9 класс. Алгебра. Урок 2. Цели урока:

9 класс. Алгебра. Урок 2.
Тема: Решение квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Цели урока:
Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Разложение трехчлена
на множители”; выработка основных навыков.
Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление,
математическую речь.
Воспитательные -прививать самостоятельность, развивать культуру виртуального общения.
Решение квадратных уравнений.
В общем виде квадратное уравнение выглядит так:
, где a, b, c- некоторые числа, причем а ≠ 0, х - переменная
В этом уравнении a = 3, b = 5, c =2
Чтобы решить уравнение, сначала находится величина, называемая дискриминантом:
После того, как дискриминант вычислен, возможны три варианта.
1) Если дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два разных корня – X1 и X2.
В этом случае корни вычисляются по формулам:
Или иногда пишут так:
2) Если дискриминант D равен нулю, уравнение имеет один корень Х, который вычисляется по
формуле:
Правда, на самом деле это небольшое упрощение. Уравнение с дискриминантом равным нулю,
имеет два равных корня, но поскольку корни равны, то часто говорят и пишут, что корень один.
3) Если же дискриминант D меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней (и именно
это нужно написать в ответе).
Решение через дискриминант - универсальный способ. Им можно решить любое квадратное
уравнение.
Квадратный трехчлен.
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b, c –
некоторые числа, причем a ≠ 0
Коэффициент а называют старшим коэффициентом, c – свободным членом квадратного
трехчлена.
Примеры квадратных трехчленов:
2x2 + 5x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)
X2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)
9x2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)
Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны
нулю. Например:
5x2 + 3x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).
6x2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)
2x2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)
Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.
Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю –
то есть решить квадратное уравнение ax2+ bx + c = 0
Разложение квадратного трехчлена на множители
Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни x1 и x2, можно разложить на множители по следующей
формуле:
a(x – x1)(x – x2).
Пример:
Разложим на множители трехчлен 2x2 + 7x – 4.
Мы видим: коэффициент а = 2.
Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение
2x2 + 7x – 4 = 0.
D = 72 -4∙2∙(-4) =49 + 32 = 81
x1 =
−7+9
;
2∙2
x2 =
−7−9
2∙2
x1 = 1/2, x2 = –4.
Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и
получим:
2x2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).
Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:
2x2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).
Задача решена: трехчлен разложен на множители.
Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.
ВНИМАНИЕ!
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но
при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как
одинаковое значение x1 и x2.
К примеру, трехчлен х2 – 6х + 9 имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.
Х2 - 6х +9 = (х- 3)2
Д/з.
Разложить на множители:
а) 3x2 – 8x + 2;
б) 6x2 – 5x + 1;
в) 3x2 + 5x – 2;
г) -5x2 + 6x – 1;
д) 9х2 – 6х + 1;
е) 8х2 – 4х + 1;
ж) 5х2 – 3х.