ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

А.И. Гулидов
Ю.М. Вахромеев
Ф.Н. Мелентович
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
НОВОСИБИРСК 2001
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А,И. Гулидов, Ю.М. Вахромеев, Ф.Н. Мелентович
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
Учебное пособие
НОВОСИБИРСК 2001
УДК
ББК
Г
517.3
22.161.1
942
Гулидов A.И., Вахромеев Ю.М., Мелентович Ф.Н.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ): Учеб. пособие. - Новосибирск:
НГАСУ,2001.- 72с.
ISBN 5-7795-0102-5
В предлагаемом учебном пособии рассмотрены основные
теоретические положения интегрального исчисления функции одной
переменной, а также основные практические методы интегрирования.
Пособие насыщено большим количеством примеров с подробным
их решением, предложено большое количество упражнений с ответами
для самостоятельной работы студентов.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
направлению "Строительство" и "Менеджмент" всех форм обучения.
Печатается по решению издательско-библиотечного совета
НГАСУ
Рецензенты
-
И.Ю. Цвелодуб, д.ф.-м.н., профессор кафедры
высшей математики (НГАСУ), в.н.с. (Институт
гидродинамики СО РАН);
В.И. Самсонов, д.ф.-м.н., в.н.с. (ИТПМСОРАН)
ISBN 5-7795-0102-5
Гулидов АИ.,
Вахромеев Ю.М.,
Мелентович Ф.Н., 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .........................................................................................4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ............. …..........................……….5
§ 1. Общие определения и терминология ............................. 5
§ 2. Таблица основных неопределенных интегралов .......... 9
§ 3. Основные правила интегрирования.... ......................... 10
ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ................ …….................... 11
§ 1. Метод непосредственного интегрирования............... 11
§ 2. Метод подведения, под дифференциал ..................... .....14
§ 3. Метод замены переменной (метод подстановки)............ 17
§ 4. Метод интегрирования по частям.........…………………20
§ 5. Понятие о рациональной дроби.
Интегрирование простейших дробей ............................ 25
§ 6. Разложение рациональных дробей на простейшие.
Интегрирование рациональных дробей........................ 30
§ 7. Интегрирование некоторых классов
тригонометрических функций ...................................... 38
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных
выражений .....................................................................51
§ 9. О применении тригонометрических подстановок
в интегралах, содержащих радикалы.............................55
§ 10. О функциях, интегралы от которых не выражаются
через элементарные функции.......................................61
§ 1 1 . Контрольные вопросы по теме
«Неопределенный интеграл»........................................62
Ответы к упражнениям........................... ...............................63
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА......................................72
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие является итогом чтения курса лекций по одной из
важнейшей и наиболее трудной для студентов в курсе высшей
математики темы "НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ".
Целью настоящего издания является наибольшее приближение
как теоретического, так и практического материала при подготовке
студентов направлений "Строительство" и "Менеджмент" к потребностям
университета.
В пособии изложены основные теоретические разделы указанной
темы, при этом особое внимание уделено основным методам
интегрирования и рассмотрено большое количество примеров с
подробным пояснением их решений.
После каждого параграфа студентам предложены упражнения для
самостоятельного решения с ответами в конце пособия, что, по мнению
авторов, должно стимулировать более, активную самостоятельную работу
как студентов-заочников, так и студентов дневного факультета.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению "Строительство", в том числе и для студентов-заочников
(особенно в условиях отсутствия учебной литературы); может быть
использовано и студентами, обучающимися по направлению
"Менеджмент".
Пособие состоит из двух тем - глав, традиционно изучаемых в курсе
высшей математики, содержит 2 параграфа в первой и 11 - во второй теме.
Первая тема включает основные теоретические положения интегрального
исчисления функции одной переменной- Вторая тема полностью
посвящена основным методам интегрирования. В конце второй темы
помещены теоретические контрольные вопросы, которые могут быть
использованы при подготовке к экзамену.
Пособие, на наш взгляд, может быть эффективно использовано также
при проведении практических занятий по этой теме.
Авторы пособия надеются, что оно поможет студентам университета
успешно освоить основные методы интегрирования и применять их в
дальнейшем при решении инженерно-технических задач.
4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Общие определения и терминология
Во многих прикладных задачах науки и техники приходится не по
заданной функции f(x) отыскивать ее производную, а наоборот —
восстанавливать саму функцию по известной ее производной. В
дифференциальном исчислении путем дифференцирования функции S
= S(t) (предполагалось известным уравнение
движения S = S(t)) нашли сначала скорость
корение
, а затем ус-
.
На деле часто приходится решать обратную задачу: ускорение ω
задано как функция от времени t: ω = ω (t) и требуется определить
скорость V и пройденный путь S в зависимости от t. Таким
образом, необходимо по функции ω = ω(t) восстановить такую
функцию V = V(t), для которой ω(t) является производной, а затем, зная
функцию V = V(t), найти функцию S= S(t), для которой V = V(t) является
ее производной. Пусть на некотором интервале (а, b) задана непрерывная
функция f(х). Требуется найти такую функцию F(x), чтобы её
производная F'(x) или дифференциал были связаны соответствующими
соотношениями
F'(x) = f(x); dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx в интервале (а, b).
Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией
для функции f(x) в (а,b), если для всех значений х ∈ (а,b)
выполняются соотношения F'(x) = f(x) или dF(x) = f'(x)dx.
Определение для функции f(x) всех её первообразных составляет, вообще говоря, одну из основных задач интегрального
5
исчисления и эта задача является обратной основной задаче дифференциального исчисления.
