- pedportal.net

ПЛАН УРОКА
Организационный момент – 2 мин.
Тест с самопроверкой 7 мин.
Сообщение об истории развития тригонометрии – 3 мин.
Систематизация теоретического материала: три подраздела по 2, 4 и 7 мин. соответственно.
Дифференцированная самостоятельная работа – 12 мин.
Итог урока 3 мин.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ход урока
1 Организационный момент.
Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) однажды заметил: « Учиться можно только
весело…Чтобы переваривать знания надо поглощать их с аппетитом..». Так вот, давайте сегодня
на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать
знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.
Сегодня у нас заключительный урок по теме « Решение тригонометрических уравнений» и мы
повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные типы, виды, методы решения и приемы
решения тригонометрических уравнений.
Перед вами стоит задача – показать свои знания, умения по решению тригонометрических
уравнений.
2. Тест с самопроверкой.
Я считаю, что основным преимуществом такой формы контроля является его
экономичность, а также технологичность проверки выполнения. В частности, на результат
проверки не влияют умения учащихся создавать письменный текст, поскольку от них
требуется не более чем дать правильный ответ, или просто выбрать правильный ответ из
нескольких предложенных.
Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений.
Цель: Контроль ( самоконтроль) знаний и приведение в систему знаний по простейшим
тригонометрическим уравнениям.
Работа проводится в двух вариантах. Вопросы читаются в размеренном темпе, дважды
повторяя каждый вопрос. Учащиеся отвечают на листочках, через копирку.
Вариант I
1. Каково будет решение уравнения cos x = a при | а | >1 ?
2. При каком значении а, уравнение cos x= a имеет решение?
3. Какой формулой выражается это решение ?
4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a ?
5. В каком промежутке находится arcсos a ?
6. Каким будет решение уравнении cos x= 1?
7. Каким будет решение уравнения cos x= -1?
8. Каким будет решение уравнения cos x = 0?
9. В каком промежутке находится arccos a ?
10. Какой формулой выражается решение уравнения tgx=а?
11. Чему равняется arccos(-a)?
1.
2.
3.
4.
5.
Вариант II
Каково будет решение уравнения sin x =a при | а | > 1?
При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
На какой оси откладывается значение а, при решении уравнения sinx=a?
На каком промежутке находится arccos a?
6. Каким будет решение уравнения sinx=1?
7. Каким будет решение уравнения sinx= -1?
8. Каким будет решение уравнения sinx=0?
9. В каком промежутке находится arccosа?
10. Какой формулой выражается решение уравнения ctgx =a?
11. Чему равняется arcsin(-a)?
Тест окончен, собираются листочки с работой и открываются правильные ответы. Учащиеся
отмечают на оставшихся листах неправильные ответы, и количество правильных ответов
заносят в лист учета знаний.
№№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Вариант I
Вариант II
Нет решения
Нет решения
|а| ≤1
|а|≤1
X= ±arccos a=2πn, n  Z X=(-1)narcsina + πn, n  Z
На оси Ох
На оси Оу
0; Ï 
 Ï Ï 
 2 ; 2 
х= 2πn, n  Z
Ï
х= + 2πn, n  Z.
2
х= π+2πn, n  Z.
Ï
х= - +2πn, π  Z.
2
х= πn, n  Z.
Ï
х= +πn, n  Z.
2
[O;π]
 Ï Ï 
 2 ; 2 
x=arctg a+ πn, n  Z
π- arcos a
x= arcctg a+ πn, n  Z
- arcsin a
3. Сообщение.
Сообщение об истории развития тригонометрии ( выступает подготовленный ученик).
Такие сообщения содействуют воспитанию интереса к математике и ее приложениям, а
также расширяют кругозор учащихся.
4. Систематизация теоретического материала.
4.1 Устные задания, на определение вида простейших тригонометрических уравнений.
Работа с кодоскопом , слайд №1и №2 или с плакатом.
Такие задания, по моему мнению, способствуют обобщению знаний по видам простейших
тригонометрических уравнений, развивают логическое мышление.
Ребята, здесь вы видите схемы решений тригонометрических уравнений. Как вы думаете ,
какая из этих схем данной группы является лишней? Что объединяет остальные схемы?
( Отвечающие учащиеся правильные ответы заносят в лист учета знаний).
Ответы:
Слайд 1. 3-я схема лишняя, так как она изображает решение уравнения вида sin x= a; 1, 2, 4, 5,
6- решения уравнения cosx=a.
Слайд 2. 4-я сема лишняя, так как она изображает решение уравнения вида ctgx=a; 1, 2, 3, 5,
6- решение уравнения tgx=a.
4.2. Классификация тригонометрических уравнений.
В своей практике я заметила, что учащиеся затрудняются именно в выборе метода решения
того или иного уравнения. Так как при определении метода решения используются такие
логические приемы, как выявление признаков, сравнение примеров по сходству и различию, то я
считаю, что специальное внимание к этому этапу решения уравнений при заключительном
повторении способствует не только повышению уровня знаний учащихся, но и их развитию.
На доске написаны уравнения и повешена системно-обобщающая таблица. У каждого
учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся
заполняют свою схему. Затем учащиеся меняются схемами с соседом по парте, на доске
открываются правильные ответы, ребята проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество
верных ответов заносят в лист учета знаний соседа.
3sin2x – sinx cosx – 2 cos2x = 0.
cos2x – 9· cosx + 8 = 0.
2 cos2x – 3sinx= 0.
sin6x – sin2x = 0
2sinx·cosx = cos2x – 2sin2x.
Ï

