Документ 380093

Новокузнецкий филиал-институт
ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»
Кафедра математики и математического моделирования
Факультет информационных технологий
)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
учебной дисциплины
ЕН.Р «Функциональный анализ»
( шифр и наименование дисциплины по рабочему учебному плану ООП)
для специальности (010501 Прикладная математика и информатика
( шифр и название специальности)
для _________дневной ____ формы обучения
Составитель(и) / разработчик(и) программы
Бартышев А.В., доцент, к.т.н.
(Ф.И.О., должность и степень)
Новокузнецк
2
3
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Лист – вкладка рабочей программы учебной дисциплины
Функциональный анализ, ЕН, региональный__
название дисциплины, цикл, компонент
Список основной учебной литературы
*Указания о контроле на момент
переутверждения программы
Дата
Внесение, продление
или исключение /
Подпись отв. за метод работу
1
2
Внесение
3
1. Функциональный анализ : Учебник. - 3-е изд., испр. - М. : Физматлит, 2002. - 488с. - Гриф МО "Рекомендовано".
4
Треногин В.А.
5
2002
Соответствие ГОС (для федеральных дисциплин) или соответствия требованиям ООП
(для региональных и вузовских)
- указание на недостаточно
отраженные в учебнике разделы
6
Соответствует
2. Задачи и упражнения по функциональному анализу : Учебное пособие для вузов - 2-е изд., испр. и доп.
- М. : Физматлит, 2002. - 240с. Гриф МО "Рекомендовано".
Треногин В.А.
2002
Соответствует
Сведения об учебниках
Наименование, гриф
Автор
Год издания
Количество экземпляров в библиотеке
на момент переутверждения программы
35
7
35
СОДЕРЖАНИЕ
1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ .................................... 4
1.1 Пояснительная записка ..................................................................................... 4
1.2 Учебно – тематический план............................................................................ 5
1.3 Содержание курса ............................................................................................. 6
1.4 Требования к уровню освоения программы ................................................... .8
1.5 Учебно – методическое обеспечение дисциплины……..……..……………10
1.5.1 Основная и дополнительная учебная литература…………………….10
1.5.2 Методические рекомендации для преподавателей………………….. 11
1.5.3 Методические указания студентам ……………………………………12
1.5.3.1 Общие указания (пояснительная записка)………………..............12
1.5.3.2 Темы семинарских занятий .............................................................. 15
1.5.3.3 Указания по выполнению самостоятельных работ ....................... 16
1.5.3.4 Указания по оформлению работ ...................................................... 22
1.6 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля ........................... 23
1.7 Организация самостоятельной работы студентов ......................................... 24
2 ТЕМАТИКА И ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ (САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ)
РАБОТ, ЗАДАНИЙ И ЗАДАЧ ............................................................................... 25
3 ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ............................ 34
4 ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА…………………………………. 65
5 ГЛОССАРИЙ ........................................................................................................... 73
2
1.1 Пояснительная записка
Дисциплина «Функциональный анализ» для студентов специальности 010501
«Прикладная математика и информатика» входит в состав Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ГОС ВПО). Ее
место – в ряду общих математических и естественнонаучных дисциплин федерального компонента учебного плана. Она является составной частью общей цели ООП
– подготовить высококвалифицированных специалистов – математиков для работы
в отраслях народного хозяйства, научных и учебных заведениях соответствующего
профиля.
Цель курса – дать студентам базовые понятия функционального анализа, которые в последующем можно использовать в прикладных исследованиях, в частности,
для доказательства существования решений дифференциальных уравнений при
обосновании численных методов.
Для этого необходимо обеспечить уровень подготовки студентов по функциональному анализу таким, чтобы они умели:
 устанавливать сходимость последовательностей в функциональных метрических
пространствах;
 проверять выполнение аксиом скалярного произведения при построении евклидовых пространств;
 доказывать ограниченность линейных операторов, действующих в функциональных пространствах;
 применять понятия сильной и слабой сходимости для получения обобщенных
решений дифференциальных уравнений;
 давать оценки спектрального радиуса линейного оператора;
 использовать принцип неподвижной точки при решении дифференциальных
уравнений в банаховых пространствах.
Студенты должны знать:
 метрические линейные и нормированные пространства;
 бесконечномерные полные гильбертовы пространства;
 линейные операторы и условия их обратимости;
 ограниченные функционалы и сопряженные пространства;
 элементы спектральной теории линейных операторов;
 принцип неподвижной точки для нелинейных операторов;
 основы теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
Курс функционального анализа для студентов специальности 020400 «Прикладная математика и информатика» читается в течение 5-го семестра, после изучения
базовых дисциплин: математического анализа, линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Ввиду сокращенного объема лекций, в курс включены лишь основные понятия, являющиеся предметом изучения функционального анализа.
Особенностью курса функционального анализа для будущих прикладных математиков является его прикладной характер: изучение большинства тем закрепляется
решением соответствующих задач связанных с дифференциальными уравнениями в
банаховых пространствах и оценками линейных операторов в гильбертовых пространствах.
