Лекция №12 Тех Мех_2015

Тема 7
Расчет прочности и жесткости простых балок.
Лекция №12
12.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
методом вырезания узлов и элементов.
12.2 Проверка прочности балки из хрупкого материала
12.3 Определение допустимой нагрузки.
12.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
методом вырезания узлов и элементов.
Пример 12.1
a = 3.9м, b = 0.9м, c = 1.2м, q1n  15 кН/м , q 2 n  12.5 кН/м ,
Fn  10 кН, m n  5кНм,  f  1.2 ;
сталь: R n  250 МПа, E  200 ГПа,   1.05 ;
древесина: R n  24 МПа, E  10 ГПа,   2.0 .
Расчетные нагрузки:
q1  15  1.2  18 кН/м, q 2  12.5  1.2  15 кН/м, F  10  1.2  12 кН ,
m  5  1.2  6 кНм.
Расчетная схема балки приведена на рис. 12.1
Рис.12.1 Расчетная схема балки
Вычисляем опорные реакции. Из уравнений равновесия получим
 0, 18  3.9  1.95  6  R B  4.8  15  1.2  5.4  12  6  0 , R B  32.52 кН;
 mA
 m B  0,
R A  4.8  18  3.9  2.85  6  15  1.2  0.6  12  1.2  0, R A  43.68 кН.
Проверка:
 y  0,  R A  R B  12  18  3.9  15  1.2  43.68  32.52  12  88.2  88.2  88.2  0.
На рис.12.2 показана расчетная схема балки, в которой опорные устройства удалены, а
их действие заменено опорными реакциями.
Начало координат примем на левом конце балки. Построение эпюр Q и M
будем выполнять по участкам загружения, которых в рассматриваемом примере три.
Граничные точки между участками будем называть узловыми или просто узлы. В качестве
узловых принимаются точки приложения сосредоточенных нагрузок (сил и пар), начало
или конец распределенной нагрузки, начало или конец балки. Узлы на расчетной схеме
занумеруем цифрами 0, 1, 2, 3, а участки между узлами (элементы) цифрами 1,2,3 с
прямоугольным окаймлением (рис.12.2).
Построение эпюр усилий выполним используя уравнения равновесия узлов и
элементов балки.
Рис.12.2 Балка с нумерацией узлов и участков
Проведем сечение вблизи точки 0 справа и выделим узел 0. Узел должен
находится в равновесии под действием внешних (сосредоточенных) и внутренних
н
н
сил и моментов (рис.12.3). На рис.12.3 через Q1 , M 1 обозначены поперечная сила и
изгибающий момент в начале первого элемента (участка) балки.
н
Составим уравнения равновесия узла:
Y  0 , 43,68  Q1  0 ,
Таким образом, усилия в начале
Q1н  43,68кН ; m0  0 , M1н  0 .
первого участка известны, их необходимо проставить на эпюрах (рис.12.10) .


