Домашнее задание к 31.10.2013 (Б.Печёрская, 8-9 класс)

Домашнее задание к 31.10.2013 (Б.Печёрская, 8-9 класс)
Читаем о стратегиях в математических играх - "Ленкружки" (с.62-71) - игрышутки, симметрия, выигрышные-проигрышные позиции, анализ с конца.
Самостоятельное решение выбранных случайным образом геометрических задач с
Уральских турниров юных математиков и олимпиад имени Эйлера. Использование
компьютерной программы с попыткой решать методом «идеального» построения.
Свойство ряда равных отношений, пропорциональность отрезков, теорема Фалеса 
см. Понарин «Элементарная геометрия. т.1», с.16-20.
Основные понятия теории графов (вершины, рёбра, степень вершины, теорема о
чётности количества нечётных вершин, путь, цикл, связность, дерево, двудольные
графы)  «Ленкружки» (с.47-55), Оре «Графы и их применение».
1. В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к биссектрисе AD пересекает
сторону AC в точке K. Через точку C проведена прямая, параллельная КB, которая
пересекает прямую AB в точке L. Докажите, что AC=BL. (Нижегородская устная
геометрическая олимпиада «УГОЛ», 2013 г.)
2. В конференции принимало участие 19 ученых. После конференции каждый из них
отправил 4 или 2 письма другим учёным, бывшим на конференции. Может ли
случиться, что каждый из них получит по 3 письма?
3. В вершинах выпуклого пятиугольника стоят рядом три фишки. Любую фишку
разрешается сдвинуть вдоль диагонали в любую свободную вершину. Можно ли
получить такую позицию, в которой одна фишка осталась бы на старом месте, а две
другие поменялись бы местами?
4. По кругу записано 2013 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре одно из
соседних чисел делится на другое. Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с
тем же свойством.
5. Есть 9 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За два
взвешивания на двухчашечных весах найдите фальшивую монету.
6. Есть 30 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). Можно ли за три
взвешивания на двухчашечных весах гарантированно найти фальшивую монету?
7. Имеется множество билетов с номерами от 1 до 30 (номера могут повторяться).
Каждый из учеников вытянул один билет (учеников не обязательно 30). Учитель
может произвести следующую операцию: прочитать список из нескольких (возможно
одного) номеров и попросить их владельцев поднять руки. Какое минимальное число
раз ему надо проделать такую операцию, чтобы узнать номер билета у каждого
ученика?
8. 30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что
ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему
кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы
все побывали в гостях у всех: а). 5 вечеров недостаточно; б). а 7 вечеров достаточно.
9. Как запомнить, что на шахматной доске клетка a1  чёрная?
10. На шахматной доске стоят 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что на
чёрных клетках стоит чётное количество ладей.