Очет каф. ВМ-2

Отчет
о выполнении проекта на 04 марта2010года
«Разработка учебно-методических материалов по математике для классов,
профилированных на МИЭТ, в целях усиления подготовки школьников
к ЕГЭ по математике»
1.Разработка материалов
Разработаны варианты индивидуальных заданий и контрольных работ по
разделам «Планиметрия» и «Тригонометрические выражения и их преобразования»
для 9-х классов, по разделу «Алгебраические уравнения, неравенства, системы»
для 10-х классов (образцы прилагаются), разработаны проекты индивидуальных
заданий и контрольных работ по разделам «Уравнения, неравенства, системы»,
«Функции, графики, производная» для 11-го класса, которые проходят экспертную
оценку и предназначены для внедрения в 2010-2011 учебном году.
2. Проведение тестирований
Проведено компьютерное тестирование с помощью оболочки ОРОКС по
разделу «Тригонометрия» учащихся 10-го профильного класса школы 1151.
Участвовало 22 школьника. Проведено тестирование учащихся 10-х классов в
форме контрольных работ и выполнения индивидуальных домашних заданий по
разработанным материалам по разделам «Тождественные преобразования
тригонометрических
выражений»,
«Тригонометрические
уравнения».
В
тестировании по разделу «Тождественные преобразования тригонометрических
выражений» 224 школьника. Данные по выполнению
контрольных работ и
индивидуальных
«Тригонометрические
домашних
заданий
по разделу
уравнения» обрабатываются.
19 января проведен семинар с учителями математики профильных классов
школ Зеленограда, на котором обсуждены итоги выполнения контрольных работ
и индивидуальных заданий учащимися, а также результаты компьютерного
тестирования. По итогам семинара было предложено увеличить число задач в
вариантах индивидуальных заданий и уменьшить число заданий в вариантах
компьютерных тестов.
Данные предложения учтены при разработке индивидуальных домашних
заданий по разделу «Алгебраические уравнения, неравенства, системы»
переработке вариантов для компьютерного тестирования.
Руководитель проекта
Кальней С.Г.
и
Приложение
Образцы разработанных методических материалов
1. Вариант индивидуального задания для 9-х классов по разделу «Планиметрия»
1 часть
1.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе,
равна 13 см, а один из катетов равен 10 см. Найти периметр
треугольника.
2.
Вычислить мéньший угол между касательной и хордой (хорда
выходит из точки касания), если хорда делит окружность на две части,
относящиеся как 3 : 7 .
3.
В трапеции, площадь которой равна 161 см2, высота равна 7 см, а
разность параллельных сторон равна 11 см. Найти длину бóльшего
основания трапеции.
4.
Секущая и касательная, выходящие из одной точки, соответственно
равны 40 см и 20 см. Найти длину хорды, высекаемой на окружности
этой секущей.
5.
Средняя линия трапеции равна 3 3 см, а её площадь равна площади
равностороннего треугольника со стороной 11 см. Найти длину
высоты трапеции.
6.
Высота равнобедренного треугольника на 40% меньше его боковой
стороны. Найти площадь треугольника, если его периметр равен
36 см.
2 часть
7.
8.
9.
Окружность радиусом
5 см описана около равнобедренного
прямоугольного треугольника. Найти площадь этого треугольника.

 