0  x  3.9 м
Рис.12.3 Узел 0
Рис.12.4 Элемент 1-го участка
Выделим элемент балки в пределах первого участка двумя сечениями: первое
правее точки 0, а второе в произвольном месте первого участка (рис.12.4). Второе сечение
отмечено координатой 0  x  3.9 м . В начале элемента балки поперечная сила и
н
н
изгибающий момент известны: Q1  43,68кН ; M 1  0 . Вдоль элемента на
длине x приложена распределенная нагрузка интенсивностью 18кН/м. На правом конце
Q1 (x) и изгибающий момент M1 (x).
Y  0 , 43,68  18  x  Q1(x)  0 ,
неизвестные внутренние усилия поперечная сила
Составим уравнение равновесия элемента:
Q1(x)  43,68  18  x . На концах участка функция Q1 ( x) меняет знак, т.е.
Q1н  Q1 (0)  43.68kH , Q1k  Q1 (3,9)  26.52kH . Найдем положение
x1*  2.427 м.
Ординаты проставляем на эпюре. Второе уравнение равновесия:  mс  0 ,
x
x
43,68 x  18  x   M 1(x)  0 , M 1 (x)  43,68 x  18  x  . Проверяем
2
2
сечения, в котором
Q1( x)  0.
Имеем:
43.68  18  x  0
и
дифференциальную зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой
M1 ( x)  Q1 ( x) ,
выполняется. Значения изгибающего момента в характерных
M1 (1.95) = 50.95кН  м; M1 ( x1*  2.427)  53.00 кН  м ;
M1k  M1 (3.9)  33.46 кН  м . Строим эпюру изгибающих моментов на первом
точках:
участке (рис. 12.10)
Вырезаем узел 1 (рис.12.5). Показываем внутренние усилия
в элементах,
прилегающих к узлу и приложенную в узле
пару сил 6 кНм. Слева от узла
Q1k  26.52kH и M1k  33.46 кН  м . Справа от узла в сечении действуют:
Q2н и изгибающий момент M 2н в начале 2-го участка.
равнения
равновесия
узла:
1: Y  0 ,
26,52  Q2н  0 ,
поперечная сила
Составим
Q2н  26,52кН ;
 m1  0 , 33, 46  6  M 2н  0 , M 2н  27,46кНм
. Таким образом, усилия в начале 2-го участка известны, проставляем их значения на
эпюрах.
Выделим элемент балки в пределах 2-го участка двумя сечениями: первое правее
точки 1, а второе в произвольном месте 2-го участка 3.9 м  x  4.8м (рис.12.6).
3.9 м  x  4.8 м
Рис.12. 6 Элемент 2-го участка
Рис.12.5 Узел 1
Составим
уравнение
равновесия
элемента:
Y  0 ,
26,52  Q2 (x)  0 , Q2 (x)  26,52 кН, Q2к  Q2 (4,8)  26,52кН ,
27,46  26,52  (x  3,9)  M 2 (x)  0 ,
 mС  0 ,
M 2 (x)  27,46  26,52  (x  3,9) .
Проверяем
выполняется.
M 2 ( x)  Q2 ( x) ,
M 2k  M 2 (4,8)  3,59кНм .
дифференциальную
Значение
на
конце
Вырезаем узел 2 (рис.12.7). Показываем внутренние усилия
прилегающих к узлу и приложенную в узле внешнюю силу 32,52 кН.
зависимость
участка
в элементах
Составим равнения равновесия узла 2:
Q3н  6,00кН ,
m
2
н
Y  0 , 26,52  32,52  Q3  0 ,
н
 0 , 3,59  M 3
 0 , M 3н  3,59кНм .
Таким
образом, усилия в начале 3-го участка известны.
Выделим элемент балки в пределах 3-го участка двумя сечениями: первое правее
точки 2, а второе в произвольном месте 3-го участка 4.8 м  x  6.0м (рис.12.8).
Составим
уравнение
равновесия
элемента:
Y  0 ,
6  15  ( x  4,8)  Q3 (x)  0 ,
Q3к  Q3 (6)  12 кН. По концам участка
Q3 (x)  6  15  ( x  4,8) ,
н
к
функция Q 3 ( x) меняет знак Q3  6.0kH , Q3  12.0kH . Найдем положение
сечения, в котором
Сумма
Q 3 ( x)  0
моментов
всех
6  15  ( x  4,8)  0 и x3*  5.2 м.
относительно
точки
с :  mС  0 ,
Имеем:
сил
( x  4,8) 2
3,59  6  ( x  4,8)  15 
 M 3 (x)  0 ,
2
4.8 м  x  6.0 м
Рис.12.7 Узел 2
Рис. 12.8 Элемент 3-го участка
( x  4,8)2
. Проверяем,
M 3 (x)  3,59  6  ( x  4,8)  15 
2
дифференциальную зависимость M  3 ( x)  Q3 ( x) , выполняется. Значения
изгибающего момента в характерных точках 3-го участка: M 3 (4.8)  3,59кНм ;
M 3 (x*3  5,2)  4,8кНм ; M 3к  M 3 (6)  0 . Строим эпюры (рис.12.10).
Заметим, что при построении эпюр для узла 3 уравнения равновесия не
составлялись. Эти уравнения служат для проверки. Узел должен находиться в
равновесии под действием внешних (сосредоточенных) и внутренних искомых сил и
моментов (рис.12.9).
Y  0 ,
12  12  0 .
 m3  0 , 0=0.
Рис12..9 Узел 3
12.2 Проверка прочности балки из хрупкого материала
Пример 12. 2. [1]. Проверить прочность балки таврового сечения (рис.12.11),

изготовленной из чугуна. Расчетное сопротивление на растяжение R  80МПа ,

расчетное сопротивление на сжатие R  160МПа .
Рис.12.11 Балка таврового сечения
Решение. Определяем опорные реакции:
m
 0 , 4  RB  2  P1  6  P2  0 , RB  0.5  P1  1.5  P2 ,
m
 0 , 4  RА  2  P1  2  P2  0 , RА  0.5  P1  0.5  P2 ,
A
RB  0.5  70  1.5  28  35  42  77 кН ;
В
RА  0.5  70  0.5  28  35  14  21кН .
Строим эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mz (рис.12.12).
Рис.12.12 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Вычисляем статический момент тавра относительно вспомогательной оси z
S z  12  4  22  4  20  10  1856см3 .
(рис.5а)
Площадь
сечения
A  12  4  4  20  128см2 . Координата центра тяжести yс 
Главный центральный момент инерции
S z 1856

