Лекция 02

Лекция 02
Принципы расчета. Статически неопределимые системы.
Рассчитать конструкцию это значит дать оценку ее прочности. Каждый
инженерный расчет включает в себя три этапа:
1. Идеализация объекта. На этом этапе выделением наиболее
существенных особенностей реальной конструкции фиксируют расчетную схему.
2. Анализ расчетной схемы. Методами теории выясняются закономерности
расчетной схемы.
3. Обратный переход от расчетной схемы к реальной конструкции.
Формулировка практических выводов, ради которых было предпринято
исследование.
Идеализация объекта состоит в принятии правил-принципов. В
сопротивлении материалов есть три правила-принципа: относительная жесткость
рассматриваемых конструкций, принцип суперпозиции и принцип Сен-Венана.
Первый из указанных принципов основан на том, что в подавляющем
большинстве случаев форма конструкции под действием внешних сил меняется
несущественно. Это позволяет при составлении уравнений равновесия
рассматривать элементы конструкции и всю конструкцию как недеформируемое
тело. Принцип отвердевания или принцип неизменности начальных размеров.
Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между
перемещениями и внешними силами, подчиняется второму принципу, принципу
суперпозиции. Принцип предполагает обратимость процессов нагрузки и
разгрузки. Применимость правила относительной жесткости предопределяет
заранее и применимость правила суперпозиции. Обратное –неверно.
Принцип Сен-Венана утверждает следующее: если в пределах некоторой
области упругого тела приложена система сил, то на расстояниях существенно
превышающих характерные размеры взятой области, напряжения и деформации
практически одинаковы для всех статически эквивалентных систем сил.
Существует целый класс конструкций, для которых проверка прочности и
определение сечения отдельных элементов конструкции невозможно без умеиия
определить деформации, это статически неопределимые конструкции. Такая
ситуация возникает в тех случаях, когда уравнений равновесия меньше чем
неизвестных. Дополнительные уравнения можно получить из общего принципа,
совместности деформаций системы. Задаваясь материалом и размерами
элементов конструкции, по закону Гука деформации выражаются как функции
неизвестных усилий. Далее условия совместности деформаций дают
дополнительные к уравнениям статики соотношения для определения
неизвестных усилий.
D
Рассмотрим конкретный пример: груз Q висит B
C
на трех стержнях. Крайние стержни стальные длины N1
N3
N2
l1 = l2 , а средний - медный длины l3 = l1 cosα .
Допустимое напряжение для стали - [σ c ] , а для меди
N3
[σ м ] . Требуется выбрать сечения стержней. Условие
α
N1
N2
равновесия груза дает
− N1 sin α + N 2 sin α = 0,
A
α
N1 cosα + N 3 + N 2 cosα − Q = 0,
A1
то есть
N1 = N 2 , N 3 + 2 N1 cos α = Q .
Q
Для получения дополнительного уравнения
необходимо обратиться к изучению деформаций конструкции. Так как усилия N1 ,
N 2 равны и крайние стержни из одного материала, то при равных длинах их
удлинения ∆l1 = ∆l 2 также будут одинаковыми, точка A опустится по вертикали
Nl
Nl
вниз и ∆l1 = ∆l3 cosα .
По закону Гука
∆l1 = 1 1 , ∆l3 = 3 3
и,
Eс F1
Eм F3
подставляя эти выражения в условие совместности , получаем
Nl
N3
EF
N1l1
N1
= 3 3 cos α →
=
cos 2 α → N1 = N 3 с 1 cos 2 α .
Eс F1 Eм F3
Eс F1 Eм F3
Eм F3
N1 и N 3 .
Это и есть дополнительное уравнение, связывающее
Итак, в статически неопределимых конструкциях имеет место бесконечно
много систем усилий, для которых выполнены уравнения равновесия (усилий
больше чем уравнений). Условие совместности деформаций выделяет из всех
возможных усилий те, которые имеют место в действительности. Условие
совместности деформаций имеет место и в статически определимых
конструкциях, но там оно выполняется автоматически и не налагает никаких
ограничений на распределение усилий.
