Изучи новый материал и запиши в тетрадь основные понятия и примеры 1 Геометрический смысл определенного интеграла Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция y f (x) . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2). у у=f(x) S а 0 b х Рис. 2 b Определенный интеграл f ( x)dx от неотрицательной функции a y f (x) с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y f (x) , слева и справа – отрезками прямых x a и x b , снизу – отрезком [a, b] оси Ох. 3. Основные свойства определенного интеграла 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения b переменной интегрирования: b b a a f ( x)dx f ( z )dz f (t )dt ... . à 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования a равен нулю: f ( x)dx 0. à 3. Если a b , то, по определению, полагаем b a à b f ( x)dx f ( x)dx. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного b b à a интеграла: k f ( x)dx k f ( x)dx. 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций: b b b a a a ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx . 6. Если функция f (x) интегрируема на [a, b] и a c b , то b c b a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . a 4. Формула Ньютона–Лейбница Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей определенного и неопределенного интегралов. 1 между понятиями Теорема 2. Если функция y f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и F (x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула: 1 b f ( x)dx F (b) F (a) , (2) a которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F (b) F (a) принято записывать следующим образом: F (b) F (a) F ( x) a , b b где символ a называется знаком двойной подстановки. Таким образом, формулу (2) можно записать в виде: b f ( x)dx F ( x) a b F (b) F (a) . a Нахождение определенных интегралов с помощью формулы НьютонаЛейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x) ; на втором – находится разность F (b) F (a) значений этой первообразной на концах отрезка [a, b] . 3 Пример 1. Вычислить интеграл x 2 dx . 1 Решение. Для подынтегральной функции f ( x) x 2 произвольная x3 Ñ . Так как в формуле Ньютона-Лейбнипервообразная имеет вид F ( x) 3 ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления инx3 теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: F ( x) . 3 3 x3 33 13 1 1 x dx 9 8 . Тогда 3 1 3 3 3 3 1 3 2 1 4 Пример 2. Вычислить интеграл cos 2 xdx . 0 Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: 4 1 1 1 1 1 cos2 xdx 2 sin 2 x 2 (sin 2 4 sin 2 0) 2 (sin 2 sin 0) 2 (1 0) 2 . 0 0 4 1. Площадь криволинейной трапеции Пусть функция y f (x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b] . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью Ox , слева и справа – прямыми x a и x b (см. рис. 2) вычисляется по формуле b S f ( x)dx . (5) a Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y 2 x x 2 8 и осью Ox . Решение. Графиком функции y 2 x x 2 8 является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью Ox (прямой y 0 ). Для этого решаем систему уравнений y 2x x 2 8, y 0. Получаем: 2 x x 2 8 0 , откуда a 2 , b 4 . 1 x1 2 , x 2 4 ; следовательно, 1 у 10 9 8 7 у=2х-х2+8 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 3 2 4 5 6 7 х 8 Рис. 3 Площадь фигуры находим по формуле (5): 4 4 4 4 2 2 2 2 S (2 x x 2 8)dx 2 x dx x 2 dx 8 dx x 2 4 2 x3 3 4 8 x 2 4 2 4 3 (2) 3 64 8 8 4 8 (2) (16 4) (32 16) 4 (2) 3 3 3 3 12 24 48 36 (кв. ед.). 2 2 Если функция y f (x) неположительна и непрерывна на отрезке [a, b] , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью Ox , слева и справа – прямыми x a и x b , вычисляется по формуле b S f ( x)dx . (6) a В случае если функция y f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов: 1 c d b a c d S S1 S 2 S 3 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . (7) у у=f(x) S1 с а S3 d 0 b S2 х Рис. 4 Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ox и графиком функции y x 2 2 x при x [0, 3] . у у=х2-2х 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 х Рис. 5 Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей S 1 и S 2 . Найдем каждую из этих площадей. Вначале 1 y x 2 2x , определим пределы интегрирования, решив систему Получим y 0. x1 0 , x 2 2 . Следовательно: 2 2 x3 S1 ( x 2 x) dx x dx 2 x dx x2 0 3 0 0 0 0 2 2 2 2 2 23 03 8 4 2 2 0 2 4 ; 3 3 3 3 3 3 x3 S 2 ( x 2 x) dx x dx 2 x dx x2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3 2 33 2 3 19 4 32 2 2 5 . 3 3 3 3 Таким образом, площадь S заштрихованной фигуры равна S S1 S 2 4 4 8 2 2 (кв. ед.). 3 3 3 3 у y=f2(x) S y=f1(x) 0 а х в Рис. 6 Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке [a, b] функций y f 2 ( x) и y f1 ( x) , 1 а слева и справа – прямыми x a и x b (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле b S ( f 2 ( x) f1 ( x)) dx . (8) a Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x и y x2 2 . Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим y x, по формуле (8). Решая систему уравнений находим x1 1 , 2 y x 2, x 2 2 ; следовательно, a 1, b 2 . На отрезке [1, 2] имеем: x x 2 2 . Значит, в формуле (8) в качестве f 2 ( x) возьмем x, а в качестве f 1 ( x) – x 2 2 . Получим: S x ( x 2 1 x2 2 2 x3 3 1 2 2) dx ( x x 2 2) dx x dx x 2 dx 2 dx 2 2 x 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 (1) 2 2 3 (1) 3 22 (1) 2 3 3 2 3 1 3 6 4 (кв. ед.). 2 2 Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей. 1 у у=х 3 2 у=х2-2 1 -2 -1 0 1 2 х 3 -1 -2 Рис. 7 Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x , y 1 y 0 , x 3. x2 Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью Ox , слева и справа – прямыми x 0 и x 3 , сверху – графиками функций y x и y 1 . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для x2 вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой x 1 на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий y x и y 1 ). Площадь каждой x2 из этих частей находим по формуле (4): x2 S1 xdx 2 0 1 1 0 12 0 2 1 2 2 2 (кв. 3 3 3 1 1 1 2 S 2 2 dx x 2 dx 1 (кв. ед.). Следовательно: x1 3 3 1 x 1 S S1 S 2 1 2 7 (кв. ед.). 2 3 6 1 ед.); 1