6. 2cos2x – 11 sin   õ  +5=0
2

7. tgx+ 3ctgx = 4.
8. cos2x + cos Ï  õ = 0.
1.
2.
3.
4.
5.
3 cosx + sinx = 1.
9.
10. cosx + 3 sinx = 0.
11. 3cosx + sinx =0
12. sinx + cosx = 1.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО
ИЗВЕСТНЫМ АЛГОРИТМАМ
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
№ _______________________
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПУТЕМ
РАЗБИЕНИЯ НА ПОДЗАДАЧИ
УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ
ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ НА
МНОЖИТЕЛИ
№_______________________
УРАВНЕНИЯ, РЕШАЮЩИЕСЯ
ОЦЕНКОЙ ЗНАЧЕНИЙ ЛЕВОЙ
И ПРАВОЙ ЧАСТИ
№________________________
УРАВНЕНИЯ ВИДА Acos x+Bsinx =C, ГДЕ А, В, С ≠0, РЕШАЮЩИЕСЯ МЕТОДОМ
ВВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА. № _________________________
4.3. Динамичные блоки уравнений.
Задания на магнитной доске.
Я считаю, что эти блоки позволяют сравнить, обобщить, выделить главное, раскрыть идеи
решения некоторых уравнений, предупреждают возможные ошибки, помогают выделить
общий алгоритм решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным.
Отвечающие учащиеся правильные ответы заносят в лист учета знаний.
1 вопрос. О чем идет речь?
? ОСОБЕННОЕ ! ? ОСОБЕННОЕ !
3
3
Ï 