Продолжая решение примера, получаем
⎛
⎞
EF
EF
N 3 + 2 N 3 с 1 cos3 α = Q → N 3 = Q ⎜1 + 2 с 1 cos3 α ⎟ ,
Eм F3
Eм F3
⎝
⎠
⎛
⎞
Eс F1
EF
cos 2 α ⎜1 + 2 с 1 cos3 α ⎟ .
Eм F3
Eм F3
⎝
⎠
Из этих решений видно, что усилия зависят не от абсолютных площадей F и
модулей E , а от их отношений. Задаваясь значением n = F1 F2 , получаем усилия
N3
N
N1 , N 3 , и из условий 1 ≤ [σ c ],
≤ [σ м ] находим площади F1 , F3 .
F1
F3
N1 = N 2 = Q
n=
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
F1
F3
F1 = F2
N1 = N 2
N3
необходимая
принятая
F3
1.56
1.60
1.67
1.75
1.83
1.30
1.20
1.11
0.97
0.82
1.56
1.60
1.67
1.75
1.83
1.74
1.80
1.85
1.94
2.06
2.17
2.00
1.85
1.62
1.37
Таким образом, в статически неопределимой системе при заданной
нагрузке можно осуществить много вариантов распределения усилий между
стержнями, меняя соотношение площадей поперечных сечений стержней.
Эти усилия распределяются соответственно их жесткости; чем больше площадь
стержня и модуль упругости материала и меньше длина стержня, тем большую
долю усилия он берет на себя, и наоборот.
EF
N1 = N 3 с 1 cos 2 α
Из выражения
следует, что равнопрочная
Eм F3
конструкция N1 = F1 [σ c ], N 3 = F3 [σ м ] без излишнего запаса при всяком n
EF
[σ ]E
F1 [σ с ] = F3 [σ м ] с 1 cos 2 α → cos 2 α = с м .
возможна при условии
[σ м ]Eс
Eм F3
Другой особенностью статически неопределимых систем
Ao
является их чувствительность к точности изготовления
конструкции. Например, если средний стержень короче чем
∆l3
следует на длину δ , то, чтобы соединить стержни в точке A ,
δ A1
средний нужно растянуть на длину ∆l3 , а крайние сжать на
α
длину ∆l1 .
Условие совместности деформаций
∆l1
Nl
Nl
N1l3
N1l1
∆l
= 33 +
δ = ∆l3 + 1 → δ = 3 3 +
Eь F3 Eс F1 cos α Eм F3 Eс F1 cos 2 α
cos α
A
и условие равновесия усилий
N 3 − 2 N1 cosα = 0
дают
δ=
N 3l3
N 3l3
+
Eм F3 2 Eс F1 cos3 α
⎛
⎞
N3
Eм F3
→ N 3 = δ Eм F3 l3 ⎜1 +
⎟ , N1 =
3
2 cos α
⎝ 2 Eс F1 cos α ⎠
Приведенный расчет показывает, что неточности изготовления влекут за
собой напряжения в стержнях даже при отсутствии внешних воздействий на
конструкцию. Возможность появления так называемых начальных напряжений
является основным свойством статически неопределенных конструкций. Это
явление может быть, как вредным вследствие неравномерности работы различных
стержни, так и полезным вследствие разгрузки стержней при появлении внешней
нагрузки.
Нередки случаи, когда растягиваемый или сжимаемый элемент
конструкции состоит из разнородных материалов, для которых соответственно
F1 , F2 , [σ 1 ], [σ 2 ], E1 , E 2 − площади поперечных сечений, допустимые напряжения,
модули упругости. Возникает вопрос о распределении усилий. Внешняя нагрузка
P уравновешивается усилиями P1 , P2 :
P1 + P2 = P . Недостающее уравнение
Pl
Pl
∆l = 1 = 2 ,
из
получаем из условия совместности деформаций
F1 E1 F2 E2
которого следует, что отношение напряжений равно отношению модулей
FE
P2 = P1 2 2
и далее
σ 1 E2 = σ 2 E1
и
F1 E1
F1 E1 P
E1 P
F2 E2 P
E2 P
P1 =
, σ1 =
, P2 =
, σ2 =
.
