Файл ИДЗ_OМОИ_Часть-2_v1

ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет
Математический факультет
В.Ю. Бодряков
Индивидуальные домашние задания (ИДЗ)
по дисциплине «Основы математической обработки информации»
Часть 2
Екатеринбург – 2012
Введение
Настоящая методическая разработка предназначена для студентов всех
форм обучения, изучающих дисциплину «Основы математической обработки
информации» (Часть 2). Разработка содержит индивидуальные домашние
задания (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом и методические указания к их
решению.
Методические указания к решению задач
ИДЗ-5. Геометрическая вероятность
Решите задачу на вычисление геометрической вероятности:
На окружности радиуса R наудачу проводится хорда, параллельная
данному направлению. Какова вероятность того, что длина хорды не
превысит R?
Решение: Пусть длина хорды AB, параллельной заданной прямой ,
равна l. Вероятность события F – «Длина хорды l  R», согласно
определению геометрической вероятности, равна
P(F) =
 (F )
,
 ( )
где () – мера полного пространства (множества) всех возможных
равновероятных исходов; (F) – мера пространства всех возможных исходов,
благоприятствующих событию F.
Рис. 1
Поскольку имеется выделенное направление на плоскости, заданное
прямой , задачу удобно решать координатным методом. Начало системы
координат выберем в центре окружности O, ось Oy направим параллельно, а
ось Ox – перпендикулярно прямой  (рис. 1). Пусть хорда AB, параллельная
оси Oy, пересекает ось Ox в точке С(x; 0). Координату x точки C выберем в
качестве непрерывной линейной случайной величины (н.с.в.). Очевидно,
н.с.в. x лежит в диапазоне –R  x  R и с равной вероятностью может принять
2
любое значение из этого промежутка. Т.о., вероятностное пространство всех
возможных исходов  представляет собой отрезок  = [–R; R], его мера ()
= R – (–R) = 2R.
Множество значений с.в. x, благоприятствующих событию F, найдем
из геометрических соображений. Из рис. 1 видно, что по теореме Пифагора
длина хорды
l = 2 R2  x2 .
По условию,
2 R2  x2  R,
откуда
x2 
3 2
R,
4
|x| 
3
R.
2
или
Т.о., событию F благоприятствует множество возможных значений x 



3   3
3 
R; R  . Мера этого множества равна (F) = 2  R 
R  
R  R = R
  R;
2
2
2


 


(2 – 3 ). Искомая вероятность события F равна:
P(F) =
Ответ: P(F) = 1 –
(2  3 ) R
3
=1–
 0,134.
2R
2
3
 0,134.
2
ИДЗ-6. Основные теоремы теории вероятностей
Решите задачу на вычисление вероятности с помощью теорем
сложения и умножения вероятностей:
Два игрока (I и II) играют в кости, бросая поочередно пару кубиков.
Выигрывает тот, у кого первым выпадет в сумме более 10 очков. Какова
вероятность выигрыша для каждого из игроков?
Решение: Заметим, что игра может не закончиться ни при первом
бросании кубиков, ни при втором, и вообще, формально может продолжаться
до бесконечности, если игроки поочередно получают в сумме не более 10
очков. При решении должны быть учтены все возможности.
Рассмотрим вероятность получения в сумме более 10 очков при
единичном бросании пары игральных кубиков. Множество (пространство)
всех возможных равновероятных исходов  при каждом бросании пары
кубиков состоит из элементарных событий – пар выпавших очков на первом
и втором кубиках, соответственно:  = {(1; 1); (1; 2); …; (6; 6)}. Полное
число таких пар, очевидно, равно n = 66 = 36.
Событию A – «Выпадение в сумме более 10 очков при бросании двух
кубиков» благоприятствуют m = 3 элементарных события из множества
3
исходов , а именно, {(5; 6); (6; 5); (6; 6)}. Согласно классическому
определению вероятности, вероятность события A равна:
P(A) =
1
3
m
=
=
= p,
n
12
36
Вероятность противоположного события Ā – «Выпадение в сумме не более
10 очков при бросании двух кубиков» составляет
P(Ā) = q = 1 – p =
11
.
12
Найдем теперь вероятности событий I – «Игру выигрывает игрок I» и II
– «Игру выигрывает игрок II», анализируя все возможные исходы.
На первом этапе (круге игры) игрок I может выиграть с вероятностью
P(AI,1) = p или не выиграть с вероятностью P(ĀI,1) = q. В первом случае игра
завершена; во втором случае ход передается игроку II. По теореме
умножения вероятностей, игрок II может выиграть на первом этапе игры с
вероятностью P(AII,1) = qp (игрок I не выиграл ранее!) или не выиграть с
вероятностью P(ĀII,1) = q2.
На втором этапе игры игрок I может выиграть с вероятностью P(AI,2) =
2
q p (после собственного невыигрыша и невыигрыша игрока II на первом
этапе игры) или не выиграть с вероятностью P(ĀI,2) = q3. Аналогично, игрок II
может выиграть на втором этапе с вероятностью P(AII,2) = q3p или не
выиграть с вероятностью P(ĀII,2) = q4.
На k-ом этапе игры вероятности выигрышей игроков I и II равны,
соответственно, P(AI,k) = q2k–2p и P(AII,k) = q2k–1p, и т.д. Результаты
рассуждений удобно свести в табл. 1:
Таблица 1
Вероятности выигрышей игроков I и II на различных этапах (кругах) игры
Этап Игрок I Игрок II
1
p
qp
2
2
qp
q3p
3
q4p
q5p
…
…
…
2k–2
2k–1
k
q p
q p
…
…
…

Для подсчета полных вероятностей выигрышей каждого из игроков
остается
воспользоваться
теоремой
сложения
вероятностей
и
просуммировать бесконечно убывающие геометрические прогрессии:
P(I) = p + q2p + q4p + … + q2k–2p + … = p(1 + q2 + q4 + … + q2k–2 + …) =
=
1
12
p
=
= ;
2
23
1 q
1 q
P(II) = qp + q3p + q5p + … + q2k–1p + … = qp(1 + q2 + q4 + … + q2k–2 + …) =
=
4
q
11
qp
=
= .
2
23
1 q
1 q
Вероятность выигрыша игрока I несколько превосходит вероятность
выигрыша игрока II. Так как выигрыш одного из двух игроков – событие
достоверное, то, как и должно быть, P(I) + P(II) = 1.
Ответ: P(I) =
12
11
; P(II) = .
23
23
ИДЗ-7. Формула полной вероятности
Решите задачу на вычисление полной вероятности события:
По учебной цели производится 3 выстрела. Вероятность попадания при
первом выстреле равна p1 = 0,5; при втором p2 = 0,6; при третьем p3 = 0,8. При
одном попадании цель будет поражена с вероятностью 0,3; при двух с
вероятностью 0,6; при трех – наверняка. Какова вероятность того, что цель
будет поражена?
Решение: Вероятность события A – «Цель поражена» может быть
найдена по формуле полной вероятности. Событию A предшествует одно из
событий полной группы:
B0 – «В цель не попал ни один выстрел: 0 попаданий»;
B1 – «В цель попал один выстрел: 1 попадание»;
B2 – «В цель попало два выстрела: 2 попадания»;
B3 – «В цель попали все три выстрела: 3 попадания».
Найдем вероятности указанных событий, образующих полную группу.
Событие B0 есть результат произведения трех независимых
элементарных событий: промах при первом выстреле с вероятностью
q1 = 1 – p1 = 0,5;
промах при втором выстреле с вероятностью
q2 = 1 – p2 = 0,4;
промах при третьем выстреле с вероятностью
q3 = 1 – p3 = 0,2.
По теореме умножения вероятностей:
P(B0) = q1q2q3 = 0,50,40,2 = 0,04.
Событие B1 есть результат единственного попадания (при первом или
втором или третьем выстреле) при двух оставшихся промахах. По теоремам
умножения вероятностей и сложения вероятностей:
P(B1) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,50,40,2 + 0,50,60,2 + 0,50,40,8 =
= 0,04 + 0,06 + 0,16 = 0,26.
Событие B2 есть результат двух попаданий при одном промахе (при
первом, при втором, или при третьем выстреле). По теоремам умножения
вероятностей и сложения вероятностей:
P(B2) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,50,60,2 + 0,50,40,8 + 0,50,60,8 =
= 0,06 + 0,16 + 0,24 = 0,46.
Наконец, событие B3 есть результат трех попаданий при всех трех
выстрелах. По теореме умножения вероятностей:
P(B3) = p1p2p3 = 0,50,60,8 = 0,24.
5
Как и следует, сумма вероятностей событий, образующих полную
группу событий, равна единице:
P(B0) + P(B1) + P(B2) + P(B3) = 0,04 + 0,26 + 0,46 + 0,24 = 1.
Условные вероятности поражения цели есть:
– При всех трех промахах (событие B0) PB0(A) = 0 – поражение цели есть
невозможное событие;
– При одном попадании (событие B1) PB1(A) = 0,3;
– При двух попаданиях (событие B2) PB2(A) = 0,6;
– При трех попаданиях (событие B3) PB3(A) = 1 – достоверное событие.
Вычислим полную вероятность события A по формуле полной
вероятности:
P(A) = P(B0)PB0(A) + P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + P(B3)PB3(A) =
= 0,040 + 0,260,3 + 0,460,6 + 0,241 = 0,594.
Ответ: P(A) = 0,594.
ИДЗ-8. Формула Бейеса
Решите задачу на вычисление бейесовской вероятности:
Имеется три одинаковых урны. В первой урне 4 белых и 6 черных
шаров; во второй – 5 белых и 7 черных шаров, в третьей – 6 белых и 10
черных шаров. Из урны, взятой наудачу, извлечены подряд два белых шара.
Из какой урны вероятнее всего вынимались шары?
Решение: Обозначим: событие A – «Из выбранной урны извлечены
подряд два белых шара». Событие B1 – «Выбрана первая урна»; B2 –
«Выбрана вторая урна»; B3 – «Выбрана третья урна». События B1, B2, B3,
образуют полную группу; их вероятности равны:
P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
Вероятность извлечь подряд два белых шара из урны 1 равна:
PB1(A) =
4 3
2
 =
 0,1333;
10 9
15
PB2(A) =
5 4
5
 =
 0,1515;
12 11
33
из урны 2:
из урны 3:
PB3(A) =
6 5
1
 = = 0,125.
16 15
8
Полная вероятность события A по формуле полной вероятности равна:
P(A) = PB1(A)P(B1) + PB2(A)P(B2) + PB3(A)P(B3) =
=
1 1
2 1
5 1
1 541
 +  +  = 
 0,1366.
15 3
3 1320
33 3
8 3
Согласно формуле Бейеса вероятность того, что оба белых шара
извлечены из урны 1, равна:
PA(B1) =
176
PB1 ( A)  P( B1 )
=
 0,3253;
541
P( A)
6
из урны 2:
PA(B2) =
PB 2 ( A)  P( B2 )
200
=
 0,3697;
P( A)
541
PA(B3) =
165
PB 3 ( A)  P ( B3 )
=
 0,3050.
541
P ( A)
из урны 3:
Наибольшей является вероятность того, что шары вынимались из второй
урны (событие B2).
Ответ: Шары вероятнее всего вынимались из 2-ой урны.
З а м е ч а н и е. Легко убедиться, что PA(B1) + PA(B2) + PA(B3) = 1, как и
должно быть.
ИДЗ-9. Формулы Муавра – Лапласа. Вероятности редких событий.
Решите задачу на вычисление вероятностей случайных событий с
применением локальной или интегральной теорем Муавра – Лапласа или
распределения Пуассона.
При рождении одного ребенка вероятность появления мальчика равна
0,51. Какой объем выборки новорожденных следует взять, чтобы с
вероятностью 95% удостовериться в справедливости данного вывода?
Допустимая ошибка  1% от объема выборки.
Решение: Введем обозначения: p = 0,51 – вероятность рождения
мальчика; q = 0,49 – вероятность рождения девочки (т.е. нерождения
мальчика); n – искомый объем выборки.
Пусть в выборке новорожденных объема n имеется k мальчиков. Для
того, чтобы относительная эмпирическая частота отклонялась от вероятности
p не более, чем на  0,01, число мальчиков должно быть заключено в
пределах k1  k  k2, где k1 = np – 0,01n, k2 = np + 0,01n.
Согласно интегральной теореме Муавра – Лапласа вероятность того, что k1 
k  k2, может быть найдена по формуле:
 k 2  np 