Найти скалярное произведение векторов a и b , если | a  b |  5 ,
 
| a  b |  4.
В параллелограмме ABCD известны вершины A(5 ;  1) , C (9 ; 5) и
точка N (3; 1) – середина стороны AD. Найти координаты вершины B.
10. Через середины двух смежных сторон правильного шестиугольника,
вписанного в окружность радиусом 4 см, проведена хорда. Найти
длину этой хорды.
11. С помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого
равна площади данного треугольника.
12. Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до точек
пересечения с описанной около него окружностью, отличных от
вершин исходного треугольника. В результате соединения этих точек
получился новый треугольник, площадь которого равна 1 см2.
2
Известно, что углы исходного треугольника равны 30°, 60° и 90°.
Найти площадь исходного треугольника.
2. Вариант контрольной работы для 9-х классов по разделу «Планиметрия»
1 часть
1.
В прямоугольном треугольнике ABC C  90 , BC  4 см, AC  5 см.
Найти тангенс угла A треугольника.
2.
Дано уравнение окружности x 2  y 2  2 y  8  0 . Найти координаты
центра и радиус этой окружности.
3.
В треугольнике АВС AB  6 см, A  60 , C  45 . Найти длину
стороны ВС.
4.
Расстояние от центра окружности до хорды равно 5 3 см и вдвое
меньше радиуса. Найти длину хорды этой окружности.
5.
Один из внутренних углов выпуклого четырёхугольника равен 60°, а
остальные относятся между собой, как 1 : 2 : 3 . Найти бóльший угол
этого четырёхугольника.
6.
В прямоугольной трапеции разность длин оснований равна 6 см.
Длина мéньшей боковой стороны трапеции равна 4 см и в два раза
короче её бóльшего основания. Найти площадь трапеции.
2 часть
7.
Периметры двух подобных треугольников равны 60 см и 160 см,
площадь мéньшего из них равна 72 см2. Найти площадь бόльшего из
них.
8.
Периметр
правильного
шестиугольника,
описанного
около
окружности, равен 36 см. Найти периметр квадрата, вписанного в эту
же окружность.
9.
Найти площадь треугольника, две медианы которого равны 6 см и
9 см, а угол между этими медианами равен 60°.
10. Найти площадь круга, вписанного в ромб с диагональю 10 см, если
сторона ромба в 1,3 раза больше этой диагонали.
11. Периметр прямоугольной трапеции равен 50 см, а мéньшее основание
равно 10 см. Найти её площадь, если боковая сторона трапеции на
1 см больше её высоты.
3. Вариант индивидуального задания для 9-х классов
«Тригонометрические выражения и их преобразования»
по
разделу
1 часть
1.
Доказать тождество (1  tg x) 2  2 tg x 
1
.
cos2 x
3
sin 
cos(180  )
.

1  sin( 270  ) cos(90  )
2.
Упростить выражение
3.
Расположить в порядке возрастания: tg 40 , tg 80 , tg 160 .
4.
Найти значение выражения
5.
sin   3 cos 
, если tg   2 .
5 sin 
1
Вычислить cos 2 , если sin    .
4
2 часть
6.
Вычислить sin 206 tg 13  cos 206 .
7.

9
3

Найти tg    , если cos   
и 
.
4
41
2

8.
Вычислить
9.
Представить в виде произведения cos10 cos8  cos8 cos 6 .
10. Вычислить

3  cos9

2 sin(   ) sin     
при   .
2
2
12

2 (cos   cos ) , если     3 ,    

.
2
11. Вычислить sin 2 38  cos2 8  3 cos38 sin 98 .
4. Вариант контрольной работы для 9-х классов
«Тригонометрические выражения и их преобразования»
по
разделу
1 часть
1. Найти значение выражения
ctg 30  sin 30
.
cos 60
2. Упростить выражение ctg()  sin(   ) и вычислить его значение при

 .
3
3. Что больше: tg 210 или cos 0 ?
4.
2  cos2   sin 2 
 1.
Упростить выражение
2
1  2 sin 
5.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 2 sin x  1 .
6.
Найти sin  , если tg  
3
12
и 
.
5
2
2 часть
7.
Найти значение выражения sin 960  cos 495  tg( 840) .
4
8.
Найти cos , если cos 2 
9.
Найти
 
значение
1
и 180    270 .
8
выражения
 3

cos(  )  2 sin  cos    ,
 2

если
4
.
3
10. Найти область значений функции y  2 1  sin 2 x .

