Ôîíä ïîääåðæêè ðîññèéñêîé ìàòåìàòèêè èì. Ëåîíàðäà Ýéëåðà ÔÎÍÄ ÝÉËÅÐÀ Êîíêóðñ ìîëîäûõ ìàòåìàòèêîâ 2008 Íîìèíàöèÿ: Àñïèðàíòû Ãèëèìøèíà Âåíåðà Ôèäàðèñîâíà ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈß ÐÅØÅÍÈÉ ÍÅÐÀÂÍÎÌÅÐÍÎ ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Â ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÎÁËÀÑÒÈ 1 Ââåäåíèå Ïóñòü Ω íåîãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà Rn , n ≥ 2, x ∈ Rn . Ðàññìîòðèì â öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè D = {t > 0 } × Ω ëèíåéíîå ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà: ut = n X (aij (t, x)uxi )xj + i,j=1 n X (1) (bi uxi + (ci u)xi ) − d(x)u. i=1 Íà èçìåðèìûå ñèììåòðè÷íûå êîýôôèöèåíòû aij = aji íàêëàäûâàåòñÿ óñëîâèå ïàðàáîëè÷íîñòè: ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå íåïðåðûâíàÿ â Ω ôóíêöèÿ s(x) è ÷èñëî Γ òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà y ∈ Rn è ïî÷òè âñåõ (t, x) ∈ D ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà: 2 s(x)|y| ≤ n X (2) aij (t, x)yi yj ≤ s(x)Γ|y|2 . i,j=1 Íà èçìåðèìûå ìëàäøèå êîýôôèöèåíòû íàëîæåíî îãðàíè÷åíèå â âèäå íåðàâåíñòâà n X (3) (bi (t, x) − ci (t, x))2 ≤ s(x)d(x). i=1 Íà ãðàíèöå îáëàñòè ∂Ω çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ ïåðâîãî è òðåòüåãî òèïà: u(t, x) = 0; x∈Γ1 ∂u ∂N + n X ni ci u i=1 Çäåñü Γ1 , Γ2 ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà òàêèå, ÷òî Γ1 ∪ Γ2 ∂u Γ1 6= ∅; ∂N = n P (4) = 0. x∈Γ2 = ∂Ω è aij uxi nj . Ïîñêîëüêó ìû áóäåì èìåòü äåëî ñ îáîáùåííûì i,j=1 ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (4) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u(0, x) = ϕ(x) ∈ L2 (Ω), (5) òî âîïðîñû î òîì, êàê ïîíèìàòü êîìïîíåíòû íîðìàëüíîãî âåêòîðà ê îáëàñòè ñ ïðîèçâîëüíîé ãðàíèöåé â óñëîâèè (4) ìîæíî îñòàâèòü áåç îòâåòà. 2 Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (4), (5) îò ãåîìåòðèè íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω. Ïåðâûå èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà îò ãåîìåòðèè íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè áûëè âûïîëíåíû À.Ê.Ãóùèíûì â ðàáîòàõ [3, 4]. Äëÿ øèðîêîãî êëàññà îáëàñòåé â íèõ äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé ñìåøàííîé çàäà÷è óñòàíîâëåíà îöåíêà kϕkL1 (Ω) √ , v( t) |u(t, y)| ≤ y ∈ Ω, ãäå v(r) = mes{y ∈ Ω : |y| < r}. Äîêàçàíà òàêæå òî÷íîñòü ýòîé îöåíêè. Áîëåå ïîëíûå èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè ïîâåäåíèÿ ïðè áîëüøîì çíà÷åíèè âðåìåíè ðåøåíèÿ âòîðîé ñìåøàííîé çàäà÷è îò ãåîìåòðèè îáëàñòè è îò íà÷àëüíîé ôóíêöèè âûïîëíåíû À.Â.Ëåæíåâûì â [12]. Â.È.Óøàêîâ [19] ïîëó÷èë ðåçóëüòàòû, áëèçêèå ê ðåçóëüòàòàì À.Ê.Ãóùèíà, äëÿ òðåòüåé ñìåøàííîé çàäà÷è â íåöèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè. Ðàíåå â ðàáîòå [17] Ô.Õ.Ìóêìèíîâûì áûëà äîêàçàíà îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è â ñëó÷àå ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà è äîêàçàíà åå òî÷íîñòü â êëàññå íåîãðàíè÷åííûõ ìîíîòîííî ðàñøèðÿþùèõñÿ îáëàñòåé âðàùåíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, â øèðîêîì êëàññå îáëàñòåé òàêîé õàðàêòåðèñòèêîé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ λ(r) [17] (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëî êîîðäèíàò ïðèíàäëåæèò Ω ): ïðè êàæäîì r > 0 ÷èñëî λ(r) åñòü ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà −4 â Ωr = {x ∈ Ω : |x| < r}, R λ(r) = inf ◦ v∈W 12 (Ωr ) |∇v|2 dx Ωr R |v|2 dx , v ∈ C0∞ (Ωr ). Ωr À èìåííî, â ðàáîòå [17] äîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è (23),(5) ñ êðàåâûì óñëîâèåì Äèðèõëå äëÿ âñåõ R > 0, y ∈ ΩR è t > 2R/ p 3 λ(2R) óäîâëåòâî- ðÿåò îöåíêå −n/2 max G(t, x, y) ≤ Ct x∈Ω r(t)2 exp −k t , t = r/ p (6) λ(r), c ïîëîæèòåëüíûìè ïîñòîÿííûìè C è k, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò n è ïîñòîÿííîé ïàðàáîëè÷íîñòè.  ðàáîòå [2] ïîëó÷åíû òî÷íûå îöåíêè ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî è øåñòîãî ïîðÿäêà ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè Ðèêêüå íà áîêîâîé ãðàíèöå íåîãðàíè÷åííîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè.  ðàáîòàõ [8], [18] äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà ïîëó÷åíà îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ. Áîëåå ïîëíûé îáçîð ðåçóëüòàòîâ, ïðèìûêàþùèõ ê òåìå íàñòîÿùåé ðàáîòû, ìîæíî íàéòè â [2, 8]. Îáû÷íî â êà÷åñòâå ãåîìåòðè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿþùåé ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ èëè ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé âûáèðàåòñÿ ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ(r) çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îãðàíè÷åííîì êóñêå îáëàñòè {y ∈ Ω : |y| < r} èëè µ(r) äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà íà ïîâåðõíîñòè {y ∈ Ω : |y| = r}. Íî êàê óêàçûâàëîñü â ðàáîòå [7] îáå ýòè õàðàêòåðèñòèêè îêàçûâàþòñÿ íåóäîâëåòâîðèòåëüíûìè, åñëè ãðàíèöà îáëàñòè íåðåãóëÿðíà. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ èíàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà îáëàñòè, ê îïèñàíèþ êîòîðîé ìû ïðèñòóïàåì. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íåîãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü èìååò p âåòâåé, óõîäÿùèõ íà áåñêîíå÷íîñòü, è ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ Ω = ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âëîæåííûõ Ω ∞ S ΩN N =0 N ⊂Ω N +1 îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé, óäîâëå- +1 òâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì. Äîïîëíåíèÿ ΩN = ΩN +1 \ ΩN ðàñN +1 ïàäàþòñÿ íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïîäîáëàñòåé ωiN , i = 1, ..., p : ΩN = N Ïåðåñå÷åíèå (∂Ω ) N T p S i=1 ωiN . Ω ðàñïàäàåòñÿ íà êîíå÷íîå ÷èñëî ãèïåðïîâåðõíîñòåé 4 SiN , i = 1, ...p. N N N Îïðåäåëèì âåêòîðû tN = (tN 1 , ..., tp ) è ôóíêöèè λ1 , ..., λp ôîðìóëàìè N +1 N tN )è i = dist(Si , Si λN i Z = inf{ Z ∞ n k(x, g)dxg ∈ C0 (R \Γ1 ), g 2 dx = 1}, ωiN (7) ωiN ãäå k(x, g) = s(x)|∇g|2 + d(x)g 2 . Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî θ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ N ≥ 0 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà N 2 N s(x) ≤ θλN i (ti ) , i = 1, ..., p, x ∈ ωi . Îïèñàííîå âûøå ïðåäñòàâëåíèå Ω = ∞ S (8) ΩN ïðè âûïîëíåíèè íåðà- N =0 âåíñòâ (8) áóäåì íàçûâàòü λðàçáèåíèåì îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùèì çàäà÷å (1), (4), (5). ( äàëüíåéøåì ïðîñòî λðàçáèåíèåì). Íàøå ïîíÿòèå λ ðàçáèåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ λ-ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ââåäåííîãî Ë.Ì.Êîæåâíèêîâîé äëÿ îáëàñòè, èìåþùåé îäíó âåòâü, óõîäÿùóþ íà áåñêîíå÷íîñòü ½âäîëü îñè 0x1“ , íà ñëó÷àé ìíîãèõ âåòâåé, äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì óõîäÿùèõ íà áåñêîíå÷íîñòü.  ðàáîòå [8] îáëàñòè (9) ΩN = {x ∈ Ω|x1 < zN } îïðåäåëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÷èñåë {zj }∞ j=0 , è ïðèâåäåíî ïðîñòîå óñëîâèå, íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë òàêîé, ÷òî âûïîëíåíî òðåáîâàíèå (8) ( â ñëó÷àå ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ áåç ìëàäøèõ ÷ëåíîâ, s ≡ 1). Óñëîâèå òàêîâî: äëÿ ëþáîãî r1 > 0 íàéäåòñÿ r2 > r1 òàêîå, ÷òî Z inf{ 2 |∇g| dxg ∈ C0∞ (Ω), Ω(r2 )\Ω(r1 ) Z Ω(r2 )\Ω(r1 ) 5 g 2 dx = 1} > 0, (10) ãäå Ω(r) = {x ∈ Ω | x1 < r}. Ðàäè íåêîòîðûõ óïðîùåíèé, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî Z 0 λ = inf{ Z ∞ n k(x, g)dxg ∈ C0 (R \Γ1 ), g 2 dx = 1} > δ > 0. Ω0 (11) Ω0 Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äîñòàòî÷íûì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, óñëîâèå Γ1 ∩ ∂Ω0 6= ∅ (ïåðåñå÷åíèå ½íåíóëåâîé ìåðû“ .) Áîëåå ïðîñòîå óñëîâèå, êàê ïîëîæèòåëüíîñòü ôóíêöèè d, òàêæå äîñòàòî÷íî äëÿ íåðàâåíñòâà (11). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííûé íîñèòåëü. Ýòî òðåáîâàíèå ñóùåñòâåííî. Èíà÷å, êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [15], äëÿ ðàñøèðÿþùèõñÿ îáëàñòåé íåëüçÿ ïîëó÷èòü îöåíêó ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)-(5) áîëåå ñèëüíóþ, ÷åì îöåíêà Íýøà [22] äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè: n u(t, x) = O(t− 4 ), ϕ ∈ L2 (Rn ) . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòü, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî suppϕ ⊂ Ω0 (ïðè íåîáõîäèìîñòè, ìîæíî ñäâèíóòü íóìåðàöèþ îáëàñòåé ΩN = ΩN +k ). Ïîòðåáóåì, ÷òîáû äëÿ âåêòîðà c = {ci } ïðè âñåõ N = 0, 1, ... è µ òàêîì, ÷òî 2µ2 θeµ = 1, áûëè âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ ∂dist(x, SiN ) µs − ≤ N, ∂c ti x ∈ ωiN , , (12) i = 1, p. Ýòî íóæíî, ÷òîáû ìëàäøèå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (1) íå ñèëüíî èñêàæàëè óáûâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è, îïðåäåëÿåìîå ñòàðøèìè ïðîèçâîäíûìè. . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ N (t), t > 0, ðàâåíñòâîì N (t) = max{N |N ≤ λ(N )t}, λ(N ) = min{λ0 , λνi | i = 1, ...p, ν = 0, 1, ...N − 1}. ßñíî, ÷òî N (t) íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ îáëàñòè Ω ñóùåñòâóåò λðàçáèåíèå Ω = ∞ S ΩN , N =0 óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì (8) è (11). Ïóñòü êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò (2), (3), (12) è íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííûé íîñèòåëü suppϕ ⊂ Ω0 . Òîãäà íàéäóòñÿ ÷èñëà χ > 0, M, òàêèå, ÷òî ðåøåíèå 6 u(t, x) çàäà÷è (1), (4), (5) ïðè t ≥ 0 è x ∈ Ω óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå (13) ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χN (t))kϕkL2 (Ω) . Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Íýøà èç (13) ïîëó÷àåì îöåíêó n |u(t, x)| ≤ M t− 4 kϕkL2 (Ω) exp(−χN (t/2)). Êîíå÷íî, îöåíêà òåîðåìû ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò ïðåäñòàâëåíèÿ Ω = ∞ S ΩN .  ðàáîòå [8] äëÿ ñëó÷àÿ îáëàñòè Ω ñ îäíîé âåòâüþ ïðè N =0 êðàåâûõ óñëîâèÿõ ïåðâîãî ðîäà ïîêàçàíî, ÷òî ½íàèëó÷øàÿ“ îöåíêà (13) ïîëó÷àåòñÿ ïðè ìèíèìàëüíî âîçìîæíûõ ðàññòîÿíèÿõ tN , ïðè êîòîðûõ åùå íå íàðóøàåòñÿ óñëîâèå (8) ñ ôèêñèðîâàííûì θ.  