 –  k1  np  =  0,01n  –   0,01n  = 2  0,01n  .

 npq 
 npq 

 npq 
npq 
 npq 







P(k1  k  k2) = 
Здесь (z) – табулированная функция Лапласа; учтена также нечетность
функции Лапласа: (–z) = –(z).
По условию задачи
 0,01n 
 = 0,95,

npq


P(k1  k  k2) = 2 
Откуда
 0,01n 
   0,02 n = 0,475.

 npq 




Далее, по таблице значений функции Лапласа находим
0,02 n = 1,96,
7
откуда, окончательно, n = 9604.
Ответ: Следует взять выборку новорожденных объемом не менее n =
9604 чел.
ИДЗ-10. Закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины (д.с.в.). Числовые характеристики распределения д.с.в.
Составьте закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины (д.с.в.) X – числа k выпадений хотя бы одной «шестерки» в n = 8
бросаниях пары игральных кубиков. Постройте многоугольник
распределения. Найдите числовые характеристики распределения (моду
распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее
квадратическое отклонение (X)).
Решение: Введем обозначение: событие A – «при бросании пары
игральных кубиков шестерка появилась хотя бы один раз». Для нахождения
вероятности P(A) = p события A удобнее вначале найти вероятность P(Ā) = q
противоположного события Ā – «при бросании пары игральных кубиков
шестерка не появилась ни разу».
Поскольку вероятность непоявления «шестерки» при бросании одного
кубика равна 5/6, то по теореме умножения вероятностей
2
25
5
P(Ā) = q =   =
.
36
6
Соответственно,
P(A) = p = 1 – P(Ā) =
11
.
36
Испытания в задаче проходят по схеме Бернулли, поэтому д.с.в. величина X
– число k выпадений хотя одной шестерки при бросании двух кубиков
подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей:
Pn(k) = C nk pnqn–k,
где C nk =
n!
– число сочетаний из n по k. Проведенные для данной
k!(n  k )!
задачи расчеты удобно оформить в виде таблицы (табл. 2):
Таблица 2
11
25
Распределение вероятностей д.с.в. X  k (n = 8; p = ; q =
)
36
36
0
1
2
3
4
5
6
7
8

k
1
8
28
56
70
56
28
8
1
Cn
Pn(k) 0,0541 0,1904 0,2932 0,258 0,1419 0,05 0,011 0,0013 0,0001 1
k
Полигон (многоугольник) распределения
случайной величины X представлен на рис. 2:
8
вероятностей
дискретной
Рис. 2. Полигон распределения вероятностей д.с.в. X = k. Вертикальной
линией показано математическое ожидание распределения M(X).
Найдем числовые характеристики распределения вероятностей д.с.в. X. Мода
распределения равна 2 (здесь P8(2) = 0,2932 максимально). Математическое
ожидание по определению равно:
8
M(X) =
 P (k )  x
k 0
8
k
= 2,4444,
где xk = k – значение, принимаемое д.с.в. X. Дисперсию D(X) распределения
найдем по формуле:
8
D(X) =
 P (k )  ( x
k 0
8
k
 M ( X )) 2 = 4,8097.
Среднее квадратическое отклонение (СКО):
(X) = D(X ) = 2,1931.
Для наглядности математическое ожидание M(X) д.с.в. X, характеризующее
«центр тяжести» распределения, показано на рис. 2 вертикальной сплошной
линией.
Ответ: Полигон распределения показан на рис. 2. Мода распределения
равна 2; математическое ожидание M(X) = 2,4444; дисперсия D(X) = 4,8097;
СКО (X) = 2,1931.
ИДЗ-11. Закон распределения вероятностей непрерывной
случайной величины (н.с.в.). Числовые характеристики распределения
н.с.в.
Для непрерывной случайной величины (н.с.в.) X задана плотность
функции распределения: f(x) = С1exp(–2|x|) при |x|  1; при |x| > 1 f(x) = 0.
Нормируйте плотность распределения. Вычислите функцию распределения
F(x). Постройте графики обеих функций. Вычислите числовые
характеристики распределений: математическое ожидание M(X), дисперсию
9
D(X), СКО (X). Вычислите вероятность того, что н.с.в. X примет значения
из заданного интервала (a; b) = (1/2; 3/2).
Решение: Прежде всего, нормируем на единицу плотность функции
распределения f(x); отсюда определится неизвестная постоянная С1:


1
1
f ( x)dx = 1 =

 2| x|
2 x
2 x
 C1e dx = 2  C1e dx = –С1 e
1
1
0
= С1(1 – e–2),
0
откуда
С1 =
1
 1,1565.
1  e 2
При вычислении интеграла использована четность подынтегральной
функции. Функцию распределения F(x) найдем путем интегрирования,
причем здесь, в силу свойств функции y = |x| потребуется различать случаи x
< 0 и x  0.
При –1  x < 0:
x
F(x) =

x
f ( x) dx =

2t
 C1e dt =
1
1
1
  e 2t
2
2
1 e
x
1
=
1 e 2 x  e 2
.
2 1  e 2
При 0  x  1:
F(x) =
x
0


 f ( x)dx =  f ( x)dx
x
+
 f ( x)dx =
0
x
= F(0) +  C1e 2t dt =
0
1
1
1
+
     e 2t
2 
2
1 e
 2
x
0
=
1
1 1  e 2 x
+
,
2
2 1  e 2
При x < –1 F(x) = 0; при x > 1 F(x) = 1.
Графики плотности функции распределения f(x) и самой функции
распределения F(x) представлены на рис. 3 и рис. 4, соответственно.
Рис. 3. График плотности
функции распределения вероятностей
f(x) н.с.в. X
10
Рис. 4. График функции
распределения вероятностей F(x)
н.с.в. X
Рассчитаем числовые характеристики
Математическое ожидание M(X) н.с.в. X равно:

 xf ( x)dx =
M(X) =

1
C
1
распределения
н.с.в.
X.
 xe 2| x| dx = 0
1
в силу нечетности подынтегральной функции. Дисперсия D(X) н.с.в. X равна:

D(X) =  ( x  M ( X )) 2 f ( x)dx =

1
1
1
0
2  2| x|
2 2 x
 C1  x e dx = 2 С1  x e dx =
1 1  5e 2
 0,1870.
2 1  e 2
Интеграл в выражении для дисперсии берется двойным интегрированием по
частям:
1
x e
2
0
2 x
dx =
1
(1 – 5e–2)  0,0808.
4
Среднее квадратическое отклонение СКО найдем как
(X) = D(X ) = 0,4324.
Наконец, вероятность того, что н.с.в. X примет значения из заданного
интервала (a; b) = (1/2; 3/2) вычислим, воспользовавшись найденной
функцией распределения:
P(1/2 < x < 3/2) = F(3/2) – F(1/2) = 1 –
1
1 1  e 1
1 e 1  e 2
–
=
 0,1345.
2
2 1  e 2
2 1  e 2
Ответ: Графики плотности функции распределения f(x) и самой
функции распределения F(x) н.с.в. X приведены на рис. 3, 4, соответственно.
Вероятность попадания X в интервал (1/2; 3/2) равна P(1/2 < x < 3/2) = 0,1345.
Числовые характеристики распределений: математическое ожидание M(X) =
0; дисперсия D(X) = 0,1870; СКО (X) = 0,4324.
ИДЗ-12. Статистическое распределение случайной величины и его
числовые характеристики.
Представлены статистические данные. Требуется: 1) составить
дискретный вариационный ряд, при необходимости упорядочив его; 2)
определить основные числовые характеристики ряда; 3) дать графическое
представление ряда в виде полигона (гистограммы) распределения; 4)
сформулировать содержательные выводы.
Прим. 1) При проверке статистической гипотезы о виде распределения
принять уровень значимости  = 0,05; 2) Для числовой обработки данных
рекомендуется использовать подходящий математический пакет, например,
электронную таблицу MS Excel.
Результаты измерений диаметров n = 200 валков после шлифовки
обобщены в табл. 3 (мм):
Таблица 3
Частотный вариационный ряд диаметров валков.
i
1
2
3
4
5
xi, мм 6,68 6,69
6,7
6,71 6,72
11
6
6,73
7
6,74
8
6,75
ni
2
3
12
6
11
14
30
25
i
xi, мм
ni
9
6,76
27
10
6,77
31
11
6,78
14
12
6,79
8
13
6,8
5
14
6,81
6
15
6,82
5
16
6,83
1
Помимо общего задания, требуется построить теоретическую кривую
нормального распределения и проверить соответствие эмпирического и
теоретического распределений по критерию Пирсона.
Решение: Основные числовые характеристики данного вариационного
ряда найдем по определению. Средний диаметр валков равен (мм):
xср =
1 16
 ni  xk = 6,753;
n k 1
исправленная дисперсия (мм2):
D=
1 16
ni  ( xk  xср ) 2 = 0,0009166;

n 1 k 1
исправленное среднее квадратическое (стандартное) отклонение (мм):
s = D = 0,03028.
Рис. 5. Частотное распределение диаметров валков
Исходное («сырое») частотное распределение вариационного ряда, т.е.
соответствие ni(xi), отличается довольное большим разбросом значений ni
относительно некоторой гипотетической «усредняющей» кривой (рис. 5). В
этом случае предпочтительно построить и анализировать интервальный
вариационный ряд, объединяя частоты для диаметров, попадающих в
соответствующие интервалы.
Число интервальных групп K определим по формуле Стерджесса:
K = 1 + log2n = 1 + 3,322lgn,
где n = 200 – объем выборки. В нашем случае
K = 1 + 3,322lg200 = 1 + 3,3222,301 = 8,644  8.
12
Ширина интервала равна (6,83 – 6,68)/8 = 0,01875  0,02 мм.
Интервальный вариационный ряд представлен в табл. 4.
Таблица 4
Частотный интервальный вариационный ряд диаметров валков.
k
1
2
3
4
5
6
7
xk, мм 6,68 6,70 6,72 6,74 6,76 6,78 6,80
–
–
–
–
–
–
–
6,70 6,72 6,74 6,76 6,78 6,80 6,82
nk
5
18
25
55
58
22
11
8
6,82
–
6,84
6
Интервальный ряд может быть наглядно представлен в виде
гистограммы частотного распределения (рис. 6).
Рис. 6. Частотное распределение диаметров валков. Сплошная линия –
сглаживающая нормальная кривая.
Вид гистограммы позволяет сделать предположение о том, что
распределение диаметров валков подчиняется нормальному закону, согласно
которому теоретические частоты могут быть найдены как
nk, теор = nN(a; ; xk)xk,
где, в свою очередь, сглаживающая
распределения определяется выражением:
N(a; ; xk) =
гауссова
кривая
нормального
 ( x  a) 2 
1
exp  k 2  .
2
2 


В этих выражениях xk – центры интервалов в частотном интервальном
вариационном ряде табл. 4. Например, x1 = (6,68 + 6,70)/2 = 6,69. В качестве
оценок центра a и параметра  гауссовой кривой можно принять:
13
 = s.
a = xср;
Из рис. 6 видно, что гауссова кривая нормального распределения в
целом соответствует эмпирическому интервальному распределению. Однако
следует удостовериться в статистической значимости этого соответствия.
Используем для проверки соответствия эмпирического распределения
эмпирическому критерий согласия Пирсона 2 [2-4]. Для этого следует
вычислить эмпирическое значение критерия как сумму
 =
2
8
(nk  nk , теор ) 2
k 1
nk , теор

