Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Бузулукский строительный колледж» г. Бузулука Оренбургской области Открытый урок по теме: Преподаватель: Болдырева М.А. Бузулук - 2012 Открытый урок по дисциплине «Математика» Тема: Геометрическое приложение определенного интеграла Цели урока: 1. Образовательные: а) закрепить навыки нахождения определенного интеграла; б) обеспечить усвоение студентами понятия «криволинейная трапеция» и различных способов нахождения площади криволинейной трапеции; в) отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции путем вычитания площадей. 2. Развивающие: а) развитие психических качеств у студентов (умений применять полученные знания на практике); б) развитие познавательных умений и логического мышления (выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия). 3. Воспитательные: а) воспитание чувства ответственности за учебный труд; б) воспитание чувства коллективизма; в) воспитание патриотизма и любви к Родине. Тип урока: комбинированный Форма проведения: расчетно- экспериментальный Оборудование: интерактивная доска, проектор, карточки-задания. Демонстрационный материал: презентация PowerPoint, таблица первообразных План урока I.Организационный момент II. Этап актуализации и конструирования. Устный счет. Знакомство с постановкой проблемы. Открытие новых знаний. Исследование проблемы. Структурирование алгоритма проведения экспериментов по решению проблемы III. Этап творческой работы. Расчет и отбор материала для решения проблемы Подготовка отчета РЭУ Представление отчета IV. Рефлексия. ХОД УРОКА: I.Организационный момент II. Этап актуализации и конструирования. Устный счет Решите анаграммы и исключите лишнее слово: (слайд 1) А) Лейбниц; Б) площадь; В) интеграл; Г) благоустройство. - Почему слова Лейбниц, площадь, интеграл можно отнести к одной группе? (слайд 2) 1. Что такое определенный интеграл? 2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 3. Записать формулу Ньютона-Лейбница 0 4. Чему равен нижний предел интегрирования в интеграле f ( x)dx (- 2 2 2)5.Данный интеграл 2хdx равен: 0 2 6.В данном интеграле 2хdx подынтегральная функция равна: 0 а 7.Данный интеграл f ( х)dx равен: а в 8.Выражение данного вида f ( х)dx называется: а 9. Определенный интеграл вычисляется с помощью формулы: 10. При перестановке пределов интегрирования в определенном интеграле, интеграл ... 10.Формула Ньютона-Лейбница…. Кто нам об этом расскажет? (Историческая справка, слайд 3) Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна теория Торричелли, Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных. После создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений смысл формулы стал трактоваться чисто математически: операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны. Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади». У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века. Современное оформление и строгое доказательство впервые опубликованы также в начале XIX века Лакруа. - Что означает слово «благоустройство»?(словарь) -Обрапите внимание на правописание слова. -Как вы думаете, благоустройством какого населенного пункта мы будем заниматься? -А знаете ли вы, что г. Бузулук …..Краткая информация о городе (на фоне песни о городе Бузулуке, слайд 4). БУЗУЛУК - город в 246 км от Оренбурга, центр Бузулукского района. Расположен на левом берегу реки Самары при впадении в нее реки Бузулук. Река Бузулук - один из крупнейших притоков реки Самары, длиной около 248 км. В настоящее время население 87,9 тыс. человек, более чем ста национальностей и этнических групп, один из промышленно развитых городов Западного Оренбуржья. В Бузулуке 1420 предприятий и организаций, из которых 70 средние и крупные. В городе отличный Дом техники «Юбилейный», ДК «Машиностроитель», плавательный бассейн, 9 библиотек с, 13 общеобразовательных школ и 3 специальные коррекционные школы. На территории города 2 парка культуры и отдыха, общая площадь зеленых насаждений общего пользования превышает 104 гектара. Основные отрасли хозяйствования: нефтедобыча, машиностроение, переработка. Победитель конкурсов «Лидер экономики» за 2005 и 2006 годы среди муниципальных образований Оренбургской области. В 2005 и 2006 годах, по итогам Всероссийских конкурсов экономического развития, дважды признавался лучшим средним городом в Приволжском Федеральном округе. Знакомство с поставленной проблемой -Слово «благоустойсво» к этим математическим терминам никакого отношения не имеет, но на нашем уроке оно не лишнее, т.