Дифференциальные уравнения 1го порядка

Дифференциальные уравнения.
§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных
уравнениях.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го
порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) )  0
(1.1),
где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса
математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает,
что в них входят производные
y, y,..., y ( n )
(функции, образованные
как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о
том, что искомая функция зависит только от одного действительного
аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном
виде аргумент x, искомую функцию y (x) и любые ее производные, но
(n)
старшая производная y ( x) обязана входить в уравнение n-го порядка.
Например
а) y   y  e x – уравнение первого порядка;
б)
1
y   y y  x  7  0 – уравнение третьего порядка.
x 1
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто
используются обозначения производных через дифференциалы:
d2y
dy
 ( x 2  1)  0 – уравнение второго порядка;
в)
2
dx
dx
г) x 2 dy  ( x  1) ydx  0 – уравнение первого порядка,
образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения:
x 2 y  ( x  1) y  0 .
Функция
 (x ) называется решением обыкновенного дифференциального
уравнения, если при подстановке в него
y   ( x), y   ( x),..., y ( n )   ( n ) ( x)
оно обращается в тождество.
Например, уравнение 3-го порядка
x
y   2 y   y   3 y  e  x  2  0 имеет решение  ( x)  e 
2
.
3
Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию,
удовлетворяющую
уравнению,
не
означает
решить
его.
Решить
обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции,
образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1)
семейство
таких
постоянных
и
функций
образуется
называется
дифференциального уравнения
общим
с
помощью
решением
произвольных
обыкновенного
n-го порядка, причем число констант
совпадает с порядком уравнения: y  y( x, C1 , C2 ,..., Cn ). Общее решение
может
быть,
и
не
разрешено
явно
относительно
y(x):
( x, y( x), C1 , C2 ,..., Cn )  0. В этом случае решение принято называть общим
интегралом уравнения (1.1).
Например, общим решением дифференциального уравнения y   x
x4
x2
 C1
 C 2 x  C3 ,
является следующее выражение: y  y( x, C1 , C 2 , C3 ) 
24
2
причем второе слагаемое может быть записано и как
~
C1 x 2
, так как
произвольная постоянная C1 , делённая на 2, может быть заменена новой
~
произвольной постоянной C1 .
Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным
в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную
функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция
называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1).
Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и
частного решения, используются различные дополнительные условия к
уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные
( n 1)
( x0 )  y 0( n 1)
условия при x  x0 : y ( x0 )  y 0 ; y ( x0 )  y 0 ;... y
(1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения
функции и производных, причем, общее число начальных условий равно
числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным
условиям называется задачей Коши.
§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка –
основные понятия.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет
вид: F ( x, y, y)  0 или, если его удается разрешить относительно
производной: y   f ( x, y ) . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл
( x, y ( x), C )  0 уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную
постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка
y ( x0 )  y0 позволяет определить значение константы из общего решения
или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение
или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и
единственности решения задачи Коши является одним из центральных в
общей
теории
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Для
уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая
здесь без доказательства.
Теорема 2.1. Если в уравнении y   f ( x, y ) функция f ( x, y ) и ее частная
производная
df ( x, y )
непрерывны в некоторой области D плоскости XOY ,
dy
и в этой области задана точка ( x0 , y0 ) , то существует и притом
единственное
решение
 (x ) , удовлетворяющее как уравнению
y   f ( x, y ) , так и начальному условию  ( x0 )  y0 .
Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой
семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и
отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C.
Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения.
Интегральные кривые
y   f ( x, y )
уравнения
обладают очевидным
геометрическим свойством: в каждой точке ( x0 , y0 ) тангенс угла наклона
касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой
точке: tg  f ( x0 , y0 ) . Другими словами, уравнение y   f ( x, y ) задается в
плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым.
Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению y 
приводится
уравнение
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
уравнение в симметрической форме
и
так
dy
 f ( x, y )
dx
называемое
dx
dy

.
X ( x, y ) Y ( x, y )
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными.
Определение.
Дифференциальным
уравнением
переменными называется уравнение вида
с
разделяющимися
y   f ( x) g ( y )
или уравнение вида f1 ( x) g1 ( y)dy  f 2 ( x) g 2 ( y)dx  0
(3.1)
(3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это
уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными,
произвести следующие действия:
dy
dy
 f ( x) g ( y );
 f ( x)dx; g ( y )  0
dx
g ( y)
dy
 g ( y)  f ( x)dx  C ;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное
решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными
делением на произведение f1 ( x) g 2 ( y)  0 :
g1 ( y )
f ( x)
dy  2
dx  0 ,
g 2 ( y)
f 1 ( x)

