3. ДИФРАКЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

3. ДИФРАКЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ
ВОЛНОВОГО ПОЛЯ
На основании дифракционных формул (см. табл. 2.1) проиллюст рируем примеры решения
дифракционных задач на ряде структур, используемых в радиооптических системах для
формирования полей. Рассмотрение проведем последовательно от простейших одиночных
диафрагм к сложным многоэлементным структурам.
3.1. Дифракция на прямоугольном отверстии (диафрагме) в
экране
Предположим, что во входной плоскости Z = 0 (см. рис. 2.5) расположен экран с
отверстием  прямоугольной формы размером a  b соответственно по осям х0 и y0 (рис.
3.1,а). Функция пропускания такого экрана имеет вид
T ( x0 , y0 )  rect ( x0 / a)rect ( y0 / b).
(3.1)
Рис. 3.1. Геометрия экранов с диафрагмами
Если на экран нормально к его поверхности падает плоская волна с амплитудой U0, то
электромагнитное поле непосредственно за экраном будет U0Т. Подставляем это
выражение в формулу дифракции Фраунгофера (2.30) и учитываем, что
ax
by
U 0T ( x0 , y0 ) v  x0 ;v  y0  ab sin c sin c .
x
z
z
z y z
(3.2)
Тогда для поля в зоне дифракции Фраунгофера находим
kab
 ik

 ax 
 by 
U1 ( x, y , z )  U 0
exp(ikz ) exp  ( x 2  y 2 )  sin c   sin c   .
2 iz
 2z

 z 
 z 
(3.3)
В оптическом диапазоне, как правило, наблюдают распределение интенсивности поля
*
U 2 a 2b 2
 ax 
 by 
I1 ( x, y, z )  U1 U1  0 2 2 sin c 2   sin c 2   ,
 z
 z 
 z 
(3.4)
где * - знак сопряжения комплексной функции.
На рис. 3.2,а изображена дифракционная картина Фраунгофера в плоскости у = 0
(сравни с рис. 1.2). Расстояние между первыми двумя нулями (ширина главного лепестка)
будет
x  2
z
a
.
(3.5)
1
1
0,5
0,5
0 0,44 1
2
3
0 0,51 1
2
3
а)
б)
Рис. 3.2. Распределение интенсивности в зоне Фраунгофера при дифракции на
прямоугольном (а) и круглом (б) отверстиях
При необходимости можно перейти в (3.1), (3.2) от декартовых к сферическим
координатам, учитывая, что для зоны Фраунгофера x / z  sin  sin  . Тогда функция,
представленная на рис. 3.2,а, характеризует угловое распределение поля и носит название
диаграммы направленности. Соответственно полная ширина главного лепестка между первыми
нулями (3.5)
2 0  2

,
a
а по уровню половинной мощности
(3.6а)

2 0.5  0.88 .
a
(3.6б)
Формулы (3.3), (3.4) описывают дифракцию Фраунгофера, наблю дающуюся на больших
расстояниях от экрана (выполняется условие (2.25)). На меньших расстояниях, в зоне
дифракции Френеля, структура электромагнитного поля существенно меняется (рис. 3.3).
Вблизи от экрана распределение интенсивности точно соответствует форме отверстия (см.
табл. 2.1 - приближение "тени"); граница света и тени резко очерчена. По мере удаления
от экрана граница размывается, электромагнитное поле проникает в область
геометрической тени, распределение интенсивности электромагнитного поля приобретает
осциллирующий характер. Количественная оценка требует вычислений по формуле
Френеля (см. табл. 2.1). Чем больше z , тем в большей степени проявляются все эти
особенности и постепенно происходит переход к структуре поля, описываемой (3.4).
Ближняя зона
Дальняя зона
Рис. 3.3. Распределение интенсивности электромагнитного поля на разных
расстояниях от прямоугольного отверстия
3.2. Дифракция на круглом отверстии в экране
Рассмотрим дифракцию на отверстии, которое имеет форму круга диаметра D (рис.
3.1,6). Функция пропускания такого экрана есть
T (r0 )  circ(2r0 / D),
(3.7)
где
r0  x02  y02
- величина радиуса-вектора в плоскости отверстия.
Осевая симметрия данной задачи позволяет воспользоваться преобразованием ФурьеU T (r )
Бесселя (1.23). Подставляем значение электромагнитного поля за экраном 0 0 в
формулу дифракции Фраунгофера (2.30) и учитываем, что в соответствии с (1.23)
  Dr 
J1 