3
1.2 Учебно-тематический план
Объем часов
аудиторная
№
работа
Название и содержап\
Вс
ние
практ
п
его лекразделов, тем
. зации
нятия
1 2
3
4
5
Линейные
нормиро1 ванные функциональ3
6
ные пространства
Банаховы и гильбер2
2
4
товы пространства
Пространство линей3
2
4
ных операторов
Функционалы и со4 пряженное простран2
4
ство
Компактные множе5 ства и вполне непре2
4
рывные операторы
Элементы
спек6 тральной теории ли2
4
нейных операторов
Теоремы о неподвиж7 ных точках операто2
4
ров
Дифференциальные
8 уравнения в банахо2
4
вых пространствах
Всего по дисциплине
12
17
34
«Функциональный
0
анализ»
1.3 Содержание курса
самост.
работа
6
10
8
10
8
8
8
8
9
69
Функциональный анализ (5-й семестр)
Тема 1 –Линейные нормированные функциональные пространства. Вводится
понятие метрики, необходимое для определения предела последовательностей в
функциональных пространствах. Приводятся примеры основных нормированных
пространств и анализируется эквивалентность вводимых норм в бесконечномерных
пространствах с точки зрения сходимости фундаментальных последовательностей.
Тема 2 – Банаховы и гильбертовы пространство. Понятия полноты и определение банаховых пространств. Евклидовы пространства, способы введения скалярного
4
произведения. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье. Соболевские пространства обобщенных функций как результат пополнения множества интегрируемых функций.
Тема 3 – Пространство линейных операторов. Общее понятие оператора. Линейные операторы, образ и прообраз. Непрерывность и ограниченность линейных операторов. Нормированное пространство линейных операторов. Условия существования обратного оператора. График оператора, теорема о замкнутом операторе.
Тема 4 – Функционалы и сопряженное пространство. Понятия линейного ограниченного функционала. Сопряженное пространство и слабая сходимость. Теорема
Хана – Банаха и ее следствия. Линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса. Сопряженные и самосопряженные операторы.
Тема 5 – Компактные множества вполне непрерывные операторы. Компактные
множества в нормированных пространствах. Теорема Хаусдорфа и теорема Асколи
– Арцела. Линейные вполне непрерывные операторы. Нормально разрешимые операторы и теоремы Фредгольма. Линейные уравнения с точки зрения вычислений.
Тема 6 – Элементы спектральной теории линейных операторов. Собственные
значения и собственные векторы линейных операторов. Резольвентное множество и
спектр линейного оператора. Спектральное разложение САмосопряженного оператора.
Тема 7 – Теоремы о неподвижных точках операторов. Нелинейные операторные
уравнения. Степенные операторные ряды. Принцип сжимающий отображений. Итерационный процесс Ньютона. Принцип Шаудера и его применение.
Тема 8 – Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Понятие
обобщенных решений краевых задач. Существование решения, единственность и
непрерывная зависимость от начальных данных и правой части. Простейшие разностные схемы, их устойчивость и сходимость.
1.4 Требования к уровню освоения программы
Для положительной (удовлетворительной) оценки уровня знаний студента в результате обучения дисциплине «Функциональный анализ» необходимо, чтобы он
знал основные определения, примеры функциональных нормированных пространств
и формулировки основных теорем:
 линейное, метрическое, нормированное, евклидово, гильбертово пространство;
 линейный, непрерывный, ограниченный и неограниченный оператор;
 линейный ограниченный функционал и сопряженное пространство;
 компактные множества и вполне непрерывные операторы;
 теорема Хана-Банаха и лемма Рисса;
 понятие спектра и собственного вектора;
 ортонормированные системы и ряды Фурье;
Для хорошей (четыре) оценки необходимо, чтобы в дополнении к перечисленным выше вопросам студент знал и умел использовать:
 сходимость в нормированных пространствах и понятие банахова пространство;
 связь непрерывности и ограниченности линейного оператора;
 норма линейного оператора и функционала;
5







интеграл Лебега и пространства Соболева;
фактор пространство и процедура пополнения пространства;
слабая и сильная сходимость последовательностей;
постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа;
критерий компактности множества и слабая компактность;
резольвентное множество и спектральный радиус линейного оператора;
обобщенное решение дифференциального уравнения;
Для отличной (пятерка) оценки уровня знаний студента в результате обучения
дисциплине «Функциональный анализ» необходимо, чтобы в допонение к предыдущему он знал теоремы с доказательствами и умел их использовать в практических
задачах:
 теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала и ее следствия;
 теорема Банаха о замкнутом графике;
 теорема Арцела о компактности непрерывных функций;
 лемма Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве;
 критерий компактности Хаусдорфа;
 теорема Банаха-Штейнгауза о сильной сходимости операторов;
 теорема Банаха об обратном операторе;
 альтернатива Фредгольма для интегральных операторов;
 итерационный процесс Ньютона;
 принцип Шаудера;
Количественно уровень освоения программы студентами оценивается своевременностью и качеством сдачи экзамена. При этом на экзамене дается два теоретических вопроса и задача. При сдаче экзамена каждая позиция (вопрос, задача) оцениваются баллами:
3 балла – решение правильное;
2 балла – решение правильное, но с недочетами;
1 балл – путь решения правильный;
0 баллов – решение неправильное, или отсутствует.
При сдаче экзамена можно получить в сумме от нуля до 9 баллов. Предварительная оценка «отлично» на экзамене считается, если количество набранных баллов – от 8 до 9, «хорошо» – от 6 до 7, «удовлетворительно» – от 4 до 5 баллов.