Пример 1, Найти первообразные функций
а) Нетрудно заметить, что
, так как по определению
получаем:
В примере а) функции
первообразными для функции
являются также
. Если первообразную для
этой функции записать в виде
получим всевозможные первообразные для
, то мы
если постоянной
«С » будем придавать различные значения.
Теорема 1. Если в некотором интервале (а, b) функция F(x)
является первообразной для функции f(х), то и функция F(x) + С , где
С —любая произвольная постоянная, также является первообразной.
Обратно, каждая функция, первообразная для f(x) в (а, b) может быть
представлена в этом виде.
Доказательство. Тот факт, что наряду с F(x), и F(x) + С явл яе тс я
первообразной для f(х) очевиден, так как
Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для функции f(x),
так что Ф'(х) = f(х) в (а, b). Так как функции F(x) и Ф(х) имеют в (а,b)
одну и ту же производную, то они разнятся на произвольную
постоянную согласно теореме из дифференциального исчисления:
Ф(х) = F(x) + С, что и требовалось доказать . Из этой теоремы следует, что
достаточно найти для данной функции f(x) только одну первообразную
F(x), чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от
друга постоянными слагаемыми.
Определение. Семейство F(x) + С всех первообразных функций для
данной функции f(x) на (а,b), где С принимает всевозможные
числовые значения, называется неопределённым интегралом
функции f(x) и обозначается символически:
∫ f(x)dx = F(x)+C (F'(x) = f(x) или dF(x) = f'(x)dx ).
Функция f(x) в левой части называется подынтегральной функцией,
f(x)dx—подынтегральным выражением, а символ ∫
—знаком
неопределённого интеграла.
Нахождение для функции f(x) всех её первообразных называется
интегрированием.
Заметим, что для проверки правильности интегрирования достаточно
выполнить дифференцирование правой части полученного выражения. В
ответе должна получиться подынтегральная функция.
Пример 2.
Замечание 1. Мы знаем, что производная F'(x), вычисленная в точке
М0(х0,у0), численно совпадает с угловым коэффициентом касательной к
графику этой функции. Поэтому задачу отыскания первообразной F(x)
для заданной функции f(x) можно истолковать геометрически так:
требуется найти кривую у = F(x), для которой имел бы место заданный
закон изменения углового ко7
эффициента k = tgα = f(x) . Если у = F(x) является одной из таких
кривых, то все остальные могут быть получены из неё простым сдвигом
на произвольный отрезок С параллельно оси OY. Для того чтобы
выделить конкретную кривую из этого множества, достаточно задать точку
M0(x0, y0), через которую кривая должна пройти. Это позволит из
начального условия определить С:
При нахождении интегралов возникает следующий вопрос: всякая ли
функция f(x), определённая в (а, b), имеет первообразную. Отметим, что
если функция f(x) непрерывна в (а, b), то она имеет в нём первообразную,
а, следовательно, и неопределённый интеграл. Это утверждение
доказывается строго в более полных курсах математического анализа.
В настоящем пособии мы будем говорить о неопределённом
интеграле лишь для непрерывных функций. Если функция задана
конкретно и имеет конечное число точек разрыва, то рассматривать её будем
лишь в промежутках непрерывности. Это освобождает всякий раз
оговаривать существование интегралов.
Из определения неопределённого интеграла непосредственно
вытекают следующие свойства:
1.Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной
функции, то есть
Действительно, по определению имеем:
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, т. е. d[∫ f(x)dx] = f(x)dx. Действительно, по определению
имеем:
8
3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции
равен этой функции с точностью до произвольной постоянной, т.е.
[
]
∫ ∂ F (x ) = F (x ) + C
Справедливость этого важного равенства легко проверить с использованием первого свойства, продифференцировав правую и левую
части равенства.
что требовалось доказать.
Заметим, что при нахождении интегралов используется таблица
интегралов, которая может быть получена для основных элементарных
функций из таблицы производных.
§ 2. Таблица основных неопределенных интегралов
9
Справедливость указанной таблицы можно проверить дифференцированием.
По поводу формулы 4 следует отметить, что она применима в любом
промежутке, не содержащем нуля. Действительно, если
единены формулой 4.
В дифференциальном исчислении задача отыскания производной или
дифференциала данной функции сводилась к отысканию в таблице
соответствующей формулы, а затем по ней с использованием правил—
производной или дифференциала этой функции.
В интегральном исчислении, напротив, нет общего приёма для
вычисления неопределённого интеграла, а имеются простейшие правила
интегрирования и ряд методов, позволяющих привести заданный
интеграл к табличному, а затем найти его по соответствующей формуле.
Рассмотрим сначала правила интегрирования.
§ 3. Основные правила интегрирования
1. Если а—постоянная (а≠0), то постоянный множитель можно
выносить из-под знака интеграла, то есть
∫af(x)dx =a∫f(x)dx.
(1)
Действительно, дифференцируя обе части и используя первое
свойство §1, получим:
что и требовалось доказать.
Производные от правой и левой частей равны, а значит по теореме 1
они отличаются на постоянное слагаемое. В этом смысле и нужно понимать
доказанное равенство.
10
2. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного
числа функций, равен алгебраической сумме слагаемых функций, т.е.
(например, для трёх слагаемых):
что и требовалось доказать.
Смысл доказанного правила аналогичен предыдущему.
Как уже было отмечено выше, при нахождении интегралов
используются его основные свойства, указанные выше правила, а также
методы интегрирования.