уравнения (3.2):
Интегральные
что
позволяет
получить
общий
g1 ( y )
f ( x)
dy   2
dx  C .
g 2 ( y)
f1 ( x )
кривые
(3.3)
будут
интеграл
(3.3)
дополнены
решениями
f1 ( x)  0, g 2 ( y)  0 , если такие решения существуют.
Пример.
Решить уравнение: x 2 ( y  1)dx  ( x 3  1)( y  1)dy  0 .
Решение.
Разделяем переменные:
x2
y 1
dx 
dy  0;
3
y 1
x 1
Интегрируя, получаем
x 3  1  0; y  1  0 .
1
ln x 3  1  y  2 ln y  1  C
3
3
Далее из уравнений x  1  0 и y  1  0 находим x=1, y=-1. Эти решения
– частные решения.
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Определение
1.
Уравнение
1-го
порядка
y   f ( x, y )
называется
 0
справедливо
однородным, если для его правой части при любых
соотношение f (x,y )  f ( x, y ) , называемое условием однородности
функции двух переменных нулевого измерения.
x 2  xy  y 2
) - однородная нулевого
Пример 1. Показать, что функция f (
2
2
y x
измерения.
 (x) 2  (x)(y)  (y) 2 
 2 x 2   2 xy   2 y 2
)
Решение. f 
 f(
(y) 2  (x) 2
 2 y2  2 x2


 2 ( x 2  xy  y 2 ) 
x 2  xy  y 2
 f

f
(
),

2
2
2
2
2

(
y

x
)
y

x


 0,
что и требовалось доказать.
y
Теорема. Любая функция F ( x, y )  f ( ) - однородна и, наоборот, любая
x
однородная функция F ( x, y ) нулевого измерения приводится к виду
y
f( ).
x
Доказательство.
Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. f (
второе утверждение. Положим  
y
y
)  f ( ) . Докажем
x
x
1
, тогда для однородной функции
x
y
y
F ( x, y )  F (x,y )  F (1, )  f ( ) , что и требовалось доказать.
x
x
Определение 2. Уравнение M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
(4.1)
в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е.
обладают свойством
f (x,y)   m f ( x, y) при всех

, называется
однородным.
Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду
dy
y
  ( ) (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.
dx
x
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися
переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx,
где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении
(4.2), получим: z x  z   (z ) или x
1
dx
dz
dz 
  ( z )  z   0 или
.
 ( z)  z
x
dx
Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции
z(x)
dz
y
  ( z)  z  ln x  C , который после повторной замены z  x
дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если z i - корни
уравнения  ( z )  z  0 , то функции y  zi x, x  0 - решения однородного
заданного уравнения. Если же  ( z )  z , то уравнение (4.2) принимает вид
dy y
 и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его
dx x
 y  Cx, x  0,
решениями являются полупрямые: 
.
 x  0, y  0.
Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки
использовать подстановку x=zy.
§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
dy
a1 x  b1 y  C1

f
(
).
Рассмотрим уравнение вида
dx
ax  by  C
Если
a1 b1
0 ,
a b
то
это
уравнение
с
помощью
(5.1)
подстановки
x     , y     , где  и  - новые переменные, а  и  - некоторые
a1  b1   C1  0
постоянные числа, определяемые из системы 
a  b  C  0 ,
Приводится к однородному уравнению
a   b1
d
 f( 1
)
d
a  b
Если
a1 b1
 0 , то уравнение (5.1) принимает вид
a b
dy
k( ax  by )  C1
 f(
)  f1 ( ax  by ) .
dx
ax  by  C
Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой
переменной.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
2
2
2
2
Проинтегрировать уравнение ( x  2 xy  y )dx  ( y  2 xy  x )dy  0
и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б)
(1;-1).
Решение.
Положим y=zx. Тогда dy=xdz+zdx и
( x 2  2 zx 2  z 2 x 2 )dx  ( z 2 x 2  2 x 2 z  x 2 )( xdz  zdx)  0 .
2
Сократим на x и соберем члены при dx и dz:
( z 3  z 2  z  1)dx  ( z 2  2 z  1) xdz  0 .
dx
z 2  2z  1