,
где nk и nk,теор – эмпирические и теоретические (нормальные) частоты,
соответственно. Результаты расчетов удобно представить в табличном виде
(табл. 5):
Таблица 5
Таблица вычисления критерия Пирсона
[xk, xk+1), мм
xk, мм
nk
nk,теор
(nk  nk , теор ) 2
nk , теор
6,68 – 6,70
6,69
5
4,00
0,25
6,70 – 6,72
6,71
18
14,57
0,81
6,72 – 6,74
6,73
25
34,09
2,42
6,74 – 6,76
6,75
55
51,15
0,29
6,76 – 6,78
6,77
58
49,26
1,55
6,78 – 6,80
6,79
22
30,44
2,34
6,80 – 6,82
6,81
11
12,07
0,09
6,82 – 6,84
6,83
6
3,07
2,80
2эмп
10,55
Критическое значение критерия найдем по таблице Пирсона [2, 3] для уровня
значимости  = 0,05 и числа степеней свободы d.f. = K – 1 – r, где K = 8 –
число интервалов интервального вариационного ряда; r = 2 – число
параметров теоретического распределения, оцененных на основании данных
выборки (в данном случае, – параметры a и ). Таким образом, d.f. = 5.
Критическое значение критерия Пирсона есть 2крит(; d.f.) = 11,1. Так как
2эмп < 2крит, заключаем, что согласие между эмпирическим и теоретическим
нормальным распределением является статистическим значимым. Иными
словами, теоретическое нормальное распределение удовлетворительно
описывает эмпирические данные.
14
Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)
ИДЗ-5. Геометрическая вероятность
Решите задачу на вычисление геометрической вероятности:
1. В круге радиуса R наудачу проведена хорда. Найти вероятность того, что
длина хорды не более R.
2. На отрезке АВ длиной l наудачу выбраны две точки L и M. Найти
вероятность того, что точка L будет ближе к M, чем к точке А.
3. На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова
вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?
4. Два парохода должны подойти к одному причалу. Время прихода обоих
пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить
вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения
причала, если время стоянки одного – 1 час, а другого – 2 часа.
5. На плоскость, уложенную равносторонними треугольными плитками со
стороной 12 см уронили монету радиусом 1 см. Какова вероятность того, что
монета не пересечет ни одну из стыковых линий?
6. Два лица могут прийти к месту встречи равновозможно в любой момент
промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания
одним другого будет не больше t.
7. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны
соответственно kr (k = 1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними
радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка.
Определить вероятность попадания этой точки в заштрихованную область.
8. Найти вероятность, что сумма наудачу взятых положительных правильных
дробей не больше 0,95, а произведение не меньше 3/20.
9. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписан в круг. Какова
вероятность того, что случайная точка, брошенная в круг, попадет и на
треугольник?
10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не
превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет не
больше единицы, а частное y/x не больше двух.
11. Шкала секундомера имеет цену деления 2 сек. Какова вероятность
сделать отсчет с ошибкой не более 0,5 сек., если отсчет округляется до
целого деления в ближайшую сторону?
12. На отрезке ОА длины l числовой оси наудачу поставлены две точки: В и С.
Найти вероятность того, что длина ВС окажется меньше, чем l/2.
13. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг
от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти
вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.
14. Пассажир может воспользоваться трамваями двух маршрутов,
следующих с интервалами 5 и 7 мин. Найти вероятность того, что придя на
остановку в случайный момент времени, пассажир будет ждать не дольше 2х минут.
15
15. В интервале времени [0; T] в случайный момент t1 появляется сигнал
длительности Δt1. Приемник включается в случайный момент t2  [0; Т] на
время Δt2. Найти вероятность обнаружения сигнала.
16. В круге радиуса R наудачу проводится хорда длины l. Найти вероятность
того, что длина хорды R  l  2R.
17. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того,
что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника.
18. Задуманы два действительных неотрицательных числа, меньшие 10.
Найти вероятность того, что их сумма не меньше 10, а сумма их квадратов не
больше 100.
19. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60o
северной и 60o южной широты. Считая падение спутника в любую точку
поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти
вероятность того, что спутник упадет выше 30o северной широты.
20. Палочка длиной 20 см случайным образом ломается в двух местах.
Какова вероятность того, что из трех полученных кусочков можно будет
составить треугольник?
21. На плоскость, разграфленную на квадратные клетки параллельными и
перпендикулярными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 10
см, наудачу брошена монета диаметром 2 см. Найти вероятность того, что
монета не пересечет ни одной из прямых.
22. На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова
вероятность того, что треугольник АВС тупоугольный?
23. В детектор поступают короткие сигналы от двух независимых устройств,
равновозможные в любой момент промежутка времени T. Сигналы
воспринимаются детектором как различные, если промежуток времени
между их поступлением превышает время . Найти вероятность того, что
детектор различит поступившие сигналы.
24. Равносторонний треугольник со стороной a = 16 см случайным образом
рассечен прямой, проходящей через одну из его вершин. Найти вероятность
того, что площадь одной полученной части не более, чем в два раза
превосходит площадь другой.
25. Равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной a = 20 см
случайным образом рассечен на две части прямой, параллельной гипотенузе.
Какова вероятность того, что периметр малого треугольника меньше
периметра оставшейся части?
26. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не
превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма x + y не превышает
единицы, а произведение xy не меньше 0,09.
27. Найти вероятность того, что будет выполнено неравенство x  y2, если x и
y – случайные числа из промежутка [1; 3].
28. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х).
Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОB и ВА имеет длину,
большую L/3.
16
29. Телефонная линия, соединяющая два пункта А и В, расстояние между
которыми равно 7 км, оборвалась в неизвестном месте. Какова вероятность
того, что место обрыва удалено от обоих пунктов далее чем на 2,5 км?
30. В течение 10 единиц времени (тактов) в устройство должны поступить
два сообщения: одно длительностью a = 4 такта, другое b = 3 такта.
Устройство не может принимать другое сообщение, если не закончилось
первое. Какова вероятность того, что будет принято только одно сообщение?
ИДЗ-6. Основные теоремы теории вероятностей
Решите задачу на вычисление вероятности с помощью теорем
сложения и умножения вероятностей:
1. В шкатулке лежат 5 монет по 20 коп., 4 монеты по 15 коп., и 2 монеты по
10 коп. Наугад берутся 6 монет. Какова вероятность, что в сумме они
составят не более одного рубля?
2. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в
первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй
соответственно 19, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару.
Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
3. В ящике 12 деталей, из которых пять окрашены. Сборщик наудачу взял три
детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей
окрашена.
4. Определить вероятность того, что наудачу выбранное целое
положительное число не делится: а) ни на два, ни на три; б) на два или на три.
5. Из урны, содержащей n шаров с номерами от 1 до n, последовательно
извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не
равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет
вынут при втором извлечении.
6. Два игрока поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше
появиться герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.
7. Среди 110 лотерейных билетов есть 17 выигрышных. Найти вероятность
того, что среди 15 наудачу выбранных билетов 8 окажутся выигрышными.
8. В урне имеются n белых и m черных шаров. Два игрока последовательно
достают наудачу по одному шару, возвращая каждый раз вынутый шар
обратно. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не достанет
белый шар. Определить вероятность выигрыша для каждого из игроков.
9. В ящике 9 белых и 11 черных шаров. Один шар вынут и отложен в сторону.
Какова вероятность того, что следующий вынутый шар будет белым, если
цвет первого неизвестен?
10. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает,
равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность
того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
11. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при
одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти
17
вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет хотя бы один из
стрелков.
12. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех
выпавших гранях появится разное число очков.
13. Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,98.
Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий,
если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
14. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность.
Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того,
что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
15. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической
величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна
0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что
только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
16. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них имеются по крайней мере два белых
шара.
17. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в
течение времени T безотказно с вероятностями 0,85, 0,75, 0,70,
соответственно. Найти вероятность того, что за время T выйдет из строя
только один элемент.
18. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены
три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка
попадет по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки
на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
19. В электропоезд, состоящий из трех вагонов входят четыре пассажира,
которые выбирают вагоны наудачу. Определить вероятность того, что в
каждый вагон войдет хотя бы один пассажир.
20. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах
равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
21. В ящике 12 деталей, из которых пять окрашены. Сборщик наудачу взял
три детали. Найти вероятность того, что ни одна из взятых деталей не
окрашена.
22. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при
одном выстреле для первого стрелка равна 0,65, а для второго – 0,75. Найти
вероятность того, что при одном залпе мишень будет поражена.
23. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному
извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность того, что
извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от того, в какой
последовательности они появились.
24. Среди 1000 лотерейных билетов есть 50 выигрышных. Найти вероятность
того, что два наудачу взятых билета окажутся выигрышными.
18
25. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них имеются по крайней мере два белых
шара.
26. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в
течение времени T безотказно с вероятностями 0,85, 0,90, 0,95,