 2r0  
 D   z 
{U 0T (r0 )}  B{U 0T (r0 )}  r /  z  U 0 B circ 
 U0  
,

 2   1  Dr 
 D   r /  z



 2 z 
J
где В - преобразование Фурьс-Бесселя (1.23); 1 - функция Бесселя первого порядка, и
учтено, что спектр в (2.30) определяется относительно переменных x /  z и y /  z ;
r  x2  y 2
- величина радиуса-вектора в плоскости наблюдения (рис. 3.1,6).
Тогда для распределения амплитуды поля в дифракционной картине Фраунгофера
имеем
2
k
 ik 2   D  J1 ( Dr /  z ) 
U1 ( r )  U 0
exp(ikz ) exp  r   

i  2 z
 2 z   2   Dr /  z 
rD2
 ik    Dr    Dr 
exp(ikz ) exp  r 2  J1 
/
.
i  4 z
 2z    z    z 
Распределения интенсивности описываются выражением
 U0
(3.8)
2
2
 rD 2     Dr    Dr  
I1 (r )  U 0 
  J1 
/
 .
 4 z     z    z  
(3.9)
Дифракционная картина (3.9) в плоскости у = 0 (рис. 3.1,6), нормированная к единице,
представлена на рис. 3.2,6. Дифракционная картина в плоскости наблюдения имеет вид
концентрических колец с убывающей от центра интенсивностью. Диаметр центрального
максимума (полная ширина главного лепестка между первыми нулями на рис. 3.2,6) будет
(сравни с (3.5))
z
2r  2.44 .
d
(3.10)
2
3.3. Дифракция на амплитудной дифракционной решетке щелей
Рассмотрение дифракции на многоэлементных структурах полезно с двух точек
зрения. С одной стороны, подобные структуры существенно расширяют возможность
формирования волновых полей. С другой стороны, многоэлементные дифракционные
структуры позволяют лучше понять структуры наблюдаемых полей при дифракции на
таких сложных элементах радиооптических систем, как голограммы, акусто-оптические
модуляторы света и т. п.
Структура представляет дифракционную одномерную решетку N одинаковых
прямоугольных отверстий (щелей), расположенных в экране с шагом d по оси x (рис.
3.4,6). Функция пропускания такой структуры имеет вид (рис. 3.4,а)
N 1
 x  nd 
 y0 
T ( x0 , y0 )   rect  0
 rect  .
 a 
 b 
n 0
(3.11)
Нормально к поверхности экрана вдоль оси Оz падает плоская волна с амплитудой
U0
. Выражение (3.3) описывает поле дифракции прямоугольного отверстия в зоне
Фраунгофера. Если отверстие смещено по оси х на величину пd, то
kab
 ik

U ( x, y , z )  U 0
exp(ikz ) exp  ( x 2  y 2 )  
i  2 z
 2z

 kndx 
 ax 
 by 
 exp  i
 sin c   sin c  
z 

 z 
 z .
(3.12)
a
d
б)
a)
x
(x, y)
Q
в
z
г)
Рис. 3.4. Функция пропускания и геометрия многоэлементных дифракционных
структур: (а), (б) – амплитудная решётка; (в), (г) – синусоидальная решётка
Этот результат прямо вытекает из теоремы смещения (1.10). Отсюда можно записать
выражение для поля N отверстий
1  exp(iNkdx / z )
exp(iNkdx / z )sin( Nkdx / 2 z )
U1 ( x, y, z )
 U 1 ( x, y , z )
1  exp(ikdx / z )
exp(ikdx / z )sin(kdx / 2 z ) ,
(3.13)
U ( x, y, z )
где 1
описывает поле одиночного прямоугольного отверстия (3.3).
Зависимость нормированного распределения интенсивности электромагнитного поля
I N / I N max
представлена на рис. 3.5,а. Дифракционная картина состоит из ряда максимумов,
U ( x, y)
вписанных в картину (штриховая линия) дифракции одиночной щели 1
(см. (3.4) и
U1 ( x, y)
рис. 3.2,а). Угловая ширина главного лепестка одиночного отверстия
определяется выражением (3.6). Максимумы располагаются эквидистантно с интервалом
 z / d (угловым интервалом  / d ). Ширина каждого максимума определяется полным
x  p z / d
размером решетки Nd (см. рис. 3.4,д) - 2 / Nd . Полагая p
(р = 0,1,2...), из (3.13)
находим, что интенсивность света в максимуме р-го дифракционного порядка будет
a 2b 2
 Pa 
I Np  U 02 N 2 2 2 sin c 2 

