Экзамен (правила, программа). Весна 2015

Экзамен по курсу «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Весна 2015 г.
• Все студенты, пришедшие на экзамен, сначала проходят предварительный письменный опрос. Вариант опроса для каждого студента содержит 8 вопросов (см. образец варианта). Вопросы выбраны из разных разделов курса «Теория вероятностей».
Наличие вариантов ответа на вопрос, как правило, не предусмотрено, ответ нужно
найти самостоятельно.
• В конкретных вариантах письменного опроса возможны изменения числовых значений параметров, вида распределений, функций или множеств и т. п. по сравнению
с предлагаемым списком вопросов. Некоторые (но не все) варианты вопросов в предлагаемом списке представлены через точку с запятой или через символ / внутри
вопроса.
• Чтобы получить зачёт за предварительный опрос, необходимо дать не менее 6 правильных ответов из 8.
• Во многих случаях отдельное задание (один вопрос варианта) содержит несколько
подвопросов. Ответ считается правильным, только если даны ответы на все вопросы данного задания. Неполный или не совсем точный ответ не засчитывается как
верный.
• Студентам, не получившим зачёт по предварительному опросу, за экзамен проставляется неудовлетворительная оценка.
• На написание опроса отводится 15 мин. Использование при написании работы шпаргалок, учебных пособий, конспектов лекций и т. п. категорически запрещается. При
обнаружении у студента подсказывающих приборов и материалов, а также при его
переговорах с другими сдающими преподаватель может заменить вариант без выделения дополнительного времени на ответ или удалить с экзамена с проставлением
неудовлетворительной оценки.
• Успешный результат письменного опроса даёт право получить удовлетворительную
оценку за экзамен без устного ответа. Это право можно реализовать сразу после
объявления результатов опроса.
• Студенты, желающие получить хорошую или отличную оценку, после успешного написания предварительного опроса сдают устный экзамен.
• Экзамен проводится по билетам. В билет включены два теоретических вопроса (см.
список вопросов, включенных в билеты). В качестве дополнительных на экзамене
могут быть заданы вопросы по доказательству различных утверждений теории вероятностей. Умение решать задачи не проверяется при устном опросе на экзамене.
Положительный результат письменного опроса не гарантирует удовлетворительной оценки за устный ответ.
1
• В результатах письменного теста и/или устного ответа экзамен может учитываться
оценка за работу в течение семестра, особенно в случае ответа, не позволяющего
преподавателю однозначно оценить знания отвечающего.
• Пересдача неудовлетворительной оценки проходит по тем же правилам, что и основной экзамен, т. е. начинается с предварительного письменного опроса.
2
ПРОГРАММА КУРСА
I. ВОПРОСЫ БИЛЕТОВ ( в приведённом списке возможны повторы вопросов).
1. Понятие случайного события. Алгебры и сигма-алгебры событий (определения, свойства и примеры алгебр и сигма-алгебр).
2. Понятие предела последовательности событий. Теорема о сходимости монотонных
последовательностей событий.
3. Аксиомы вероятности и простейшие следствия из них (вероятность дополнительного
события, формула для вероятностей объединения, разности, симметрической разности событий). Примеры вероятностных пространств.
4. Теорема о непрерывности вероятности для монотонных и произвольных последовательностей событий.
5. Пространство условной вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса.
6. Независимость событий: попарная и в совокупности. Свойства независимых событий.
7. Вероятностное пространство биномиальной схемы независимых испытаний. Биномиальное распределение. Отрицательное биномиальное распределение.
8. Биномиальное распределение (распределение Бернулли). Теорема Пуассона. Интегральная теорема Муавра–Лапласа (как следствие из центральной предельной теоремы) и локальная теорема Муавра–Лапласа.
9. Определение случайной величины. Свойства функции распределения. Плотность
распределения и её свойства.
10. Независимость случайных величин: попарная и в совокупности. Функции от независимых случайных величин. Свойства моментов суммы и произведения независимых
случайных величин.
11. Математическое ожидание случайной величины и случайного вектора. Линейные
свойства математического ожидания (математическое ожидание линейной комбинации случайных величин, линейного преобразования случайного вектора, скалярного
произведения двух случайных векторов). Неравенство Чебышёва.
12. Дисперсия случайной величины и коэффициент ковариации. Свойства дисперсии
(дисперсия линейного преобразования случайной величины, дисперсия суммы). Неравенство Коши–Буняковского.
13. Матрица ковариаций случайного вектора и матрица взаимных ковариаций двух случайных векторов. Выражения для математических ожиданий линейного преобразования случайного вектора, скалярного произведения векторов и квадрата нормы случайного вектора. Линейное преобразование случайного вектора, его математическое
ожидание и матрица ковариаций. Матрица ковариаций суммы некоррелированных
случайных векторов.
3
14. Условные распределения и условные плотности распределения. Формулы полной вероятности и формулы Байеса для условных плотностей.
15. Условное математическое ожидание. Его свойства. Теорема о наилучшей в среднем
квадратичном аппроксимации случайной величины.
16. Задачи наилучшей в среднем квадратичном аппроксимации случайной величины
другой случайной величиной, статистически с ней связанной. Аппроксимация постоянной и линейной функцией. Наилучшая в среднем квадратичном аппроксимация
случайной величины.
17. Наилучшая в среднем квадратичном линейная аппроксимация случайного вектора.
18. Неравенство Чебышёва. Сходимость по вероятности последовательности случайных
величин. Закон больших чисел в форме Чебышева. Теорема Бернулли.
19. Сходимость с вероятностью единица (почти наверное). Лемма Бореля–Кантелли.
20. Усиленный закон больших чисел.