Из этих методов рассмотрим лишь некоторые основные: методы
непосредственного
интегрирования,
метод
подведения
под
дифференциал, метод замены переменной, методы интегрирования по
частям, метод интегрирования рациональных и иррациональных дробей и
выражений, методы интегрирования некоторых тригонометрических
выражений.
ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Метод непосредственного интегрирования
Непосредственное интегрирование заключается в применении таблицы
интегралов, свойств неопределённого интеграла, основных правил
интегрирования, а также в использовании различных тригонометрических
формул
и
тождественных
алгебраических
преобразований
в
подынтегральном выражении. ^ Пример 1. Найти интегралы:
11
В этом интеграле добавили в числителе дроби единицу и вычли, а
затем дробь представили в виде двух слагаемых, интегралы от которых
нашли по таблице;
В этом интеграле использовано основное тригонометрическое тождество :
г).
В этом примере найден интеграл от многочлена в общем виде.
12
В этом интеграле использовано тригонометрическое тождество:
1 + tg2 х =1/cos2x . При решении практических примеров с применением
непосредственного интегрирования часто говорят, что применяют способ
разложения в неопределённом интеграле.
Упражнение 2.1.
Найти следующие интегралы непосредственным интегрированием (способом разложения):
13
§ 2. Метод подведения под дифференциал
Этот метод основан на доказанном нами выше (см. §1, глава 1)
важнейшем свойстве неопределённого интеграла
Рассмотрим табличный интеграл ∫dx = x + C. Если в левую часть
этого интеграла подставить вместо х любую функцию, например, sin х , то в
правой части эта переменная заменится также функцией sin x ,т.е.
Действительно,
d(sin х) = cos dx => ∫ d(sin х) = ∫ cos xdx = sin х + С .
Вместо функции sinx можно было взять любую произвольную
функцию, но первообразная при этом сохраняет свой вид, что в свою
очередь связано с инвариантностью дифференциала, рассмотренному
нами в дифференциальном исчислении. Таким образом, если необходимо
вычислить интеграл
то можно воспользоваться формулой:
Это соотношение позволяет сформулировать суть метода подведения
под дифференциал: в подынтегральном выражении необходимо
усмотреть или создать дифференциал такой функции, чтобы оставшаяся
часть выражалась бы через эту функцию.
Рассмотрим применение этого метода на примерах.
Пример 1. Найти интегралы:
Заменяя xdx найденным выражением, получим:
14
При решении указанных выше примеров мы действительно или
«усматривали» дифференциал, или создавали его таким образом, что
оставшаяся часть подынтегральной функции уже выражалась через эту
функцию.
15
Заметим, что эффективное применение метода подведения
под дифференциал возможно при хорошем знании таблицы производных.
Замечание 2. При интегрировании выражений вида
∫ f ( x + b )dx и ∫ f (ax + b )dx можно пользоваться готовыми формулами:
Эти равенства доказываются дифференцированием правой и левой
частей.
Пример 2. Найти интегралы:
Метод подведения под дифференциал часто не выделяют в отдельный
метод, отождествляя его с так называемым методом замены переменной.
Упражнение 2.2. Найти интегралы с применением метода подведения
под дифференциал:
16
§ 3. Метод замены переменной (метод подстановки)
Пусть требуется найти интеграл
при этом непосредственно подобрать первообразную F(x) мы не можем, но
знаем, что она существует.
Сделав замену переменной х = Y(t), где Y(t) непрерывная функция с
непрерывной производной и, кроме этого, она имеет обратную функцию.
Тогда dx = Y'(t)dt и мы получаем следующее равенство после
замены переменной
Докажем, что это действительно так, взяв производную по x от правой
и левой частей и используя свойства интеграла
17
Правую часть этого равенства будем дифференцировать по переменной
X как сложную функцию, считая t промежуточным аргументом.
dx/dt=Y'(t) ⇒ dt/dx=1/ Y'(t)
(по правилу дифференцирования обратной функции).
Таким образом,
имеем:
что и требовалось доказать.
Суть метода замены переменной в том, чтобы применяемая
подстановка позволила получить в правой части более простой интеграл
или сразу табличный.
Из формулы также видно, что при выборе подстановки х = Y(t),
упрощающей подынтегральное выражение, в его состав должен войти
множитель Y'(t)dt, дающий, вообще говоря, дифференциал функции
Y(t).
Это ещё раз подтверждает «отождествление» метода подведения под
дифференциал и метода подстановки.
Указанный метод является одним из основных методов вычисления
неопределённых интегралов. Успех интегрирования зависит в основном
от того, сумеем ли мы подобрать замену переменной, которая бы
упростила интеграл. Применим метод подстановки к первым трем
примерам §2.
Пример 1. Найти интеграл, применяя метод замены переменной:
18
Можно заметить, что во всех трёх случаях подстановки оказались
удачными из-за того, что в подынтегральном выражении были указанные
выше множители (Y'(t) • dt).
Пример 2. Найти интегралы:
а)
.
В этом примере подстановка sin x = t будет непригодной, так как
отсутствует множитель (sin x)'dx = cos xdx.
19
Упражнение 2.3. Найти интегралы, применяя метод замены
переменной:
§ 4. Метод интегрирования по частям
Пусть заданы некоторые функции U =U(x), V = V(x) и они
непрерывны вместе со своими производными. Тогда по правилу
дифференцирования произведения имеем:
d(U·V) = UdV + VdU => UdV = d(UV)-VdU.