 z
 d .
(3.14)
1
1
m2/4
x
x
0
a)
б)
Рис. 3.5 Распределение интенсивности света в зоне Фраунгофера при дифракции на
амплитудной решётке (а) и синусоидальной амплитудной решётке (б)
3.4. Дифракция на синусоидальной амплитудной решетке
Функция пропускания амплитудной синусоидальной структуры с периодом d,
ограниченной прямоугольником a  b , имеет вид (рис. 3.4,в,г)
1 m
x 
y 
 2  
T ( x0 , y0 )    cos 
x0   rect  0  rect  0 
 d

a
 b ,
2 2
(3.15)
m

1
где
- параметр, определяющий разность между максимальным и минимальным
значениями функции пропускания.
U
Если на экран нормально падает монохроматическая плоская волна амплитуды 0 , то
U 0T
распределение поля непосредственно за экраном описывается функцией
.
Дифракционная картина Фраунгофера определяется по формуле (2.24) (или (2.30)), при
U T (x , y )
U (x , y )
подстановке 0 0 0 вместо 0 0 0 . Найдем, используя табл. 1.2, преобразование
Фурье этого распределения. Учитывая, что
1 m
m 
1
1
 2   1
 m 

   cos 
x0     (vx , v y )    vx  , v y     vx  , v y 
4 
d
d
 d
 2
 4 
,
2 2

x 
 y 
 rect  0  rect  0    ab sin c(avx )sin c(bv y )
a
 b 

,
и используя теорему свертки (1.17) и соотношение типа (1.5), получим
U 0T  

ab
m
 
1  m
 
1  
sin c(bv y ) sin c(avx )  sin c a  vx     sin c a  vx    
2
2
d  2
d  
 
 

.
Тогда, согласно (2.30), и учитывая, что в (2.30) vx  x /  z , дифракционная картина
Фраунгофера представляется в виде
U kab
 ik

 by 
U ( x, y , z )  0
exp(ikz ) exp  ( x 2  y 2 )   sin c   
i  4 z
 2z

 z 

a 
 z  m
a 
 z  
 ax  m
 sin c    sin c   x     sin c   x    
d  2
d  
 z  2
z 
z 

.
(3.16)
Три слагаемых в фигурных скобках (3.16) соответствуют трем дифракционным
максимумам: нулевого, -1-го и +1-го порядков. Их положение определяется формулой
x  p z / d
дифракционной решетки p
(р = 0,  1), а ширина равна x  2 z / a (см.(3.5)).
x  x p
Если выполняется условие
, то перекрытием функции sin c можно пренебречь.
Тогда для интенсивности поля из (3.16) получим
m2
 U kab 
a 
2  by  
2  ax 
I ( x, y)   0
sin
c
sin
c

sin c 2   

 
 

 z  
 z  4
z 
 4 z 
 z  m2
a 
 z  

 x   
sin c 2   x    
d  4
d  

z 
.
(3.17)
Картина распределения интенсивности вдоль оси х показана на рис. 3.5,6. Как видно,
помимо основного излучения, направленного перпендикулярно плоскости решетки (р = 0)
2
, появляются два побочных максимума (р = ±1) с меньшей интенсивностью, равной m / 4 .
3.5. Дифракция на синусоидальной фазовой решетке
Чисто фазовая решетка изменяет лишь фазу проходящей через нее электромагнитной
волны, не влияя на амплитуду. Синусоидальную фазовую решетку можно представить
себе как слой диэлектрика с периодически меняющейся толщиной. Синусоидальная
фазовая решетка - это не только полезное устройство формирования волновых полей, но
также простейшая модель при изучении дифракции света на фазовых голограммах и
акустооптических устройствах (см. гл. 5).
Геометрия задачи тождественна рис. 3.4,г, а функцию пропускания синусоидальной
фазовой решетки с периодом d можно записать в виде