dz  0,
Разделим переменные:
x ( z 2  1)( z  1)
Интегрируя, получим
x( z 2  1 )
C,
или
z 1
z 1  0 .
ln x  ln z  1  ln( z 2  1 )  ln C1 ;
C   C1
.
y
Заменив здесь z на
, получим общий интеграл заданного уравнения в
x
x2  y2
 C или x 2  y 2  C( x  y ) ( C  0 ,C   ) .
виде (5.2)
x y
C 2
C 2 C2
Это семейство окружностей ( x  )  ( y  ) 
, центры которых
2
2
2
лежат на прямой y = x и которые в начале координат касаются прямой y
+ x = 0. Эта прямая y = -x в свою очередь частное решение уравнения.
Теперь режим задачи Коши:
А) полагая в общем интеграле x=2, y=2, находим С=2, поэтому искомым
2
2
решением будет ( x  1)  ( y  1)  2 .
Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато
полупрямая
y = -x,
0  x   проходит через точку и дает искомое
решение.
Пример 2. Решить уравнение: ( x  y  2)dx  ( x  y  4)dy  0 .
Решение.
Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).
Определитель
a1 b1
a b
в данном примере  0 , поэтому надо решить
    2  0
следующую систему 
    4  0
Решая, получим, что   1,   3 . Выполняя в заданном уравнении
подстановку
x    1, y    3 ,
получаем
однородное
уравнение
(   )d  (   )d  0 . Интегрируя его при помощи подстановки
  z , находим   2    C .
2
2
Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам   x  1,  y  3 ,
имеем
x 2  2 xy  y 2  4 x  8 y  C .
§ 6. Обобщенное однородное уравнение.
Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным,
если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения
становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y,
dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y –
k-го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений.
Например, таким будет уравнение (
2
 y 2 )dx  dy  0 .
2
x
(6.1)
Действительно при сделанном предположении относительно измерений
x, y, dx и
2dx
, y 2 dx и
2
x
dy члены левой части
dy будут иметь
соответственно измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие,
которому должно удовлетворять искомое число k:
-2 = 2k = k-1. Это
условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части
рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно,
уравнение (6.1) является обобщенным однородным.
Обобщенное
однородное
уравнение
приводится
к
уравнению
с
разделяющимися переменными с помощью подстановки y  zx k , где z –
новая
неизвестная
функция.
Проинтегрируем
уравнение (6.1). Так как k = -1, то y 
указанным
методом
z
, после чего получаем уравнение
x
( z 2  z  2)dx  xdz  0 .
C  2 x3
C  2 x3
Интегрируя его, находим z 
, откуда y 
. Это
( C  x 3 )x
C  x3
общее решение уравнения (6.1).
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное
относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:
dy
 P( x) y  Q( x) ,
dx
(7.1)
где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от x. Если функция
Q( x)  0 , то уравнение (7.1) имеет вид:
dy
 P( x) y  0
dx
(7.2)
и называется линейным однородным уравнением, в противном случае
Q ( x )  0 оно называется линейным неоднородным уравнением.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является
уравнением с разделяющимися переменными:
dy
  P( x)dx; ln y    P( x)dx  ln c ;
y
 P ( x ) dx
y  Ce 
(7.3)
Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее
решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же
функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом
вариации
произвольной
постоянной
и
состоящий
в
следующем:
постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение
линейного
однородного
уравнения
(7.2)
являлось
бы
решением
неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной
функции (7.3) получим:
  P ( x ) dx
dy dC   P( x )dx

e
 CP( x )e
.
dx dx
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:
 P ( x ) dx
 P ( x ) dx
dC  P( x )dx
e
 CP( x )e
 CP( x )e
 Q( x )
dx
dC
 P( x )dx

Q
(
x
)
e
или
.
dx

Откуда C ( x)   Q( x)e
P ( x ) dx
 C1 , где C1 - произвольная постоянная. В
результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
(C1   Q( x)e
dx)
(7.4)
Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3)
линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе
слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного
уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при C1  0 . Этот важный
вывод выделим в виде теоремы.
Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y1 ( x) , то все остальные решения имеют
вид y  y1 ( x)  y 0 ( x) , где y0 ( x) - общее решение соответствующего
линейного однородного дифференциального уравнения.
Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется
другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать
решение уравнения (7.1) в виде y ( x)  u ( x)  v( x) . Тогда
Подставим
найденную
производную
в
dy du
dv

vu
.
dx dx
dx
исходное
уравнение:
du
dv
v  u  Puv  Q .
dx
dx
Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и
вынесем функцию u(x) за скобку: v
du
dv
v  u (  Pv)  Q
dx
dx
Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
dv
 Pv  0 .
dx
(7.5)
Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю:
 P ( x ) dx
dv
  Pdx; v  e 
. С найденной функцией v(x) вернемся в
v
уравнение (7.5):
P ( x ) dx
du
 Q ( x )e 
.
dx

Решая его, получим: u( x)  Q( x)e

P ( x ) dx
dx  C .
Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:
y( x)  u( x)  v( x)  (  Q( x)e
P ( x ) dx
 P ( x ) dx
dx  C )e 
.
§ 8. Уравнение Бернулли.
Определение.
Дифференциальное уравнение вида
dy
 P( x) y  Q( x) y  , где   0,1 ,
dx
называется уравнением Бернулли.
Предполагая, что y  0 , разделим обе части уравнения Бернулли на y  . В