Проинтегрировав обе части этого выражения, получим:
Для выражения d(UV) первообразной по свойству неопределённого
интеграла будет U·V и поэтому имеет место формула:
Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Данное
правило позволяет приводить интегрирование выражения UdV = UV'dx к
интегрированию выражения VU'dx . Схема интегрирования заключается в
том, что одна часть в подынтегральном выражении обозначается за U, а
другая - за dV, затем вычисляются с помощью дифференцирования и
интегрирования dU и V соответственно и подставляются в правую часть.
Цель интегрирования с применением формулы интегрирования по
частям будет достигнута, если интеграл в правой части будет табличным
или же станет проще, чем в левой части.
Заметим, что формула интегрирования по частям имеет ограниченное
применение и с её помощью интегрируется в основном определённый
класс функций.
.
Отметим некоторые из этих классов.
Интегрирование выражений
где p(х) —целый многочлен относительно x.
Если под знаком интеграла находится произведение алгебраической
функции (многочлен p(х)) на тригонометрическую или показательную, то
рекомендуется за «U» принимать многочлен, а оставшуюся часть
подынтегрального выражения за «dV».
Пример I. Найти интегралы:
21
2. Интегрирование выражений
Если под знаком интеграла находится произведение алгебраической
функции (многочлен р(х)) на логарифмическую или обратную
тригонометрическую функции, то в этом случае рекомендуется за «U»
принимать трансцендентную функцию, а оставшуюся часть за dV .
Пример 2. Найти интегралы:
В этом интеграле можно считать, что степень многочлена р(х) равна
нулю.
Замечание I. Формула интегрирования по частям может применяться
при нахождении интегралов многократно.
22
Пример 3. Найти интегралы:
Применяя к интегралу J1 ещё раз формулу интегрирования по
частям, получаем:
Подставляя полученное выражение для J1 , получим окончательный
результат (см. выше).
3. Интегрирование выражений вида
Если под знаком интеграла находится произведение показательной
функции (еαx, aαx) на тригонометрическую (sinβx или соsβx), то в этом
случае безразлично, какую из входящих частей подынтегрального
выражения обозначать за U или dV. Формула интегрирования по частям при
этом применяется дважды, и в правой части получается такой же интеграл,
что и в левой.
Пример 4. Найти интеграл:
Применяем метод интегрирования по частям.
К интегралу J1 снова применяем метод интегрирования по частям.
23
Нельзя думать, что с применением формулы интегрирования по
частям находятся интегралы только указанных выше классов функций.
Рассмотренный ниже пример лишь подтверждает, что этот метод может
быть применён и к интегрированию «нестандартных» выражений.
Пример 5. Найти интеграл
с использованием
формулы интегрирования по частям:
Объединяя интегралы слева и справа, получаем:
24
что приводит к окончательному результату:
Более просто результат может быть получен с применением
тригонометрической Подстановки, что будет рассмотрено нами в
дальнейшем.
Упражнение 2.4. Найти интегралы с применением формулы
интегрирования по частям:
§ 5. Понятие о рациональной дроби.
Интегрирование простейших дробей
Определение. Рациональной дробью называется дробь вида
где Pm, Qn—целые многочлены степени m и n соответственно.
25
Если степень многочлена в числителе больше или равна степени
многочлена в знаменателе (т ≥ п), то рациональная дробь
называется неправильной, в противном случае дробь называется
правильной.
Если рациональная дробь неправильная, то разделив числитель на
знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить
данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:
где М(х) —целый многочлен, а
—правильная дробь.
Так как интегрирование многочлена не представляет затруднений, то
основная трудность будет заключаться в интегрировании правильных
дробей.
В свою очередь, интегрирование правильных дробей «сводится» к
интегрированию простейших дробей.
Определение. Дроби вида:
называются простейшими дробями соответственно I, II, III, IV-го типов.
Заметим, что интегрирование дробей типа I-III не составляет особых
затруднений и их интегрирование проведем без особых пояснений,
применяя рассмотренные выше приемы.
26
Замечание 1. При интегрировании дроби III идея заключается в
использовании тождественных преобразований с целью создания в
числителе дроби дифференциала знаменателя. Во втором интеграле
проводится дополнение до полного квадрата. При этом
получаются табличные интегралы типа
Более сложных вычислений требует интегрирование простейшей
дроби IV типа. Из-за громоздких выкладок интегрирование этой дроби
не проводим [1, с. 335-337].
27
Необходимо отметить, что при интегрировании дробей III-го и IV-гo
типов (в случае представления, дроби Pm(x)/Qn(x)
в виде суммы
простейших дробей указанных выше типов I-IV) предполагается, что
квадратные трехчлены не имеют действительных корней т.е. корни
комплексные, а, следовательно,
и второй интеграл является табличным типа
. Подобная
схема интегрирования может быть применена и в случае, когда
для указанного выше интеграла, а
при интегрировании выражении
также
, как при
Пример 1. Проинтегрировать простейшие дроби I и II типов
Более подробно остановимся на интегрировании функций вида
, что позволит в дальнейшем избежать
ошибок при интегрировании простейших дробей.
Пример 2. Найти следующие интегралы:
В этом примере квадратный трехчлен х2 + 2х + 5 не имеет
действительных корней (D<0) и не может быть разложен на множители;
В этом примере мы поступили точно также, как в примере а),
хотя D>0 для х2 - 2х- 3 .
Точно также можно находить интегралы второго типа, указанные
выше;
29
Упражнение 2.5. Найти следующие интегралы:
§ 6. Разложение рациональных дробей на простейшие.
