1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Определение. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких аргументов, причем в уравнение входят не только сами функции, но и их производные. Если рассматривать функции одного независимого аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Определение. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящих в уравнение производных или дифференциалов от неизвестных функций. Если уравнение содержит производные первого порядка, то его общий вид F ( x, y, y / ) 0 , (1) x-независимая переменная y-неизвестная функция F-некоторая заданная функция от трех переменных Функция F может быть определена не во всей области значений её аргумента, а в некоторой области B, которая называется областью задания F. Решением уравнения (1) называется такая функция y (x) , которая определена на интервале a x b (возможны случаи a и b ), что при подстановке данной функции в (1) мы получаем тождество на всем интервале. Определение. Интервал (a,b)-называется интервалом определения решения (x ) и обозначается J ab . Подставляя решение y (x) в (1) мы предполагаем, что на интервале J ab решение имеет первую производную (то - есть, (x ) непрерывна), кроме того, необходимо чтобы выполнялось условие: x J ab точка с координатами x, ( x), / ( x) B . Определение. содержащее Решение или интеграл дифференциального уравнения, число произвольных постоянных равное порядку 2 дифференциального уравнения называется дифференциального уравнения и имеет вид общим решением y ( x, C ) , где С - любые постоянные. Выбрав некоторое частное значение С, мы получаем частное решение. Решение дифференциального уравнения можно полагать найденным, если оно представлено в виде выражения содержащего квадратуры, т.е. неопределенные интегралы, для которых ответ может быть получен в элементарных функциях или если решение вычислено приближенно. Решение всегда может быть проверено подстановкой в дифференциальное уравнение. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной В этом случае дифференциальное уравнение определяет переменную y / как однозначную неявную функцию переменных x, y . То есть y / f ( x, y) или dy f ( x, y ) . dx Если dy f (x ) , то dx (2) y f ( x)x C . Константу С можно определить, если x известно значение y( x0 ) y0 , тогда y y 0 f ( x)x . x0 3 Геометрическое представление Пусть дана плоскость XOY и функция f , определяющая дифференциальное уравнение (2). Функция f может быть определена не на всей плоскости, а лишь в точках некоторого множества Г . Будем полагать, что Г - открытое множество. df Пусть функция f и её частная производная dy аргументов x и y на Г . Решение уравнения (2) непрерывные функции y (x) в плоскости XOY представлено в виде кривой. Эта кривая в каждой точке Г имеет касательную и полностью принадлежит Г .Такая кривая называется интегральной кривой дифференциального уравнения (2). Уравнение (2) устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к графику решения в этой точке. То есть, зная x , y можно вычислить dy , а, значит, дифференциальное уравнение (2) dx определяет поле направлений (некоторое векторное поле). 4 Задачей интегрирования дифференциального уравнения является нахождение интегральных кривых, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Пример. Дано дифференциальное уравнение отличной от точки (0,0), dy y dy dx или . В каждой точке, dx x y x угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен отношению y ,то есть он совпадает с угловым x коэффициентом прямой, направленной из начала координат в точку ( x, y ) . Очевидно, интегральными кривыми в этом случае будут прямые y Cx , так как направление этих кривых всюду совпадает с направлением поля. 5 Теорема о существовании и единственности. Так как дифференциальное уравнения имеет бесконечное множество решений, то речь идет не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Теорема. Пусть dy f ( x, y ) dx (1) дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что f ( x, y ) задана на некотором открытом множестве Г, которое принадлежит плоскости В (декартовых координат). Предположим, что f ( x, y ) и df ( x, y ) непрерывны на dy Г . Тогда: 1. Для любой точки ( x0 , y0 ) Г найдется решение y (x) уравнения (1), которое удовлетворяет условию ( x0 ) y0 2. (2) Если два решения y ( x), y ( x) уравнения (1) совпадают хотя бы в одной точке x0 , ( x0 ) ( x0 ) , то решение и будут тождественно равны для всех значений переменной x , для которых они определены. Определение. Числа x0 , y0 называется начальными значениями для решения y (x) , а условие (2) называется начальными условиями. Теорема утверждает, что координаты ( x0 , y0 ) Г могут быть начальными значениями для некоторого решения уравнения (1). Два решения с общими начальными условиями совпадают. 