Задание 1. Классическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формула полной вероятности. Из 15 мальчиков и 10 девочек составляется наугад группа из 5 человек. Какова вероятность того, что в нее попадут 3 мальчика и 2 девочки? Решение. m C153 C102 25! 25! 25 24 23 22 21 20! 5 P ; C 53130 25 5 n C25 5! 25 5 ! 5!20! 1 2 3 4 5 20! 15! 15 14 13 12! 455; 3!12! 1 2 3 12! 455 45 P 0.385 52140 C153 C102 10! 10 9 8! 45; 2! 8! 1 2 8! Задание 2. Повторные независимые испытания. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется три бракованных. Решение. Поскольку число испытаний велико, а вероятность их появления мала для вычисления вероятности событий используем локальную теорему Лапласа. Pn k 1 ( x) n pq Здесь 2 1 x2 k n p n 500; k 3; p 0.008; q 1 p 0.992; ( x) e ; x 2 n pq Задание 3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Задан закон распределения случайной величины Х. Найти: 1) математическое ожидание М(Х), 2) дисперсию D(X), 3) среднее квадратическое отклонение σ. Х 21 25 28 31 р 0,1 0,4 0,2 0,3 Решение. Задание 4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(х); 3) дисперсию D(X) 0, при х≤0, 1/8х2 + 1/4х при 0 < x ≤ 2, F(x) = 1 при х > 2 Решение. Дифференциальная функция распределения равна 0, x 0; x 1 f ( x) F ( x) , 0 x 2; 4 4 x 2. 0, Математическое ожидание и дисперсия: 2 2 x3 x 2 1 18 x 1 7 2 M ( X ) x f ( x)dx x dx x x dx 2 ; 40 4 4 6 3 2 0 43 0 0 2 2 1 49 1 49 x 1 D( X ) x f ( x)dx M ( X ) x 2 dx x 3 x 2 dx 4 4 4 36 4 36 0 0 0 4 4 2 2 2 2 x 4 x3 49 1 16 8 49 11 4 3 36 4 4 3 36 36 0 Задание 5 Дан ряд распределения. Построить гистограмму частот, найти структурные средние: моду и медиану, найти числовые характеристики статистического распределения: арифметическую среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, найти асимметрию и эксцесс. Сделать выводы. Проверить эмпирическое распределение на нормальность на основе критерия Пирсона (Х2) Урожайность с куста картофеля (в кг) Хi Xi+1 ni 33,1 5 3,13,2 5 3,23,3 11 3,33,4 18 3,43,5 22 3,53,6 20 3,63,7 10 3,73,8 5 3,83,9 4 Решение. Построим вариационный ряд и гистограмму частот Xi 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Интервалы 3 - 3.1 3.1 - 3.2 3.2 - 3.3 3.3 - 3.4 3.4 - 3.5 3.5 -3.6 3.6 - 3.7 3.7 - 3.8 3.8 - 3.9 Итого Xi+1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Xs 3.05 3.15 3.25 3.35 3.45 3.55 3.65 3.75 3.85 n 5 5 11 18 22 20 10 5 4 100 n*Xs 15.25 15.75 35.75 60.3 75.9 71 36.5 18.75 15.4 344.6 n*Xs2 46.513 49.613 116.19 202.01 261.86 252.05 133.23 70.313 59.29 1191.1 Накопл. Частоты W 0.05 0.05 0.11 0.18 0.22 0.2 0.1 0.05 0.04 1 5 10 21 39 61 81 91 96 100 Здесь Xsi - середины интервалов Гистограмма частот 25 22 20 18 15 20 11 10 5 5 5 10 5 4 0 3 - 3.1 3.1 - 3.2 3.2 - 3.3 3.3 - 3.4 3.4 - 3.5 3.5 -3.6 3.6 - 3.7 3.7 - 3.8 3.8 - 3.9 Структурные средние: мода – наиболее часто повторяющегося значения признака Mo X Mo X f Mo f Mo 1 2 f Mo f Mo 1 f Mo 1 где ХMo – нижнее значение модального интервала; fMo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале; fMo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; fMo+1 – то же для интервала, следующего за модальным; ∆X – величина интервала изменения признака в группах. Mo 3.5 0.1 22 18 3.567 2 22 18 20 медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части f f Me1 Me X Me X 2 f Me , где XMe – нижняя граница медианного интервала; ∆X – его величина (размах); ∑f/2 – половина от общего числа величин; 1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до f Me начала медианного интервала; fMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале. Me 3.5 0.1 50 39 3.68 61 Найдем выборочное математическое ожидание. x n Xs 344.6 3.446 n 100 