Интегрирование рациональных дробей
Будем предполагать, что рациональная дробь
является
правильной и коэффициенты, входящие в неё у многочле30
нов, являются действительными числами и данная дробь несократима, что означает отсутствие общих корней в числителе и
знаменателе.
В математическом анализе доказано [1, с. 338-341], что если
знаменатель Qn (x) имеет вид:
правильная дробь
представима
в виде простейших
дробей I-IV типов:
В разложении знаменателя Qn(x) сумма
, где n - степень многочлена Qn(x). Квадратные
трехчлены
имеют
комплексные
сопряженные
корни
соответствуют
кратности
указанных
действительных и комплексных корней.
В
правой
части
разложения
коэффициенты
являются неизвестными и подлежат определению.
Эти коэффициенты определяются из следующих соображений.
Записанное равенство есть тождество, а поэтому приведя
дробь к общему знаменателю, получим тождественные много
члены в числителях справа и слева.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
систему алгебраических уравнений для определения неизвестных
коэффициентов A,A1,...,Sv-1, Fv-1. Полученную систему можно решать
любым из известных методов (метод Гаусса, правило Крамера и т.д.).
Часто такой подход называют методом неопределенных коэффициентов (или метод сравнения коэффициентов).
Можно применять так называемый метод частных значений,
основанный на подстановке в обе части тождества подходящим образом
подобранных числовых значений х .
В некоторых случаях используется комбинированный приём, что
позволяет упрощать процесс отыскания коэффициентов.
В процессе решения практических задач можно выделить три важных
случая:
Случай 1. Корни знаменателя Qn (х) действительны и различны: Q n (x)
= (х-а)(х -b)...(x -d), B 0 предполагается равным единице (см. § 5). В
этом случае правильная дробь разлагается на простейшие дроби типа I, т.е.
Случай 2. Корни знаменателя Qn(x) действительны, причем
некоторые из них кратные, т.е.
Здесь правильная дробь представляется в виде суммы простейших
дробей
I
и
II-го
типов:
Случай З. Среди корней знаменателя есть комплексные различные
корни, т.е.
32
В этом случае дробь разлагается на простые дроби I, II, III-го
типов:
Замечание 2. Если среди корней знаменателя есть кратные
комплексные корни, то правильная дробь разлагается на простейшие
дроби I-IV-гo типов.
Пример 1. Найти следующие интегралы:
Решение. Подынтегральная функция - правильная рациональная
дробь. Все корни знаменателя действительные и простые (случай 1),
поэтому подынтегральная функция представляется в виде суммы трех
простейших дробей вида
15x 2 -4x-81
где А, В, С - коэффициенты, подлежащие определению. Приводя к
общему знаменателю и отбрасывая его, получим тождество
15х2 - 4х - 81 = А(х + 4)(х -1) + В(х - 3)(x -1) + С(х - 3)(x + 4).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях "х" в левой и
правой частях тождества, получим систему уравнений для
определения коэффициентов:
33
Решая систему уравнений, найдем А = 3, В = 5, С = 7 . В этом
примере для определения коэффициентов удобнее применять метод
частных значений. Дело в том, что тождество
l5x2-4x-8l = A(x + 4)(x – l) + B( x – 3)(x – 1) + C(x – 3)(x + 4)
справедливо при любых значениях x, а поэтому задав три каких-либо
частных значения, мы получим три уравнения для определения
коэффициентов А, В, С.
Удобнее всего в качестве значений "х" выбирать корни знаменателя, так как они обращают в нуль часть сомножителей. Полагая в
тождестве х = 3, получаем А = 3, полагая х = -4, получаем В = 5,
полагая х = 1, получаем С = 7.
Найдя любым из указанных способов коэффициенты, получаем:
Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную дробь. Замечая, что х2 + 2х +1 = (х +1)2 представим дробь в
виде суммы простейших дробей (случай 2):
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители дробей,
получим тождество:
x = A(x + l)2 + B(x – 1)(x + l) + C(x – l). (*)
Укажем два способа определения коэффициентов:
1) метод неопределенных коэффициентов
Перепишем тождество в виде:
х = (А + В)х2+(2А + С)х + (А – В – С).
34
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях "х",
прейдем к системе линейных алгебраических уравнений:
=> А = -В => (подставляем во второе и третье уравнения):
2) Метод частных значений
Положив х = 1 в правую и левую части тождества (*), найдем сразу
коэффициент А:
Положив х = -1, найдем сразу коэффициент С:
Положив, например, х = 0, получим уравнение
А – В – С = 0, откуда найдем
Замечание 3. При решении примеров обычно рекомендуется
комбинировать два этих приёма.
Определив таким образом коэффициенты, находим заданный интеграл.
Решение. Имеем разложение правильной дроби (случай 3):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим
систему уравнений
Применим комбинированный метод для определения коэффициентов. Положив х = 1, найдем А: 1
Из системы находим последовательно:
Находим заданный интеграл:
Пример 2. Найти интеграл
Решение. Так как степень числителя выше степени знаменателя, т.е.
дробь неправильная, то нужно выделить целую часть. Разделив числитель
на знаменатель, получим:
36
а значит дробь можно представить в виде:
и, следовательно,
В подынтегральном выражении второго интеграла правильную дробь
представим в известном уже виде:
Используя метод частных значений и подставляя поочередно
значения
х = 0, х = 2, х = -1,
находим коэффициенты
Окончательно получаем:
§ 7. Интегрирование некоторых классов тригонометрических
функций
В предыдущих параграфах мы рассматривали в основном интегралы от
алгебраических функций. В настоящем параграфе мы рассмотрим более
подробно интегралы от тригонометрических функций.
