Фрактальная геометрия

Фрактальная геометрия
Геометрия в природе не ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг,
многогранник, а также их комбинациями. Многие природные системы настолько сложны, что
использование только объектов классической геометрии для построения их изображения
недостаточно. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева? Представьте
себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и
доставляющей кровь к каждой клетке человеческого тела. Как устроены легкие и почки,
напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной?
Для описания указанных природных объектов применяются фракталы – множества,
обладающие свойством самоподобия. Данное свойство означает, что какую бы часть фрактала вы
не взяли, она является уменьшенной копией всего объекта. Примером служит исконно русская
игрушка – матрешка, в которой каждая последующая кукла является точной копией предыдущей,
но меньшей по размеру. Также примером является цветная капуста. Обратите внимание, каждая
часть является уменьшенной копией всей капусты.
Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака,
кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных.
Теория фракталов имеет сравнительно небольшой возраст. Она возникла
в конце 60-х годов на стыке математики и информатики. «Отцом» теории
фракталов считается Бенуа Мандельброт. Фрактальная геометрия получила
широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная
геометрия природы». Просматривая результаты измерений шума,
Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность —
графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина
наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день,
неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз
повторялась.
Часто люди, увидев изображение фракталов, воспринимают их лишь как красивые картинки,
не подозревая, что они имеют широкое применение во многих областях человеческой
деятельности:
 Компьютерная графика
С использованием фракталов могут строиться вполне реалистичные изображения таких
природных объектов, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей. Поэтому
применять фрактальные изображения можно в самых разных сферах, начиная от создания
обычных текстур и фоновых изображений и кончая фантастическими ландшафтами для
компьютерных игр, книжных иллюстраций, кинофильмов («Звездное переселение II: гнев хана»,
«Аватар»). Создаются подобные фрактальные шедевры путем математических расчетов: базовым
элементом фрактальной графики является сама математическая формула – это означает, что
никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение (как бы ни было оно
замысловато) строится исключительно на основе уравнений.
 Физика и другие естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных
процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции,
пламя, облака и т.п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например,
в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания
систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
 Сжатие изображений
Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное
сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо
описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это
делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального
сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения
размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после
увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.
 Экономика. Анализ рынков
Последнее время фракталы стали популярным инструментом для анализа состояния
биржевых рынков. Фракталы рынка являются одним из индикаторов в торговой системе Била
Вильямса. При торговле по фракталам, в сочетании со своим индикатором Аллигатор, автор
обнаруживал локальные максимумы или минимумы рынка.
 Литература
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают фрактальной природой.
В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:
не разветвляющееся бесконечное дерево («У попа была собака…», «Притча о философе,
которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…»,
«Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
2) не разветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и
тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).
1)
 Радиотехника
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было
впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре
Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из
алюминиевой фольги фигуру в форме Кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем
присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя
физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну
основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.
Вас не оставит равнодушным захватывающий документальный фильм «Фракталы. Поиски
новых размерностей». Найти его можно по ссылке: http://www.youtube.com/watch?v=Yke32Oavr1I