6 Геометрическая интерпретация. Через некоторую точку Г проходит только одна интегральная кривая. Решением (1) обычно называется некоторая функция y (x) , заданная на некотором определенном интервале x1 x x2 . Наряду с этой функцией может быть определена функция y (x) , которая также является решением, но она задана на другом интервале ( x3 ; x4 ) . Второй пункт утверждает, что ( x), ( x) совпадают на интервале, на котором они обе определены. Если ( x3 ; x4 ) полностью содержит ( x1; x2 ) , то решение y (x ) , заданное на ( x3 ; x4 ) это есть продолжение решения y (x) . Поэтому если подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение о том, что через каждую точку ( x0 , y0 ) проходит единственная кривая становится точным. Доказательство: Переход от дифференциального уравнения к интегральному. 1. а) Пусть y (x) некоторое решение (1) определенное на r1 x r2 ,тогда выполняется тождество: dy d ( x) f ( x, ( x)) dx dx при этом пусть: (*) ( x0 ) y0 . Проинтегрировав (*), получим: x ( x ) y0 f ( , ( ))d . (3) x0 Продифференцировав соотношение (3) по x, получаем (*) , то есть интегральное уравнение (3) эквивалентно дифференциальному уравнению (*) с соответствующими начальными условиями. 7 б) Пусть y (x) непрерывная функция, определенная на r1 x r2 . Причем график этой функции целиком расположен в открытом множестве Г. Точка x0 r1 ,r2 ,тогда воспользуемся правой частью тождества (3) и поставим в соответствие (x ) некоторую функцию * , которая также определена на r1,r2 и x * ( x) y0 f ( , ( )) d (4) x0 График * в общем случае может и не принадлежать открытому множеству Г. Такая запись позволяет рассматривать правую часть (4) как оператор, который ставит в соответствие * , то есть * А . (5) Рассмотрим интегральное уравнение (3) и перепишем его в виде А . (6) в) Последовательность непрерывных функций 0 ( x), 1 ( x),, n ( x) , (7) заданных на отрезке r1,r2 будет сходиться равномерно, если i 1 i ai , причем i 1 (8) a i -сходящийся ряд . Сущность метода последовательных приближений (метод Пикара). Строится последовательность функций 0 , , n , , все эти функции непрерывны и определены на r1,r2 , точка x0 r1,r2 . Каждая функция (7) определяется через предыдущую i 1 Ai , i=0,1,… (9) Если график функции i Г , то функция i 1 определяется по формуле (9) . Для того чтобы могла быть определена функция i 2 нужно чтобы график функции i 1 Г . Это требование можно выполнить, выбрав r1,r2 достаточно малым. За счет уменьшения длины r1,r2 можно добиться того, чтобы для последовательности (7) выполнялось соотношение: 8 i 1 i k 1 0 , где k (0,1) . (10) Тогда i 1 i 1 0 k i , то есть функциональная последовательность (7) будет равномерно сходиться, и её предел будет удовлетворять соотношению (5). Метод сжатых отображений Выберем некоторое семейство функций , заданных на r1,r2 , причем x0 r1,r2 . И график функции из принадлежит множеству Г. Пусть в отношении оператора А семейство удовлетворяет условиям: 1.Применяя оператор А к любой функции из семейства , мы получаем функцию из . 2.Существует число k (0,1) , что для любых двух функций из семейства , , выполняется: A A k . В этом случае оператор А будет сжатием. Если для выполняется условие 1 и 2, то исходя из некоторой функций 0 , мы можем получить бесконечную последовательность функций (7) с помощью формулы (9). Эти функции удовлетворяют всем условиям и сходятся к решению уравнения А . Доказательство существования решения Пусть задано открытое множество Г и ( x0 , y0 ) Г . Выберем в Г прямоугольник П с центром в точке ( x0 , y0 ) . Сторона прямоугольника 2а. Это означает, что точки принадлежащие П, будут удовлетворять условию x x0 q, y y0 a . (11) П- замкнутое множество, содержащиеся в Г, и непрерывные функции f ( x, y ), ограничены на П: f y 9 f ( x, y ) k , f M. y (12) Рассмотрим в П более узкий прямоугольник Пr : x x0 r, y y0 a r q (13) Обозначим r семейство функций непрерывных и заданных на x x0 r . При этом графики функций принадлежат Пr , то есть функции определенные на этом отрезке, будут принадлежать r , если x x x0 r : ( x) 0 a . (14) Выберем r таким образом, чтобы выполнялись условия: 1. Если функция принадлежит r , то и * А r . 2. Найдется такое число k~ (0,1) , что для ~ , r : A A k . любых функций (15) Для того чтобы функция * r , необходимо и достаточно, чтобы для неё выполнялось условие (14). Воспользовавшись соотношением (4) и (14), получим: * ( x) y 0 x x f ( , ( )) d | f ( , ( )) | d kr a , то есть при x0 r x0 a k (16) функция * r и условие 1 выполнено. Рассмотрим две любые функции, принадлежащие r : * ( x) y 0 x x0 f ( , ( )) d * y0 x f ( , ( ))d x0 10 тогда * ( x) * ( x) x x x0 x0 f ( , ( )) f ( , ( ))d f ( , ( )) f ( , ( ))) d Воспользовавшись теоремой о среднем, получим: * ( x) * ( x) x f y ( , ( )) ( 0 ) ( 0 ) d M r ( 0 ) ( 0 ) , x0 - точка, в которой достигается максимум разности ( 0 ) ( 0 ) . Тогда: 0 ~ A A * * max * * Mr , если k Mr , то функции , будут удовлетворять условию 2. Так как k~ Mr 1 , то r 1 . M (17) Если число r удовлетворяет условиям (13),(16) и (17) , то для r семейства непрерывных функций будут выполнены условия 1,2. В дальнейшем будем предполагать, что при выборе числа r условия (13),(16) и (17) выполнены. Построим последовательность 0 ( x),1 ( x),, n ( x) , x x0 r При этом 0 ( x) y0 , (18) i 1 Ai . Поскольку 0 r ,то и все функции (7) будут принадлежать r по условию 1. Оценим 1 0 max i ( x) y0 a ~ ~ i 1 i Ai Ai 1 k i i 1 ak i 1,2, В силу второго пункта последовательность (7) равномерно сходится на отрезке x x0 r к некоторой непрерывной функции , и так как все i r ,то и r . Покажем, что эта функция будет удовлетворять условию A . Рассмотрим последовательность функций A 0 ( x), A1 ( x),, A n ( x) . Эта последовательность будет равномерно сходиться к некоторой функции ~ A ( x) A Ai k i . Переходя к пределу, получим, что выполняется 11 условие (6). Таким образом, существование решения y (x) уравнения (1), удовлетворяющее условию (2), - доказано. При этом мы получили, что решение y (x) определено на x x0 r , где r- любое число, удовлетворяющее условиям (13),(16),(17). Доказательство единственности решения Пусть y (x) и y (x) два решения (1) с общими начальными условиями r1 x r2 . Этот интервал является пересечением интервалов, на которых существуют данные решения. Точка x0 - принадлежит данному интервалу. Покажем, что если эти решения совпадают в некоторой точке x1 r1,r2 , то они будут совпадать и на интервале x x1 r , где r достаточно малое положительное число. Будем считать ( x1 ) ( x1 ) y1 , тогда точка с координатами ( x1, y1 ) может играть роль начального значения для функции , . Поэтому, не нарушая общности, предположим, что ( x1, y1 ) совпадает с ( x0 , y0 ) . Перейдем от дифференциальной постановки к интегральной: A , A . (19) Рассмотрим прямоугольник с центром в точке ( x0 , y0 ) . А затем более узкий прямоугольник Пr . При этом будем считать, что r удовлетворяет (13),(16),(17). Этот значит, что функции , удовлетворяют условию (14). Рассмотрим , на отрезке x x0 r , на этом отрезке они принадлежат r , тогда ~ A A k , а это возможно только когда . Покажем, что наши функции будут совпадать на всём интервале. Предположим, что существует такая точка x * , в которой функции не совпадают , x* x0 , x* x0 (для определенности). Обозначим через N множество всех точек отрезка x0 , x * , для которого ( x) ( x) . И покажем, что это множество замкнуто. Пусть дана последовательность 1 , 2 ,, n : ( i ) ( i ) . В силу непрерывности , lim ( i ) lim ( i ) ( ) ( ) . То есть точка тоже принадлежит множеству i i N . Обозначим через x1 sup N , так как N - замкнуто, то x1 N ( x1 ) ( x1 ) x1 12 должна лежать левее x * , но тогда, по доказанному выше, , должны совпадать на x x1 r и, следовательно, точка x1 не может быть sup N . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.