F1 E1 + F2 E2
F1 E1 + F2 E2
F2 E2 + F1 E1
E2 F2 + F1 E1
Задаваясь отношением площадей F2 = mF1 , из условия
E1 P
EP E P
F1 =
E1 F1 + F2 E2 = 1 = 2
находим
.
[σ 1 ] [σ 2 ]
[σ 1 ](E1 + mE2 )
В статически неопределенных системах возникают напряжения при
отсутствии внешних нагрузок не только от неточностей изготовления и сборки, но
и от изменения температуры. Повседневные наблюдения показывают, что
конструкции, находящиеся в условиях температурного воздействия, ведет себя во
многом подобно тому, как если бы она была нагружена внешними силами.
Температурные напряжения возникают как следствие температурных деформаций
тела. Например, в стержне с защемленными концами при температуре t1
возникают напряжения при повышении температуры до t 2 . Пусть длина стержня
l , площадь поперечного сечения F , модуль упругости E , коэффициент
температурного линейного расширения α . При нагревании стержень стремится
увеличить свою длину. Опоры, препятствуя этому увеличению, воздействуют на
стержень сжимающими усилиями P . Длина стержня при нагревании остается
Pl
, вызываемое силами P ,
EF
равно по абсолютной величине тому температурному удлинению ∆lt = α l (t 2 − t1 ) ,
которое имело бы место при одном свободном конце: ∆l P = ∆lt → P = αEF (t 2 − t1 ) .
В рассмотренном примере силовое и температурное воздействия
подчиняются принципу суперпозиции.
При высокой температуре и больших ее градиентах меняются
механические характеристики и вообще вид диаграммы испытания. Если
конструкция одновременно с нагревом подвергается еще силовому воздействию,
то в этом случае отделить температурные напряжения от силовых напряжений
уже не удается. Те и другие объединены в единый комплекс напряженного
состояния и вследствие нелинейных соотношений принципу суперпозиции не
подчиняются.
При слабом нагревании для пластичных материалов температурные
напряжения сами по себе не опасны и при расчетах на прочность могут во
внимание не приниматься. Влияние температуры при этом следует учитывать
постольку, поскольку меняются механические характеристики материала
неизменной, это означает, что укорочение ∆l P =
При расчете конструкции на прочность помимо основного условия
прочности σ max ≤ [σ ] можно стать на другую точку зрения. Действительная
нагрузка на всю конструкцию не должна превосходить допускаемой величины
Pmax ≤ Pдоп . Допустимая нагрузка выбирается как некоторая часть той нагрузки,
при которой конструкция перестает правильно функционировать. Для статически
определимых систем оба подхода дают одинаковые результаты. Для статически
неопределимых систем это не так.
Ранее рассматривалась конструкция из трех стержней, несущая нагрузку
Q . Если стержни из одного материала и одинакового сечения имеем
Q cos 2 α
Q
N1 =
= N2 ,
N3 =
.
3
1 + 2 cos α
1 + 2 cos 3 α
Так как N 3 > N1 , средний стержень напряжен больше, чем крайние; площадь
N
Q
F≥ 3 =
.
Для
поперечного сечения выбираем из условия
[σ ] [σ ] 1+ 2 cos 3 α
крайних стержней получаем некоторый запас прочности.
Qпр
.
По способу допустимых нагрузок условием прочности будет Q ≤ Qдоп =
k
Конструкция выполнена из материала, имеющего площадку текучести, и за
предельную нагрузку следует взять груз, соответствующий достижению
состояния текучести для всей конструкции в целом Qпр . Когда нагрузка сделается
(
)
равной Qпр , дальнейший рост деформаций будет протекать без увеличения
нагрузки – конструкция выйдет из строя.
Средний стержень напряжен больше чем крайние и в нем раньше чем в
других напряжение дойдет до предела текучести. Это произойдет при нагрузке
Qт = 1 + 2 cos 3 α Fσ т . Дальнейшее увеличение нагрузки воспринимается
крайними стержнями. Усилие N 3 = Fσ т в среднем стержне не изменяется, он
перестает работать, и конструкция превращается в статически определимую с
нагрузкой
Q − Fσ т .