1. Интегрирование выражений ∫ R(sinx,cosx)dx. Здесь R рациональная функция от sinx и cosx. Интегралы такого типа всегда
могут быть преобразованы в интегралы от рациональной
алгебраической функции подстановкой
Эта подстановка называется универсальной, при этом используются
формулы тригонометрии:
образом, sinx , cosx и dx выразились рационально через t:
38
Данная подстановка называется универсальной, так как дает
возможность проинтегрировать всякую функцию вида R(sinx,cosx).
Однако на практике эта подстановка часто приводит к громоздким
выкладкам и слишком сложным рациональным функциям.
Укажем случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более
простых подстановок.
а) если выполняется равенство
R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx)
или
R(sinx,-cosx) = -R(sinx, cosx),
то выгоднее применять cosx=t в первом случае, a sinx = t - во втором;
б) если выполняется равенство
R(-sinх,-соsх) = R(sinx, cosx)
то выгоднее применять подстановку tg х = t (или ctgx = t) и при этом
используются формулы тригонометрии:
Заметим, что последний случай б) встречается, в частности, в интегралах
типа ∫R(tgx)dx.
Замечание 1. Часто вместо подстановки
выгоднее
сделать подстановку
Пример 1. Найти интеграл
Решение. Применим универсальную тригонометрическую
подстановку. Положив tg(x/2) = t и заменив sinx,cosx и dx по
39
формулам, указанным выше, перейдем к интегралу от рациональной
функции
Разложив рациональную алгебраическую дробь на простейшие,
получим:
Методом частных значений (t = 0, t = 3, t = l) найдем коэффициенты
Следовательно,
Возвращаясь к "старой" переменной
получим окончательно:
Решение. Если в подынтегральную функцию подставить -sinx
вместо sinx , то дробь изменит знак на противоположный, т.е.
выполнится условие
R(- sinx, cosх) = -R(sinx,cosx),
а значит, целесообразно применить подстановку cosx = t.
В этом интеграле можно не прибегать к разложению дроби на
простейшие, а воспользоваться тождественным преобразованием,
представив числитель следующим образом:
1 = (2-2t2 ) - (1-2t 2 ).
Подставив полученное выражение в интеграл, найдем:
Возвращаясь к "старой" переменной, окончательно получаем
(cosx = t):
dx
2 − sin 2 x
Решение. Если в подынтегральную функцию подставить -sinx
вместо sinx, то знак дроби не изменится, а значит, выполняется условие:
R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), и в этом случае целесообразно
применить подстановку tgx = t:
Пример 3. Найти интеграл ∫
Далее имеем:
41
Возвращаясь к "старой" переменной, получим окончательно
Пример 4. Найти интеграл
Решение. Здесь для подынтегральной функции выполняется
условие: R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx), поэтому применяем
подстановку sin x = t.
Это неправильная дробь, а поэтому выделяем целую часть, производя
деление многочленов:
Возвращаясь к "старой" переменной, получим:
42
Упражнение 2.7. Найти следующие интегралы:
2. Интегрирование выражений
Рассмотрим лишь несколько частных случаев интегрирования
указанных выражений.
А) Если т и п неотрицательные числа, а α = β и хотя бы один из
показателей т или п - нечетное число, то удобнее от нечетной степени
отделить четную и с использованием основного тождества
sin2ax + cos2ax =1 выразить подынтегральную функцию через одну
тригонометрическую (или sin ax, или cos αx ), а отделённую часть
"подвести" под знак дифференциала.
Пример 1. Найти интегралы:
43
Б) Если т и п - неотрицательные четные числа и α=β то
удобно использовать так называемый метод понижения степени с
использованием тригонометрических формул:
Пример 2. Найти интегралы:
В) Если т и п - неотрицательные числа и α≠β, то удобнее
последовательно использовать тригонометрические формулы, позволяющие преобразовать произведение тригонометрических функций в
сумму или разность:
а также соответствующие рекомендации в пунктах А и Б для соответствующих т и п.
Пример 1. Найти интегралы:
44
Г) Если показатели т и п отрицательные (оба или один из них), то
рекомендуется использовать различные тригонометрические формулы
и тождественные преобразования с целью упрощения подынтегральной
функции.
Пример 1. Найти интегралы:
45
Заметим, что при решении этого примера можно было применить
подстановку ctg x = t.
Замечание 1.
1) Интегралы типа ∫sinm ax cosn βxdx можно найти, применяя подстановки:
а) если число т нечетное, можно применять подстановку cosx = t;
б) если число n нечетное, можно применять подстановку sinx = t;
в) если сумма чисел т+n четная, можно применять подстановку
tgx = t(или ctgx = t). Эта подстановка применяется также при
интегрировании выражений ∫tgn xdx (или ∫ctgn xdx), где п целое
положительное число.
2) Интегралы вида ∫ sin m ax cosn βxdx, где т и п - рациональные числа, приводятся, вообще говоря, к интегралам от
биноминального дифференциала
интегрируются в элементарных функциях только в
трех случаях;
, и
1) п - нечетное
2) т - нечетное
3) т + п - четное
Более подробно интегрирование биноминального дифференциала
рассматривается в полном курсе математического анализа [1, с. 351-354).
Пример 2. Найти интегралы:
46
.Решение. Здесь оба числа т и n четные, но одно из них отрицательно и можно использовать подстановку tgx = t.