Конечная оценка, которая ставится в ведомость и студенту – в зачетку, зависит и
от его работы в течение семестра, т. е., результатов промежуточной аттестации. В
случае претензий к оценке знаний студентам предлагается ознакомиться с ее критериями (см. выше).
Примечание. Студентам, получившим 0 баллов по аттестации или при их явной
пассивности на практических занятиях, дается дополнительный вопрос.
1.5 Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1.5.1 Дополнительная учебная литература
Дополнительная литература:
6
1. Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ в нормированных
пространствах. – М.: Физматгиз, 1959.
2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.:
Наука, 1965.
3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Гостехиздат,
1954.
4. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
5. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967.
6. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.
7. Лебедев В.И. Функциональны анализ и вычислительная математика. – М.,
Физматгиз, 2000. – 295 с.
1.5.2 Методические рекомендации для преподавателей
Соответствующие указания определяют совокупность методов и средств, необходимых для достижения цели курса – освоения студентами комплекса математических методов, используемых для решения прикладных задач психологии.
Формы обучения включают в себя:
 лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине
«Функциональный анализ»;
 практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам курса;
 самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя;
 разбор сложных вопросов и задач на плановых консультациях.
Методами обучения являются:
 дополнительные разъяснения труднопонимаемых положений теории;
 иллюстрирование материала графиками и таблицами;
 подкрепление теоретических вопросов примерами.
Средства обучения функциональному анализу стандартны: базовые учебники,
иллюстрация зависимостей на доске, и т.п.
Преподавателю, читающему лекции, рекомендуется строить занятия в следующей последовательности:
 теоретическую часть, излагать в форме, доступной для студентов – математиков;
 определения абстрактных понятий желательно иллюстрировать примерами и
сравнивать с аналогичными понятиями математического анализа;
 комментировать область возможного приложения вводимых понятий в задачах
математической физики.
Преподавателю, ведущему аудиторные практические занятия, рекомендуется
строить их по следующей схеме:
 повторить основные положения соответствующей лекции (теория);
 разобрать вариант типовой задачи;
 предложить практические задачи (5-10 минут размышлений и вызов к доске, желательно по списку);
7


задавать задание «на дом»;
периодически проводить контрольные работы, тематика которых должна соответствовать темам самостоятельных работ.
Для текущего контроля знаний перед аттестацией преподавателю рекомендуется
провести пробный контроль уровня знаний по тестам. Они предложены в разделе 3.
Каждому из студентов на 2 академических часа дается 10 из предложенных 200 задач. За правильное решение 75% задач ставится предварительная оценка 2 (будущая
высшая аттестационная), за решение более 50% задач – ставится 1, менее 50% – 0.
1.5.3 Методические указания студентам
1.5.3.1 Общие указания (пояснительная записка)
Цель курса в получении студентами базовых знаний по основам функционального анализа, которые в последующем можно использовать в прикладных исследованиях при численном решении дифференциальных уравнений, моделирующих физические процессы.
Особенность курса функционального анализа является его прикладной характер:
изучение большинства тем закрепляется решением соответствующих задач аппроксимации функций в различных нормированных пространствах и применения теорем
о вполне непрерывных операторах для доказательства существования и единственности решений дифференциальных уравнений.
По завершении курса «Функциональный анализ» уровень подготовки студентов
должен быть таким, чтобы они умели:
 устанавливать сходимость в нормированных пространствах;
 разлагать в ряды Фурье по ортонормированным системам функции из гильбертовых пространств;
 оценивать норму линейного оператора для подтверждения его непрерывности;
 применять теорему Рисса в сопряженных пространствах для доказательства существования обобщенного решения дифференциального уравнения;
 обосновывать введение компактных множеств в бесконечномерных функциональных пространствах;
 давать оценки спектрального радиуса дифференциального оператора и находить
собственные элементы;
 аппроксимировать функции в нормированных пространствах полиномами Чебышева.
1.5.3.2 Темы семинарских занятий
Наиболее удобным учебником для компактного курса по функциональному анализу наряду с курсом прочитанных лекций является учебник В. А. Треногина
«Функциональный анализ» совместно со сборником задач того же автора.
В предлагаемом учебнике основные понятия функционального анализа увязываются с практическими задачами нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений. Рассматриваются основные функциональные пространства, в
которых ищутся классические и обобщенные решения. Особое внимание уделяется
8
гильбертовым пространствам, в частности, пространствам Соболева. Рассматриваются примеры дифференциальных и интегральных операторов, а также методы получения априорных оценок для установления их ограниченности. Приводятся примеры приложения теоремы Хана – Банаха и ее следствий для конкретных функционалов. Указываются методы вычисления спектра линейных дифференциальных операторов. Показывается применение теоремы Рисса для доказательства существования единственного обобщенного решения Задачи Дирихле для эллиптического
уравнения.
Методические указания по основным темам целесообразно представить в виде
следующей таблицы.
N п\п
Тема
1
2
Линейные
нормированные функциональные
пространства
1
2
Банаховы и
гильбертовы
пространства
3
Пространство линейных операторов
4
Функционалы и сопряженное пространство
5
На что обратить внимание
(типичные
Указания
ошибки)
3
Методы определения норм
для множества
непрерывных
или
дифференцируемых
функций.
