МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета математики, механики
и компьютерных наук
________________________М.И.Карякин
«03» июля 2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Теория устойчивости»
Направление подготовки
прикладная математика и информатика 010100
Профиль подготовки
«Интегральные и дифференциальные уравнения»
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Кафедра алгебры и дискретной математики
Курс 5 семестр 9,10
Форма обучения очная
Программа разработана
Левенштам В.Б., профессор, д.ф.-м.н., доцент
Рецензент(ы)
Фамилия И.О., должность, уч.степень, уч.звание
Ростов-на-Дону - 2012
1
Рассмотрена и рекомендована к
утверждению на заседании учебнометодического совета факультета
математики, механики и компьютерных наук, направление подготовки
«Прикладная математика и информатика»
протокол заседания
от _________________ № ________
Рассмотрена и рекомендована к
утверждению на заседании кафедры
алгебры и дискретной математики
протокол заседания
от _________________ №_________
СОГЛАСОВАНО
Протокол заседания кафедры/учебнометодического совета факультета
_________________________________
(название выпускающей кафедры/
факультета, реализующего ООП ВПО)
от ______________ № _____________
Содержание
I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
II.МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
III. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ «Теория устойчичвости
IV. СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ
V.ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
VI.ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
VII. УСПЕВАЕМОСТИ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
VIII. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Цели освоения дисциплины:
ознакомление
магистров
c теорией
устойчивости по Ляпунову решений дифференциальных уравнений.
Задачи:
Изложить некоторые важные понятия и методы теории устойчивости.
Рассмотреть приложения к задачам механики
II. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
2.1. Курс «Теория устойчичвости» входит в блок специальных дисциплин
по выбору (СД).
2.2. Для изучения данной учебной дисциплины необходимы следующие
знания, умения и навыки, формируемые предшествующими дисциплинами:
«Математический анализ»,
«Алгебра и геометрия»,
«Дифференциальные уравнения»,
«Математическая физика»,
«Функциональный анализ»
2.3. Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы
знания, умения и навыки, формируемые данной учебной дисциплиной
«Псевдодифференциальные операторы»
Курс «Теория устойчичвости» входит в блок специальных дисциплин по
выбору (СД). Предполагается, что учащиеся освоили университетские курсы
«Математического анализа», «Алгебры и геометрии», «Дифференциальных
уравнений», «Математической физики», «Функционального анализа». Курс
«Теория устойчичвости» наиболее тесно связан со следующими спецкурсами
для
магистров:
«Псевдодифференциальные
операторы»,
«Ф-теория»,
«Обобщенные функции и их приложения».
III. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ «Теория устойчичвости»
3.1.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов
следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО (ОС ЮФУ) и ООП ВПО
по данному направлению подготовки (специальности):
а). общекультурных (ОК);
б). профессиональных (ПК)
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
ЗНАТЬ:
1) общие формы, закономерности и инструментальные средства теории
устойчивости (ПК-1)
УМЕТЬ:
1) применять полученные знания на практике (ОК-6)
2) извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных
библиотек, реферативных журналов (ПК-17)
3) применять теорию устойчивости к различным задачам механики
4) публично представлять собственные и известные научные результаты
(ПК-18)
ВЛАДЕТЬ:
1) способностью порождать новые идеи и демонстрировать навыки
самостоятельной научно-исследовательской работы и работы в научном
коллективе (ОК-5)
2) проблемно-задачной формой представления математических знаний
(ПК-22)
3) навыками межличностных отношений; готовностью к работе в
команде (ОК-1)
4) исследовательскими навыками (ОК-7)
IV. СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Содержание модулей дисциплины
№
модуля
Наименование
модуля
Содержание модуля
Формы текущего
контроля
1
1
2
Устойчивость
линейных
однородных
дифференциальных
систем
Устойчивость
линейных
3
Предварительные сведения из
общей теории
дифференциальных уравнений.
Теоремы для однородных
систем.
Теоремы для неоднородных
систем.
4
2
Контрольная работа
№1
3
4
неоднородных
дифференциальных
систем
Критерий Гурвица.
Критерий
Михайлова
Прямой метод
Ляпунова
Устойчивость по
первому
приближению
5
Критерии Гурвица и Михайлова
устойчивости линейных
дифференциальных систем
Функция Ляпунова. Две
теоремы об устойчивости.
Теорема Четаева о
неустойчивости
Две теоремы Ляпунова об
устойчивости и неустойчивости
Контрольная
работа №2. Зачет
Экзамен
4.2. Структура дисциплины. Общая трудоемкость дисциплины составляет
________5_ зач.ед. (__180_часов).
Вид работы
Трудоемкость, часов
№
№
семестр1 семестр 2
Всего
Общая трудоемкость
112
68
180
Аудиторная работа:
36
16
52
Лекции (Л)
18
16
34
Практические занятия (ПЗ)
18
Самостоятельная работа:
76
Эссе (Э)
20
Самоподготовка (проработка и повторение лекционного материала и материала учебников и
учебных пособий, подготовка к лабораторным
и практическим занятиям, коллоквиумам,
рубежному контролю и т.д.)
124
Подготовка и сдача экзамена (при наличии
экзамена по дисциплине)
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
зачет
18
52
128
20
52
72
36
36
экзамен
Модули дисциплины, изучаемые в ____1____ семестре
Количество часов
№
Наименование модулей
Аудиторная
модуля
Всего
работа
Л
ПЗ
ЛР
Внеауд.
работа
СР
1
Устойчивость линейных
однородных дифференциальных
систем
46
8
8
30
2
Устойчивость линейных
однородных дифференциальных
систем
32
6
6
20
Критерий Гурвица. Критерий
Михайлова
20
4
4
12
98
18
18
2
Итого:
62
Модули дисциплины, изучаемые в ___2_____ семестре
Количество часов
№
Наименование модулей
Аудиторная
модуля
Всего
работа
ВнеЛ
ПЗ
ЛР
ауд.
работа
СР
1
Прямой метод Ляпунова
38
8
30
2
Устойчивость по первому
приближению
35
8
27
Итого:
73
16
Всего:
171
34
4.3.
№
ЛР
57
18
119
Практические занятия
№
модуля
Наименование практических занятий
1
Экспоненциал матрицы. Интегральные
неравенства. Устойчивость и неустойчивость
линейных дифференциальных систем частного вида
4.5 . Самостоятельное изучение модулей дисциплины.
Кол-во
часов
18
№
модуля
Темы/вопросы, выносимые на самостоятельное
изучение
Кол-во
часов
Предварительные сведения теории дифференциальных
уравнений. Критерий устойчивости линейных
дифференциальных систем. Доказателтьство критерия
Михайлова
1
2
40
Доказательства теорем прямого метода Ляпунова
43
V. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
При проведении лекций и лабораторных занятий доля интерактивных
занятий составляет 26% от объема аудиторных занятий.
На лекционных и лабораторных занятиях рассматриваются некоторые
математические модели реальных механических систем. При этом имеют место
дискуссии, обсуждение конкретных ситуаций
В процессе задания теоретического материала для самостоятельного
изучения
внимание
магистров
акцентируется
на
ключевых
моментах
доказательств теорем и некоторых иных предложений.
Ставятся, в частности, следующие задачи.