21. Сходимость по распределению последовательности случайных величин. Характеристические функции и их свойства.
22. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра–Лапласа.
4
II. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ.
1. Случайное событие.
2. Операции над событиями (объединение, пересечение, дополнение). Формулы де Моргана (двойственности).
3. Алгебра событий.
4. Сигма-алгебра событий.
5. Борелевская алгебра подмножеств действительной прямой.
6. Вероятностное пространство (Ω, F , P ).
7. Дискретное вероятностное пространство.
8. Аксиомы вероятностного пространства.
9. Классическая вероятность.
10. Геометрическая вероятность.
11. Аддитивность вероятности.
12. Счетная (сигма-) аддитивность вероятности.
13. Верхний, нижний пределы последовательности событий. Предел последовательности
событий.
14. Условная вероятность как вероятностное пространство.
15. Независимость событий A и B.
16. Попарная независимость событий A1 , A2 , . . . , An .
17. Независимость событий A1 , A2 , . . . , An в совокупности.
18. Последовательность независимых испытаний как вероятностное пространство.
19. Случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (Ω, F , P ).
20. Функция распределения случайной величины.
21. Случайная величина, распределённая абсолютно непрерывно.
22. Случайная величина, распределённая дискретно.
23. Плотность распределения случайной величины, распределённой абсолютно непрерывно.
24. n-Мерная случайная величина, n-мерный случайный вектор.
25. Функция распределения n-мерной случайной величины.
5
26. Плотность распределения n-мерной случайной величины.
27. Функция условного распределения(условная функция распределения) случайной величины.
28. Плотность условного распределения (условная плотность распределения) случайной
величины.
29. Независимость случайных величин: попарная и в совокупности.
30. Математическое ожидание случайной величины.
31. Начальный момент k-го порядка случайной величины.
32. Центральный момент k-го порядка случайной величины.
33. Дисперсия случайной величины.
34. Коэффициент ковариации (ковариация) двух случайных величин.
35. Коэффициент корреляции (корреляция) двух случайных величин.
36. Характеристическая функция случайной величины.
37. Сходимость по вероятности последовательности {ξn }n=1,∞ случайных величин.
38. Сходимость последовательности {ξn }n=1,∞ случайных величин по распределению.
39. Сходимость последовательности {ξn }n=1,∞ случайных величин в среднем квадратичном.
40. Сходимость последовательности {ξn }n=1,∞ случайных величин с вероятностью единица (почти наверное).
41. Биномиальное распределение (распределение Бернулли).
42. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля).
43. Распределение Пуассона.
44. Равномерное распределение на отрезке [a, b].
45. Нормальное распределение с параметрами µ, σ 2 .
6
III. УТВЕРЖДЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ. Доказательство теорем и основных формул,
перечисленных ниже, входит в программу курса, если иное не оговорено особо.
1. Теорема о непрерывности вероятности для монотонной последовательности событий.
2. Теорема о непрерывности вероятности для произвольной последовательности событий.
3. Формула полной вероятности.
4. Формулы Байеса.
5. Теорема Пуассона.
6. Свойства функции распределения случайной величины: неубывание, непрерывность
слева, наличие предельных значений при x → ±∞, x → x0 + 0.
7. Теорема о независимости случайных величин η1 , η2 , . . . , ηn , заданных как функции
ηi = gi (ξi ), i = 1, 2, . . . , n, от независимых случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . , ξn (для дискретных распределений).
8. Формула для математического ожидания случайной величины η, заданной как функция η = g(ξ) от случайной величины ξ с известным распределением (для дискретных
распределений).
9. Свойства математического ожидания: формулы для преобразования M(aξ + bξ) при
a, b = const; M(ξ1 + ξ2 + · · · + ξn ); M(ξ1 ξ2 . . . ξn ).
10. Свойства дисперсии: формулы для D(aξ + bξ) при a, b = const; D(ξ1 + ξ2 + · · · + ξn ).
11. Неравенство Чебышёва.
12. Неравенство Коши–Буняковского.
13. Теорема о том, что условное математическое ожидание M(η|ξ) является наилучшей в
среднеквадратичном смысле аппроксимацией случайной величины η, статистически
зависящей от ξ.
14. Формулы для математических ожиданий линейного преобразования случайного вектора, скалярного произведения векторов и квадрата нормы случайного вектора.
15. Формулы для математического ожидания и матрицы ковариаций линейного преобразования случайного вектора.
16. Формула для матрицы ковариаций суммы некоррелированных случайных векторов.
17. Теорема о линейной наилучшей в среднеквадратичном смысле аппроксимации случайной величины η, статистически зависящей от случайной величины ξ.
18. Теорема о линейной наилучшей в среднеквадратичном смысле аппроксимации случайного вектора η, статистически зависящего от случайного вектора ξ.
7
19. Свойства характеристической функции fξ ( ∆ ) случайной величины ξ: формулы для
faξ+b (t) при a, b = const и для fξ1 +ξ2 +···+ξn ; формула, связывающая моменты случайной величины и производные характеристической функции; формула, позволяющая
найти плотность распределения по характеристической функции (без доказательства); теорема о непрерывности для последовательности характеристических функций (без доказательства).
20. Закон больших чисел в форме Чебышёва.
21. Закон больших чисел в форме Бернулли.
22. Лемма Бореля–Кантелли.
23. Усиленный закон больших чисел.
24. Центральная предельная теорема для последовательности независимых одинаково
распределённых случайных величин (без доказательства равномерной сходимости
последовательностей функций распределением).
25. Интегральная теорема Муавра–Лапласа.
26. Локальная теорема Муавра–Лапласа.
8