4
Пояснить разницу между метрическим и нормированным пространствами. Показать на примерах, что
нормы в функциональных пространствах могут быть не эквивалентны и
последовательность одних и тех же
функций может не сходиться в различных нормах.
Разложение
Подробно рассмотреть способы ввеэлементов
дения скалярного произведения в разпространства личных функциональных пространв ряд Фурье ствах и доказательство неравенства
по ортонор- треугольника с помощью неравенства
мированной
Минковского.
системе.
Вычислить
На практических занятиях обратить
норму диффе- внимание на различие операторов,
ренциального действующих в конечномерных и
и интеграль- бесконечномерных пространствах.
ного оператора
Знать построение функци- Особое внимание обратить на вид лионалов в раз- нейного функционала в гильбертовом
личных
ли- пространстве.
нейных пространствах.
Компактные
множества Ошибки
при Обратить внимание на способы дока9
6
7
8
вполне
непрерывные
операторы
Элементы
спектральной теории
линейных
операторов
формулировке
критериев
компактности.
Множество
собственных
значений
могжет иметь
предельную
точку.
Теоремы
о Примеры
неподвижсжимающих
ных точках операторов.
операторов
ДифференНеверное
циальные
определение
уравнения в обобщенного
Банаховых
решения дифпространференциальствах
ного уравнения.
зательства компактности равномерно
ограниченных множеств дифференцируемых функций.
Внимательно
изучить
способы
нахождения спектра для дифференциальных и интегральных операторов.
Изучить применение теоремы при доказательстве существования и единственности решения дифференциальных уравнений.
Тщательно разобрать применение
теоремы Рисса для доказательства
существования и единственности
обобщенного решения задачи Дирихле.
1.5.3.3 Указания по выполнению самостоятельных работ
Самостоятельная работа студентов состоит в выполнении практических заданий и
семестровых работ в течение семестра. Их своевременное выполнение является
предпосылкой к обоснованию возможности допуска студента к экзаменам и оценки
результатов итогового контроля.
Семестровые работы должны быть выполнены не позднее, чем за неделю до начала зачетной недели. Выполненная работа сдается лектору или ассистенту, ведущему
практические занятия.
1.5.3.4 Указания по оформлению работ
Порядок оформления самостоятельных работ по функциональному анализу следующий:
- работы выполняются на листах формата А4, скрепляются и помещаются в мультифору;
- на титульном листе указываются: номер самостоятельной работы, номер группы, фамилия и имя студента, номер варианта;
- каждый из вопросов и задач формулируется в соответствии с заданием и нумеруется;
- зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий).
Проверка самостоятельных работ осуществляется в течение недели. Зачтенные
работы не возвращаются; работы, нуждающиеся в корректировке – возвращаются
студенту. После доработки проверка работ повторяется.
10
Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся
консультации, о времени которых группы извещаются заранее. Кроме того, в НФИ
КемГУ существует практика индивидуально-аудиторных занятий по выполнению
самостоятельных работ, при которой студентам назначается аудитория и время, где
и когда они могут выполнять работы в присутствии ассистентов или студентов
старших курсов, дающих им консультации.
1.6 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля
Текущий контроль освоения программы осуществляется по результатам выполнения студентами контрольных (самостоятельных) работ, а также выполнения заданий на семинарских занятиях. Студенты выполняют 4 самостоятельных работы.
График выполнения самостоятельных работ формируется исходя из следующих
требований:
- к началу экзаменационной сессии каждый студент обязан выполнить все самостоятельные работы, предусмотренные программой курса;
- к началу аттестации студент обязан выполнить те самостоятельные работы,
которые предусмотрены в уже пройденных темах по дисциплине.
Промежуточный контроль освоения программы осуществляется в форме тестирования во время аттестации студентов. Тесты для промежуточного контроля приведены в разделе 3. Суммарное количество задач в тестах – 200. Компьютер с помощью метода случайных испытаний, выбирает каждому студенту 10 из них (для
соответствующего семестра).
Итоговый контроль осуществляется в форме экзамена. Вопросы и задачи для экзаменов и зачета приведены в разделе 4. Из них формируются экзаменационные билеты. На экзамен студентам предлагается по два теоретических вопроса и задача.
При сдаче экзамена каждая позиция (вопрос, задача) оцениваются баллами:
3 балла – решение правильное;
2 балла – решение правильное, но с недочетами;
1 балл – путь решения правильный;
0 балл – решение неправильное, или отсутствует.
При сдаче экзамена можно получить в сумме от нуля до 9 баллов. Предварительная оценка «отлично» на экзамене считается, если количество набранных баллов - от
8 до 9, «хорошо» - от 6 до 7, «удовлетворительно» - от 4 до 5 баллов.
Конечная оценка, которая ставится в ведомость и студенту - в зачетку, зависит и
от его работы в течение семестра, т. е., результатов промежуточной аттестации. В
случае претензий к оценке знаний студентам предлагается ознакомиться с ее критериями (см. выше).
Примечание. Студентам, получившим 0 баллов по аттестации или при явной пассивности на практических занятиях, дается дополнительная задача.