3
  0 .
11. Найти два значения  , при которых cos   3  sin  
2



2. Вариант контрольной работы
«Тригонометрические уравнения».
1. Решить уравнение cos(3 x  1) 

для
10-х
классов
по
разделу
1
.
2
2. Решить уравнение 2 cos 2 4 x  5sin 4 x  4  0 .
3. Решить уравнение sin    x   3cos x  0 .
4. Решить уравнение 2 cos10 x  cos 2 5 x  0 .
5. Решить уравнение ctg 0,5 x  tg 0,5 x  0 .
6. Найти точки пересечения графиков функций y  cos 5 x и y  cos 7 x .
7. Найти корни уравнения sin 2 x  2cos x  3  3 sin x , принадлежащие промежутку
[0; 2] .
8.
Найти
все
решения
cos 2 x  sin 2 x  4sin x cos x  6 cos 2 x ,
уравнения
удовлетворяющие условию cos x  0 .
9. Решить уравнение sin 7 x cos x  sin 6x .
10. Решить уравнение
3 tg x  2sin x .
11. Решить уравнение 81x4  3  cos x  3 sin x  18 x 2 .
3. Вариант индивидуального
«Тригонометрические уравнения».
задания
для
10-х
классов
по
разделу
1. Решить уравнение 2cos x 1  sin 5x   cos x .


2. Решить уравнение 2 tg   x   tg x  1  0 .
2

3. Найти корни уравнения 8sin 2 x  6 cos x  9 , удовлетворяющие условию ctg x  0 .
4. Решить уравнение cos 2 x  2sin 2 x  3sin 2 x  0 .
5
5. Найти корни уравнения sin3x sin5x  sin10x sin 2x  0 , принадлежащие промежутку
  
 ; .
 4 4
6. Решить уравнение sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x  2 .
7. Решить уравнение 2 cos x  sin x  3 cos x .

1

8. Решить уравнение cos  2 x    sin x  .
3
2

9. Решить уравнение sin 2 x  4(sin x  cos x  1) .
10. Решить уравнение sin 2x  sin3x  sin 4x  3 .
4. Вариант контрольной работы для 10-х классов по разделу «Алгебраические
уравнения, неравенства, системы»
Часть 1
3x  2 y  7,
1. Решить систему уравнений 
5 x  4 y  8.
(4 x  4)(2  x)
 0.
2. Решить неравенство
3 x
3. Решить уравнение x  2  6  2 x .
4. Решить неравенство x  3  x  4 .
5. Решить уравнение 10  x  8  x .
6. Решить неравенство 3x  2  5 .
Часть 2
7. Решить уравнение
x 1  1  1.
x3 9 x.

 x  y  5  3,
9. Решить систему уравнений 

 x  y  5  11  2 x.
1
10. Решить уравнение x 2  5 x  6  5   ( 5 x  x 2  6  10)  0 .
x
1 1
11. Решить неравенство   0 .
x a
8. Решить неравенство
5. Вариант индивидуальных заданий для 10-х классов по разделу «Алгебраические
уравнения, неравенства, системы»
Часть 1
1. Решить уравнение
4x
1
 1
5x  3
x.
2. Найти сумму целых решений неравенства
3. Решить уравнение
5  x  2  14 x  15 x  7
4
3
1 
x 1
x.
.
6
4. Решить неравенство
x4 x 6
5. Решить уравнение
x  16  x  4  0 .
.
6. Решить неравенство x  5  1  x .
Часть 2
7. Решить уравнение
x2  2 x  3  2 x  9  x2 .
8. Решить систему уравнений
9. Решить неравенство
 x 2  2 xy  3 y 2  3,
 2
2
 x  3xy  2 y  4.


15 x  2  25 x 2  8 x 2  6 x  1  0
.
10.Решить уравнение 4  x  5  x  1.
11.Найти целые решения уравнения x2  6 x  20  4  x  x  5   0
12. При каких значениях параметра
a
уравнение
.
x 2   a  5  a  5  x  a 2  144  0
имеет два различных отрицательных корня?
7