ñëó÷àå ñî÷åòàþùèõñÿ êðàåâûõ óñëîâèé (4) îïèñàíèå îïòèìàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ω = ∞ S ΩN äëÿ ïîëó÷å- N =0 íèÿ ½íàèëó÷øåé“ îöåíêè (13) çàòðóäíèòåëüíî, ïîñêîëüêó îíî ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò ½÷åðåäîâàíèÿ“ íà ãðàíèöå óñëîâèé ïåðâîãî è òðåòüåãî òèïà, êîòîðîå ìîæåò áûòü íå ðåãóëÿðíûì. Òåì íå ìåíåå, ìû ïðèâîäèì øèðîêèé êëàññ îáëàñòåé è ðàñïðåäåëåíèé êðàåâûõ óñëîâèé, äëÿ êîòîðûõ îöåíêà (13) òî÷íà ïî ïîðÿäêó ñòðåìëåíèÿ ê íóëþ. Ðàññìîòðèì îáëàñòü âðàùåíèÿ Ωf = {x ∈ Rn , x = (x1 , x0 ) |x0 | < f (x1 ), x1 > 0}, (14) ñ ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé f (x1 ). Ñëåäóÿ [9], îïðåäåëèì Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zN } èíäóêòèâíûì ðàâåíñòâîì, íà÷èíàÿ ñ ïðîèçâîëüíîãî z0 > 0 : zN = sup{t| inf f ≥ t − zN −1 }, N = 1, ∞. [zN −1 ,t) Äëÿ îáëàñòåé âèäà Ωf ðàçáèåíèå Ω = òåëüíîñòüþ ÷èñåë {zN }, Ω ∞ S N =0 N (15) ΩN îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâà- = {x ∈ Ω | x1 < zN }. Ïðè ýòîì p = 1 è íèæíèé 7 èíäåêñ âåëè÷èí λN i ìîæåò áûòü îïóùåí. Óñëîâèå (7) ïðèíèìàåò âèä s(x) ≤ θλN (zN +1 − zN )2 , x ∈ ω N . (70 ) Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå ïîñòîÿííîé w òàêîé, ÷òî (16) sup{f (z)|z ∈ [t − f (t), t + f (t)]} ≤ wf (t), t ≥ z0 . Òîãäà (ñì. 2) ïðè íåêîòîðîì c > 1 ñïðàâåäëèâû îöåíêè ZzN dt ≤N ≤c f (t) z0 ZzN dt , N ≥ 0. f (t) (17) z0 Ýòî íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü ôóíêöèþ N (t) íà r(t) R z0 äåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì Zr dτ f (τ ) , ãäå r(t) îïðå- dτ t = . f (τ ) δ(r) (18) z0 Ôóíêöèÿ δ(r) îïðåäåëÿåòñÿ â òî÷êàõ zN ðàâåíñòâîì δ(zN ) = max 42j /s(zj , 0) j=0,N −1 è ëèíåéíî èíòåðïîëèðóåòñÿ â îñòàâøèõñÿ èíòåðâàëàõ. Ïðèìåð 1. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ îáëàñòè âèäà e f = {x ∈ Rn | x1 > 0} \ ∪∞ Ω i=1 S(i), S(i) = {x ∈ Rn | x1 = i, |x0 | ≥ f (i)}, f (r) ≥ 2, ñ íåðåãóëÿðíîé ãðàíèöåé áóäåì èñïîëüçîâàòü Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îïðåäåëåííóþ ôîðìóëîé (15).  ýòîì ñëó÷àå íà ãðàíèöå ìû áóäåì çàäàâàòü îäíîðîäíûå óñëîâèÿ Äèðèõëå, e f . Òîãäà ïðè s(x) ≡ 1 â 2 äîêàçàíî, ÷òî Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü ò.å. Γ1 = ∂ Ω îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå. Ïîýòîìó èç òåîðåìû 1 è (18) ñëåäóåò îöåíêà (ñì. 1) Zz ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χ1 z0 8 dτ ). f (τ ) (19) Ïðèìåð 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî Γ1 íà ãðàíèöå îáëàñòè Ωf ðàñïðåäåëåíî äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíî. À èìåííî, ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë D, δ è δ1 òàêèõ, ÷òî ïðè âñåõ b > a ≥ D, b − a ≥ min{f (a), f (b)}/2 âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà mes P rΓ1 ∩ [a, b] ≥ δ(b − a), (20) ãäå "ñóùåñòâåííàÿ" ïðîåêöèÿ P rΓ1 îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì P rΓ1 = {t|mes n−2 Γ1 ∩ {x1 = t} ≥ δ1 f n−2 (t)}. (21) Òîãäà ïðè s(x) ≡ 1 ôîðìóëà (9) îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå îáëàñòè Ωf (ñì. 2). Òà æå Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿåò λðàçáèåíèå è â ñëó÷àå íåðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, åñëè ïðè íåêîòîðîì C > 0 âûïîëíåíî óñëîâèå ëîêàëüíîé ðàâíîìåðíîñòè s(x) ≤ Cs(y), x, y ∈ Ω1f,r , r > z0 , (22) ãäå Ωαf,r = {(x1 , x0 ) max(z0 , r − f (r)) < x1 < r + f (r), |x0 | < αf (x1 )}. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå íåðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïîâåäåíèå ôóíêöèè s(x) âíîñèò ñóùåñòâåííûé âêëàä â ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (4), (5). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âçÿòü, íàïðèìåð, s(x) ≡ s(x1 ) = f 2 (x1 ), òî ïðè ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè f áóäåì èìåòü δ(r) ∼ 1 è ôóíêöèÿ r(t) îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà Zr dτ = t, f (τ ) z0 à îöåíêà (19) îáðåòàåò âèä ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χ1 t). 9 Åñëè æå s(x) ≡ 1 è f (r) = √ r, òî δ(r) ∼ r è èç ðàâåíñòâà Zr dτ t √ = r r z0 íàõîäèì r(t) ∼ t2/3 è îöåíêà (19) ïðèíèìàåò âèä ku(t)kL2 (Ω) ≤ M exp(−χ1 t1/3 ).  ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè äëÿ îáëàñòåé âðàùåíèÿ âèäà Ωf óñòàíîâëåíà îöåíêà ñíèçó äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ áåç ìëàäøèõ ÷ëåíîâ ut = n X (23) (aij (t, x)uxi )xj . i,j=1 Òåîðåìà 2. Ïóñòü îáëàñòü Ω ñîäåðæèò îáëàñòü Ωf ⊂ Ω îïðåäåëåííóþ ôóíêöèåé f, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (16), è ôóíêöèÿ s(x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ s(x) ≤ Cs(y), 1/2 x, y ∈ Ωf,r . (24) Åñëè íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà è ϕ 6≡ 0, òî íàéäóòñÿ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà K, α òàêèå, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ (23), (4), (5) ïðè t ≥ 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà ñíèçó ku(t)k2 ≥ αexp(−KN (t)), (25) ãäå ôóíêöèÿ N (t) ñòðîèòñÿ ïî Πïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zN }∞ N =0 . Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 2 âûäåëÿåò óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îöåíêà (13) äëÿ óðàâíåíèÿ (23) â ñëó÷àå îáëàñòåé âðàùåíèÿ òî÷íà ïî ïîðÿäêó ñòðåìëåíèÿ ðåøåíèÿ ê íóëþ. Ïîêàæåì, ÷òî îöåíêè (13) òî÷íû, â ÷àñòíîñòè, â ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ 1, 2. 