результате получим: y
dy
 P  y  1  Q
dx
(8.1)
 1
Введем новую функцию z ( x)  ( y( x))
. Тогда
dz
dy
 (  1) y 
.
dx
dx
Домножим уравнение (8.1) на (  1) и перейдем в нем к функции z(x):
dz
 (  1) Pz  (  1)Q , т.е. для функции z(x) получили линейное
dx
неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами,
разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение
 1
вместо z(x) выражение y
, получим общий интеграл уравнения
Бернулли, который легко разрешается относительно y. При   0
добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не
 1
делая перехода к линейному уравнению путем подстановки z  y
, а
применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим
применение этого способа для решения уравнения Бернулли на
конкретном примере.
x 2
Пример. Найти общее решение уравнения: y   xy  ( x  1)e y
(8.2)
Решение.
Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем   2 .
Будем искать решение уравнения в виде y ( x)  u ( x)  v( x) .
x
2
Тогда uv  uv  xuv  ( x  1)e (uv) .
В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье
слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы
v  xv  0
. Откуда v  e

x2
2
. Тогда для функции u(x) будем иметь
следующее уравнение:
u e

x2
2
 ( x  1)e x  e  x  u 2 или u  ( x  1)e
2

x2
x
2
 u2 ,
которое является уравнением с разделяющимися переменными для
2
функции u(x). Решим его u du  (1  x)e
x2
 x
1
  e 2  c , u 
u
Следовательно,
1
y ( x) 
e

x2
x
2
общее
e

x2
2
,

x2
x
2
 dx ,
1
e

x2
x
2
c
решение
данного
уравнения
имеет
вид:
y(x)=0.
c
§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
(9.1) левая часть
есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется
уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в
виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.
Например,
уравнение
xdy+ydx=0
есть
уравнение
в
полных
дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим
интегралом будет xy=c.
Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в
некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные
производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение
(9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось тождество
M N

y
x
(9.2).
Доказательство.
Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем
достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая
функция u(x,y), что
u( x , y )
u( x , y )
 N( x, y ) .
 M ( x, y ) и
y
x
Действительно, поскольку
u
 M ( x , y ) ,то
x
x
u ( x, y )   M ( x, y )dx   ( y )
(9.3)
, где
 ( y ) - произвольная
x0
дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y:
u x M ( x , y )

dx   ( y ) .
y x
y
Но
0
M N

y
x
,
следовательно,
u x N ( x , y )

dx   ( y )  N ( x , y )  N ( x0 , y )   ( y ) .
y x
x
0
y
Положим  ( y )  Q( x0 , y )   ( y )   N ( x0 , y )dy и тогда
y0
u
 N ( x, y ).
y
y
x0
y0
 M ( x, y)dx   N ( x , y)dy
Итак, построена функция u ( x, y ) 
которой
x
0
, для
u( x , y )
u( x , y )
 N( x, y ) .
 M ( x, y ) , а
y
x
Рассмотрим пример.
Пример. Найти общий интеграл уравнения: (
Решение. Здесь M ( x, y ) 
Тогда
y
x
x

e
)
dx

dy  0 .
x2  y2
x2  y2
y
x
 e x , N ( x, y )   2
.
2
x y
x  y2
2
M N
x2  y2


2
y
x x 2  y 2 
.
Следовательно,
заданное
дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных
дифференциалах,
т.е.
существует
такая
функция
u(x,y),
частные
производные которой соответственно по x и y равны M(x,y) и N(x,y):
u
y
 2
 ex ,
2
x x  y
u
x
 2
. Интегрируем первое из двух
y
x  y2
соотношений по x:
u ( x, y )   (
y
x
 e x )dx   ( y ) , u ( x, y )  arctg  e x   ( y) .
2
x y
y
2
Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в
результате выражение выписанной выше частной производной

du
:
dy
x
x



(
y
)


.
x2  y2
x2  y2
Откуда  ( y )  0 и  ( y )  c . Следовательно, общим интегралом заданного
уравнения является: arctg
x
 ex  c .
y
§ 10. Интегрирующий множитель.
Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных
дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y), такая что после
умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение
µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то
функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В
случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах,
полагают µ = 1.
Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного
уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению
общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.
Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и
y, то
M  N 

.
y
x
Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет
следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:
N
 M N 



M
  

x
y

y

x


(10.1).
Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от x и y, то
уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному)
уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω:
d
  
d
(10.2),
M N

y
x
где    
, т. е. дробь является функцией только от ω.


N
M
x
y
Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

  d

e
,
с = 1.
В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий
множитель, зависящий только от x (ω = x) или только от y (ω = y), если
выполнены соответственно следующие условия:
M N

y
x
  x  ,
N
  e
 x dx
M N

y x
  y  ,
M
  e
 y dy
или
.