к. сегодня, на занятии знакомясь и закрепляя навыки вычисления площадей плоских фигур, мы будем заниматься благоустройством родного города. «Открытие» новых знаний Запишите в тетрадях тему урока: (слайд 5) «Вычисление площадей плоских фигур», девизом к нашему уроку я взяла следующие слова «Единственный путь, ведущий к знанию, – это деятельность». Б. Шоу 1) Что же такое криволинейная трапеция? Пусть на отрезке [a; b] оси абсцисс определена функция у=f(х)>0. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х=а, х=b называется криволинейной трапецией (слайд 6). В тетрадях сделайте чертеж и запишите определение. 2) Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь b криволинейной трапеции равна: S f ( х) dx (слайд 7), где пределы а интегрирования – это отрезок [a; b] оси абсцисс, на котором мы рассматриваем трапецию, а подынтегральная функция – та, график которой ограничивает трапецию сверху. 4) Рассмотрим следующие фигуры. а) (слайд 8). Фигура ограничена графиком функции у=f(x), отрезком [a, в] и. Заштрихуйте фигуру, ограниченную этими линиями. Как можно определить площадь этой фигуры? (Проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [a, в]). Но эта фигура находится «ниже» оси Ох, и вычисляя интеграл мы получим отрицательное значение, чего не может быть при вычислении площади. b Следовательно, площадь равна: S f ( х) dx (прописать). а Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. б) (слайд9). Покажите криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций g(x) и f(x). На каком отрезке рассматривается данная фигура? Как найти концы этого отрезка? (Концы отрезка – это точки пересечения графиков. Чтобы найти абсциссы этих точек, функции надо приравнять). А как вычислить площадь этой фигуры? (Эта фигура является разностью фигур с площадями S1 и S2). Следовательно, S=S1–S2 (прописать). Каких данных не достает в формуле вычисления площади криволинейной трапеции? Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 8) в) (слайд 10). Заштрихуйте фигуру, ограниченную графиком функции f(x) и осью абсцисс, прямыми х=а, х=b В чем особенность этой фигуры? (Она состоит из двух частей, одна сверху ограничена графиком функции f(x) и рассматривается на отрезке [А,0], другая – графиком f(x) на отрезке[0, В]). Следовательно, S=S1+S2 (прописать). Структурирование алгоритма проведения экспериментов по решению проблемы Первичное закрепление. -Что нужно делать, чтобы город стал еще краше ? - Благоустройством, какого объекта мы будем заниматься, узнаем, выполнив вот эти задания. 1.Вычислите площадь фигуры, ограниченную указанными линиями х+2у-4=0, у=0, х=-3 и х=2. 2.Найдите площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке: у = x2 y 3.Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке: y 0 2 x у = sin x 4.Вычислите фигуру, ограниченную линиями: у = х2 – 2х и у = х 7,2 11,25 1,5 4,5 2 ⅔ 3 е д ю р в о ДВОР III. Этап творческой работы. -Представьте себе, что вы руководитель проекта «Дворик». Что бы вы хотели увидеть у себя во дворе просыпаясь, ранним утром? Нам нужно на дворовой площадке разбить фонтан – это значит вычислить занимаемую площадь и посчитать стоимость, вычислить площадь клумбы и засадить ее цветами, поместить детскую площадку и посадить деревья. Выполняя эту работу, мы должны определить, какое финансовое вложение должна сделать ваша компания , чтобы выполнить ваш проект. А помощницей вам будет «Таблица необходимых расходов». «Таблица необходимых расходов» (слайд 12) Название объекта вид работы 1 Фонтан (разбить фонтан) 2.Клумба (засадить цветами). 3.Клумба (засадить цветами 4.Детскую площадку. Площадь Стоимость 1кв.м; Общая стоимость объекта 5.Озеленить площадку посадить деревья) После того как вы заполните таблицу и посчитаете какое финансовое вложение должно быть сделано, вы должны защитить свою работу. (Вспомогательная таблица-слайд13) Задачи: Вычислите площади фигур, ограниченные указанными линиями: 1.Фонтан. у= 32х2, у=0, х=0 и х=2 2.Клумба. у=х2, у=0, х=2 и х=3. 3.Клумба у=sinх, у=0, х=0 и х=π 4.Детская площадка у=-6х, у=0, х=4. 5.Площадь озеленения. у=х3 +2, у=0, х=0 и х=2. Защита проектов на фоне музыки Чайковского «Времена года» IV Рефлексия, домашнее задание - Чему учились на уроке? -Что необходимо делать, что бы наш город оставался таким уютным и привлекательным? - Что понравилось (не понравилось) на уроке? -Что вы хотели сделать по- другому? Выставление отметок. Д/З: (слайд 14) выучить конспект лекции «Геометрическое приложение определенного интеграла», найти в ИНТЕРНЕТе примеры практического применения вычисления площади криволинейной трапеции.