10 1 Ñóùåñòâîâàíèå è ñâîéñòâà îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: Dab = (a, b) × Ω, DT = D0T , D = D0∞ , Z (u, w)DT = (∇u, ∇w)S,DT = uwdxdt, n Z X s(x)uxα wxα dxdt. α=1 T D DT ×åðåç kukDT áóäåì îáîçíà÷àòü íîðìó â L2 (DT ). Íà ìíîæåñòâå ñóæåíèé íà DT ôóíêöèé èç C0∞ (Rn+1 \(0, T ) × Γ1 ) îïðåäåëèì íîðìû kuk2H 0,1 (DT ) = kuk2DT + k∇uk2S,DT ; kuk2H 1,1 (DT ) = kuk2H 0,1 (DT ) + kut k2DT . ◦ Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîïîëíåíèÿ ýòîãî ìíîæåñòâà îáîçíà÷èì H ◦ H 1,1 0,1 (DT ; Γ1 ) è (DT ; Γ1 ). Îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (4), (5) â DT áóäåì íàçûâàòü ôóíê◦ öèþ u(t, x) ∈ H Z DT (DT ; Γ1 ), óäîâëåòâîðÿþùóþ èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó: ! n n X X −uvt + aij (t, x)uxi vxj + (ci uvxi − bi uxi v) + duv dxdt = 0,1 i,j=1 i=1 Z = ϕ(x)v(0, x)dx, Ω ◦ äëÿ ëþáîé ôóíêöèè v(t, x) ∈ H 1,1 (26) (DT ; Γ1 ) òàêîé, ÷òî v(T, x) = 0. Ôóíêöèÿ u(t, x) ðåøåíèå çàäà÷è (1), (4), (5) â D, åñëè ïðè âñåõ T > 0 îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1), (4), (5) â DT . Îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), (4), (5) â DT ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Ñóùåñòâîâàíèå äîêàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàëåðêèíà [11, c.181-186]. Åäèíñòâåííîñòü íèæå áóäåò âûâåäåíà èç ñëåäóþùåãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîîòíîøåíèÿ. Óòâåðæäåíèå 1. Îáîáùåííîå ðåøåíèå u(t, x) çàäà÷è (1), (4), (5) â D íåïðåðûâíî ïî t â íîðìå ïðîñòðàíñòâà L2 (Ω) è ïðè âñåõ t ≥ 0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: Z Z 2 u (t, x)dx = Ω Ω 11 ϕ2 (x)dx− Zt Z −2 ∇uA(τ, x)∇u − 0 n X ! (bi − ci )uuxi + du2 dxdτ. (27) i=1 Ω Ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè íå òðåáóåò ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 1, ïðèâåäåííîì â [11] äëÿ îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω è ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâàìè (2), (3) èç (27) íåòðóäíî âûâåñòè ñîîòíîøåíèå Z u2 (t, x)dx + Zt Z k(x, u)dxdτ ≤ 0 Ω Z Ω ϕ2 (x)dx. (28) Ω Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (4), (5). Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ðàâåíñòâî (27) ïî t, ïðè ïî÷òè âñåõ t > 0 óñòàíàâëèâàåì îöåíêó d dt Z u2 (t, x)dx ≤ − Ω Z k(x, u)dx. (29) Ω Îòìåòèì, ÷òî èç (7) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî λN i Z g 2 dx ≤ ωiN Z (|∇g|2 s(x) + d(x)g 2 )dx. (30) ωiN Èç îïðåäåëåíèÿ λ(N ) èìååì òàêæå íåðàâåíñòâî Z λ(N ) v 2 dx ≤ ΩN Z k(x, v)dx, v ∈ C0∞ (Rn \Γ1 ), t > 0. (31) ΩN Íèæå ìû âûâåäåì òåîðåìó 1 èç ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ. Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü äëÿ îáëàñòè Ω ñóùåñòâóåò λðàçáèåíèå Ω = ∞ S ΩN , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì (8) è (11). Òîãäà íàéäåòñÿ ÷èñëî µ > 0 N =0 òàêîå, ÷òî îáîáùåííîå ðåøåíèå u(t, x) çàäà÷è (1), (4), (5) â D ïðè âñåõ t > 0 óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå Z u2 (t, x)dx ≤ Ω\ΩN 12 1 −µN e kϕk2 . µ (32) e f , ñïðàÇàìå÷àíèå.  ñëó÷àå îáëàñòè âðàùåíèÿ Ωf , à òàêæå îáëàñòè Ω âåäëèâà òàêæå îöåíêà Z eµ 2 u (t, x)dx ≤ exp(−µ µ Zz dr )kϕk2 , f (r) z0 Ω\Ω(z) âûòåêàþùàÿ èç (32) è (18). Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì â Ω ëèïøèöåâó ôóíêöèþ ξ(x), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì ξ(x) = 0 ïðè x ∈ Ω0 , ξ(x) = 1 ïðè x ∈ Ω\ΩN , ξ(x) = exp(−µ(N − 1)) min(1, dist(Si0 , x)/t0i ) ïðè x ∈ ωi0 , ξ(x) = exp(−µ(N − ν − min(1, dist(Siν , x)/tνi ))) ïðè x ∈ ωiν , ν = 1, N − 1; i = 1, p. Íåòðóäíî óñòàíîâèòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ |∇ξ| ≤ exp(−µ(N − 1))/t0i , ïðè x ∈ ωi0 , i = 1, p, (33) |∇ξ| ≤ µξ/tνi ïðè x ∈ ωiν , ν = 1, N − 1; i = 1, p. (34) max ξ(x) = eµ min ξ(x), ν = 1, N − 1. ν+1 ν+1 Ων Ων max ξ(x) = exp(−µ(N − 1)). 1 Ω (35) (36) ×åðåç vh (t, x) áóäåì îáîçíà÷àòü îñðåäíåíèå Ñòåêëîâà ôóíêöèè v(t, x): 1 vh (t, x) = h t+h Z v(τ, x)dτ. t  èíòåãðàëüíîì òîæäåñòâå (26) ïîëîæèì v = ω−h , h ≤ δ , ãäå ω(τ, x) ∈ ◦ H 0,1 (Dt ) è ïðîäîëæåíà íóëåì âíå èíòåðâàëà (0, t) ⊂ (0, T − δ).  ðåçóëüòàòå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: Z ((uh )τ ω + Dt n X (aij uxi )h ωxj + i,j=1 13 n X + ((ci u)h ωxi − (bi uxi )h ω) + (du)h ω)dxdτ = 0. i=1 Ïîäñòàâèì â íåãî ω = uh (τ, x)ξ(x): 1 2 + n X τ =t Z Ω u2h ξ n X Z dx + Dt τ =0 (aij uxi )h (uh ξ)xj + i,j=1 ! ((ci u)h (uh ξ)xi − (bi uxi )h (uh ξ)) + (du)h (uh ξ) dxdτ = 0. i=1 ◦ Èç ïðèíàäëåæíîñòè ôóíêöèè u ïðîñòðàíñòâó H 0,1 (DT , Γ1 ) ïî ëåììå èç [11, ñ.101] ñëåäóåò, ÷òî å¼ îñðåäíåíèå Ñòåêëîâà uh ñõîäèòñÿ ïðè h → 0 ê ñàìîé ◦ ôóíêöèè ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà H 0,1 (DT −δ , Γ1 ). Ïåðåéäÿ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè h → 0, ïîëó÷èì: 1 2 n X Z Dt aij uxi (uξ)xj + i,j=1 n X Z Ω τ =t u2 ξ dx+ τ =0 ! ((ci u)(uξ)xi − (bi uxi )(uξ)) + du2 ξ dxdτ = 0. i=1 Äàëåå, èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïàðàáîëè÷íîñòè, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî: 1 2 Z Ω τ =t Z 2 u ξ dx + (s(x)ξ|∇u|2 + d(x)u2 ξ)dxdτ ≤ τ =0 Dt Z Z Γs(x)|u∇u||∇ξ|dxdτ + Dt ∂ξ ξ|c − b||u∇u| − u2 dxdτ. ∂c (37) Dt Èñïîëüçóÿ (33), (34), îöåíèì ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà: Z tZ Z s|u∇u∇ξ|dxdτ = s|u∇u||∇ξ|dxdτ + 0 Dt ≤ p X i=1 Zt Z 0 ωi0 N −1 Z t X ν=1 Ω10 eµ s|u∇u| µN 0 dxdτ + e ti 14 Zt N −1 Z X 0 ν=1 ω ν i 0 Z s|u∇u||∇ξ|dxdτ Ων+1 ν s|u∇u| µξ dxdτ . ν ti (38) Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ Z ωiν √ s(x)|u∇u| dx ≤ θ tνi Z k(x, u)dx, ν = 0, N − 1; i = 1, p. (39) ωiν Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèÿìè (8): Z ωiν s(x)|u∇u| dx ≤ tνi Z ≤ Âûáðàâ ε = √ Z εs(x)|∇u|2 dx + 2 ωiν Z ωiν εs(x)|∇u|2 dx + 2 ωiν Z s(x)u2 dx ≤ 2(tνi )2 ε θu2 λνi dx. 2ε ωiν θ, ïîëüçóÿñü (30), ïîëó÷àåì (39). Ââèäó (35), èç (39) ñëåäóåò òàêæå íåðàâåíñòâî Z ωiν Î÷åâèäíû ðàâåíñòâà √ ξs|u∇u| µ dx ≤ e θ tνi ∂ξ ∂c = Z ξ|k(x, u)|2 dx. 0 (39) ωiν µξ ∂ ν tνi ∂c dist(Si , x), x ∈ ωiν , ν = 1, N − 1. Ïîëüçóÿñü óñëîâèÿìè (12), äåéñòâóÿ êàê ïðè âûâîäå (39)0 çàïèøåì íåðàâåíñòâà Z − u 2 ∂ξ ∂c dx ≤ µ ωiν 2 Z ωiν s(x)u2 ξ dx ≤ θµ2 eµ ν 2 (ti ) Z ξk(x, u)dx. (40) ωiν ∂ξ 1 ∂ = 0 exp(−µ(N − 1) dist(Si0 , x), x ∈ ωi0 , ∂c ti ∂c i = 1, p. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, óñòàíàâëèâàåì ñîîòíîøåíèå Z Z ∂ξ − u2 dx ≤ θµe−µ(N −1) k(x, u)dx. ∂c Ïðè ν = 0 èìååì ðàâåíñòâà ωi0 ωi0 0 Ïîñêîëüêó ξϕ ≡ 0, òî ïîëüçóÿñü (38), (39), (39) è ïîñëåäíèì, íåòðóäíî ïðèâåñòè (37) ê âèäó 1 2 Z Ω 1 ξu2 (t, x)dx + 2 Zt Z 0 15 Ω ξ|k(x, u)|2 dxdτ ≤ eµ ≤ θµ[ µN e Zt Z k(x, u)dxdτ + µ N −1 X eµ i=1 0 Ω10 Zt Z ξ|k(x, u)|2 dxdτ ]. 0 Ωi+1 i Áëàãîäàðÿ âûáîðó ÷èñëà µ, ïîëó÷àåì 1 2 Z e−µN ξu2 (t, x) ≤ 2µ Zt Z k(x, u)dxdτ. 0 Ω10 Ω Ïðèìåíèâ ê îöåíêå ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèå (28), íàõîäèì, ÷òî 1 2 Z e−µN ξu (t, x)dx ≤ kϕk2 . 2µ 2 Ω Îòñþäà, ïîñêîëüêó ξ = 1 ïðè x ∈ Ω\ΩN , ïîëó÷àåì (32). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Ïóñòü N (t0 ) ≥ 2. Òîãäà äëÿ ëþáîãî t ≥ t0 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî N (t) ≥ 2. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå t ≥ t0 è N ≥ 2. Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2, ïîëó÷èì Z 2 Z u (τ, x)dx ≤ Ω u2 (τ, x)dx + µ−1 e−µN kϕk2 . ΩN Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå ε(N ) = µ−1 e−µN kϕk2 , áóäåì èìåòü Z u2 (τ, x)dx − ε(N ) ≤ Ω Z u2 (τ, x)dx. ΩN Ñîåäèíÿÿ (29) ñ (31) è ïðåäûäóùèì íåðàâåíñòâîì, ïîëó÷èì dE(τ ) ≤ −λ(N ) (E(τ ) − ε(N )) , τ > 0. dτ Îòñþäà E(τ ) ≤ ε(N ) + E(0)e−τ λ(N ) , τ > 0. Âçÿâ τ = t è çàìåòèâ, ÷òî E(0) = kϕk2 , áóäåì èìåòü ïðè âñåõ N ≥ 2 E(t) ≤ µ−1 e−µN kϕk2 + e−tλ(N ) kϕk2 . 16 (41) Ïîëàãàÿ N = N (t) è ñ÷èòàÿ µ ≤ 1, óñòàíàâëèâàåì íåðàâåíñòâî E(t) ≤ (µ−1 + 1) exp(−µN (t))kϕk2 , ñîâïàäàþùåå ñ îöåíêîé òåîðåìû. Çàìåòèì, ÷òî èç íåðàâåíñòâà (8) ñëåäóåò, ÷òî s(zj , 0) 1 = . 2 4j δ(zN ) j=0,N −1 λ(N ) = min λj ≥ min j=0,N −1 Ïîýòîìó èç (41) è (18) ñëåäóåò îöåíêà −1 −µ E(t) ≤ (µ e zRN z0 dτ f (τ ) − δ(zt +e N) )kϕk2 . (42) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäíÿÿ îöåíêà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è ïðè çàìåíå zN íà ëþáîå z ≥ z0 , íî âîçìîæíî, ñ äðóãèì êîýôôèöèåíòîì â ïîêàçàòåëå. Ïîýòîìó èç (42) ñëåäóåò (19). 2 Ñóùåñòâîâàíèå λðàçáèåíèÿ. Ïóñòü Ωf îáëàñòü âðàùåíèÿ è {zN } Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ìû ïî- êàæåì, ÷òî ôîðìóëà (9) îïðåäåëÿåò ðàçáèåíèå îáëàñòè, ñíà÷àëà äëÿ ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ðàçíûõ òèïîâ, à çàòåì äëÿ óðàâíåíèÿ, âûðîæäàþùåãîñÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè, â ñëó÷àå êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå. Îöåíèì êîëåáàíèå ôóíêöèè f íà îòðåçêå [zN , zN +1 ]. Ïóñòü tN òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè f (t) íà îòðåçêå [zN , zN +1 ]. Ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ìèíèìóìà ñëåäóåò èç çàìêíóòîñòè íàäãðàôèêà ôóíêöèè f . Î÷åâèäíî èç îïðåäåëåíèÿ (15) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zN }, ÷òî f (tN ) ≤ zN +1 − zN , ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî âîçìîæíî ëèøü ïðè tN = zN +1 . Ïîêàæåì, ÷òî 17 (43) zN +1 − zN ≤ f (t) ≤ w2 f (tN ), t ∈ [zN , zN +1 ). (44) Ëåâîå íåðàâåíñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç (15). Ïóñòü t∗ ∈ (zN , zN +1 ) òî÷êà èç ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè tN . Èç (16) ëåãêî ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî εN > 0, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî f (t) ≤ wf (t∗ ), t ∈ [zN − εN , zN +1 + εN ]. (45) Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî f (t∗ ) ≤ wf (tN ). Íåðàâåíñòâà (17) ïðè c = ω 2 ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûì ñëåäñòâèåì (43),(44). Ïîêàæåì åùå, ÷òî äëÿ Πïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå 1 zN +2 − zN +1 ≤ ≤ ω, ω zN +1 − zN ω ≥ 1, N = 0, ∞ (46) ñ ω = ω 2 . Ïðè ïîìîùè (43),(44),(45) óñòàíîâèì íåðàâåíñòâà zN +1 − zN f (tN ) 1 ≥ ≥ 2, zN − zN −1 f (zN − εN ) ω zN +1 − zN f (zN + εN −1 ) ≤ ≤ ω2, zN − zN −1 f (tN −1 ) äîêàçûâàþùèå (46). Äîêàæåì, òåïåðü, ÷òî Πïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñòðîåííàÿ ïî ôîðìóëå e f , åñëè f (r) ≥ 2. Èç (15) ÿâëÿåòñÿ λïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ äëÿ îáëàñòè Ω (43),(44) ñëåäóåò, ÷òî min f (i) ≤ ω 2 (zj+1 − zj ).  