соответственно. Найти вероятность того, что за время T выйдет из строя хотя
бы один элемент.
27. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7
черных шаров. Из первой урны взяли случайно три шара, а из второй урны –
2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного
цвета.
28. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7
черных шаров. Из первой урны взяли случайно три шара, а из второй урны –
2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров есть хотя бы один
белый шар.
29. Два игрока играют в кости, бросая поочередно два кубика. Выигрывает
тот, у кого первым выпадет в сумме 12 очков. Какова вероятность выигрыша
для каждого из игроков?
30. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Какова вероятность того,
что студент получит зачет по дисциплине, если для этого он должен
правильно ответить на два вопроса из предложенных трех?
ИДЗ-7. Формула полной вероятности.
Решите задачу на вычисление полной вероятности события:
1. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии
одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии,
переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй
партии. Найти вероятность извлечения бракованного изделия из второй
партии.
2. В отделе найма персонала проводится тестирование на вакантную
руководящую должность. Тест составлен из двух производственных
ситуаций, не связанных между собой логически. По каждой ситуации
предлагается три примера дальнейших действий, из которых надо выбрать
один наилучший. Вероятность того, что претендент знает ответ на первую
часть теста равна p1 = 0,8, вероятность того, что он знает ответ на вторую
часть равна p2 = 0,7. Если претендент не знает ответа, он выбирает один из
трех предлагаемых вариантов наугад. Какова вероятность того, что
испытуемый ответит правильно на обе части теста?
3. В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны
соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при
одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
4. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания
одна деталь. Найти вероятность обнаружения бракованной продукции, если в
19
одной партии пятая часть деталей – бракованные, а в двух других – все
доброкачественные.
5. Радиодеталь может принадлежать к одной из трех партий с
вероятностями p1, p2 и p3, где p1 = p3 = 0,25, p2 = 0,5. Вероятности того, что
деталь проработает заданное число часов, равны для этих партий
соответственно 0,9; 0,8 и 0,6. Определить вероятность того, что радиодеталь
проработает заданное число часов.
6. В ящике находятся 12 теннисных мячей, из которых 8 новых. Для первой
игры наугад берутся два мяча, которые после игры возвращаются в ящик.
Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что
все мячи, взятые для второй игры, новые.
7. В урну, содержащую 10 шаров, опущен белый шар и шары перемешены,
после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что
извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые
предположения о первоначальном цветовом составе шаров.
8. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой
урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Затем после
перемешивания один шар извлечен из второй урны и переложен в третью.
Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны,
белый.
9. В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке
изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и
на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей
первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Какова вероятность того,
что взятая наугад деталь окажется первого сорта?
10. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, во второй – 1 черный
и 5 белых шаров. Из каждой урны наугад удалили по одному шару, а
оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар,
наудачу вытянутый из третьей урны, окажется белым.
11. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 – во втором, а остальные
– в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с
вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того,
что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
12. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26
белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных
шаров. Из выбранного наугад ящика вынули один шар. Какова вероятность
того, что он черный?
13. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекают 2
шара и добавляют в урну один белый шар. Найти вероятность того, что после
этого наудачу выбранный из урны шар окажется белым.
14. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность
исправной работы в течение месяца равна 0,90, и 5 телевизоров с
аналогичной вероятностью, равной 0,95. Найти вероятность того, что два
20
телевизора, взятые наудачу в пункте проката, проработают исправно в
течение месяца.
15. В одной урне содержится 1 белый и 2 черных шара, в другой урне – 2
белых и 3 черных шара. В третью урну кладут два шара, случайно
выбранных из первой урны, и два шара, случайно выбранных из второй.
Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, будет
белым?
16. Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказного
срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99, при перегреве – 0,95,
при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность
отказа этого реле при работе в жарких странах, где вероятность перегрева
равна 0,2, а вероятность вибрации 0,1. Найти также вероятность отказа реле
при работе в передвижной лаборатории, где вероятность перегрева 0,1, а
вероятность вибрации 0,3. (Предполагается, что перегрев и вибрация –
независимые события).
17. В урну, содержащую 8 шаров, опущен один белый шар, после чего
наудачу извлечены два шара. Найти вероятность того, что оба извлеченных
шара окажутся белыми, если равновероятны все возможные предположения
о первоначальном цветовом составе шаров в урне.
18. В большом стройотряде 70 процентов первокурсников и 30 процентов
студентов второго курса. Среди первокурсников 10 процентов девушек, а
среди студентов второго курса – 5 процентов девушек. Среди первокурсниц
одна половина изучает английский, другая половина – немецкий языки.
Среди второкурсниц одна треть изучает английский, другая треть – немецкий;
последняя треть – французский языки. Все девушки по очереди дежурят на
кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне
дежурит студентка, говорящая по-английски.
19. В урне 8 шаров. К ним прибавляют 2 белых шара и шары тщательно
перемешивают. Затем из урны наудачу вынимают три шара. Найти
вероятность того, что все вынутые шары белые, считая, что все
предположения о первоначальном составе урны равновероятны.
20. В одной урне 5 белых и 7 черных шаров, а в другой – 4 белых и 8 черных
шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара и опускают
во вторую урну. После перемешивания шаров из второй урны наудачу
вынимают три шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из
второй урны, черные.
21. В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок,
стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с
вероятностью 0,95, а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с
вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень,
стреляя из случайно взятой винтовки.
22. В урну, содержащую n шаров, опущен один белый шар, после чего шары
тщательно перемешивают. Затем наудачу извлекается один шар. Найти
вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны
21
все возможные предположения о первоначальном цветовом составе шаров в
урне.
23. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой – 4 белых и 8 черных
шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара и опускают
во вторую урну. После этого из второй урны также наудачу вынимают два
шара. Найти вероятность того, что оба шара, вынутые из пополненной
второй урны, одного цвета.
24. Вероятности того, что при работе персонального компьютера (ПК)
произойдет сбой в центральном процессоре (ЦП), в оперативном
запоминающем устройстве (ОЗУ), в периферийных устройствах (ПУ),
относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в ЦП, ОЗУ, ПУ равны,
соответственно, 0,80; 0,90; 0,95. Найти вероятность того, что возникший в
ПК сбой будет обнаружен.
25. Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты
вытягиваются по одному без возвращения. Какова вероятность того, что во
второй раз вытянут выигрышный билет?
26. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой
урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из
второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти
вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из пополненной третьей
урны, окажется черным.
27. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе A; 20 деталей,
изготовленных на заводе B и 18 деталей, изготовленных на заводе C.
Вероятности изготовления деталей отличного качества для названных
заводов составляют, соответственно, 0,8; 0,7 и 0,9. Найти вероятность того,
что деталь, наудачу извлеченная из ящика, будет отличного качества.
28. В двух урнах находятся, соответственно, 3 белых и 7 черных шаров, и 6
белых и 3 черных шара. Из каждой урны наудачу извлекается по два шара, а
затем из каждой пары наудачу берется по одному шару. Какова вероятность,
что оба шара окажутся одного цвета?
29. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой
игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик.
Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что
все мячи, взятые для второй игры, новые.
30. В урну, содержащую 7 шаров, опущен белый шар, после чего наудачу
извлечены два шара. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара
окажутся белыми, если любые предположения о первоначальном цветовом
составе шаров в урне равновозможны.
ИДЗ-8. Формула Бейеса
Решите задачу на вычисление бейесовской вероятности:
1. Из партии в пять изделий наудачу взято одно, оказавшееся бракованным.
Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое
22
предположение о количестве бракованных изделий в партии наиболее
вероятно? Обоснуйте ответ.
2. Определить вероятность того, что среди 1000 лампочек нет ни одной
неисправной, если из взятых наудачу 100 лампочек все оказались
исправными. Предполагается, что число неисправных лампочек из 1000
равновозможно от 0 до 5.
3. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с
вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу
выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из
групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
4. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны
соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков
имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся
третий стрелок.
5. Трое охотников одновременно выстрелили по кабану, который был в
результате убит одной пулей. Определить вероятности того, что кабан убит
первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для
них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.
6. В урне имеется 10 шаров, причем цвет каждого из них может быть белым
или черным, так что все возможные предположения о цветовом составе
шаров равновероятны. Извлекаются последовательно 4 шара, причем каждый
раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что
в урне содержатся только белые шары, если черные шары не извлекались?
7. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель.
Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями: I, II, III. На
складе имеются электродвигатели названных заводов, соответственно, в
количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать в течение
