Программы испытаний по математике

Программы испытаний по математике
1. Основные математические понятия и факты
Арифметика, алгебра и начала анализа
•
Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное.
Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
•
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
•
Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание,
умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
•
Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его
геометрический смысл.
•
Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного
умножения.
Степень
с
натуральным
и
рациональным
показателем.
Арифметический корень.
•
Логарифмы и их свойства.
•
Одночлен и многочлен.
•
Многочлен
с
одной
переменной.
Корень
многочлена
на
примере
квадратного трехчлена.
•
Понятие функции. Способы задания функции. Область определения.
Множество значений функции.
•
График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность,
четность, нечетность.
•
Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.
Понятие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие
экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
•
Определение и основные свойства функций: линейной y = kх + b,
квадратичной у = ах2 +bx + с, степенной у = ахn (n ∈ N), у = k/х,
показательной у=ах, логарифмической у = lоgах, тригонометрических: у =
sin х, у = соs х, у = tg х, арифметического корня y = √ x.
•
Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
•
Неравенства. Решение неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.
•
Системы уравнений и неравенств. Решения системы.
•
Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и
суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.
•
Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
•
Преобразование в произведение sin(α) ± sin(β), cos(α) ± cos(β).
•
Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
Производные функций у = sin х, у = соs х,у = tg х, у = ах, у = хn (n ∈ N)
Геометрия
•
Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла.
Вертикальные и смежные углы. Параллельные прямые. Окружность, круг.
•
Примеры
преобразования
фигур,
виды
симметрии.
Преобразование
подобия и его свойства.
•
Векторы. Операции над векторами.
•
Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
•
Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
•
Четырехугольники:
параллелограмм,
прямоугольник,
ромб,
квадрат,
трапеция.
•
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к
окружности. Дуга окружности. Сектор.
•
Центральные и вписанные углы.
•
Формулы
площади:
треугольника,
прямоугольника,
параллелограмма,
ромба, квадрата, трапеции.
•
Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла.
•
Площадь круга и площадь сектора.
•
Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
•
Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
•
Параллельность прямой и плоскости.
•
Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
•
Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность
двух плоскостей.
•
Многогранники.
наклонная
Их
призмы;
вершины,
ребра,
пирамиды.
грани,
Правильная
диагонали.
призма
и
Прямая
и
правильная
пирамида. Параллелепипеды, их виды.
•
Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус
сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
•
Формула объема параллелепипеда.
•
Формула площади поверхности и объема призмы.
•
Формула площади поверхности и объема пирамиды.
•
Формула площади поверхности и объема цилиндра.
•
Формула площади поверхности и объема конуса.
•
Формула объема шара и его частей.
•
Формула площади сферы.
2. Основные формулы и теоремы
Алгебра и начала анализа
•
Свойства функции у = kх + b и её график.
•
Свойства функции у = k/х и её график.
•
Свойства функции у = ах2 + bх + с и её график.
•
Формула
корней
квадратного
уравнения.
трехчлена на линейные множители.
•
Свойства числовых неравенств.
•
Логарифм произведения, степени, частного.
Разложение
квадратного
•
Определение и свойства функций y = sin х, у = соs х и их графики.
•
Определение и свойства функции у = tg х и её график.
•
Решение уравнений вида sin х = а, соs х = а, tg х = а.
•
Формулы приведения.
•
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента.
•
Тригонометрические функции двойного аргумента.
•
Производная суммы двух функций.
Геометрия
•
Свойства равнобедренного треугольника.
•
Свойство точек, равноудаленных от концов отрезка.
•
Признаки параллельности прямых.
•
Сумма
углов
треугольника.
Сумма
внутренних
углов
многоугольника.
•
Признаки параллелограмма.
•
Окружность, описанная около треугольника.
•
Окружность, вписанная в треугольник.
•
Касательная к окружности и ее свойство.
•
Измерение угла, вписанного в окружность.
•
Признаки подобия треугольников.
•
Теорема Пифагора.
•
Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
•
Формула расстояния между двумя точками плоскости.
•
Уравнение окружности.
•
Признак параллельности прямой и плоскости.
•
Признак параллельности плоскостей.
выпуклого
•
Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
•
Перпендикулярность двух плоскостей.
•
Теоремы о перпендикулярности и параллельности двух плоскостей.
•
Теорема о трех перпендикулярах.
3. Основные умения и навыки
Абитуриент должен уметь:
•
Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять
данные числа и результаты вычислений; пользоваться калькуляторами или
таблицами для вычислений.