Эта
нагрузка
уравновешивается
усилиями
Q − Fσ т
N1 = N 2 =
≤ Fσ т в крайних стержнях.
2 cos α
(
)
Q
.
[σ ](1 + 2 cosα )
Метод допустимых нагрузок дает меньшее значение площади поперечного
сечения.
Итак,
Q = F [σ ](1 + 2 cosα ) ≤ Fσ т (1 + 2 cosα ) →
F≥
Достаточно важным является понимание влияние собственного веса на
прочность конструкции. Пусть вертикальный стержень закреплен своим верхним
концом; к нижнему его концу подвешен груз P . Длина стержня l , площадь
поперечного сечения F , удельный вес материала γ и модуль упругости E . В
P + γFx
сечении на расстоянии x от нижнего конца будет напряжение σ ( x ) =
.
F
Таким образом, при учете веса наиболее напряженным будет верхнее сечение
P
P
.
σ max = + γl
и необходимая площадь стержня равна F ≥
[σ ] − γl
F
P + γFx
dx ⎡ P
⎤
∆dx =
dx = ⎢ + γx ⎥ ,
а
полное
Удлинение участка dx равно
EF
E ⎣F
⎦
2
Pl
Gl
⎡P
⎤ dx Pl γl
, где
∆l = ∫ ⎢ + γx ⎥ =
+
=
+
F
⎦ E EF 2 E EF 2 EF
o⎣
l
удлинение стержня dl равно
G = γFl − вес стержня.
Итак, при расчете длинных канатов подъемников, длинных штанг, высоких
сооружений приходится вводить в расчет собственный вес конструкции. В таких
случаях возникает вопрос о целесообразной форме конструкции. Желательно ее
так спроектировать, чтобы во всех ее поперечных сечениях нормальные
напряжения были постоянны. Если рассматривается стержень, то его называют
стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию.
Рассмотрим тот же стержень подверженный сжатию силой P на верхнем
конце. Площадь верхнего сечения выбирается из условия прочности:
P
P
= [σ ] → Fo =
.
Приращение площади dF ( x ) при переходе к
[σ ]
Fo
более низкому сечению x должно воспринимать вес γF ( x )dx элемента dx
dF (x ) γ
γF ( x )dx
= [σ ] →
=
dx .
После интегрирования получаем
dF ( x )
F ( x ) [σ ]
ln F ( x ) − ln Fo =
⎛ γ ⎞
γ
x → F ( x ) = Fo exp⎜⎜
x ⎟⎟ .
[σ ]
⎝ [σ ] ⎠
Относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно
[σ ] → ∆l = ε l = [σ ]l = Pl .
ε=
E
EFo
E
y
Например, Эйфелева башня имеет
форму стержня равного сопротивления.
В технике встречается еще один
вид
растянутых
элементов,
при
определении
прочности
которых
важное значение имеет собственный
вес. Это – так называемые гибкие нити.
Таким термином обозначаются гибкие
элементы в линиях электропередач, в
канатных дорогах, в висячих мостах и
h
f1
B
∆
f2
A
∆
а
x
O
l
b
x
других сооружениях.
Пусть гибкая нить постоянного сечения, нагруженная собственным весом,
подвешена в двух точках, находящихся на разных уровнях. Горизонтальная
проекция расстояния между опорами, обозначаемая l , носит название пролёта.
Обычно провисание нити невелико по сравнению с расстоянием между
точками её крепления. Вес нити равномерно распределен по её длине, однако,
приближенно можно считать, что интенсивность нагрузки q равномерно
распределена по длине пролета. Такое допущение
T
значительно упрощает расчет и делает его приближенным.
q
α
Начало системы координат Oxy поместим в самой нижней
y
H
точке провисания нити. Ось Ox будет касательной и,
очевидно горизонтальна. Двумя сечениями в начале
x
O
координат и на расстоянии x от начала выделим часть
нити. Составим уравнения равновесия выделенной части:
x
qx 2
− H + T cosα = 0, H ⋅ y − qx ⋅ = 0, → y =
.