1.7 Организация самостоятельной работы студентов
Каждый студент обязан в течение двух недель после окончания очередной темы
сдать соответствующую работу на проверку ассистенту или лектору. «Работа над
ошибками» проводится во время еженедельных консультаций, назначаемых на кафедре. График организации самостоятельной работы студентов представлен ниже.
11
График организации самостоятельной работы студентов-математиков по дисциплине «Функциональный анализ»
Раздел, тема
Колво
самост.
Заданий
5 семестр:
Функциональные пространства.
Гильбертовы
пространства.
Линейные операторы.
2
практ.
2
практ.
2
практ.
Линейные функциона- 2
лы.
практ.
Компактные
множе- 2
ства.
практ.
Спектральная теория.
2
практ.
Неподвижные точки.
2
практ.
Операторные уравне- 2
ния.
практ.
Итого:
Колво заданий
к аттестации
Срок
выполнения
Сентябрь
Сентябрь
Октябрь
Октябрь
Ноябрь
Объ
ем
часов
4
4
4
4
4
Ноябрь 4
Декабрь
Декабрь
4
4
32
2 ТЕМАТИКА И ПЕРЕЧЕНЬ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ СЕМЕСТРОВЫХ
ЗАДАНИЙ
Тема 1 –Линейные нормированные функциональные пространства. Вводится
понятие метрики, необходимое для определения предела последовательностей в
функциональных пространствах. Приводятся примеры основных нормированных
пространств и анализируется эквивалентность вводимых норм в бесконечномерных
пространствах с точки зрения сходимости фундаментальных последовательностей.
Тема 2 – Банаховы и гильбертовы пространства. Евклидовы пространства, способы введения скалярного произведения. Понятия полноты и определение банаховых пространств. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье. Соболевские пространства обобщенных функций как результат
пополнения множества интегрируемых функций.
Тема 3 – Пространство линейных операторов. Общее понятие оператора. Линейные операторы, образ и прообраз. Непрерывность и ограниченность линейных опе12
раторов. Нормированное пространство линейных операторов. Условия существования обратного оператора. График оператора, теорема о замкнутом операторе.
Тема 4 – Функционалы и сопряженное пространство. Понятия линейного ограниченного функционала. Сопряженное пространство и слабая сходимость. Теорема
Хана – Банаха и ее следствия. Линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса. Сопряженные и самосопряженные операторы.
Тема 5 – Компактные множества вполне непрерывные операторы. Компактные
множества в нормированных пространствах. Теорема Хаусдорфа и теорема Асколи
– Арцела. Линейные вполне непрерывные операторы. Нормально разрешимые операторы и теоремы Фредгольма. Линейные уравнения с точки зрения вычислений.
Тема 6 – Элементы спектральной теории линейных операторов. Собственные
значения и собственные векторы линейных операторов. Резольвентное множество и
спектр линейного оператора. Спектральное разложение Самосопряженного оператора.
Тема 7 – Теоремы о неподвижных точках операторов. Нелинейные операторные
уравнения. Степенные операторные ряды. Принцип сжимающий отображений. Итерационный процесс Ньютона. Принцип Шаудера и его применение.
Тема 8 –Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Понятие
обобщенных решений краевых задач. Существование решения, единственность и
непрерывная зависимость от начальных данных и правой части. Простейшие разностные схемы, их устойчивость и сходимость.
Контрольная работа №1
Контрольные вопросы
1. Линейные пространства, определения, примеры.
2. Нормированные пространства, определения, примеры.
3. Сходимость в нормированных пространствах.
4. Критерий Коши для последовательностей.
5. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
6. Линейная зависимость и независимость.
7. Линейные многообразия и подпространства.
8. Размерность линейного пространства.
9. Пространство непрерывных функций.
10. Изоморфизм линейных пространств.
Задачи
Контрольная работа №2
Контрольные вопросы и задачи
1.
2.
3.
4.
5.
Банаховы пространства, определения, примеры.
Пространства со скалярным произведением, определения, примеры.
Гильбертовы пространства, определения, примеры.
Пополнение пространств со скалярным произведением.
Пространства интегрируемых функций.
13
6. Пространства Соболева, определения, примеры.
7. Ортонормированные системы. Ряд Фурье.
8. Фундаментальны последовательности. Сепарабельность.
9. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы.
10. Расстояние от точки до подпространства.
Контрольная работа №3
Контрольные вопросы и задачи
1. Линейные операторы, определения, примеры.
2. Замкнутость и ограниченность линейных операторов.
3. Пространства линейных операторов, определения, примеры.
4. Обратные операторы, определения, примеры.
5. Интегральные операторы в пространствах функций.
6. Последовательности линейных операторов. Сходимость.
7. Операторы в пространствах дифференцируемых функций.
8. Равномерная и сильная сходимость линейных операторов.
9. Ряды линейных операторов.
10. График оператора, замкнутые операторы.
Контрольная работа №4
Контрольные вопросы и задачи
1. Сопряженные пространства.
2. Теорема Хана-Банаха и ее следствия.
3. Сопряженные и самосопряженные операторы.
4. Сильная и слабая сходимость в сопряженных пространствах.
5. Линейный ограниченный функционал и его норма.
6. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов.
7. Теорема Рисса о виде функционала в гильбертовом пространстве.
8. Продолжение линейного функционала.