Решение. Здесь m = 3 - нечетное число и можно применить
подстановку cos x = t.
При интегрировании выражений ∫tgn xdx и ∫ctgn xdx, где п -целое
положительное число, можно применять указанные в замечании
подстановки (tgx = t, ctgx = t), но в некоторых случаях удобнее
использовать последовательно формулы тригонометрии
, позволяющие понижать
степень тангенса или котангенса.
Пример 3. Найти интеграл ∫tg7 xdx.
Решим этот пример двумя способами:
47
Этот же интеграл найдем с помощью подстановки;
Под интегралом получилась неправильная дробь. Выделим целую
часть, выполнив деление многочленов:
Таким образом, получим:
48
3, Интегрирование выражений, содержащих гиперболические
функции. Функции, рационально зависящие от гиперболических
функций интегрируются также, как и в случае тригонометрических
функций.
Напомним следующие основные формулы:
Если ввести в рассмотрение подстановку
Пример1. Найти интеграл
Решение. Так как имеет место четная степень, то удобнее
воспользоваться формулой, позволяющей понизить степень за "счет"
удвоения угла:
Пример 2. Найти интеграл
Решение. Так как ch t входит в нечетной степени, то можно отделить
четную степень от нечетной, отделенную часть подвес-
ти под знак дифференциала, а оставшуюся четную часть выразить с
использованием тождества ch2 x – sh2 x = 1 через функцию,
находящуюся под знаком дифференциала:
Заметим, что этот интеграл можно найти, используя подстановку
sh x = t, chxdx = dt.
Пример 3. Найти интеграл
Решение. В этом случае можно применить подстановку
Упражнение 2.8. Найти следующие интегралы:
50
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
Некоторые типы интегралов от алгебраических иррациональностей
надлежащей заменой переменной могут быть сведены к интегралам от
рациональных функций. Такое преобразование интеграла называют его
рационализацией. Заметим, что не of всякой иррациональной функции
интеграл выражается через элементарные функции. Укажем наиболее
важные случаи интегрирования иррациональных выражений.
1. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных
степеней независимой переменной х, т.е. функция
, то рационализация интеграла осуществляется
с помощью подстановки х = ts, где S - наименьшее общее кратное чисел
(НОК)
51
2.Если под знаком интеграла стоит рациональная функция вида
то рационализация
интеграла осуществляется с помощью подстановки
ах + b = ts, где s - НОК чисел
3. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от х и
дробных степеней дробно-линейной функции вида
,
т.е. функция вида
то рационализация интеграла осуществляется с помощью подстановки
ax + b
= ts
cx + d
где s имеет точно такой же смысл, что и выше.
Для определения dx в этом случае необходимо сначала разрешить
выражение для подстановки через х и продифференцировать затем обе
части по независимым переменным х и t.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл
Решение. Под знаком интеграла стоит рациональная функция от х, х 2/3 ,
х 1/6 ,х 1/3 . Наименьшее общее кратное чисел 3 и 6 равно 6, поэтому
делаем подстановку: х = t6 , dx = 6t5dt, откуда приходим к интегралу
следующего вида:
В неправильной дроби выделяем целую часть
и приходим к интегралу:
52
Замечание. В этом примере можно было обойтись без деления
многочленов, представив числитель дроби в виде
t5 +t3 + l = t3 (t2 +1)+1, а затем "разбить" на два интеграла.
Пример 2. Найти интеграл
а значит НОК(3,2)=6 и
Решение. Здесь
s = 6 . Применяем подстановку 2х +1 = t6 , тогда 2dx = 6t5dt и
dx = 3t5 dt.
Пример 3. Найти интеграл
Решение. В подынтегральном выражении
функция от переменной x и от выражения
поэтому необходимо ввести подстановку
что что приведет к
рационализации интеграла:
cтоит рациональная
Возвращаясь к "старой" переменной
получим оконча-
тельно:
Пример 4. Найти интеграл
Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение к виду,
аналогично рассмотренному в предыдущем примере:
Таким образом, схема решения аналогична решению примера 3.
Возвращаясь к "старой" переменной, получим окончательно:
Упражнение 2.9. Найти интегралы:
§ 9. О применении тригонометрических подстановок в
интегралах, содержащих радикалы
Как уже отмечалось выше, интегрирование представляет собой, в
отличие от дифференцирования, более сложную задачу и требуется часто
проявлять изобретательность при решении примеров.
1. Интегрирование выражений вида
При интегрировании указанных выражений применяют подстановку
x = asint (или х = acost), которая приводит к интегралам от
рациональной относительно sint и cost функции.
55
Пример 1. Найти интеграл
Решение.
a2 − x2
Пример 2. Найти интеграл ∫
dx
x
Решение.
Перейти к "старой" переменной здесь удобно следующим образом:
Заменяя cost найденным выражением, получим окончательно:
56
2. Интегрирование выражений вида
При интегрировании указанных
выражений применяют подстановку x = atgt (или х = actgt) и в
подкоренном выражении используются соответствующие указанным
подстановкам формулы тригонометрии.
Пример 1. Найти интеграл
Решение.
предыдущем примере).
Чтобы записать окончательный ответ, выразим cost через переменную х следующим образом:
Возвращаясь таким образом к исходной переменной, получим:
57
3. Интегрирование выражений вида ∫R(x, √x2 -a 2 )dx
При интегрировании указанных выражений применяют подстановку
которая приводит к интегралам
от выражений, рациональных относительно sint и cost.
Пример 1. Найти интеграл
Решение.