Найдем выборочную дисперсии и среднее квадратичное отклонение. Dx n x n 2 x2 1191.1 3.4462 0.036; Dx 0.19 100 Коэффициент вариации есть отношения среднего отклонения (линейного или квадратичного) к средней величине. Ë ëčí ĺ éí ű é , ęâŕ äđŕ ň č÷í ű é x x где Ë Xs x n n i i 0.147 i 0.147 0.19 0.043, 0.055 3.446 3.446 Найти асимметрию и эксцесс Xs x 3 n 3 i Xs x 4 n i 4 ni 0.00027 - третий центральный момент. ni 0.003 - четвертый центральный момент. Коэффициент асимметрии довольно мал и отрицателен, что указывает на высокую степень симметрии рассматриваемого распределения и незначительное его смешение вправо. Эксцесс - мера остроты пика распределения случайной величины. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий. В нашем случае тик распределения тупой. Проверим гипотезу о нормальности рассматриваемого распределения случайных величин и проверим ее по критерию Пирсона. Посчитаем теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый интервал по формуле X x X x Pi i 1 i , ( x) ô óí ęöč˙ Ëŕ ďëŕ ńŕ Умножим, полученные вероятности на объем выборки N 100 и получим теоретические частоты PN . Вычислим наблюдаемый критерий Пирсона по формуле i 2 í ŕ áë 9 ni PN i i 1 PN i и сравним его с критическим ęđ2 0,01; r 9 2 7 18.5 ni Pi N PN i ni 2.428 6.279 12.337 18.42 20.899 18.02 11.807 5.879 2.224 5 5 11 18 22 20 10 5 4 2.725 0.261 0.145 0.010 0.058 0.218 0.277 0.131 1.418 í2ŕ áë 5.241 Pi N 2 Поскольку í2ŕáë ęđ2 нет основания отвергать гипотезу о нормальном законе распределения исследуемой случайной величине. Гистограмма эмпирических частот и кривая теоретических частот 25 22 20 20 18 15 11 10 10 5 5 5 5 4 0 3 - 3.1 3.1 - 3.2 3.2 - 3.3 3.3 - 3.4 3.4 - 3.5 3.5 -3.6 3.6 - 3.7 3.7 - 3.8 3.8 - 3.9 Задание 6. Проверка статистических гипотез Используются два вида удобрений: I и II. Для сравнения эффективности были попарно выбраны 20 участков равной площади так, чтобы пару составили участки, однородные по плодородию. Десять участков были обработаны удобрением I, а десять, парных им, удобрением II. На соответствующих парах участков получили следующий урожай: I II 8,0 5,6 8,4 7,4 8,0 7,3 6,4 6,4 8,6 7,5 7,7 6,1 7,7 6,6 5,6 6,0 5,6 5,5 6,2 5,0 При уровне значимости 5% проверить гипотезу о различном влиянии использования удобрения I и II. Решение. Эффективность удобрения зависит, очевидно, от даваемой ими дисперсии Выдвинем нулевую гипотезу H 0 : D( X ) D(Y ) и альтернативную H1 : D( X ) D(Y ) Построим вспомогательную таблицу № Xi Yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 8.4 8 6.4 8.6 7.7 7.7 5.6 5.6 6.2 72.2 5.6 7.4 7.3 6.4 7.5 6.1 6.6 6 5.5 5 63.4 Сумма Xi2 Yi2 64 31.36 70.56 54.76 64 53.29 40.96 40.96 73.96 56.25 59.29 37.21 59.29 43.56 31.36 36 31.36 30.25 38.44 25 533.22 408.64 Исправленные выборочные дисперсии равны S x2 2 1 1 1 1 2 X X 533.22 72.22 1.326; i i N 1 N 10 9 S y2 2 1 1 1 1 2 Y Y 408.64 63.22 0.743 i i N 1 N 10 9 Вычислим наблюдаемое значение критерия Фишера Fí ŕ áë S x2 1.326 2 1.786 S y 0.743 Число степеней свободы равно f1 f 2 N 1 10 1 9 . Строим двухстороннюю критическую область при уровне значимости 0.05 . Fkp 0.025,9,9 4.03 Поскольку Fí ŕ áë Fkp данные наблюдений не позволяют отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве дисперсий и считать различным влияния разных удобрений. Оценим математические ожидания двух выборок по критерию Стьюдента. Выдвинем гипотезы H 0 : M ( X ) M (Y ); H1 : M ( X ) M (Y ) . Посчитаем наблюдаемое значение критерия. Tí ŕ áë x Y N 1 S x2 N 1 S y2 N 1 7.22 6.34 3 1.935 9 1.326 9 0.743 Tkp 0.05, f 10 10 2 18 2.1 Так как Tí ŕ áë Tkp нет основания отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних. Следовательно влияние удобрений одинаково.