òàêîé ñèòóàöèè â ðàáîòå i∈[zj ,zj+1 ] [6] äîêàçàíî íåðàâåíñòâî Z 2 4 2 Z g dx ≤ (3 + 4ω )(zj+1 − zj ) z |∇g|2 dx, z e f )zj+1 (Ω j e f )zj+1 (Ω j êîòîðîå ïðè s ≡ 1 è θ = 3 + 4ω 4 îáåñïå÷èâàåò ñïðàâåäëèâîñòü (8). Óñòàíîâèì äâà âñïîìîãàòåëüíûõ íåðàâåíñòâà. 18 Ïóñòü E ⊂ [a, b] èçìåðèìîå ïîäìíîæåñòâî è v ∈ C 1 [a, b]. Òîãäà Zb 2(b − a) v 2 (t)dt ≤ mes E Z a v 2 (t)dt + 4(b − a)2 Zb 2 v 0 (t)dt. (47) a E Äåéñòâèòåëüíî, èç ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî v 2 (t) − v 2 (s) ≤ Zb 2|vv 0 |dτ, t, s ∈ (a, b). a Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî ñíà÷àëà ïî s ∈ E , çàòåì ïî t ∈ [a, b]. Ïîëó÷èì Zb mes E v 2 (t)dt ≤ (b − a) a Z v 2 (s)ds + (b − a)mes E Zb a E Ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâî 2|vv 0 | ≤ v2 2(b−a) 2|vv 0 |ds. + 2v 0 2 (b − a), âûâîäèì (47). Ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî äëÿ øàðà Bρ è åãî èçìåðèìîãî ïîäìíîæåñòâà E ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì (47) äëÿ ôóíêöèè v ∈ C 1 (Bρ ) : Z mes Bρ v (x)dx ≤ mes E 2 Bρ Z 2 mes 2 Bρ v (x)dx + C(n)ρ mes 2 E 2 E Z |∇v|2 dx. (48) Bρ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðè ïðîèçâîëüíûõ x, y ∈ Bρ çàïèøåì ñîîòíîøåíèå |x−y| Z u(y) − u(x) = y−x ∂u(x + rω) dr, ω = , ∂r |y − x| 0 ãäå (r, ω) ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñ öåíòðîì â òî÷êå x. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç χ(r, ω) õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ øàðà Bρ , çàïèøåì íåðàâåíñòâî Z2ρ |u(x)| ≤ |u(y)| + χ|∇u(x + rω)|dr. 0 Ïðîèíòåãðèðóåì åãî ïî y ∈ E Z |u(x)|mes E ≤ Z2ρ Z |u(y)|dy + E dy E 19 χ|∇u(x + rω)|dr 0 è îöåíèì ñâåðõó ïðàâóþ ÷àñòü ñëåäóþùèì îáðàçîì Z2ρ Z Z2ρ χ|∇u(x + rω)|dr ≤ dy 0 E τ n−1 dτ 0 Z2ρ = τ n−1 dω dτ χ|∇u(x + rω)|dr = 0 S1 (2ρ)n |∇u(ξ)|dξ = rn−1 n Z 0 Z2ρ Z Z |∇u(ξ)|dξ . |x − ξ|n−1 Bρ Bρ Ïîëó÷èâøååñÿ íåðàâåíñòâî (2ρ)n |u(y)|dy + n Z |u(x)|mes E ≤ E Z |∇u(ξ)|dξ |x − ξ|n−1 Bρ ïðîèíòåãðèðóåì ïî x ∈ Bρ : Z Z |u(x)|dx ≤ mes Bρ mes E Bρ (2ρ)n |u(y)|dy + n E Z Z |∇u(ξ)|dξ Bρ dx . |x − ξ|n−1 Bρ Î÷åâèäíî, ÷òî n Z (2ρ) dx ≤ 2ρmes B2ρ . |x − ξ|n−1 Bρ Ïîýòîìó Z mes Bρ |u(x)|dx ≤ mes E Z (2ρ)n |u(y)|dy + ρ n E Bρ Z |∇u(ξ)|dξ . Bρ Ïîëîæèâ òåïåðü u = v 2 è ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâî |∇u| = 2|v∇v| ≤ εv 2 + ε−1 |∇v|2 , ïîëó÷èì (48). Ïåðåéäåì ê îöåíêå âåëè÷èíû λN 1 ñíèçó. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ P r(N ) = P rΓ1 ∩ [zN , zN +1 ] ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà mes P r(N ) ≥ δ(zN +1 − zN )/2, N = 0, ∞. (49) Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, tN < (zN +1 + zN )/2. Òîãäà zN +1 − tN ≥ (zN +1 − zN )/2 ≥ f (tN )/2. Ïîýòîìó èç (20) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî mes [tN , zN +1 ] ∩ P rΓ1 ≥ δ(zN +1 − tN ), 20 äîêàçûâàþùåå (49). Ïðè tN ≥ (zN +1 +zN )/2 (49) óñòàíàâëèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå t ∈ P r(N ). Çàïèøåì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ äëÿ ôóíêöèè v ∈ C0∞ (Rn \Γ1 ) Zf (t) Zf (t) rn−2 v 2 (t, r, ω)dr ≤ λ−1 f 2 (t) rn−2 vr2 (t, r, ω)dr. 0 (50) 0 Çäåñü ω òàêàÿ "óãëîâàÿ" êîîðäèíàòà, ÷òî (t, f (t), ω) ∈ Γ1 . Ìíîæåñòâî òàêèõ ω îáîçíà÷èì ÷åðåç Et0 . Î÷åâèäíî, ÷òî â êà÷åñòâå λ ìîæíî âçÿòü ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â åäèíè÷íîì øàðå ðàçìåðíîñòè n − 1 ñ óñëîâèåì Äèðèõëå íà ãðàíèöå. ×åðåç Et îáîçíà÷èì ñëåäóþùåå ìíîæåñòâî Et = {(t, r, ω)|0 < r < f (t), ω ∈ Et0 }. Ïîëîæèì òàêæå St = {(t, x0 )| |x0 | < f (t)}. Èíòåãðèðóÿ (50) ïî ω ∈ Et0 , óñòàíàâëèâàåì íåðàâåíñòâî Z v 2 (t, x0 )dx0 ≤ λ−1 f 2 (t) Et Z vr2 (t, x0 )dx0 . (51) Et Ïîëüçóÿñü (21) íàõîäèì, ÷òî mes St mes Et ≤ σn−2 δ1 , ãäå σn−2 ïëîùàäü åäèíè÷íîé ñôåðû. Íåðàâåíñòâî (48) äëÿ St è Et çàïèøåòñÿ â âèäå Z σn−2 v 2 (t, x0 )dx0 ≤ 2 δ1 St Z Et σ2 v 2 (t, x0 )dx0 + C(n)f 2 (t) n−2 δ12 Z |∇v(t, x0 )|2 dx0 St Ñîåäèíÿÿ ýòî ñ (51) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî Z St C1 (n) v 2 (t, x0 )dx0 ≤ f 2 (t) 2 δ1 Z |∇v(t, x0 )|2 dx0 (52) St Çàïèøåì òåïåðü íåðàâåíñòâî (47) â âèäå zZN +1 2(zN +1 − zN ) v 2 (t, x0 )dt ≤ mes P r(N ) zN Z v 2 (t, x0 )dt + 4(zN +1 − zN )2 zZN +1 vt2 (t, x0 )dt. zN P r(N ) 21 Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ïî x0 ∈ B(N ) = {|x0 | < f (tN )}, ó÷èòûâàÿ (49) è ïðèìåíÿÿ (52),(44), íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî Z C1 (n)w4 f 2 (tN ) v (x)dx ≤ δδ12 2 [zN ,zN +1 ]×B(N ) Z 2 2 Z |∇v| dx+4(zN +1 −zN ) ω1N vt2 dx (53) ω1N ft = {(t, x0 ) ∈ St |x0 ∈ B(N )} Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî (48) íà ýòîò ðàç äëÿ St è E è ó÷òåì (44): Z 2 0 0 Z v (t, x )dx ≤ F St 0 2 0 2 4 2 Z v (t, x )dx + C(n)F w f (tN ) |∇v(t, x0 )|2 dx0 . St ft E Çäåñü â êà÷åñòâå F ìîæíî âçÿòü F = w2n−2 . Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî t è ïðèìåíåíèÿ íåðàâåíñòâà (53) áóäåì èìåòü Z 2 v dx ≤ ω1N F C1 (n)f (tN )w ( 2 + F 2 ) + 4(zN +1 − zN )2 δδ1 2 4 Z |∇v|2 dx. ω1N Ââèäó íåðàâåíñòâà (43), îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà 1 ≤ θ(zN +1 − zN )2 λN 1 . Ïîñêîëüêó î÷åâèäíî, ÷òî zN +1 − zN = dist(S N , S N +1 ), òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåò, ÷òî ΩN äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ λðàçáèåíèåì ïðè s = 1. Ïîñêîëüêó èç (44) ñëåäóåò âêëþ÷åíèå [zN , zN +1 ] ⊂ [zN , zN + f (zN )], òî ΩN îñòàíåòñÿ λðàçáèåíèåì è ïðè s, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ (22). 3 Îöåíêà ñíèçó. Íàïîìíèì íåðàâåíñòâî Ãàðíàêà, óñòàíîâëåííîå Þ.Ìîçåðîì â [21] äëÿ ðàâíîìåðíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ uτ = n X (e aij (τ, x)uxi )xj . i,j=1 22 Ñôîðìóëèðóåì åãî â óäîáíîì äëÿ íàñ âèäå: äëÿ íåîòðèöàòåëüíîãî â öèëèíäðå Q = (0, 9ρ2 ] × B(2ρ, w) ⊂ Rn+1 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî b min u(τ, x), max u(τ, x) ≤ H − + Q Q b ≥ 1 çàâèñèò òîëüêî îò n è êîíñòàíò ïàðàáîëè÷íîñòè â êîòîðîì ïîñòîÿííàÿ H óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.  íàøåì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (23) âìåñòî ðàâíîìåðíîé ïàðàáîëè÷íîñòè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (2). Åñëè ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ òî÷åê x, y â øàðå B(2ρ, w) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (24), òî íåðàâåíñòâî Ãàðíàêà ñîõðàíÿåòñÿ, ïðàâäà, â íåñêîëüêî èçìåíåííîì âèäå. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì m = inf s(x). Òîãäà, ïîäåëèâ óðàâíåíèå (23) íà m è ñäåëàâ çàìåíó τ = mt, B(2ρ,w) ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ e aαβ = aαβ /m. 2 |y| ≤ n X e aαβ (x)yα yβ ≤ CΓ|y|2 . α,β=1 Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò τ ê t ïðèâåäåííûå âûøå öèëèíäðû èçìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì 9ρ2 Qm = (0, ] × B(ρ, w), m ρ2 2ρ2 − ] × B(ρ, w), Qm = [ , m m 8ρ2 9ρ2 Q+ = [ , ] × B(ρ, w). m m m Ëåììà 3. Ïóñòü Π = {(x1 , x0 ) ∈ Rn | 0 < x1 < 1, |x0 | < h}öèëèíäð, M = Π ∪ B(2ρ; (ρ, 0)) ∪ B(2ρ; (1 − ρ, 0)), ρ < h/4. Ïóñòü äëÿ òî÷åê x, y èç M âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (24). Òîãäà íàéäóòñÿ ÷èñëà T ≥ δ 2 , H > 0 b = (0, ∞) × M ðåøåíèå u(t, x) óðàâíåíèÿ òàêèå, ÷òî íåîòðèöàòåëüíîå â D (23) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó T ρ2 u(t, (0, 0)) ≤ Hu(t + , (1, 0)), m 23 ρ2 t> , m (54) ãäå m = inf s(x), sup s(x) ≤ Cm. Íåðàâåíñòâî (54) ñîõðàíÿåòñÿ òàêæå ïðè M M ãîìîòåòèÿõ è òðàíñëÿöèÿõ ìíîæåñòâà M. Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó óñëîâèÿ ëåììû, öèëèíäð Qm ñ w = (ρ, 0) b . Ïîëîæèì t0 = ëåæèò â D ρ2 m, t1 = 8ρ2 m +t0 , v0 = (0, 0), v1 = (2ρ, 0). Î÷åâèäíî, + ÷òî (t0 , v0 ) ∈ Q− m è (t1 , v1 ) ∈ Qm . Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Ãàðíàêà, èìååì: b min u(t, x) ≤ Hu(t b 1 , v1 ). u(t0 , v0 ) ≤ max u(t, x) ≤ H − + Qm Qm Äàëåå ñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êàñàþùèõñÿ øàðîâ B(ρi , wi ) ñ ðàäèóñàìè ρi ≤ ρ, ïåðâûì è ïîñëåäíèì èç êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, øàðû B(ρ; (ρ, 0)) è B(ρ; (1 − ρ, 0)). Ïðè ïåðåõîäå ê î÷åðåäíîìó öèëèíäðó ïðîèñõîäèò ïîäúåì ïî âðåìåíè íà âåëè÷èíó P 8ρ2 m . Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî îáùèé ïîäúåì 8ρ2 /m < δ −2 ρ2 /m, òî, íàäñòàâëÿÿ íåêîòîðûå öèëèíäðû äðóã íà äðóãîì áåç ñäâèãà âïðàâî, äîáèâàåìñÿ âûïîëíåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà. Ëåììà äîêàçàíà. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. Ïîëîæèì ρ = h ω, mj+1 = inf Qj ∪Qj+1 s(x), Qj = {x = (x1 , x0 ) ∈ Rn | x1 ∈ [zj , zj+1 ), |x0 | < h(zj+1 − zj )}, ρj = ρ(zj+1 − zj ), vj = (zj , 0), t0 = ρ20 m0 , tj+1 = tj + T ρ2 mj+1 , j = 0, ∞. Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ (ρj )2 tj ≥ , mj Äåéñòâèòåëüíî, ïî ëåììå 3, T ≥ ω 2 è ïî óñëîâèþ (46) tj+1 (55) j = 0, ∞. ρj+1 ρj ≤ ω, ïîýòîìó δ −2 ρ2j T ρ2j (ρj+1 )2 ≥ ≥ . = tj + mj+1 mj+1 mj+1 Ïîëüçóÿñü (55) è óñëîâèÿìè òåîðåìû, óñòàíàâëèâàåì ïðèìåíèìîñòü íåðàâåíñòâà ëåììû 3 äëÿ ïàð (tj , vj ), (tj+1 , vj+1 ), j = 0, ∞. Èìååì íåðàâåíñòâà u(tj , vj ) ≤ Hu(tj+1 , vj+1 ). 24 (56) Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî t > t0 è ïîëîæèì N = N (t).Ïóñòü λ(N ) = λr ïðè íåêîòîðîì r ≥ 0. Äàëåå ïîëîæèì 8ρ2r tj = tr + (j − r), mr+1 ρj = ρr , vj = vr , j = r + 1, ∞. Î÷åâèäíî, äëÿ ïàð (tj , vj ), (tj+1 , vj+1 ), j = r, ∞, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (56). Îáîçíà÷èì ÷åðåç p ïåðâûé íîìåð, íà÷èíàÿ ñ p ≥ r + 1, äëÿ êîòîðîãî tp ≥ t. Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Ãàðíàêà è (56), min (x,y)∈B(ρr ,vr ) u(tp , x) ≥ H −p u(t0 , z0 , 0). (57) Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ tmr+1 p = r + (p − r) ≤ N + 1 + 8ρ2r ≤N +1+ ts(x) , 8ρ2 (zr+1 − zr )2 (58) ãäå x ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç Ωr+2 r . Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (8) è îïðåäåëåíèåì ôóíêöèè N (t), âûâîäèì îöåíêó p≤N +1+ tθλr θ(N + 1) θ ≤ N + 1 + ≤ (N (t) + 1)(1 + ). 8ρ2 8ρ2 8ρ2 (59) Èç óòâåðæäåíèÿ 1 âûòåêàåò ìîíîòîííîå íåâîçðàñòàíèå ôóíêöèè E(t) ≡ ku(t)k, t ≥ 0. Îòñþäà çàêëþ÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ Z Z 2 u (t, x)dx ≥ u2 (tp , x)dx ≥ Ω Z Ω u2 (tp , x)dx ≥ C1 ≥ min x∈B(ρr ,vr ) u2 (tp , x)ρnr . B(ρr ,vr ) Ïðè ïîìîùè (57), (59), äëÿ âñåõ t > t0 ïîëó÷àåì ku(t)k2 ≥ C1 ρ2r u2 (t0 , z0 , 0)H −p = C2 ρ2r u2 exp(−K(N (t) + 1)), ãäå K = (1 + θ 8ρ2 )lnH. Ïîñêîëüêó ρ2r ρ2 ρ2 = ρ (zr+1 − zr ) ≥ r ≥ , òî θλ θλ 2 ku(t)k2 ≥ αe−KN (t) . 