Утверждаю Вице-министр образования и науки ___________М. Орунханов «_____»_________________2013 г. СПЕЦИФИКАЦИЯ ТЕСТА по дисциплине «Функциональный анализ» для специальности 5В060100 – «Математика» 1. Цель разработки: Тест разработан для проведения внешней оценки учебных достижений студентов выпускных курсов в организациях высшего образования Республики Казахстан, с целью мониторинга освоения учебной программы по направлениям обучения. 2. Задача: Определение уровня знаний студентов выпускных курсов вузов РК. 3. Содержание и план теста: Тест содержит учебный материал по дисциплине «Функциональный анализ» в соответствии с типовым учебным планом по следующим темам: № 1 2 3 Содержание Введение. Краткие исторические сведения о возникновении и развитии принципов и методов функционального анализа. Значение функционального анализа и его связь с другими математическими дисциплинами. Метрические пространства и тополдогические пространства Определение метрического пространства и топологических понятий в нем. Теоремы об открытых и замкнутых множествах в метрических пространствах. Множества, плотные в других множествах; всюду плотные и нигде не плотные в метрическом пространстве. Сепарабельные метрические пространства. Полные и неполные метрические пространства. Пополнение метрических пространств. Принцип вложенных шаров. Теорема Бэра. Принцип сжимающих отображений. Понятие о топологических пространствах. Линейные нормированные пространства. Линейное пространство. Аксиомы нормы и их простейшие следствия. Линейное нормированное пространство. Сходимость последовательности в нормированном пространстве. Линейное многообразие и подпространство. Примеры линейных пространств. Неравенства Гельдера и Минковского. Банаховы пространства. Евклидовы пространства. Гильбертовы пространства. Ограниченные и вполне ограниченные множества. Критерий компактности метрического пространства. Критерий Количество заданий 2 4 3 4 5 6 7 8 9 предкомпактности множества в метрическом пространстве. Теорема Арцела. Геометрия гильбертова пространства. Лемма о равенстве параллелограмма. Понятие угла между элементами. О6ртогональные элементы. Ортонормированные системы в евклидовых пространствах. Разложение Гильбертова пространства на прямую сумму ортогональных подпространств. Неравенство Бесселя. Полные ортонормированные системы в сепарабельных гильбертовых пространствах. Равенство Парсеваля. Теорема РисаФишера. Изоморфизм гильбертовых пространств. Линейные функционалы и операторы. Операторы и функционалы. Ограниченные и непрерывные линейные операторы в линейном нормированном пространстве. Общий вид линейных непрерывных функционалов в основных постранствах. Сопряженное пространство. Сильная топология в сопряженном пространстве. Второе сопряженное пространство. Слабая сходимость в сопряженном пространстве. Алгебра операторов. Банахово пространство линейных операторов. Сопряженный оператор. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Симметричные и вполне непрерывные (компактные) операторы. Предел последовательности операторов. Основные принципы функционального анализа. Теорема БанахаШтейнхауса. Критерий поточечной сходимости. Теоремы Банаха об обратном операторе и о замкнутом графике. Теорема ХанаБанаха о продолжении линейных функционалов и ее следствия. Элементы спектральной теории операторов. Собственные числа и собственные элементы линейного оператора. Спектр оператора. Резольвента. Спектр симметричного компактного оператора. Предел последовательности компактных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта, ее следствия. Полная непрерывность оператора Фредгольма с квадратично суммируемым ядром. Следствия для L2. Неоднородные интегральные уравнения с симметричными ядрами. Элементы теории обобщенных функций. Пространства основных и обобщенных функций. Регулярные и сингулярные обощенные функций. Производные обобщенных функций. Простейшие приложения обобщенных функций. Количество заданий в одном варианте: 2 2 3 3 3 3 25 4. Характеристика содержания заданий. Структура и содержание тестовых заданий по дисциплине «Функциональный анализ» охватывают научную и теоретическую базу дисциплины и позволяют оценить усвоенные знания студентов. 5. Среднее время выполнения заданий: Время выполнения одного задания – 1,5 минуты. 6. Число заданий в одном варианте теста: В одном тесте - 25 заданий. По уровням сложности тестовые задания подразделяются на легкие (уровень 1) - 8 заданий (32%), средние (уровень 2) - 11 заданий (44%) и сложные (уровень 3) - 6 заданий (24%). 7. Форма заданий: Тестовые задания представлены в закрытой форме с несколькими правильными ответами из числа предложенных вариантов ответов. Инструкция: Выбранный ответ необходимо отметить на листе ответов путем полного закрашивания соответствующего кружка. 8. Апробация заданий: Тесты апробируются на студентах выпускных курсов в ВУЗах разных регионов РК.