Лекция 4 Криволинейные интегралы. Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода. Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода. Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x). Как было доказано во втором семестре: y |L|=∫dl так как y = y(x), то dl 1 ( y ( x)) 2 dx L y y (t ) , x x(t ) dl ( x (t )) 2 ( y (t )) 2 dt x Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если y ( x) C[a, b] Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины: 0, x 0 y ,где x 0,1 1 x sin x , x 0 Кривая является синусоидой, заключенной между двумя прямыми y x и y x . 1 Для функции x sin , x 0 условие x непрерывности y (x) в точке х=0 нарушается. Кривая, заданная 1 уравнением: y x sin не имеет конечной x длины (доказать самостоятельно) Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется: a x x(t ) 2 2 fdl L b f ( x(t ), y(t )) ( x(t )) ( y(t )) dt ,где L – кривая, заданная уравнениями y y(t ) . Докажем корректность определения: t t (u ) t ( ) a Сделаем замену: ,где u и t (u ) ca, b t( ) b x(t (u )) u/ xt/ t u/ y (t (u )) u/ yt/ t u/ ,где t u/ 0 и dt t u/ du , тогда xu/ xt/ t u/ xt/ xu/ y u/ / ,аналогично и y t t u/ t u/ xu/ yu/ / fdl f ( x ( t ( u )), y ( t ( u ))) t du f ( x(t (u )), y(t (u ))) ( xu/ ) 2 ( yu/ ) 2 du , L a t/ t/ u u u Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра. 2 b 2 Опр. Кривая ( K ) ( AB) , заданная параметрическими уравнениями x t и y t называется гладкой, если функции и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль. Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых. Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства): 10 L 2 0 L1 (c 1 L2 L3 L4 f c2 g )dl c1 f1dl c2 f 2 dl (свойство аддитивности) L L L Аналогично кривая L 3 задается системой: x x(t ) это уравнение кусочнонеперывной кривой L : y y (t ) z z (t ) Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало кривой в точке А и конец в точке В. L А В Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мы интегрируем по прямой от A B ,или от B A . b Опр. Интеграл f ( x, y, z )dL f ( x(t ), y(t ), z (t )) ( x(t )) 2 ( y (t )) 2 ( z (t )) 2 dt называется L a криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве 3 . Криволинейные интегралы второго типа. Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго рода будем рассматривать на плоскости (в 2 ). b Криволинейным интегралом второго рода называется Fdr : ( Px Qy )dt , L a где F ( P, Q) и L AB , dr (dx, dy ) . Точки А и В имеют координаты А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно. L+ означает, что выбрано положительное направление движения по кривой, т.е. то направление, при котором интеграл от А до В имеет положительное значение. Обозначим r ( x, y ) - радиус вектор и x x(t ) L : y y (t ) Работа по перемещению тела из точки А в точку В в поле F выражается интегралом: A Fdr L в этом и есть физический смысл интеграла. Докажем корректность определения: t ( ) a Делаем замену t=t(u) и , t ( ) b xu/ / y u/ , y t / и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит t u/ tu интеграл можно представить в виде: xu/ yu/ / / / L Fdr P tu/ Q tu/ tu du Pxu Qy u du xt/ т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации. Свойства: 10 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е. ( F G ) d r F d r Q dr и Fdr Fdr Fdr L L L1 L2 L L1 L2 А 20 F d r F dr L L+ L- L+=AB L L-=BA В Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус в другом направлении Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода. В Зададим касательный вектор движения по прямой ( xt/ , yt/ ) (dx, dy ) e dl (dx) 2 (dy ) 2 r ( xt/ , yt/ ) ex e dl r dt , r dt dl Fe f А Fdr ( Fe ) r dt ( Fe )dl fdl ,а этот интеграл является интегралом первого типа. L L L L Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в 3 . Рассмотрим векторное поле F P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) , для которого r ( x, y, z ) является радиус вектором, тогда dr dx, dy, dz , и dl dr dx 2 dy 2 dz 2 x x(t ) Кривая L задается системой L : y y (t ) . z z (t ) По определению: b / Fdr Pdx Qdy Rdz Px Qy Rz t dt , L L a а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в 2 . Пример Рассмотрим пример, в котором точка с массой М находится в начале координат и неподвижна, а точка m, с массой m, движется по АВ. Вычислить работу по перемещению точки m, приняв гравитационную постоянную равной . mMr F 3 , т.е. z mM x, y, z F 3 x2 y2 z2 xdx ydy zdz A Fdr mM 3 L x2 y2 z2 x x(t ) L : y y (t ) ,а z z (t ) точки А и В имеют координаты Ax(a), y(a), z(a) и Bx(b), y(b), z(b) соответственно. b A mM a x(t ) x (t )dt y (t ) y (t )dt z (t ) z (t )dt ( x(t )) 2 ( y (t )) 2 ( z (t )) 2 рассмотрим U x(t ), y (t ), z (t ) ( x(t )) 3 1 , тогда U (t ) , как производная ( y (t )) 2 ( z (t )) 2 сложной функции от нескольких переменных, будет равна u u u u u u U (t ) x(t ) y (t ) z (t ) ,для вычисления U (t ) , представим , и в виде x y z x y z u x u y u z , и ,соответственно, 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z x y z 2 тогда подставив эти выражения в уравнение для U (t ) , получаем: x(t ) x (t ) y (t ) y (t ) z (t ) z (t ) U (t ) , а так как работа выражается через определенный 3 2 2 2 ( x(t )) ( y (t )) ( z (t )) интеграл, то подставив это выражение, получаем b A mM U (t )dt mM U (t ) ba mM U ( x(b), y (b), z (b))) U ( x(a ), y (a ), z (a )) a mM U ( B ) U ( A) mM mM ( x(b)) 2 ( y (b)) 2 ( z (b)) 2 ( x(a )) 2 ( y (a )) 2 ( z (a )) 2 Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только от начальной А и конечной В точек этого пути.