1. sinx =
2. tg  2 õ   =
2
3
4

õ
4. ctg 3x = - 3
3. cos =a2+1
2
Ответ: 1, 2, 4 – простейшие тригонометрические уравнения, решаются по известным
формулам; 3 – простейшее тригонометрическое уравнение с параметром. Решение имеет
только при а =0.
2 вопрос. О чем говорит этот блок уравнений?
?
1.
2.
3.
4.
ЛИШНЕЕ, НО !
2sin22x + 5sin2x – 3 = 0
6sin2x + 4 sinx cosx = 1
3 tgx + 5ctgx = 8
õ
õ
2sin2 + 5cos + 1 = 0
3
3
Ответ: 1, 3, 4 – однородные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним, решаются
методом подстановки; 2 – уравнение однородное, но заменив 1 в правой части на
Sin2x + cos2x и разделив обе части уравнения на cos2x ( или на sin2x), получим одноименное
тригонометрическое уравнение.
3 вопрос. Что бы это означало?
1.
2.
3.
?
НЕЛЬЗЯ
!
sin x + cos x = 0
sin2x + 5 sinx cos x – 4 cos2 x = 0
3sin x cos x – cos2x =0
? МОЖНО !
Ответ: 1 – однородное уравнение первой степени, решается методом деления на cosx ( sinx );
2 – однородное уравнение второй степени, решается методом деления на cos2x ( sin2x );
3 – нельзя делить на cos2x, это приведет к потере корней. Можно делить на sin2x или
разложить на множители.
4 вопрос. Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.
1.
2.
3.
sin 4x – sin 2x = 0
Ï
arcsin õ  1 =
6
5cos 3x + 4 cos x = 0
Ответ: 1, 3 уравнения решаются методом разложения на множители; 2- уравнение лишнее.
Оно содержит обратную тригонометрическую функцию.
5 вопрос. Назовите главный ключевой блок уравнений.
Ответ: Это блок простейших тригонометрических уравнений, так как решение всех
остальных уравнений сводится к решению простейших.
6
1.
2.
3.
4.
вопрос. Что объединяет данные уравнения?
2sin22x + 5 sin 2x – 3 = 0
3tg x + 5 ctg x = 8
õ
õ
2sin2 2 +5 cos
+1 = 0
3
sin2x + 5sinx cosx – 4cos2x = 0
Ответ: Это тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.
7 вопрос. Рассказать алгоритм решения данных уравнений.
Ответ: 1. Сводим к однородному уравнению.
2. Делаем замену переменной.
3. Решаем квадратное уравнение.
4. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.
Шкала оценок: «5»- правильных ответов больше 25
«4»- правильных ответов 21-24
«3»- правильных ответов 15-20
«2»- правильных ответов меньше 15
По шкале оценок каждый учащийся ставит себе предварительную оценку в лист знаний.
После проверки самостоятельной работы итоговую оценку ставлю сама.
5.
Дифференцированная самостоятельная работа.
Работа проводится с самопроверкой, через копирку.
На доске записано задание на трех уровнях. Каждый решает задание того уровня, который
он выбрал сам. Я считаю, что самостоятельный выбор заданий позволяет каждому
учащемуся продемонстрировать свои знания и умения. Оценки, полученные после решения
самостоятельной работы, ребята воспринимают безболезненно, поскольку выбор уровня
был сделан ими самостоятельно.
ГРУППА А
ГРУППА Б
ГРУППА В
1. 2cos2x + 3sinx =0 1. 2sin2x + cos 2x = sin2x 1. cos2xcosx = cos3x
2. sin2x + sinx = 0
2. sin7x + cos 4x = sinx
3 cosx + sinx = 2
2.
Через 10 минут после начала работы учащиеся в лист учета знаний вкладывают обобщающую
схему, а также экземпляр самостоятельной работы и сдают на проверку. После этого сами
проверяют свои работы по готовым решениям на доске ( или кодоскопе ), что позволяет им сразу
оценить свою работу и увидеть допущенные ошибки.
Решения:
Группа А : 1) 2( 1- sin2x ) + 3sinx =0; 2sin2x – 3sinx – 2 = 0; sinx = t; 2t2 – 3t – 2 = 0; D = 25; t1= 2;
Ï
1
1
t 2 =- ; sinx = 2 не имеет решения, т.к. 2   1;1 ; sinx = - , x=  1 n+1 6 +πn, n  Z.
2
2
2). 2sinx cosx + sinx = 0; sinx( 2cosx + 1 ) = 0 sinx = 0 или 2 cosx +1 = 0;
1
2Ï
sinx = 0; x = πn, n  Z; 2cosx = - 1; cosx = - ; x = ±
+ 2πn, n  Z.
2
3
Группа Б: 1) sin2x – 2sinx cosx + cos2x = 0; tg2x – 2tgx + 1 = 0; tgx = t; t2 – 2t + 1 = 0; D = 0; t = 1;
Ï
+ πn, n  Z.
4
2) sin 7x – sinx + cos4x = 0; 2cos4x sin3x + cos4x = 0; cos4x( 2sin3x + 1 ) = 0; cos4x = 0 или
Ï
Ï
Ïï
1
2cos3x + 1 = 0. cos4x = 0; 4x =
+ πn, n  Z.; x =
+
; n  Z. 2cos3x + 1 = 0; sin3x = - ;
2
8
2
4
Ï
Ïï
x =  1 n+1 18 + 3 . , n  Z.
tgx = 1; x =
Группа В: 1) cos2x cosx = cos2x cosx – sin2x sinx; -sin2x sinx = 0; sin2x = 0 или sinx = 0.
Ïï
X=
, n  Z. или х = πm, m  Z.
2
3
1
Ï
Ï
Ï 

2). 3 cosx + sinx = 2;
cosx + sinx = 1; cos
cosx + sin sinx = 1; cos  õ   = 1;
2
6
6
2
6

Ï
Ï
x= 2πn¸n  Z; х =
+ 2πn¸n  Z.
6
6
6.
Итог урока.
Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения.
Ответьте, пожалуйста ,на вопросы:1. Что это за уравнения? ( Тригонометрическими называют
уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций)
2. Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?
( Простейшие тригонометрические уравнения, уравнения I порядка, уравнения II порядка
сводящиеся к квадратным; уравнения, решаемые разложением на множители; оценкой левой и
правой части; уравнения решающиеся методом введения вспомогательного аргумента.)
После этого дается оценка работы группы и домашнее задание: подготовка к контрольной работе.
Учащиеся, которые получили неудовлетворительную предварительную оценку, приглашаются на
консультацию.