Задания для студентов 3–5 курсов №1 Вдоль прямой движется тело, скорость которого пропорциональна квадрату расстояния от начала координат. В точке с координатой х = 5 м скорость тела составляет 2 м/с. Определить ускорение тела в данной точке. Решение v x , const , 2 dv d ( x 2 ) 2 xv 2 2 x3 , dt dt v 2v 2 2 a 1, 6 м / с 2 . x x a Ответ: a = 1,6 м/с2. №2 Однородный стержень длины L может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов. Систему равномерно вращают с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Пренебрегая трением, найти угол θ между стержнем и вертикалью. ω θ L Решение Перейдем в СК, связанную с точкой закрепления стержня, ось х направим вдоль стержня. На каждый элемент dх с массой dm стержня в этой СК действует сила тяжести dmg , центробежная сила инерции dFин и направленная к точке подвеса сила dT со стороны других элементов стержня. Условие равновесия: сумма всех действующих на стержень сил и сумма их моментов должны быть равны 0. Так как O момент силы dT относительно т. О равен 0, то отсюда для элемента dх с радиус-вектором r получаем следующее θ dT уравнение: r , dmg r , dFин 0 или в скалярном виде: T dx dFин dmg x xdmg sin 2 x 2 sin cos dm. Масса стержню непрерывно, поэтому интегрирования: L распределена по задача требует L 2 2 gx sin dm x sin cos dm . 0 Стержень однороден, 0 массу dm можно представить как произведение линейной плотности на элемент длины: dm = ρdx, где ρ = m/L = const.Тогда получим: L L g sin xdx sin cos x 2 dx g 2 0 cos 0 3g 2 2 L Ответ: cos L2 L3 2 cos 2 3 . 3g 2 2 L . 1 №3 Один моль Не расширяется так, что его давление линейно зависит от объема. Температуры в исходном и конечном состоянии одинаковы. Вычислите работу, совершаемую газом, если известно, что в ходе рассматриваемого процесса разность между максимальной и минимальной температурой равна ΔТ, а объем гелия увеличивается в k раз, k > 1. P P0 P V0 V V Решение Так как давление по условию изменяется по линейному закону, то его зависимость от V имеет вид: P a bV . Рисунок изображает эту зависимость при b < 0. PV 0 0 PV P PV 0 0 / V P0 / k . Работа A численно равна площади под кривой P(V), т.е. площади трапеции в данном случае и определяется как PV 1 1 P A ( P P0 )(V V0 ) ( 0 P0 )(kV0 V0 ) 0 0 (k 2 1). 2 2 k 2k Найдем выражение для произведения неизвестных P0V0 . RT RT aV bV 2 Из уравнения состояния идеального газа P a bV T . V V R Получили закон изменения температуры от объема для данного процесса. Видно, что температура сначала будет расти, затем, после достижения своего максимального значения Tm = T0 + ΔТ, уменьшаться до первоначального значения T0. Найдем объем Vm и давление Pm, соответствующие температуре Tm: dT a 0 a 2bV 0 Vm ; dV 2b P 1 k P0 a bV0 , P a bV P P0 b(k 1)V0 b 0 , a P0 ; kV0 k PV k 1 k 1 Vm V0 , Pm P0 PmVm 0 0 (k 1) 2 R(T0 T ) 2 2k 4k 1 PV RT P0V0 (k 1) 2 1 0 0 (k 1) 2 . 4k 4k Сравнивая данное выражение и полученное выше выражение для работы A, k 1 окончательно записываем: A 2 RT (с учетом того, что количество в-ва 1 ). k 1 k 1 . Ответ: A 2 RT k 1 2 №4 Перемычка MN скользит по двум вертикальным направляющим под действием силы тяжести без потери контакта. Длина перемычки L, масса m. Вверху цепь замкнута на конденсатор емкости С. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В. Каково ускорение перемычки? Сопротивлением проводников и силами трения пренебречь. C M N В Решение При движении перемычки со скоростью v возникает ЭДС индукции BvL q / C , где q – заряд конденсатора. На перемычку в процессе движения действуют две силы: направленная вниз сила тяжести и направленная вверх сила Ампера. Уравнение движения в проекции на вертикальную ось запишется в виде: ma mg IBL , где a – dq mg BLCa ma mg B 2 L2Ca a . ускорение, I – сила тока. I dt m B 2 L2C Ответ: a g m . m B 2 L2C №5 На поверхности воды плавает надувной плот шириной а = 4 м и длиной b = 6 м. Небо затянуто сплошным облачным покровом, полностью рассеивающим солнечный свет. Определить глубину тени под плотом. Глубиной погружения плота и рассеиванием света водой пренебречь. Показатель преломления воды относительно воздуха принять 4 равным . 3 Решение Область тени – это пирамида, боковые грани которой очерчивают те лучи света, которые до преломления у краев плота распространялись вдоль поверхности воды (см. рисунок). Согласно рисунку, h a /(2 tg ), sin / sin n, 90 . Отсюда tg 3 / 7 h 2 7 / 3. Ответ: h 2 7 / 3 1,76 м. а/2 γ h γ 3