гарантийного срока с вероятностями, соответственно, 0,85, 0,76 и 0,71.
Рабочий берет наудачу один двигатель и монтирует его к устройству. Найти
вероятности того, что смонтированный и проработавший безотказно до
конца гарантийного срока двигатель был поставлен заводом-изготовителем I,
II или III.
8. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных
деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15 и 10.
Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся
стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии
наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти
вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
9. В специализированную больницу поступают в среднем 50 процентов
больных с заболеванием К, 30 процентов – с заболеванием L, 20 процентов –
с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для
болезней L и M эти вероятности, соответственно, равны 0,8 и 0,9. Больной,
поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того,
что он страдал заболеванием К.
23
10. Два из четырех независимо работающих элементов вычислительного
устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй
элементы, если вероятность отказа первого, второго, третьего и четвертого
элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3 и 0,1.
11. Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов.
Вероятность того, что изделие попадет к первому, равна 0,45, ко второму –
0,15, к третьему – 0,4. Вероятность того, что стандартное изделие будет
признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, вторым – 0,99,
третьим – 0,95. Отобранное изделие при проверке было признано
стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй
товаровед.
12. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель.
Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности
попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны
0,4; 0,3 и 0,5.
13. Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной,
остальные детали первого сорта. Деталь, взятая из одной партии оказалась
первосортной. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии,
имеющей второсортные детали.
14. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания
первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности
попадания при следующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05.
Какова вероятность того, что первым произвел выстрел первый стрелок, если
первое попадание произошло при пятом выстреле?
15. Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два
черных и по два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из
урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар
извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?
16. Два станка-автомата производят одинаковые детали, которые поступают
на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше
производительности второго. Первый автомат производит в среднем 70%
деталей отличного качества, а второй – 85%. Наудачу взятая с конвейера
деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь
произведена первым автоматом.
17. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
автозаправочная станция (АЗС), относится к числу легковых машин,
проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что на заправку
остановится грузовая машина, равна 0,1; для легкового автомобиля эта
вероятность равна 0,2. К АЗС на заправку подъехал автомобиль. Найти
вероятность того, что это грузовая машина.
18. Звено из четырех самолетов производит учебное бомбометание по цели,
сбрасывая по одной бомбе. Вероятность поражения цели первым самолетом
p1 = 0,40; вторым и третьим p2 = p3 = 0,35; четвертым p4 = 0,30. Цель была
24
поражена двумя бомбами. Найти вероятность того, что четвертый самолет
попал в цель.
19. Имеются три партии деталей по 25 деталей в каждой. Число стандартных
деталей в первой, второй и третьей партиях равно, соответственно, 25, 20 и
15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся
стандартной. Не возвращая деталь в партию, вторично из той же партии
извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти
вероятность того, что обе детали были извлечены из третьей партии.
20. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель.
Найти вероятность того, первое орудие дало попадание, если вероятности
попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями равны,
соответственно, 0,5; 0,4; 0,6.
21. Две радиомонтажницы собрали равное количество одинаковых
электронных плат. Вероятность того, что первая монтажница допустит
ошибку, равна 0,05. Для второй монтажницы эта вероятность равна 0,1. При
проверке плат была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что
ошиблась первая радиомонтажница.
22. Три станка-автомата производят одинаковые детали, которые поступают
на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше
производительности второго и втрое больше производительности третьего.
Первый автомат производит в среднем 70% деталей отличного качества,
второй – 85%, а третий – 95%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась
отличного качества. Каким из автоматов вероятнее всего произведена эта
деталь?
23. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного
устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй
элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов
равны, соответственно, 0,1; 0,15 и 0,25.
24. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти
вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности
попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны,
соответственно, 0,8; 0,6 и 0,5.
25. Два из четырех независимо работающих элементов прибора отказали.
Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если
вероятность отказа первого, второго, третьего и четвертого элементов равны,
соответственно, 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4.
26. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на
стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь
попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность
того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером,
равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана
стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый
контролер.
25
27. В трех ящиках – a, b и c – содержатся, соответственно, две золотые, одна
золотая и одна серебряная и две серебряные монеты. Случайным образом
выбирается ящик и из него произвольно вынимается монета. Монета
оказалась золотой. Какова вероятность, что вторая монета в этом ящике
также золотая?
28. В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых
получено от одной фабрики, 25% - от другой и 15% - от третьей. Найти
вероятность того, что купленные покупателем носки изготовлены на второй
или третьей фабрике.
29. В урне n белых и m черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя,
отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он казался
белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, –
тоже белый.
30. В кондитерском цехе выпускаются торты и пирожные, причем пирожных
в 4 раза больше. 10% тортов и 35% пирожных изготавливаются с орехами.
Наугад выбранное изделие оказалось с орехами. Какова вероятность того, что
это торт?
ИДЗ-9. Формулы Муавра – Лапласа. Вероятности редких событий
Решите задачу на вычисление вероятностей случайных событий с
применением локальной или интегральной теорем Муавра – Лапласа или
распределения Пуассона.
1. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на
поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от
остальных. Какой наименьшей вместительностью должен обладать поезд,
чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней. Поезд
ходит один раз в сутки.
2. Датчик вырабатывает случайные числа. Если очередное число делится на
3, его записывают. Сколько нужно получить чисел с помощью датчика,
чтобы с вероятностью примерно 0,95 оказались записанными не менее 1000
чисел?
3. К станции подходит электропоезд из восьми вагонов. В каждом вагоне 72
места для сидения. На станции поезд ожидает 600 пассажиров, из которых
каждый с равной вероятностью может сесть в любой вагон. Найти
вероятность того, что в произвольно взятом вагоне после посадки останется
не менее двух свободных мест.
4. Партия из 10000 лотерейных билетов содержит 100 выигрышных.
Сколько нужно купить билетов, чтобы с вероятностью P, не меньшей 0,95,
выиграть хотя бы по одному из них?
5. Партия изделий не принимается при обнаружении не менее 10
бракованных изделий. Сколько надо проверить деталей, чтобы с
вероятностью 0,6 можно было утверждать, что партия, имеющая 10
процентов брака, не будет принята?
26
6. Монета брошена 500 раз. Найти границы, в которых число выпадений
орла будет заключено с вероятностью 0,97.
7. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов
равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98
можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный
результат?
8. В цехе 250 рабочих. Каждый из них потребляет электроэнергию в
среднем 12 минут в течение часа. Какой должна быть минимальная
мощность силовой установки цеха, чтобы вероятность перегрузки в любой
момент времени была меньше 0,0001? (Под мощностью силовой установки
понимается максимальное число рабочих, которое она может снабжать
энергией одновременно).
9. В каждом из 500 независимых испытаний событие A происходит с
постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие A
произойдет менее 235 раз.
10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,3.
Для того, чтобы уничтожить цель достаточно 80 попаданий. Сколько нужно
выпустить снарядов, чтобы с вероятностью 0,95 можно было считать цель
уничтоженной?
11. Книга в 500 страниц содержит 800 опечаток. Найти вероятность того, что
на странице не менее 3-х опечаток.
12. Найти приближенно границы, в которых с вероятностью 99% лежит
число выпадений пятерки или шестерки при 20000 бросаний игральной кости.
13. В хлебопекарне выпекают булочки с изюмом. Какое наименьшее
количество изюма нужно положить в тесто, из которого будет 800 булочек,
чтобы вероятность найти в произвольно взятой булочке по крайней мере две
изюминки была равна примерно 0,995?
14. В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с
постоянной вероятностью 0,35. Какова вероятность того, что событие A
произойдет ровно 245 раз? От 240 до 250 раз?
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с
вероятностью 0,002. С какой вероятностью можно утверждать, что из 400
соединений, выполненных за час, неправильных соединений будет не более
трех?
16. Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что
среди 100 новорожденных окажется 50 девочек.
17. Станок-автомат штампует детали партиями по 100 шт. Вероятность
изготовления бракованной детали равна 0,01. Партия бракуется при
обнаружении в ней более двух бракованных деталей. Найти вероятность
забракования очередной партии деталей.
18. Вероятность появления некоторого события в каждом из независимых
испытаний равна 0,9. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с
вероятностью 0,95 можно было ожидать, что событие появится не менее 100
раз?
27
19. Событие B наступает, если событие A осуществится не менее трех раз.
Найти вероятность появления события B в серии из n = 50 испытаний, если
вероятность осуществления события A в каждом испытании равна p = 0,03.
20. Монета брошена N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число
выпадений «орла» будет заключено в промежутке [½(1 – )N; ½(1 + )N],
где 0 <  < 1. Провести расчет для  = 0,01; N = 10000.
21. Вероятность появления события в каждом из 1000 независимых
испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота
появления события отклонится от его вероятности не более, чем на 0,02.
22. Какова вероятность того, что из 600 наугад выбранных человек от 45 до
55 родились в марте?
23. Французский испытатель XVIII в. Бюффон, исследуя законы вероятности,
бросил монету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз. Найти
вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота
появления «герба» отклонится от его вероятности p = 0,5 не более, чем в
опыте Бюффона.
24. Рабочий берет заготовки из двух ящиков, каждый раз выбирая ящик
наугад. Найти вероятность того, что когда один из ящиков опустеет, во
втором окажется не более 3-х деталей, если вначале в обоих ящиках по 200
деталей.
25. В магазин завезли партию из 1000 банок сока. Вероятность того, что того,
что при перевозке банка будет разбита, равна 0,002. Найти вероятность того,
что магазин получит более двух разбитых банок.
26. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь
отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти
вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.
27. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия
отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти
вероятности событий: В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных
изделий; С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.
28. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут
обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских
ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец
одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все
пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать.
Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?
29. Партия из 10000 лотерейных билетов содержит 100 выигрышных.
Сколько нужно купить билетов, что бы с вероятностью, не меньшей 0,95,
выиграть хотя бы по одному из них.
30. Из 100 человек, зашедших в магазин, делают покупки в среднем 40
человек. Определить вероятность того, что из 5 человек, находящихся в
магазине в некоторый момент времени: а) сделает покупку хотя бы один
человек, б) сделают покупки ровно два человека?
28
ИДЗ-10. Закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины (д.с.в.). Числовые характеристики распределения д.с.в.
Составить закон распределения вероятностей д.с.в. X. Построить
многоугольник
распределения.
Найти
числовые
характеристики
распределения (моду распределения, математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X)).
1. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при
этом делается не более 4 проб. Д.с.в. X – число подбрасываний.
2. Две монеты подброшены n = 4 раза. Д.с.в. X – число выпадений двух
«гербов» в n бросаниях.
3. Среди 5 ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим,
пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа
опробованных ключей. Д.с.в. X – число опробованных ключей.
4. Игральный кубик брошен n = 6 раз. Д.с.в. X – количество выпадений очков,
кратных двум или трем.
5. Два игральных кубика брошены n = 6 раз. Д.с.в. X – число выпадений пар,
содержащих ровно одну «четверку» в n бросаниях.
6. Два игральных кубика бросаются n = 12 раз с подсчетом сумм выпавших
очков. Д.с.в. X – число сумм, кратных четырем.
7. Из ящика, содержащего N = 10 деталей, среди которых n = 6 стандартных
деталей, наудачу вынимаются M = 4 детали. Д.с.в. X – число стандартных
деталей в выборке.
8. Бросаются два игральных кубика. Д.с.в. X – сумма выпавших очков.
9. На элеватор прибыло N1 = 6 машин агрофирмы АФ-1 и N2 = 9 машин
агрофирмы AФ-2. Под разгрузку случайным образом загоняются n = 6 машин.
Д.с.в. X – число разгружаемых машин агрофирмы АФ-1.
10. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле из пистолета (в
обойме n = 9 патронов) попадет в цель равна 0,8. Стрельба ведется до
первого промаха. Д.с.в. X – число оставшихся в обойме патронов.
11. Игральный кубик брошен n = 8 раз. Д.с.в. X – число выпадений нечетного
числа очков в n бросаниях.
12. В процессе производства изделие высшего качества удается получить
только с вероятностью 0,2. С конвейера берутся наугад детали до тех пор,
пока не будет взято изделие высшего качества. Д.с.в. X – число число
проверенных изделий.
13. Бросаются два игральных кубика. Д.с.в. X – модуль разности выпавших
очков.
14. Из ящика, содержащего N = 8 деталей, среди которых n = 5 стандартных
деталей, наудачу вынимаются m = 3 детали. Д.с.в. X – число стандартных
деталей в выборке.
15. Каждая из 5 лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. Дефектная
лампочка при включении сразу перегорает и ее заменяют новой. Д.с.в. X –
число опробованных ламп.
29
16. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой
детали – 0,1, а для второй – 0,05. Для контроля выбрано 4 прибора. Прибор
бракуется, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Д.с.в. X – число
бракованных приборов среди проверенных 4 приборов.
17. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле из пистолета (в
обойме n = 8 патронов) попадет в цель равна 2/3. Стрельба ведется до
первого промаха. Д.с.в. X – число произведенных выстрелов.
18. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Д.с.в. X –
число отказавших элементов в одном опыте.
19. В партии из 15 деталей 20% деталей нестандартны. Наудачу отобраны
три детали. Д.с.в. X – число нестандартных деталей среди трех отобранных.
20. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле,
равна 0,7. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется.
Д.с.в. X – число патронов, выданных стрелку.
21. Имеется 6 монет достоинством 10, 5, 5, 2, 1, 1 рублей. Наудачу берутся
три монеты. Д.с.в. X – набранная этими монетами сумма.
22. Вероятность того, что лотерейный билет выигрышный, равна 0,1.
Покупатель купил 5 билетов. Д.с.в. X – число выигрышей у владельца этих 5
билетов.
23. Два стрелка поражают мишень с вероятностями, соответственно, 0,8 и 0,9
(при одном выстреле), причем первый стрелок выстрелил один раз, а второй
– два раза. Д.с.в. X – общее число попаданий в мишень.
24. ОТК должен проверить 12 комплектов, состоящих из 4 изделий каждый,
причем каждая деталь может быть стандартной с вероятностью 0,9. Д.с.в. X –
число комплектов, состоящих из стандартных деталей.
25. В партии из 15 деталей 40% деталей нестандартны. Наудачу отобраны
четыре детали. Д.с.в. X – число стандартных деталей среди четырех
отобранных деталей.
26. Три стрелка с вероятностями попадания в цель при отдельном выстреле
0,7, 0,8 и 0,9, соответственно, делают по одному выстрелу. Д.с.в. X – общее
число попаданий.
27. Из урны, в которой лежат 2 белых и 8 черных шаров, последовательно
вынимают шары до тех пор, пока не появится белый шар. Д.с.в. X – число
вынутых при этом шаров.
28. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7 при одном выстреле.
Стрелок стреляет до первого попадания, но делает не более четырех
выстрелов. Д.с.в. X – число произведенных выстрелов.
29. Сдача зачета по математической статистике производится до получения
положительного результата. Шансы сдать зачет остаются неизменными и
составляют 60%. Д.с.в. X – число попыток сдачи зачета.
30. В шестиламповом усилителе перегорела одна лампа. Лампы заменяют
новыми одну за другой, пока усилитель не заработает. Д.с.в. X – число
замененных ламп.
30
ИДЗ-11. Закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины (д.с.в.). Числовые характеристики распределения д.с.в.
Для непрерывной случайной величины (н.с.в.) X задана функция
распределения F(x) (плотность функции распределения f(x)). Вычислить
соответствующую плотность функции распределения f(x) (функцию
распределения F(x)). Проверить выполнение условия нормировки
распределений. Построить графики обеих функций. Вычислить числовые
характеристики распределений: математическое ожидание M(X) и дисперсию
D(X). Вычислить вероятность того, что н.с.в. X примет значения из заданного
интервала (a; b).
Примечание: C1, C2 = сonst.
1.
Функция распределения
F(x) =
0
 ¼ x + С1
 C2
при x < –2,
при –2  x < 2,
при 2  x.
Интервал (a; b) = (1; 2).
2.
3.
Плотность функции распределения
0
f(x) =
 x + C1
0
Интервал (a; b) = (–3/2; 3/2).
Функция распределения
F(x) =
 С1
 ¼ x + С2arcsin(½x)
1
при x < 1,
при 1  x < 2,
при 2  x.
при x < 0,
при 0  x < 2,
при 2  x.
Интервал (a; b) = (1; 2).
4.
Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана на
числовой оси Ox выражением: f(x) = С1exp(–x2). Интервал (a; b) = (–1; 1).
5.
Функция распределения
F(x) =
0
 ½ x + C1
1
при x < 2,
при 2  x < 4,
при 4  x.
Интервал (a; b) = (–2; 3).
6.
Плотность функции распределения вероятностей задана на числовой оси
Ox выражением: f(x) = С1exp(–(x–1)2/32). Интервал (a; b) = (0; 2).
7.
Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана при x  1
выражением: f(x) = exp(1 – С1x); при x < 1 плотность f(x) = 0. Интервал
(a; b) = (0; 2).
8.
Н.с.в. задана функцией распределения
31
F(x) =
0
 C1 x2 + C2
1
при x < 0,
при 0  x < 2,
при 2  x.
Интервал (a; b) = (¼; ¾).
9.
Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана при x  0
выражением: f(x) = С1exp(–3x) (С1 > 0); при x < 0 плотность f(x) = 0.
Интервал (a; b) = (0; 2).
10. Плотность функции распределения вероятностей задана при x  [0; ]
выражением: f(x) = С1sin2 x; при x  [0; ] плотность f(x) = 0. Интервал
(a; b) = (¼ ; ¾ ).
11. Функция распределения задана на всей числовой оси Ox выражением:
F(x) = ½ + С1arctg(½x). Интервал (a; b) = (0; 2).
12. Плотность функции распределения в промежутке (0; ) задана
выражением: f(x) = С1sin(¾ x); вне его – равна нулю. Интервал (a; b) =
(0; ½ ).
13. Функция распределения
0
F(x) =
 C1sin x
 C2
Интервал (a; b) = (/6; /3).
при x < 0,
при 0  x < ½ ,
при ½   x.
14. Плотность функции распределения вероятностей задана на числовой оси
Ox выражением: f(x) = С1exp(–½(x–1)2). Интервал (a; b) = (–1; 1).
15. Функция распределения
0
F(x) =
 C1cos x + C2
 C2
Интервал (a; b) = (/6; /3).
при x < 0,
при 0  x < ½ ,
при ½   x.
16. Функция распределения задана на всей числовой оси Ox выражением:
F(x) = ½ + С1arctgx. Интервал (a; b) = (–1; 1).
17. Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана в
промежутке (0; 1) выражением: f(x) = С1(x2 + 2x); вне этого промежутка
f(x) = 0. Интервал (a; b) = (0; ½).
18. Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана в
промежутке (–1; 1) выражением: f(x) = С1 1  x2 ; вне этого промежутка
f(x) = 0. Интервал (a; b) = (0; ½).
19. Н.с.в. X равномерно распределена в промежутке (1; 4). Вне этого
промежутка f(x) = 0. Интервал (a; b) = (1; 3).
32
20. Функция распределения вероятностей н.с.в. X задана при x  0
выражением: F(x) = С1 – exp(–С1x). Интервал (a; b) = (2; +).
21. Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана на
числовой оси Ox выражением: f(x) = С1e–|x|. Интервал (a; b) = (–2; 2).
22. Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана в
промежутке (–2; 2) выражением: f(x) = С1/ 4  x 2 ; вне этого промежутка
f(x) = 0. Интервал (a; b) = (1; +).
23. Н.с.в. X равномерно распределена в промежутке (–1; 3). Вне этого
промежутка f(x) = 0. Интервал (a; b) определяется неравенством |x - 1| < 1.
24. Плотность функции распределения вероятностей н.с.в. X задана при x  0
выражением: f(x) = С1exp(–2x); при x < 0 плотность распределения f(x)
= 0. Интервал (a; b) = (0; 2).
25. Н.с.в. задана функцией распределения
 C1  e x , x  0;
F(x) = 
x
C2  C1  e , x  0.
Интервал (a; b) = (–1; 3).
26. Плотность функции распределения вероятностей задана на числовой оси
Ox выражением: f(x) = С1exp(–(x–4)2/50). Интервал (a; b) = (0; 4).
27. Плотность функции распределения
x  [1; 2];
C1  ( x  1),
0,
x  [1; 2].