 14,5см .
A 128
43  12
203  4
2
Jzc 
 12  4  7,5 
 4  20  4,52  7050см 4 .
12
12
Координаты точек сечения наиболее удаленных от
y1  14,5см , y2  9,5см .
нейтральной оси Z С :
Моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси z c для нижних и
н
в
верхних волокон Wz , Wz :
Wzн 
Jzc 7050
Jz
7050

 486см3 , Wzв  c 
 742см3
hн 14,5
hв
9,5
Рис. 12.13 Эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях
При проверке прочности балки из хрупкого материала опасными являются
сечения с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по
абсолютной величине отрицательным изгибающим моментом. В данной задаче таковыми
являются сечение x  2 м , Mz (2)  42кНм и сечение x  4 м , Mz (4)  56кНм .
Строим эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях (рис.12.13,б).
1) Сечение
x  4 м с наибольшим по абсолютной величине изгибающим
моментом. Нормальные напряжения в точках 1 и 2:
Mz (4)
56  100
кН
 y1 
14,5  11,52 2  115,2МПа. ,
Jzc
7050
см

 x1  115,2МПа  R  160МПа , прочность обеспечена.
Mz (4)
56 100
 x2 
 y2 
(9,5)  75,5МПа  R   80МПа ,
Jzc
7050
 x1 
прочность
обеспечена.
2) Сечение x  2 м с наибольшим положительным изгибающим моментом.
Нормальные напряжения в точках 1 и 2:
Mz (2)
42 100
 x1 
 y1 
14,5  86,4МПа  R   80МПа , прочность не обеспечена.
Jzc
7050
 x2 
Mz (2)
42  100
 y2 
(9,5)  56,6МПа.  x 2  56,6МПа  R   160МПа ,
Jzc
7050
прочность обеспечена.
12.3 Определение допустимой нагрузки.
Пример12.3 [1]. Для стальной балки указанного на рис.12.14, б сечения определить
из условия прочности по методу предельных состояний наибольшую допустимую
нагрузку q . Построить эпюру  x для опасного сечения. В расчетах принять
R  210МПа ; ( с  1) -коэффициент условий работы.
Решение. Определяем опорные реакции.
M  0 ,
M  0 ,
Y  0 ,
A
B
q  5  2,5  2q  1  5,5  5RB  0 , RB  4,7 q ;
q  5  2,5  2q  1  0,5  5 RА  0 , RA  2,3q ;
5  q  2q 1  2,3q  4,7q  0 .
Рис.12.14
Строим эпюры Qy и M z (рис.4.12,а). Определяем экстремальное значение изгибающего
момента в пролете. Из подобия треугольников эпюры Qy на 1-ом участке находим
2,3q
x0
q 2
q
x0  2,645q .
 2,7
5 x0 , x0  2,3 м , M max  M (2,3)  RA  x0 
2
Определяем положение центра тяжести сечения и моменты сопротивления для
верхних и нижних волокон балки (рис.12.14,б). Данные для сечения прокатного швеллера
№30 берем из сортамента.
S z2  30 1  (15,5)  465см3 , y0  
465
 4,19см ;
2  40,5  30  1
30  13
 30  (11,31) 2 )  16882см 4 ;
12
16882
16882
Wв 
 1429см3 , Wн 
 880см3 .
11,81
19,19
J z  2  (5810  40,5  4,192 )  (
Поскольку материал балки одинаково сопротивляется растяжению и сжатию
( R  R   R) , то достаточно обеспечить выполнение условия прочности в сечении
балки с наибольшим изгибающим моментом (сечение С) в точках поперечного сечения
3
наиболее удаленных от оси z (точки на уровне нижних волокон) W  Wн  880см .

M
x 
рас
W
 R,
M рас  M max  2,645q  W  R .
Отсюда находим допустимую нагрузку
W  R 880  106  210  103
кН
q

 69,9
.
2,645
2,645
м
Максимальный изгибающий момент
M max  2,645  q  2,645  69,9  184,9кНм
Определяем нормальные напряжения в крайних волокнах.
 н  MW 
max
н
 в   MW
max
в
184,9 3
10  210МПа ,
880
184,9 3

10  129МПа .
1429
Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена. Эпюра  x в сечении С
приведена на рис.12.14, в.
Литература
1.Атаров Н.М. Сопротивление материалов: учебное пособие / Н.М. Атаров [и др.] ; М-во
образования и науки. Росс. Федерации. ФГБОУ ВПО «Моск. гос. строит. ун-т». Ч.1.Москва: МГСУ, 2012,-64 с.