9. Слабая сходимость в нормированных пространствах.
10. Оператор ортогонального проектирования.
Контрольная работа №5
Контрольные вопросы и задачи
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Компактные множества в нормированных пространствах.
Компактность и ограниченность.
Критерий компактности Хаусдорфа.
Компактность и конечномерность.
Линейные вполне непрерывные операторы.
Теорема Арцела. Слабая компактность.
Вполне непрерывные операторы и слабая сходимость.
14
8. Нормально разрешимые операторы.
9. Теорема Шаудера и примеры вполне непрерывных операторов.
10. Альтернатива Фредгольма.
Контрольная работа №6
Контрольные вопросы и задачи
1. Собственные значения линейных операторов.
2. Собственные векторы линейных операторов.
3. Резольвентное множество и спектр линейных операторов.
4. Спектральное разложение самосопряженных операторов.
5. Линейная независимость собственных векторов.
6. Собственные векторы в конечномерных пространствах.
7. Собственные значения вполне непрерывного оператора.
8. Собственные значения самосопряженного оператора.
9. Спектральный радиус линейного оператора.
10. Теорема Гильберта – Шмидта о разложении.
Контрольная работа №7
Контрольные вопросы и задачи
1. Принцип сжимающих отображений.
2. Принцип Шаудера. Примеры.
3. Дифференцирование нелинейных операторов.
4. Производная оператора в конечномерном пространстве.
5. Формула конечных приращений Лагранжа.
6. Определение условия Липшица.
7. Степенные операторные ряды.
8. Неподвижные точки нелинейного оператора.
9. Линейные системы дифференциальных уравнений.
10. Последовательности, сходящиеся к неподвижной точке.
Контрольная работа №8
Контрольные вопросы и задачи
1. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.
2. Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
3. Простейшие разностные схемы.
4. Итерационный метод Ньютона.
5. Задача Коши для дифференциального уравнения.
6. Применение схемы Галеркина.
7. Разностные схемы в банаховых пространств.
8. Метод малого параметра.
9. Априорные оценки решений.
10. Неоднородная задача Коши.
15
3 ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
Тесты используются для текущего контроля знаний студентов перед аттестацией.
Они разделены на 2 комплекса (по числу семестров, в которых изучается математика). В тесты включены задания по полусеместровым лекционным материалам.
Каждому из студентов на 2 академических часа дается 10 из предложенных 200
задач, выбираемых случайным образом. За правильное решение 75% задач ставится
оценка 2 (высшая аттестационная), за решение более 50% задач – ставится 1, менее
50% - 0.
4 ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА И ЗАЧЕТА
4.1 Контрольные вопросы
1. Линейные пространства, определения, примеры.
2. Нормированные пространства, определения, примеры.
3. Сходимость в нормированных пространствах.
4. Критерий Коши для последовательностей.
5. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
6. Линейная зависимость и независимость.
7. Линейные многообразия и подпространства.
8. Размерность линейного пространства.
9. Пространство непрерывных функций.
10. Изоморфизм линейных пространств.
11. Банаховы пространства, определения, примеры.
12. Пространства со скалярным произведением, определения, примеры.
13. Гильбертовы пространства, определения, примеры.
14. Пополнение пространств со скалярным произведением.
15. Пространства интегрируемых функций.
16. Пространства Соболева, определения, примеры.
17. Ортонормированные системы. Ряд Фурье.
18. Фундаментальны последовательности. Сепарабельность.
19. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы.
20. Расстояние от точки до подпространства.
21. Линейные операторы, определения, примеры.
22. Замкнутость и ограниченность линейных операторов.
23. Пространства линейных операторов, определения, примеры.
24. Обратные операторы, определения, примеры.
25. Интегральные операторы в пространствах функций.
26. Последовательности линейных операторов. Сходимость.
27. Операторы в пространствах дифференцируемых функций.
28. Равномерная и сильная сходимость линейных операторов.
29. Ряды линейных операторов.
30. График оператора, замкнутые операторы.
31. Сопряженные пространства.
32. Теорема Хана-Банаха и ее следствия.
33. Сопряженные и самосопряженные операторы.
16
34. Сильная и слабая сходимость в сопряженных пространствах.
35. Линейный ограниченный функционал и его норма.
36. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов.
37. Теорема Рисса о виде функционала в гильбертовом пространстве.
38. Продолжение линейного функционала.
39. Слабая сходимость в нормированных пространствах.
40. Оператор ортогонального проектирования.
41. Компактные множества в нормированных пространствах.
42. Компактность и ограниченность.
43. Критерий компактности Хаусдорфа.
44. Компактность и конечномерность.
45. Линейные вполне непрерывные операторы.
46. Теорема Арцела. Слабая компактность.
47. Вполне непрерывные операторы и слабая сходимость.
48. Нормально разрешимые операторы.
49. Теорема Шаудера и примеры вполне непрерывных операторов.
50. Альтернатива Фредгольма.
51. Собственные значения линейных операторов.
52. Собственные векторы линейных операторов.
53. Резольвентное множество и спектр линейных операторов.
54. Спектральное разложение самосопряженных операторов.
55. Линейная независимость собственных векторов.
56. Собственные векторы в конечномерных пространствах.
57. Собственные значения вполне непрерывного оператора.
58. Собственные значения самосопряженного оператора.
