменений. Разделим обе части уравнения (2) на Δp1: x1 x1 x 1 p1 p1 p1 S N (3) Теперь давайте преобразуем последнее слагаемое в правой части уравнения (3). При декомпозиции по Слуцкому, компенсация должна позволить потребителю при новых ценах приобрести свой первоначальный набор, то есть: ΔI = I’ – I = x1Δp1 = x1(p1’ – p1) p1 I x1 Подставив это в знаменатель последнего слагаемого уравнения (3), получим: x1 x1 x 1 x1 p1 p1 I S N (4) Рассматривая бесконечно малые изменения p1 и I, мы могли бы записать это уравнение в первых производных. Вначале, рассмотрим левую часть уравнения (4): x1 x ( p ' , I ) x1 ( p1 , I ) x1 ( p1 , I ) lim lim 1 1 p1 0 p p1 0 p ' p p1 1 1 1 (5) Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части уравнения (4): x1S x ( p ' , I ' ) x1 ( p1 , I ) lim lim 1 1 p1 0 p p1 0 p1 ' p1 1 ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! В отличие от выражения (5), данный предел уже нельзя рассматривать как частную производную функции маршаллианского спроса по p1, т.к. одновременно c p1 меняется I! 1 Выход состоит в следующем: введем функцию x1S ( p1 , x10 , x20 ) , которая будет показывать, сколько товара 1 потребитель приобретет при цене p1 и компенсированном по Слуцкому доходе I’ (заметим, что тогда I’ полностью задается уравнением I ' p1 x10 x20 – поэтому-то мы и не указываем его в числе аргументов x1S !). Тогда: x1S x S ( p ' , x 0 , x 0 ) x1S ( p1 , x10 , x20 ) x1S ( p1 , x10 , x20 ) lim 1 1 1 2 p1 0 p p1 0 p1 ' p1 p1 1 (6) lim Будем называть функцию x1S ( p1 , x10 , x20 ) функцией компенсированного (по Слуцкому) спроса на товар 1. ЗАМЕЧАНИЕ 1: При декомпозиции по Хиксу, мы используем аналогичный прием: вводим функцию компенсированного (по Хиксу) спроса на товар 1: x1h ( p1 ,U ( x10 , x20 )) . ЗАМЕЧАНИЕ 2: Поскольку в курсах продвинутого уровня практически всегда используется именно декомпозиция по Хиксу, функцию компенсированного спроса часто обозначают как “h”, и называют «хиксианским спросом» (“hicksian demand”) – в противовес обычному («маршаллианскому»). Наконец, рассмотрим второе слагаемое в правой части уравнения (4): x1N x ( p ' , I ) x1 ( p1 ' , I ' ) x ( p ' , I ' ) x1 lim 1 1 x1 1 1 x1 I 0 I I 0 I ' I I lim (7) Имея уравнения (4), (5), (6) и (7), мы можем записать уравнение Слуцкого в дифференциальной форме: 1 А это противоречит определению частной производной функции многих переменных. x1 ( p1 , I ) x1S ( p1 , x10 , x 20 ) x1 ( p1 ' , I ' ) x1 p1 p1 I (8) ЗАМЕТИМ: между уравнениями (4) и (8) возникает некоторая натяжка: в то время как в уравнении (4) знак перед вторым слагаемым в правой части положителен, в уравнении (8) он отрицателен. Формально, никакого противоречия здесь нет. ОДНАКО, чтобы СТАНДАРТИЗИРОВАТЬ запись уравнения Слуцкого, при записи уравнения Слуцкого в дискретной форме (уравнение (4)) экономисты рассматривают эффект дохода с обратным знаком: Δx1I = x1 ( p1 ' , I ' ) x1 ( p1 ' , I ) = – Δx1N. Если в уравнении (4) заменить Δx1N на Δx1I, мы получим канонический вид уравнения Слуцкого в дискретной форме: x1 x1 x 1 x1 p1 p1 I S I (9) Убедительно прошу вас придерживаться именно его, т.к. это профессиональный стандарт. Задача 1. (из прошлого семинара) Функция полезности потребителя задана формулой U ( x1 , x2 ) x1 x2 , а бюджетное ограничение формулой p1 x1 p2 x2 I . а) Найдите функцию спроса и функцию компенсированного спроса потребителя. x б) Найдите разложение величины 1 на эффекты замещения и дохода. p1 Задача 2. (из прошлого семинара) Товары X и Y считаются абсолютно взаимодополняющими, и потребитель потреблял их в соотношении две единицы Y на одну единицу X . Первоначально они стоили 1 и 8 рублей соответственно. Доход потребителя равен 560 руб. Цена на X не изменилась, а на Y повысилась до 14 руб. Найдите изменение спроса на товар Y в силу эффектов замещения и дохода. Задача 3. Студентка, любящая шоколад, может тратить 10 долларов в день. Этот доход она расходует на шоколад и другие товары. Переменная x обозначает количество унций шоколада, которое она покупает в день, переменная y обозначает количество покупаемых единиц композитного товара ценой в 1 доллар. Функция полезности студентки U ( x, y ) 2 x y . В начале декабря шоколад стоил 0,5 доллара за унцию, но к Рождеству подешевел и стал стоить всего 0,2 доллара. Найдите изменение потребления шоколада в силу эффекта замещения и эффекта дохода, вызванное его удешевлением.