Изложить
функционального
магистрантам
анализа
и
важные
теории
вспомогательные
результаты
дифференциальных
уравнений,
используемые в теории устойчивости;

Ознакомить
их
с основными
методами
классической
теории
устойчивости и основополагающими результатами этой теории;

Изложить некоторые приложения теории устойчивости к задачам
механики и к задачам асимптотического анализа;
Семестр
Вид
занятия
(Л,ПР,ЛР)
Используемые интерактивные
образовательные технологии
Количество
часов
Л
Акцентировавние
магистров
на
ключевых
внимания
6
моментах
доказательств теорем и некоторых иных
предложений
ПЗ
Дискуссии, обсуждение конкретных
8
ситуаций
Итого:
14
VI. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
УСПЕВАЕМОСТИ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
Текущий контроль успеваемости осуществляется посредством устного
опроса и контрольных работ.
Примеры устных вопросов.
1. Укажите достаточные условия для существования в целом решения
дифференциального уравнения.
2. Сформулируйте определения устойчивости, равномерной устойчивости и
неустойчивости по Ляпунову решения нормальной системы.
3. Что такое присоединенный полином в критерии Гурвица?
4. Сформулировать критерий Гурвица.
5.Что такое годограф Михайлова?
6. Сформулировать критерий Гурвица.
3. Что такое матричное уравнение Ляпунова ?
4. Что такое функция Ляпунова ?
5.Сформулировать теоремы Ляпунова об устойчивости и
асимптотической устойчивости.
6. Сформулдировать теорему Четаева о неустойчивости.
7.Сформулировать
теорему
о
критериях
устойчивости
по
первому
приближению.
8. Приведите пример системы, для которой имеет место случай ЛаппоДанилевского?
9. Выпишите неравенство Важевского.
Экзаменационная программа
1.Основные понятия теории устойчивости.
2.Общие свойства решений линейных нормальных систем
3.
Устойчивость линейных (однородных и неоднородных)
дифференциальных систем..
4.
Критерий Гурвица.
5.
Критерий Михайлова.
6.
Характеристические показатели функций..
7.
Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной
нормальной системы.
8.
Неравенстиво Важевского.
9.
Неравенство Ляпунова.
10. Приводимые системы. Теорема Еругина.
11. Функции Ляпунова.
12. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.
13. Теорема Четаева о неустойчивости.
14.Критерий устойчивости по первому приближению.
15.Нормальные
системы
линейных
ОДУ
с высокочастотными
коэффициентами. Замена Крылова–Боголюбова.
16. Устойчивость нормальных систем линейных ОДУ с высокочастотными
слагаемыми.
VII. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
7.1. Основная литература.
1) Б.П.Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. М.
Наука, 1967.
2)
Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений. ИЛ, 1954.
7.2. Дополнительная литература.
1) Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Гостехиздат, 1955.
2) Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.
Физматгиз, 1959.
7.3. Список авторских методических разработок.
1)
Левенштам
В.Б.
Дифференциальные
уравнения
с
большими
высокочастотными слагаемыми. Изд-во Южного федерального университета,
Ростов-на-Дону, 2008, 366стр.
- Монография
2) До Н.Т., Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование системы
дифференциальных уравнений с большим параметром в критическом случае //
ЖВМ и МФ. 2011, т.51, №6. С.1043-1055.
3) До Н.Т., Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование системы
дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми в критическом
случае // Диф. уравн. .2012, т.48, №8. С.1190-1192.
VIII. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Имеется литература в отраслевой библиотеке, компьютер.