В статье рассматриваются возможности исследования сложных

ФРАКТАЛЫ. КРОВЕНОСНЫЕ СОСУДИСТЫЕ СЕТИ И
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ LINDENMAYER (L-СИСТЕМЫ)
 2010 г. Венидиктова Д. Ю.
В работе рассматриваются возможности исследования сложных
объектов в природе, включая человека, с позиции теории фракталов и математической теории хаоса. Подробно освящен принцип самоподобия, как основная характеристика фрактала. Приводится пример, подтверждающий
фрактальный принцип построения биологических систем на основании анатомии артериального русла человека. Теория фракталов имеет большую
актуальность, т.к. она является основным звеном разрабатываемой теории
в XXI веке о тенденциях математических законов развивающихся в нано - и
биосистемах.
Ключевые слова: фрактал, самоподобие, артериальные сосуды.
Геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур, которых вполне достаточно для описания элементарных структур, но плохо
применимых для характеристики таких сложных объектов, как очертания береговых линий материков, разряд молнии в воздухе, снежинка, кровеноснососудистая система человека и другие.
Фракталы и математический хаос – подходящие средства для исследования таких сложных объектов. Термин фрактал был введен французским
математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. В основе новой геометрии
был использован принцип самоподобия (повторение одного и того же узора,
увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз). Фракталы должны
определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и
происхождение слова фрактал (от лат. fractus - дробный). С помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности. Прогресса
в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон
Жюлиа и Пьер Фату (1919).
Фракталами называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия.
Самоподобие, как основная характеристика фрактала означает, что он
более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов.
Отрезок прямой делится на N равных частей. Каждую часть можно
считать копией всего отрезка, уменьшенного в 1/r раз. N и r связаны отношением Nr=1 Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/r2
раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как Nr2 = 1.
Общая формула соотношения запишется в виде:
Nrd = 1. (1.1)
Множества, построенные выше, обладают целой размерностью. Возможно ли построение, при котором показатель d в равенстве (1.1) НЕ является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N непе-
ресекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с
коэффициентом r, значение d не будет выражаться целым числом. Такое
множество называется самоподобным фракталом. Величину d называют
фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия.
Фрактальные объекты повсеместно встречаются в природе. L-системы
и системы итерированных функций. Это модели снежинок, деревьев, кустов,
листьев и т.д. Есть новый класс объектов для моделирования широкого спектра “естественных фракталов”: гор, облаков, поверхностей лесных массивов
и т.п. Основной моделью таких объектов является броуновское движение –
случайный процесс, широко распространенный в природе. В основе таких
фракталов лежит метод случайных возмущений. Делая выбор направления
внутрь или наружу случайным, в итоге мы получим фрактальную кривую,
которая имеет размерность d = log(4)/log(3). Кривые, полученные таким образом, могут использоваться для моделирования объектов с учетом случайных возмущений. Это применимо к биологическим системам, особенно в
анатомии человека.
Существует большое разнообразие сосудистых систем в биологии, таких как кровеносная система (Мюррей 1926), строение нервной системы, которая построена по принципу фракталов (Berry и Pymm 1981). Артериальные
сосуды у человека в большом круге кровообращения образуют так называемую открытую древовидную структуру, которая основывается на постоянно
повторяющихся раздвоениях кровеносного русла. Основной сосуд кровеносного русла разделяется на две дочерние ветви, а затем каждая из дочерних
ветвей также разделяется на ещё две дочерние ветви (Zamir и Brown 1982).
Существует такое понятие, как коэффициент асимметрии, он равен a=d2/d1,
который принимает значения от 0 до 1.0.
Все вышеизложенное доказывает фундаментальное однообразие проявлений законов естественных наук в развитии физических и биологических
систем.
Выводы: теория фракталов получила большой импульс в конце XX в
начале XXI вв., т.к. возникла необходимость в единой теории для развития
новых технологий на стыке физики и биологии:
- формировании средств фильтрации сигналов в наносистемах
- синтезе трехмерных компьютерных моделей природных ландшафтов и
органов человека,
- сжатии изображений и информации в биокомпьютерах
- шифровании данных с помощью фрактальных алгоритмов,
- изучении турбулентности в жидкостях в трубчатых структурах
The article examines the opportunities of the study of complex objects in nature, including man, from the science of fractals and mathematical theory of chaos
standpoint. The principle of self-similarity, as the main characteristic of a fractal is
consecrated. There is an example of the fractal principle of biological systems construction, which is based on the arterial vessels anatomy. The theory of fractals has
great relevance, because it is the core of the currently developing theory in the
XXI century about trends of mathematical laws in developing of the nano - and biosystems.
Key words: fractal, self-similarity, arterial vessels