 2  
 x
 y
T ( x0 , y0 )  exp i0 sin 
x0   rect   rect  
 d

a
b,

(3.18)
где  0 - величина, характеризующая глубину фазовой модуляции волны.
Воспользуемся для определения поля дифракции формулами (2.24) или, что то же,
(2.30), в которых для вычисления спектра U0Т (x0, у0) - G ( x /  z, y /  z ) применим
тождество

 2   
 2 p 
exp i0 sin 
x0     J p (0 ) exp  i
x0 
 d
  p 
 d
,

где
Jp
- функция Бесселя 1-го рода, порядка р.
Тогда
U0T ( x0 , y0 )  G(vx , vy )  U 0ab sin c(avx )sin c(bvy ) 
 
p


   J p (0 )  vx  , v y   
d


 p 

a 
p z  
 by 
  abU 0 J p (0 )sin c   x 
  sin c  
d 
 z  .
p 
z 
В соответствии с (2.30) имеем, учитывая, что
U ( x, y ) 
vx  x /  z , v y  y /  z :
U 0 kab
 ik

exp(ikz ) exp  ( x 2  y 2 )  
i  2 z
 2z


a 
p z  
 by 
  J p (0 )sin c   x 
  sin c  
d 
 z  .
p 
z 
(3.19)
В отличие от синусоидальной амплитудной решетки (см. 3.3), здесь дифракционная картина содержит
много (теоретически бесконечное число) максимумов (рис. 3.5,а). При этом энергия в зависимости от
фазового рельефа  0 перераспределяется между составляющей нулевого (р = 0) и
2
 U 0 kab

Ip  
J p (0 ) 
 2 z
 , а
более высокого порядков. Интенсивность этих составляющих
J ( )
расстояние от центра -  z / d . При тех значениях  0 , при которых . p 0 = 0, соответствующие
глубины
максимумы исчезают. Так, нулевой порядок дифракции исчезает при  0 = 2,2; 5,5;....(рис.
3.6), и вся падающая на решетку электромагнитная энергия распределяется по боковым
лепесткам. Если  0 << I, то кроме нулевого наблюдаются только максимумы
2
 U 0 kab  2
I 1  
 0
 2 z 
порядков с интенсивностью
.
±1-х
J p2  0 
1
0,8
р0
 0 , đŕ ä
0,6
0,4
р  1
 0 , đŕ ä
0,2
0
1
2
3
р  2
 0 , đŕ ä
4
 0 , рад
Рис.3.6 Функции Бесселя
При подготовке материала использована литература:
1. Оптические устройства в радиотехнике: Учебное пособие для вузов (для
специальности Радиотехника) /Под ред. В.Н.Ушакова. – М.: Радиотехника, 2005. 240 с.
2. Гринев А.Ю. Основы радиооптики: Серия «Конспекты лекций по
радиотехническим дисциплинам», вып. 14, рекомендовано УМО для
специальности Радиотехника. Сайнс-пресс, 2003. – 80 с.
3. Наумов К.П., Ушаков В.Н. Акустооптичсские сигнальные процессоры. Конспекты
лекций по радиотехническим дисциплинам. - М.: Сайнс-пресс, 2002.
Вопросы для самоконтроля
1. Отметить основные этапы определения поля при падении плоской волны на
отверстии (диафрагме) в экране.
2. Пояснить основные закономерности дифракции на прямоугольном отверстии
(диафрагме) в экране.
3. Пояснить основные закономерности дифракции на круглом отверстии (диафрагме)
в экране.
4. Пояснить основные закономерности дифракции на амплитудной дифракционной
решетке щелей.
5. Перечислить особенности дифракции на синусоидальной амплитудной решетке.
6. Пояснить основные закономерности дифракции на синусоидальной фазовой.