2
2H
Кривая провисания нити является параболой. Для ординат точек подвеса имеем
qb 2
qa 2
, f2 =
.
Когда обе точки подвеса находятся на одном
f1 =
2H
2H
l
ql 2
уровне, f1 = f 2 = f , a = b =
и H=
.
Величина стрелы провисания
8f
2
b
нити f зависит от её длины
L=
∫
−a
2
b
2
⎛ dy ⎞
⎛ qx ⎞
1 + ⎜ ⎟ dx = ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx ≈
⎝ dx ⎠
⎝H⎠
−a
⎛
⎛ 8 f2⎞
f2 ⎞
3l (L − l )
32 f 2 3
3
⎜⎜1 +
⎟. Итак,
f =
.
≈ ∫ ⎜⎜1 + 32 4 x 2 ⎟⎟dx = (b + a ) +
+
=
b
a
l
4
2 ⎟
8
3 l
l
⎠
⎝ 3 l ⎠
− a⎝
Вертикальная составляющая реакции каждой из опор равна половине
суммарной нагрузки на нить, то есть
ql 2 .
Полная реакция равна
b
(
2
)
2
2
16 f 2
⎛ ql ⎞ ⎛ ql ⎞
⎟⎟ = H 1 + 2
и условие прочности для гибкой
T = ⎜ ⎟ + ⎜⎜
l
⎝ 2 ⎠ ⎝8f ⎠
T
σ = ≤ [σ ].
нити имеет вид
F
Если опоры находятся на разной высоте f 2 − f1 = h ≠ 0 , вычисления
усложняются. Кроме того, действительная кривая провисания нити, цепная линия,
значительно отличается от параболы при длине нити значительно превышающей
пролет, и полученные выше формулы, строго говоря,
неприменимы. Точные подсчеты показывают, что значение
P
погрешности в величине натяжения не превосходят 0,3% , при
f
1
f
1
<
, составляет уже 1,3% при
и превосходит 5%
<
I
pα
l 10
l 20
n
f 1
α
= .
при
l 5
До сих мы рассматривали напряжения растяжения или
сжатия на сечениях перпендикулярных к оси стержня. Но
правильно оценить опасность, угрожающую прочности
стержня, можно лишь зная полностью его напряженное
состояние. Рассмотрим напряжения в сечении, составляющем
II
II
P
P
угол α с осью стержня. Площадь сечения Fα с нормалью n , связана с площадью
сечения Fo , перпендикулярного оси стержня связана соотношением
Fα cosα = Fo .
Тогда из условия равновесия выделенной части
P P cosα
P
стержня имеем
=
= σ o cosα ,
где
σo =
− нормальное
pα =
Fo
Fα
Fo
напряжение по площадке перпендикулярной к растягивающей силе. Разложим
напряжение pα на нормальное напряжение σ α и касательное напряжение τ α :
σ α = pα cos α = σ o cos 2 α ,
.
τ α = pα sin α = σ o cos α sin α
pα
σα
α
τα
Относительно знаков напряжений принимают следующее
правило: растягивающее
нормальное напряжение считают
положительным, а сжимающее – отрицательным; касательное
напряжение положительно, если его направление совпадает с
внешней нормалью, повернутой на 90D по часовой стрелке.
На любой площадке мы имеем дело с двумя видами напряжений, которым
соответствуют два вида деформаций. Этим деформациям соответствуют два вида
разрушений материала: путем отрыва и путем сдвига. Из выражений для σ α ,τ α
заключаем, что наибольшее нормальное напряжение max σ α = σ o действует в
рассматриваемом случае по площадкам, перпендикулярным к оси стержня
α = 0 D ; наибольшее касательное напряжение max τ α = σ o 2 действует по
площадкам, составляющим угол α = 45D с направлением оси стержня, и равны
половине наибольших нормальных напряжений. Площадки, на которых нет
касательных напряжений, называются главными; нормальные напряжения,
действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями. В
рассмотренном примере главными будут площадки с углом α = 0 D и α = 90 D .