•
Проводить
тождественные
содержащих
преобразования
переменные,
выражений,
многочленов,
содержащих
дробей,
степенные,
показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
•
Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций.
•
Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и
неравенства,
приводящиеся
к
ним;
решать
системы
уравнений
и
неравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в
частности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие
степенные,
показательные,
логарифмические
и
тригонометрические
функции.
•
Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
•
Изображать
геометрические
фигуры
на
чертеже
и
производить
простейшие построения на плоскости.
•
Использовать
геометрические
представления
при
решении
алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии применять при
решении геометрических задач.
•
Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание
векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих
операций.
•
Пользоваться понятием производной при исследовании функций на
возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков
функций.
Примечание: программа составлена на основании следующих нормативных
докумен-тов Министерства образования и науки Российской Федерации:
•
Обязательный минимум содержания основного общего образования по
предмету (Приказ МО от 19.05.98 № 1276);
•
Обязательный
минимум
содержания
среднего
(полного)
общего
образования по предмету (Приложение к Приказу МО от 30.06.99 № 56, см.
дополнение).
Дополнение: выдержка из Приложения к приказу Министерства образования
России от 30.06.99 № 56
Обязательный минимум содержания среднего
(полного) общего образования
Образовательная область
Математика
(математика, информатика)
Вычисления и преобразования
•
Действительные
числа.
Свойства
арифметических
действий
с
действительными числами. Сравнение действительных чисел.
•
Корень степени n. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Понятие о степени с иррациональным показателем.
•
Логарифм. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы.
Формула перехода от одного основания логарифма к другому.
•
Тождественные
преобразования
иррациональных,
степенных,
показательных и логарифмических выражений.
•
Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Формулы
приведения.
Соотношения
между
тригонометрическими
функциями:
основные тригонометрические тождества, формулы сложения и следствия
из них.
•
Тождественные
преобразования
тригонометрических
выражений.
Уравнения и неравенства.
•
Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений. Основные
методы
решения
уравнений:
разложение
на
множители,
замена
переменной, использование свойств функций.
•
Иррациональные
уравнения.
Показательные
и
логарифмические
уравнения. Тригонометрические уравнения. Системы уравнений.
•
Рациональные неравенства с одной переменной. Решение неравенств
методом интервалов. Иррациональные неравенства. Показательные и
логарифмические неравенства.
•
Уравнения и неравенства с модулем. Уравнения и неравенства с
параметрами.
Функции
•
Числовые функции. Область определения и множество значений функции.
Свойства функции: непрерывность, периодичность, четность, нечетность,
возрастание
и
убывание,
экстремумы,
наибольшие
и
наименьшие
значения, ограниченность, сохранение знака. Связь между свойствами
функции и ее графиком.
•
Тригонометрические
функции
(синус,
косинус,
тангенс
и
котангенс),показательная и логарифмическая функции, их свойства и
графики.
•
Понятие
о
пределе
и
непрерывности
функции.
Производная.
Геометрический и физический смысл производной.
•
Таблица производных. Производная суммы, произведения и частного двух
функций. Производная функции вида y = f(ax + b). Исследование свойств
функций с помощью производной: нахождение экстремумов функции,
наибольших
и
наименьших
значений,
промежутков
монотонности.
Построение графиков функции.
•
Первообразная функция. Задача о площади криволинейной трапеции.
Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических
величин
•
Взаимное
расположение
прямых
и
плоскостей
в
пространстве.
Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых и
плоскостей. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых и
плоскостей.
•
Углы между прямыми и плоскостями.
•
Расстояние от точки до плоскости, между скрещивающими прямыми, между
прямой
и
параллельной
ей
плоскостью,
между
параллельными
плоскостями.
•
Многогранники. Призма. Параллелепипед. Пирамида. Усеченная пирамида.
Правильные многогранники. Сечения многогранников. Формулы объемов
призмы и пирамиды.
•
Тела вращения. Сечения тел вращения. Прямой круговой цилиндр. Прямой
круговой конус. Усеченный конус. Сечения конуса. Шар и сфера, Формулы
объемов
цилиндра,
конуса
и
шара.
Формулы
площадей:
боковой
поверхности цилиндра и конуса, поверхности шара.
•
Изображение пространственных фигур.
•
Подобие пространственных фигур. Отношение площадей поверхностей и
объемов подобных фигур.