Замечание. 1. К интегралам, рассмотренным выше в пунктах 1-3, могут
быть
применены
подстановки,
содержащие
гиперболические функции.
2. Указанные выше подстановки, а также гиперболические
подстановки могут применяться к интегрированию
функций, рационально зависящих
, предварительно приведя эти
выражения к указанным выше 1-3 случаям.
При интегрировании выражений вида
можно применять гиперболическую подстановку х = a tht, а при
интегрировании
и
выражений
соответственно подстановки
x = a sht и x=a cht.
Пример 1. Найти интеграл
, применяя
гиперболическую подстановку.
Решение. Применим подстановку х = ch t и используем основное
тождество ch2t - sh2 = 1.
Возвращаемся к переменной х, используя известные формулы:
Окончательно получаем:
Пример 2. Найти интеграл
Решение. Представим подкоренное выражение в виде:
x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 + 1, и сделаем сначала линейную подстановку (x + 1) = t, dx = dt. Тогда получим следующий интеграл
К этому интегралу применим гиперболическую подстановку:
Возвращаемся к "старой" переменной, используя формулы:
Учитывая, что t = х +1, получим окончательно:
Упражнение 2.10. Найти интегралы с применением тригонометрических или гиперболических подстановок.
60
§ 10. О функциях, интегралы от которых не выражаются через
элементарные функции
Нами было отмечено выше, что любая функция у = f(x), непрерывная на интервале (а, b), имеет на этом интервале первообразную,
т.е. существует такая функция F(x), что F'(x) = f(x).
Необходимо, однако, заметить, что не всякая первообразная F(x)
даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через
элементарные функции.
В § 1-9 мы рассмотрели сравнительно небольшой класс функций, для
которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде. Для
того чтобы понять этот факт, вспомним
табличный интеграл
'. Интеграл от рациональной
функции не является рациональным, и если бы мы не ввели новую
функцию у = 1пх, то и этот интеграл представлял собой
функцию у = lnх новой "природы".
К числу таких заведомо не выражающихся в конечном виде
интегралов относятся следующие:
Последние три интеграла называются эллиптическими интегралами 1-го,
2-го и 3-гр рода в форме Лежандра. К этим интегралам привели задачи о
спрямлении эллипса. Первые два интеграла содержат один параметр k, а
в последний входят два параметра k и h, при этом h является комплексным
числом.
61
Для указанных интегралов первообразные функции представляют
собой новые функции, не являющиеся комбинацией элементарных
функций.
Так, например, первообразная от семейства
,
которая при х = 0 обращается в нуль, называется функцией Лапласа и
обозначается Ф(х), т.е.
, если Ф(0) = 0. Эта
функция хорошо изучена, составлена таблица значений для различных х.
Для последних трех интегралов также были составлены Лежандром
обширные таблицы для различных φ и k, изучены свойства этих
функций. Были выведены новые формулы, связанные с функциями
Лежандра, что в задачах приложения имеет большое значение на равных
правах с элементарными функциями.
Заметим, что более подробно такие функции изучаются в специальных
курсах математического анализа.
§ 11. Контрольные вопросы по теме
«Неопределенный интеграл»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Понятия первообразной и неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Методы непосредственного интегрирования.
Метод подведения под дифференциал и метод замены переменной.
Метод интегрирования по частям.
Понятия правильной и неправильной дроби. Выделение целой
части и разложение правильной дроби на простейшие.
8. Интегрирование простейших дробей.
62
9. Интегрирование тригонометрических выражений с использованием
тригонометрических формул и тождественных преобразований.
10. Интегрирование выражений, рациональных относительно
тригонометрических функций (универсальная подстановка,
частные подстановки).
11. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические
функции.
12. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
13. Простейшие тригонометрические и гиперболические подстановки
в интегралах, содержащих радикалы.
14. Примеры функций, интегралы от которых не выражаются через
элементарные функции.
Ответы
Упражнение 2.1
63
Упражнение 2.2
64
Упражнение 2.3
Упражнение 2.4
65
Упражнение 2.5
Упражнение 2.6
Упражнение 2.7
68
Упражнение 2.8
69
Упражнение 2.9
70.
71
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1. - М.: Наука, 1968. - 552 с.
2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического
анализа для втузов. - М.: Наука, 1973. - 720 с.
3. Глаголев А.А., Солнцева Т.В. Курс высшей математики: - М.:
Высш. школа, 1965. - 590 с.
4. Каплан И.А. Практические занятия по высшей
математике.
Ч. III. - Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1965. - 374 с.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: задачник М.: Наука, 1987. - 256 с.
6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. -М.: Наука, 1969. - 438 с.
7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М.:
Наука, 1977. - 352 с.
8. Кардаков В.Б., Мелентович Ф.Н., Серяков В.М. Неопреде
ленный интеграл: Учеб. задания и метод, указания для студентов заочной формы обучения. - Новосибирск: НГАСУ,
1995. - 24 с.
72
Учебное издание
Александр Иванович Гулидов
Юрий Михайлович Вахромеев
Федор Николаевич Мелентович
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
Учебное пособие
Темплан 2001 г.
Редактор А.В. Максимова
Лицензия ЛР № 020462 от 10.08.98 г.
Подписано к печати 20.03.2001. Формат 60x84 1/16 д.л.
Бумага газетная. Ризография.
Объём 4,3 уч.-изд.л.; 4,75 п.л. Тираж 900 экз. Заказ № 78
Новосибирский государственный архитектурностроительный университет
630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113 Отпечатано
мастерской оперативной полиграфии НГАСУ