свойства модели общего старта в коалиционных ипотечных

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В МОДЕЛИ ОБЩЕГО СТАРТА КОАЛИЦИОННЫХ
ИПОТЕЧНЫХ ПРОЕКТОВ
Гасанов И.И., Байрамов О.Б.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, г. Москва
fereshko@yandex.ru
Ключевые слова: коалиция заёмщиков, строительный кооператив, активы, обязательства, ссудносберегательная касса, ипотечное кредитование, очередь, самофинансирование, общий старт,
синергетический эффект.
Введение
В работах [1] исследуется финансовая модель коалиции ипотечных заёмщиков в форме
динамической системы. Конкретный вид модели для случая, когда все участники начинают своё
участие в Проекте в один и тот же момент времени, приводится в [2]. Здесь приводится схема
доказательства Утверждения о синергетическом эффекте коалиционного объединения ипотечных
заёмщиков и результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующих этот эффект.
Модель имеет вид:
At  (U tC , H tD ) , Ot  (U t D , H tC ) , Et  (U tC ,U t D ) e  H tD  H tC , H nD1  H nD  (1 0.01  n ) ,
U kD,n1 U kD,n (1 0.01u k ,n ) , U kC,n1 U kC,n (1 0.01 vk ) , H nC1  H nC   (1 0.01  n ) , U kD,n U kD,n VkD,n ,
U kC,n (n) U kC,n VkC,n ,
Gn  (Vn0,D ,VnD ,VnC ,Cn ) e  H nC   H nD ,
H nC   max[ 0;Gn ], n 1,2,... ,
H nD  max[ 0;Gn ], n 1,2,... ,
где At вектор активов, O t вектор обязательств, текущий основной капитал кооператива равен
, Et  At  Ot , U t D – вектор внутренних депозитов, (образованных суммой периодических взносов,
досрочных изъятий и начисленных процентов), H tC – вектор невыплаченных основных сумм
внешних кредитов кооператива, H tC – вектор невыплаченных основных сумм внешних кредитов
кооператива, U tC – вектор невыплаченных основных сумм внутренних кредитов участников, а
H tD – вектор внешних депозитов кооператива, uk , n – внутренние ставки по депозиту,  k –
внутренние ставки по кредиту. K n  K n  0, n 1,2,..., N ., K t – это сумма наличных средств в
кассе и безналичных денежных средств на расчетных счетах до востребования.
Здесь неопределенные факторы выражаются внешними ставками  n ,  n и ценами на жилье
Cn , а управлением является выбор внутренних ставок по депозиту uk , n и внутренних ставок по
кредиту  k .
1. Синергетический эффект
Если все участники начинают своё участие в Проекте в один и тот же момент времени и
одинаковы, то их участие эквивалентно участию в Проекте без организации Коалиции. Если же их
вклады U k различны, появляется эффект возможного уменьшения внутренней ставки кредита, что
отмечается выше и демонстрирует нижеприведенный пример.
Эксперимент 1
  5% ,   10% , C  16
u  5% , d  0.5 , U k  0.1, 0.22  ,
V k  U k , v  9%
N  30 , N  60 , N  90 , N  120
Конкретный выбор U k определялся, как случайная выборка равномерного распределения
на интервале 0.1, 0.22  , N  120
700
600
Активы
500
N=30
N=60
400
N=90
300
N=120
200
100
0
0
50
100
Время
150
700
Обязательства
600
500
N=30
N=60
400
N=90
300
N=120
200
100
0
0
50
100
Время
150
20
Собственный капитал
18
16
14
N=30
12
N=60
10
N=90
8
N=120
6
4
2
0
0
50
100
Время
150
200
Как следует из приведенного расчёта и динамики собственного капитала, имеется
достаточный запас для уменьшения ставки внутреннего кредита.
1. Схема доказательства синергетического эффекта
E1  0 и
выполняются условия между депозитными и кредитными ставками. Тогда при ставках un  u для
всех n  1,..., N , существуют такие внутренние ставки    , при которых собственный капитал
кооператива EN  0 .
Утверждение
Пусть для рассматриваемого строительного кооператива
Доказательство. Так как, в силу естественных ограничений ставка процент по депозиту не
превосходит ставки внешнего кредита,    , то, очевидно, что  n , взвешенная ставка вкладов Wn
и H nD Wn , при любых n не меньше чем  . В те периоды n , когда кооператив кредитует
строительство, в силу тех же естественных соображений n  u .
Предположим, что    . Пусть n1  n D – первый операционный период, когда кооператив
кредитует строительство. Так как n   при любых n , то в силу леммы 3, En1  0 ,
C
n1
D
En11  En1  0.01( U
Так как при n n
 e  u U
D
n1
 e  n1  H
вектор кредитов U
En1 1  En1  0.01 (u  ( U
D
n1
e  H
D
n1
D
n1
C
n
и
).
 0 , то
)  ( n1  u ) H nD1  ) 
 0.01 (u  En1  ( n1  u ) H nD1  ) .
Поскольку  n1  u , а H nD1  Wn1  0 , то из последнего неравенства следует, что En11  0 .
Тогда, согласно лемме 3 [2], En  En11  0 для всех n  n1  1 , и, значит, EN  0 . Из этого следует,
что найдется такое значение  0   , при котором EN  0 , и тогда EN  0 для любой ставки  ,
такой что  0     . ■
Замечание. По сути, если для Коалиции заёмщиков, формируемой в динамике [1], удается
понизить ставку  относительно  за счет того, что кооператив получает доход от использования
вкладов участников со ставкой u для выдачи внутренних кредитов со ставкой  u , то в случае
строительного кооператива, дополнительный доход дает использование вкладов участников со
ставкой u для кредитования строительства по ставке   u .
Литература
1.
2.
Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием //
Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2007. 60с.
Гасанов И.И., Ерешко А. Ф. Свойства модели общего старта в коалиционных ипотечных проектах.
Пятая международная конференция "Управление развитием крупномасштабных систем". MLSD’2011.
Доклады. ИПУ РАН, 3-5 октября 2011г. (настоящий сборник).