f(x) = 
Интервал (a; b) определяется неравенством |x| < 1.
28. Плотность функции распределения на числовой оси: f(x) = С1 +
(распределение Коши). Интервал (a; b) = (1; +).
29. Плотность функции распределения
3


C  ( x  1) 2 , x  0;
f(x) =  1

0,
x  0.
Интервал (a; b) определяется неравенством |x – ⅓| < 1.
30. Н.с.в. задана функцией распределения
0
F(x) =
 C1x – x2
1
Интервал (a; b) = (–⅓; ⅓).
33
при x < 0,
при 0  x < 1,
при 1  x.
C2
1  x2
ИДЗ-12. Статистическое распределение случайной величины и его
числовые характеристики.
Представлены статистические данные. Требуется: 1) составить
дискретный вариационный ряд, при необходимости упорядочив его; 2)
определить основные числовые характеристики ряда; 3) дать графическое
представление ряда в виде полигона (гистограммы) распределения; 4)
сформулировать содержательные выводы.
Прим. 1) При проверке статистической гипотезы о виде распределения
принять уровень значимости  = 0,05; 2) Для числовой обработки данных
рекомендуется использовать подходящий математический пакет, например,
электронную таблицу MS Excel.
1. Увлеченный статистической наукой студент путем опроса получил
исходные («сырые») статистические данные по росту и весу 20 своих
одногруппников:
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рост, см 160 168 175 169 170 169 162 166 163 160
Вес, кг
48 58 69 64 69 70 51 60 67 54
№ п/п
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Рост, см 158 173 162 173 156 158 168 170 162 155
Вес, кг
48 58 44 50 56 56 51 50 60 50
После упорядочения вариационного ряда требуется изучить распределение
студентов по росту.
2. Результаты контрольных измерений веса пирожных в кафе приведены в
таблице:
Вес, г
20,0 20,2 20,4 20,6 20,8 21,0 21,2 21,4 21,6 21,8 22,0
Кол-во
2
3
7
11
17
20
16
13
6
4
1
пирожных
Помимо основного задания требуется построить теоретическую кривую
нормального распределения и проверить соответствие эмпирического и
теоретического распределений по критерию Пирсона.
3. Имеются следующие данные о размере семьи работников цеха (число
человек в семье):
3 4 5 2 3 6 4 2 5 3 4 2 7 3 3 6
2 3 8 5 6 7 3 4 5 4 3 3 4.
4. Хронометраж операций пайки радиаторов на ремонтном предприятии дал
следующие результаты:
Время пайки, мин. 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Итого
Кол-во радиаторов
2
5
10
17
1
35
34
5. Имеются следующие
вечернего отделения:
18 38 28 29 26
22 23 35 33 27
29 26 31 24 29
данные о возрастном составе группы студентов
38 34 22 28 30
24 30 32 28 25
27 32 25 29 20.
6. По предприятию получены данные о расстоянии перевозки партий груза в
международном сообщении (км) за некоторый период:
560 1060 420 1410 1500 400 3800 700 1780 450
449
285 1850 2200 800 1200 1540 1150 180 452
452 2500 300
400 900 1800 452 1850 1225 220
1800 300 920 1400 1400 480 850 200
400 1440
420 1700 1615 3500 300 320 600 965 450 245.
7. Имеются следующие данные о распределении продовольственных
магазинов региона по размеру товарооборота за месяц:
Группы
40– 50– 60– 70– 80– 90– 100– 110– 120– 130–
магазинов
по 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
товарообороту,
млн. руб.
Число магазинов
2
4
7
10 15 20
22
11
6
3
8. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х
неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали
следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1;4; 3; 3; 1; 4; 2; 2;
1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2;
2; 1; 1; 5.
9. По автотранспортному предприятию, осуществляющему перевозку
грузов автомобилями КамАЗ-5320 грузоподъемностью 16 т, имеются
следующие данные о весе партий груза (т):
8 11 14 6 10 13 12 16 15 16
16 10 16 13 14 16 16 4 16 14
5 13 11 2 16 8 16 7 14 16.
10. В результате метеонаблюдений получено статистическое распределение
дневных температур в июне месяце:
Температура, С 20º 23º 24º 26º 27º 30º
Число дней
1
4
5
8 10 2
11. Получены данные об урожайности ржи на различных участках поля:
Урожайность
9 – 12 12 – 15 15 – 18 18 – 21 21 – 24 24 – 27
ржи, ц/га
Доля участка в
6
12
33
22
19
8
35
общей площади, %
12. Имеются следующие данные о часовой интенсивности движения
автомобилей на автомагистрали (авт./час):
140 99 80 140 218 218 340 92 152 120 130
50 110 130
96
48
48
36 60 30 86 102
90 210 220 261 261 282 312 68 80 131 190.
13. Известно распределение золотых медалистов, окончивших в 2001 году
школы Ярославской области, по районам:
Кол-во золотых медалистов 0 1 3 4 6 8 20
Кол-во районов
6 1 4 2 1 3 1
14. Имеются следующие данные о количестве заявок на автомобили
технической помощи по дням:
11 2 5 14 7 2 8 10 2 6
10 8 3 13 11 8 8
2
9 8
5 14 4 10 12 6 8
2
8 7
9 2 8
4 6 13 5
3 12 2
2 7 9
8 5
8 6 10 11 5.
Помимо общего задания, требуется построить теоретическую кривую
нормального распределения и проверить соответствие эмпирического и
теоретического распределений по критерию Пирсона.
15. Обработка детали №37 производится в цехе на токарном полуавтомате.
На 25 января получены следующие данные о размере обработанных деталей
(в отклонениях от номинала):
Отклонения
от 0 – 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14
номинала (в сотых
долях мм)
Число деталей
6
15
18
36
30
9
6
Для характеристики технологического процесса, помимо общего задания,
требуется построить теоретическую кривую нормального распределения и
проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по
критерию Пирсона.
16. Имеются следующие данные о величине межремонтного пробега
автомобилей ЗИЛ-133:
Величина
80 - 100 100 - 120 120 - 140 140 - 160 160 - 180
межремонтного
пробега, тыс. км
Число автомобилей
10
60
100
26
14
Для организации технологического процесса ремонта автомобилей, помимо
общего задания, требуется построить теоретическую кривую нормального
36
распределения и проверить соответствие эмпирического и теоретического
распределений по критерию Пирсона.
17. Распределение рабочих предприятия по размеру месячного дохода
следующее:
Месячный
4200 4500 4800 5100 5400 и
Итого
доход, руб.
4500
4800
5100
5400
более
Число рабочих
75
218
300
201
25
819
Помимо общего задания, требуется построить теоретическую кривую
нормального распределения и проверить соответствие эмпирического и
теоретического распределений по критерию Пирсона.
18. Имеются данные наблюдения над числом посетителей сайта академии в
течение 40 дней: 72, 76, 101, 123, 74, 64, 111, 122, 74, 68, 65, 107, 65, 119, 71,
77, 67, 104, 108, 128, 72, 85, 80, 123, 65, 90, 76, 84, 105, 104, 122, 128, 107, 86,
79, 80, 87, 109, 107, 94.
19. Распределение промышленных предприятий города по численности
работников следующее:
Группы
До
50 100 200 400 - 800 - 1200
предприятий
по 50
100
200
400
800
1200
и
численности
более
работников, чел
Число предприятий 140
80
35
60
45
12
10
Требуется построить теоретическую кривую нормального распределения и
проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по
критерию Пирсона.
20. Измерение роста 100 студентов – первокурсников университета дало
следующие результаты:
Рост, см
154158162166170174178158
162
166
170
174
178
182
Число студентов
10
14
26
28
12
8
2
Требуется построить теоретическую кривую нормального распределения и
проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по
критерию Пирсона.
21. В опытах по рассеянию -частиц на мишени получены данные по числу
-частиц, достигших счетчика в указанном секторе:
№ сектора
1 2 3
4
5
6
7
8 9 10 11 12
Кол-во -частиц 6 21 81 156 200 195 152 97 54 26 11 7
22. Распределение рабочих цеха по проценту выполнения норм выработки
выглядит следующим образом:
37
% выполнения 50-70
70-90
90-110 110-130 130-150
норм
Число рабочих
20
25
35
30
20
Выполняет ли производственный план цех в целом?
150-170
10
23. Для определения «общего интеллекта» школьникам предлагалось
раскрыть геометрические закономерности. Оценка осуществлялась по
количеству правильно решенных задач и дала следующие результаты:
Кол-во баллов
14 15 16 17 18 19 20
Кол-во школьников 4 11 15 16 19 15 5
24. Тренер по легкой атлетике должен решить, кого из двух спортсменов
выбрать для стометровой дистанции в предстоящих соревнованиях. Тренер
свое решение должен принять на основании пяти забегов между атлетами:
Анна (сек.) 12,1 12,0 12,0 16,8 12,1
Ирина (сек.) 12,3 12,4 12,4 12,5 12,4
а) Основываясь на этих данных, кого из атлетов следует выбрать тренеру и
почему? б) Если тренер знал о падении Анны на старте в четвертом забеге, то
следует ли учесть это?
25. Предположим, что вследствие ошибки данные, содержащие сведения о
среднемесячной заработной плате продавцов (тыс. руб.) в девяти торговых
компаниях, имеют вид:
13, 15, 14, 17, 13, 16, 15, 16, 61.
Показать, как эта ошибка влияет на числовые характеристики вариационного
ряда. Каковы истинные (скорректированные) характеристики ряда?
26. Увлеченный статистической наукой студент путем опроса получил
исходные («сырые») статистические данные по росту и весу 20 своих
одногруппников:
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рост, см 160 168 175 169 170 169 162 166 163 160
Вес, кг
48 58 69 64 69 70 51 60 67 54
№ п/п
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Рост, см 158 173 162 173 156 158 168 170 162 155
Вес, кг
48 58 44 50 56 56 51 50 60 50
После упорядочения вариационного ряда требуется изучить распределение
студентов по весу.
27. На основе данных анализа эффективности работы 50-и предприятий
города по изменению реальной заработной платы на них в отчетном году
(в % к предыдущему году), получен следующий статистический ряд:
№ Эр[%] № Эр[%] № Эр[%] № Эр[%] № Эр[%]
38
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
91
93
95
96
97
97
97
97
98
98
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
100
100
101
101
101
101
101
102
102
102
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
102
102
103
103
103
103
103
103
104
104
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
104
104
105
105
106
106
106
107
107
107
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
108
109
109
110
111
112
113
103
108
98
28. Имеются опытные данные о числе звонков в службу аварийного помощи
в течение рабочего дня:
Интервалы
1
2
3
4
5
6
7
8
(часы смены)
Число
16
27
17
15
24
19
11
15
звонков
Требуется построить теоретическую кривую равномерного распределения и
проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по
критерию Пирсона.
29. Имеются результаты опроса группы молодёжи, состоящей из 200 человек,
о возрасте первого употреблении наркотиков. Результаты представлены в
виде интервального вариационного ряда:
Интервалы
11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 возрастов, лет
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Объем группы,
7
12
14
25
48
42
24
13
10
5
чел.
Требуется построить теоретическую кривую нормального распределения и
проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по
критерию Пирсона.
30. Результаты исследования длительности оборота (в днях) оборотных
средств торговых фирм города Ярославля представлены в сгруппированном
виде:
Длительность
24 - 32 32 - 40 40 - 48 48 - 56 56 - 64 64 - 72 72 - 80
оборота, дни
Кол-во
2
4
10
15
11
5
3
предприятий
Требуется построить теоретическую кривую нормального распределения и
проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по
критерию Пирсона.
39
1.
2.
3.
4.
Литература
Андерсон Дж.А. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ.
М.: Изд. Дом «Вильямс», 2004. – 960 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
Высшее образование, 2006. – 404 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М.: Высшее образование, 2006. – 404 с.
Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории
статистики: учеб. пособие. М.: Финансы и статистики, 2004. – 336 с.
40