59. Спектральный радиус линейного оператора.
60. Теорема Гильберта – Шмидта о разложении.
61. Принцип сжимающих отображений.
62. Принцип Шаудера. Примеры.
63. Дифференцирование нелинейных операторов.
64. Производная оператора в конечномерном пространстве.
65. Формула конечных приращений Лагранжа.
66. Определение условия Липшица.
67. Степенные операторные ряды.
68. Неподвижные точки нелинейного оператора.
69. Линейные системы дифференциальных уравнений.
70. Последовательности, сходящиеся к неподвижной точке.
71. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.
72. Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
73. Простейшие разностные схемы.
74. Итерационный метод Ньютона.
75. Задача Коши для дифференциального уравнения.
76. Применение схемы Галеркина.
77. Разностные схемы в банаховых пространств.
78. Метод малого параметра.
79. Априорные оценки решений.
80. Неоднородная задача Коши.
17
5 ГЛОССАРИЙ
для изучения дисциплины «Функциональный анализ» студентами
специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»
Абсолютная сходимость ряда – сходимость ряда составленного из абсолютных
величин (или норм) элементов.
Априорная оценка – оценка решения дифференциального уравнения, которое
еще не найдено.
Базис линейного пространства – максимальная система линейно независимых
векторов.
Банахово пространство – пространство, в котором все фундаментальные последовательности сходятся.
Бесконечномерное линейное пространство – для любого множества линейно
независимых элементов найдется еще один, независимый от имеющихся.
Взаимно однозначный оператор – каждому образу операора соответствует
единственный прообраз и наоборот.
Вполне непрерывный оператор – переводит замкнутый шар в компактное множество.
Гильбертово пространство – полное нормированное пространство со скалярным произведением.
График оператора – графиком оператора F называется совокупность пар {x,
F(x)} на всей области определения.
Дифференциальный оператор – оператор, содержащий операцию дифференцирования.
Евклидово пространство – пространство со скалярным произведением.
Задача Дирихле – краевая задача для уравнения Пуассона.
Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями.
Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки.
Замкнутый оператор – если его график является замкнутым множеством.
Замыкание множества – присоединение вех предельных точек, не принадлежащих множеству.
Изометрия нормированных пространств – изоморфизм двух пространств с
сохранением норм.
Изоморфизм – взаимно – однозначное соответствие с сохранением операций.
Интеграл Лебега – интеграл, как предел интегральных сумм, образованных разбиением области изменения функции.
Интеграл Римана – интеграл, как предел интегральных сумм, образованных
разбиением области определения функции.
Интегральный оператор – оператор, определяемый интегралом, в котором выделено ядро, как функция двух переменных.
Интерполяционный сплайн – приближение с помощью кусочно – полиномиальной функции, обладающей определенной гладкостью.
Компактное множество – множество, в котором из ограниченного множества
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
18
Конечная ε – сеть – конечное множество элементов, в сколь угодно малых
окрестностях которых содержатся все элементы множества.
Конечномерное линейное пространство – пространство с конечным базисом.
Координаты вектора – числовые коэффициенты при разложении вектора по
базису.
Коэффициенты Фурье – числовые коэффициенты ряда Фурье в гильбертовом
пространстве.
Критерий компактности Хаусдорфа – множество компактно тогда и только
тогда, если существует конечная ε – сеть.
Линейная зависимость элементов – любой из элементов можно выразить линейной комбинацией через остальные.
Линейная комбинация – сумма элементов, умноженных на скаляры.
Линейное многообразие – множество всех линейных комбинаций некоторых
элементов.
Линейное подпространство – подмножество линейного пространства, обладающее всеми его свойствами.
Линейное пространство – множество элементов, на которых определены операции сложения и умножения на скаляр и удовлетворяющее некоторым аксиомам.
Линейный оператор – оператор, определенный на линейном многообразии, который линейной комбинации прообразов ставит в соответствие линейную комбинацию образов.
Линейный функционал – линейный оператор, областью значений которого является вещественные числа.
Матрица Якоби – матрица-производная линейного отображения.
Метрическое пространство – пространство, в котором определено расстояние
между элементами.
Наилучший элемент приближения – элемент, расстояние от которого до некоторого многообразия минимально.
Неограниченный линейный оператор – существует последовательность элементов, на которых последовательность значений оператор стремится к бесконечности.
Неотрицательный линейный оператор – оператор, порождающий положительно определенную квадратичную форму в гильбертовом пространстве.
Неподвижная точка нелинейного оператора – элемент из области определения, значение оператора на котором равно этому элементу.
Непрерывность линейного оператора – последовательность значений оператора на сходящейся последовательности из области определения сходится к значению
оператора на предельном элементе.
Неравенство Бесселя – неравенство, связывающее коэффициенты ряда Фурье
элемента и его норму.
Неравенство Гельдера – сумма произведения коэффициентов рядов Фурье двух
элементов в гильбертовом пространстве не превосходит произведения норм этих
элементов.
Неравенство Коши – Буняковского – модуль скалярного произведения двух
элементов в евклидовом пространстве не больше произведения норм этих элементов.
19
Неравенство Минковского – неравенство «треугольника» для последовательностей и интегрируемых функции.
Нигде не плотное множество – для каждого элемента существует окрестность,
в которой нет других элементов этого множества.