25 2 Íåðàâåíñòâî (25) òåîðåìû äîêàçàíî. Ïðèìåíÿÿ ê ñîîòíîøåíèÿì (58) îïðåäåëåíèå δ(r) è (18), ïîëó÷èì Zzr p≤ dτ t +1+ 2 . f (τ ) 8ρ δ(zr ) z0 Äàëåå, ïîëüçóÿñü ïîñëåäíèì íåðàâåíñòâîì, óñòàíàâëèâàåì 2 ku(t)k ≥ C1 ρ2r u2 (t0 , z0 , 0)H −p = Rzr dτ 2 2 C2 ρr u exp(−( f (τ ) z0 +1+ t 8ρ2 δ(zr ) )). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì îöåíêó Zz ku(t)kL2 (Ω) ≥ m exp(−χ1 dτ ). f (τ ) (60) z0 Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü è áëàãîäàðíîñòü íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ïðîôåññîðó Ô.Õ.Ìóêìèíîâó çà öåííûå ñîâåòû, ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå è ïîääåðæêó. 26 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Àêóëîâ Â.Ô., Øèøêîâ À.Å. //Ìàò. ñá. 1991. Ò.182. 8. Ñ. 12001210. [2] Áèêêóëîâ È.Ì., Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Î ñòàáèëèçàöèè íîðìû ðåøåíèÿ îäíîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé 4-ãî è 6-ãî ïîðÿäêîâ â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè // Ìàòåì. ñá. 2004. Ò.195. 3. Ñ. 115142. [3] Ãóùèí À.Ê. Îá îöåíêàõ ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà // Òðóäû ìàòåì. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ èì. Â.À. Ñòåêëîâà. 1973. Ò.126. Ñ. 545. [4] Ãóùèí À.Ê. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà // Ìàòåì. ñá. 1976. Ò. 101(143). Ñ. 459499. [5] Ãóùèí À.Ê. Î âíóòðåííåé ãëàäêîñòè ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà // Ñèá. ìàò. æóðí. 2005. Ò. 46. 5. Ñ. 1036-1052 [6] Ãèëèìøèíà Â.Ô., Êóëüñàðèíà Í.À. Òî÷íàÿ îöåíêà ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ðåøåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè t → ∞. // Èçâ.âóçîâ 2007. Ò. 4(539). Ñ. 35-44. [7] Êîæåâíèêîâà Ë.Ì., Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Îöåíêè ñêîðîñòè ñòàáèëèçàöèè ïðè t → ∞ ðåøåíèÿ ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìû ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà // Ìàòåì. ñá. 2000. Ò. 191. 2. Ñ. 91131. [8] Êîæåâíèêîâà Ë.Ì. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ýâîëþöèîííîãî êâàçèýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ // Ìàòåì. ñá. 2005. 7. Ñ. 67-100. 27 [9] Êîæåâíèêîâà Ë.Ì. Këàññû åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ut = Au c êâàçèýëëèïòè÷åñêèì îïåðàòîðîì A â íåîãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ // Ìàò. ñá. 2007. Ò.198. 1. C. 59-102. [10] Êîíäðàòüåâ Â.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Î ñâîéñòâàõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ ñèñòåì ñ ýëëèïòè÷åñêîé ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòüþ. // Ìàòåì. ñá. 1970. Ò. 81(123). Ñ. 398-429. [11] Ëàäûæåíñêàÿ Î.À., Ñîëîííèêîâ Â.À., Óðàëüöåâà Í.Í. Ëèíåéíûå è êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. Ì.: Íàóêà, 1967. 736 ñ. [12] Ëåæíåâ À.Â. Î ïîâåäåíèè ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé âòðîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ // Ìàòåì. ñá. 1986. Ò.129. 2. Ñ. 186200. [13] Ìèõàéëîâ Â. Ï. Î ñóùåñòâîâàíèè ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ ó áèãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé // Ìàò. ñá. 2004. Ò.195. 12. Ñ. 81-94 [14] Ìèõàéëîâ Â. Ï. Î ñóùåñòâîâàíèè ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ ó ïîëèãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè //Ñèá. ìàò. æóðí. 2005. Ò.46. 5. C. 1125-1137 [15] Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà: Äèñ. äîêò. ôèç.-ìàòåì. íàóê. Ì.: ÌÈÐÀÍ, 1994. 225 ñ. [16] Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Îá óáûâàíèè íîðìû ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1987. Ò. 23. 10. Ñ. 11721180. [17] Ìóêìèíîâ Ô.Õ. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà // Ìàòåì. ñá. 1980. Ò.111(153). 4. Ñ. 503521. 28 [18] Òåäååâ À.Ô. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé ïåðâîé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ êâàçèëèíåéíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà // Äèôôåðåíö. óðàâåíèÿ. 1989. T. 25. 3. Ñ. 491498. [19] Óøàêîâ Â.È. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèé òðåòüåé ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â íåöèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè // Ìàòåì. cá. 1980. Ò.111(153). Ñ. 95115. [20] Õèñàìóòäèíîâà Í.À. Ñòàáèëèçàöèÿ ðåøåíèÿ äâóìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñ íåñêîëüêèìè âûõîäàìè íà áåñêîíå÷íîñòü // Ìàòåì. ñá. 2003. Ò.194. 3. Ñ. 83114. [21] Moser J.A. Harnack inequality for parabolic dierential eqnarrays // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. 1. P. 101134. [22] Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic eqnarrays//Amer. J. Math. - 1958. - V.80. - P. 931-953. [23] Õàðäè Ã.Ã., Ëèòòëüâóä Äæ.Å., Ïîëèà Ã. Íåðàâåíñòâà . Ì.: Èçäàòåëüñòâî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1948. 456 ñ. 29