Норма вектора – функционал, удовлетворяющий свойствам однородности, неотрицательности и неравенству треугольника.
Норма линейного оператора – максимальное значение нормы значения оператора на единичной сфере.
Нормированное пространство – пространство, в котором введена норма.
Область значений оператора – множество, в котором оператор принимает значения.
Область определения оператора – множество, на котором задан оператор.
Обратный оператор – оператор, обратный к данному.
Ограниченность множества – существует шар конечного радиуса, в котором
содержится данное множество.
Ограниченность линейного оператора – ограниченное множество переводит в
ограниченное.
Ортогональная система элементов – множество попарно ортогональных элементов.
Ортогональное дополнение – совокупность всех элементов, ортогональных к
данному линейному многообразию.
Ортогональное разложение – разложение гильбертова пространства на ортогональные подпространства.
Ортогональный базис – базис, состоящий из попарно ортогональных элементов.
Открытое множество – множество, каждый элемент которого является внутренним.
Плотное линейное многообразие – линейное многообразие, замыкание которого совпадает со всем пространством.
Полная ортогональная система – система попарно ортогональных элементов,
линейными комбинациями которых можно представить любой элемент гильбертова
пространства.
Полное линейное пространство – пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.
Пополнение пространства – добавление идеальных элементов для того, чтобы
все фундаментальные последовательности сходились в этом пополненном пространстве.
Предельная точка – точка, в любой окрестности которой содержится бесконечное множество элементов последовательности.
Принцип вложенных шаров – вложенные шары, радиусы которых стремятся к
нулю, имеют единственную общую точку.
Принцип равномерной ограниченности – если последовательность операторов
ограничена на всех элементах пространства, то она ограничена по норме.
Принцип Шаудера – о неподвижной точке вполне непрерывного оператора.
Произведение операторов – оператор, определенный как последовательное действие двух данных операторов.
Пространство Лебега – пространство функций, интегрируемых по Лебегу.
20
Пространство линейных операторов – множество линейных операторов, на
котором определены операции сложения и умножения на число, а также норма.
Прямая сумма – совокупность пар элементов из разных множеств.
Равенство параллелограмма – сумма квадратов суммы и разности двух элементов в гильбертовом пространстве равна удвоенной сумме квадратов этих элементов.
Равенство Парсеваля – Стеклова – норма элемента гильбертова пространства
равна сумме квадратов коэффициентов Фурье этого элемента.
Расстояние от точки до множества – минимальное значение нормы разности
между данной точкой и элементами множества.
Расширение линейного оператора – определение оператора на множестве, содержащем в себе данную область определения.
Резольвента линейного оператора – множество регулярных точек оператора.
Ряд Фурье – разложение элементов гильбертова пространства по ортонормированной системе.
Самосопряженный оператор – оператор, совпадающий со своим сопряженным.
Сепарабельное пространство – пространство, в котором существует счетное
всюду плотное множество.
Сжимающий оператор – оператор, у которого норма разности образов меньше
нормы разности прообразов.
Сильная сходимость – сходимость по норме пространства.
Скалярное произведение – функционал, который удовлетворяет свойствам коммутативности, однородности, аддитивности.
Слабая компактность – из любой ограниченной последовательности можно
выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Слабая сходимость – сходимость последовательности на линейных ограниченных функционалах.
Собственное значение – число, на которое умножается соответствующий собственный вектор под действием оператора.
Собственный вектор – вектор, который под действием оператора только умножается на число.
Сопряженное пространство – пространство ограниченных линейных функционалов, определенных на заданном пространстве.
Сопряженный оператор – оператор, действующий в сопряженных пространствах.
Спектр линейного оператора – дополнение к резольвентному множеству.
Сходимость почти всюду – последовательность функций сходится во всех точках, за исключением множества меры нуль.
Теорема Арцела – критерий компактности множества непрерывных функций.
Теорема Банаха об обратном операторе – ограниченный в банаховом пространстве взаимно однозначный оператор имеет ограниченный обратный.
Теорема Банаха о замкнутом графике – замкнутый оператор в банаховом пространстве ограничен.
Теорема Банаха – Штейнгауза – о сильной сходимости последовательностей
операторов.
Теорема Хана – Банаха – о продолжении линейного непрерывного функционала.
Теорема Рисса – о виде линейного функционала в гильбертовыом пространстве.
21
Теория Рисса – Шаудера – взаимосвязь между решениями однородного операторного уравнения, неоднородного и сопряженного.
Уравнение Лапласа – сумма вторых производных неизвестной функции по всем
переменным равна нулю.
Условие Гельдера – верхняя грань отношения приращения функции к приращению аргумента ограничена на всей области определения функции.
Условие Липшица – норма разности значений операторов в некоторых двух
точках пропорциональна норме разности между этими точками.
Фактор – пространство – пространство, элементами которого являются классы эквивалентности.
Фундаментальная последовательность – последовательность, бесконечная
часть элементов которой принадлежит сколь угодно малой окрестности некоторой
точки этой последовательности.
Функция от оператора – функция, аргументом которой является оператор.
Эквивалентные нормы – если последовательность сходится по одной норме, то
сходится и по другой.
Экстремум функционала – минимальное или максимальное значение функционала.
22