Система двух случайных величин.

Минестерство образования Республики Беларусь
УО «Витебский государственный технологический
университет»
Тема5. «Система двух
случайных величин»
Кафедра теоретической и
прикладной математики.
разработана доц.Дуниной Е.Б.
5.1 Понятие о системе нескольких
случайных величин
Если возможные значения случайной величины
определяются одним числом, то их называют
одномерными.
Пример: число очков, которое может выпасть при
подбрасывание игральной кости- дискретная
одномерная случайная величина
Кроме одномерных случайных величин, могут
быть случайные величины, возможные
значения, которых определяются
числами.
2,3,..., n
2
Такие величины, называют соответственно
двумерными, трехмерными, …, n-мерными.
Двумерную случайную величину будем обозначать
( X , Y ),
трехмерную величинуКаждую из величин
( X , Y , Z ).
X ,Y ,
называют составляющей
(компонентой).
Пример.
Станок автомат штампует стальные плитки, если
контролируемыми размерами будет являться длина
X и ширина Y, то мы будем иметь дело с двумерной
случайной величиной
( X , Y ).
3
Если же будет контролироваться длина X , ширина Y,
и высота Z, то мы будем иметь дело с трехмерной
случайной величиной
( X , Y , Z ).
Двумерной случайной величине
( X ,Y )
можно ставить в соответствие точку на плоскости.
Аналогично трехмерной случайной величине ( X , Y , Z )
можно ставить в соответствие точку в пространстве.
Законом распределения двумерной случайной
величины, называется перечень возможных
значений этой величины, т.е. пар чисел
i
j
и их вероятностей
i
j
P( x , y )
i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m;
(x , y )
4
Закон распределения обычно задается в виде таблицы:
X
Y
x1
x2
…
xi
…
xn
y1
P ( x1 , y1 )
P ( x 2 , y1 )
…
P( xi , y1 )
…
P( x n , y1 )
y2
P ( x1 , y 2 )
P( x2 , y 2 )
…
P ( xi , y 2 )
…
P( xn , y 2 )
…
…
…
…
…
…
P( x1 , y j )
P( x 2 , y j )
…
P ( xi , y j )
…
P( x n , y j )
…
…
…
…
…
…
…
yj
…
y m P( x1 , y m ) P( x2 , y m )
…
P ( xi , y m ) …
P( x n , y m )
5
Зная закон распределения двумерной случайной
величины, можно найти закон распределения каждой
из составляющих.
Например, события
( X = x1 , Y = y1 ),
( X = x1 , Y = y2 ),
... ( X = x1 , Y = ym )
несовместны, поэтому по теореме
вероятностей, мы можем записать
сложения
P ( x1 ) = P( x1 , y1 ) + P ( x1 , y 2 ) + ... + P( x1 , y m ),
т.е. для того, что бы найти вероятность того, что Х
примет значение
1
X =x,
6
мы должны просуммировать вероятности одного
столбца.
Т.е. в общем случаи, чтобы определить вероятность
того, что Х примет значение
xi ,
мы должны просуммировать вероятности i-столбца.
Аналогично, что бы найти вероятность того, что
Y = yj,
мы
должны
просуммировать
вероятности стоящие в j-строке.
все
Пример.
Найти
законы
распределения
составляющих
двумерной случайной величины, заданной законом
распределения.
7
Y
x1
X
x2
x3
y1
0.10
0.30
0.20
y2
0.06
0.18
0.16
Решение. Найдем вероятности возможных
значений случайной величины Х.
8
Для этого мы должны просуммировать вероятности
по столбцам.
P ( x1 ) = 0.10 + 0.06 = 0.16,
P ( x 2 ) = 0.30 + 0.18 = 0.48,
P ( x3 ) = 0.20 + 0.16 = 0.36,
Теперь мы должны записать закон распределения
случайной величины Х:
X
Р
Контроль:
x1
x2
0.16
0.48
0.16+0.48+0.36=1.
x3
0.36
9
Определяем
вероятность
возможных
значений
величины Y. Для этого мы просуммируем вероятности
по соответствующим строкам:
P ( y1 ) = 0.10 + 0.30 + 0.20 = 0.60,
P ( y2 ) = 0.06 + 0.18 + 0.16 = 0.40.
Y
Р
y1
y2
0.60
0.40
Проверка: 0.60+0.40=1.
10
5.2 Функция распределения двумерной
случайной величины
Определение. Функцией распределения двумерной
случайной величины
называют функцию
F ( x, y ),
x, y
( X , Y ),
определяющую для каждой пары чисел
вероятность того, что X примет значение
меньшее x, и при этом Y примет значение
меньшее y
F ( x, y ) = P ( X < x, Y < y ).
(5.1)
11
Геометрически это равенство можно истолковать
следующим образом:
F ( x, y )
есть вероятность того, что случайная точка
(X,Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной
Y
( x, y )
расположенный левее и
ниже этой вершины.
(X,y)
0
X
12
Пример.
Найти вероятность того, что в результате
испытания составляющая Х двумерной случайной
величины
примет значение
( X ,Y )
X <2
и при этом составляющая Y примет значение
Y < 3,
если известна функция распределения системы
x 1 ⎞⎛ 1
y 1⎞
⎛1
F ( x, y ) = ⎜ arctg + ⎟⎜ arctg + ⎟.
2 2 ⎠⎝ π
3 2⎠
⎝π
Решение
По определению
F ( x, y ) = P ( X < x, Y < y ).
13
Положив
x = 2, y = 3,
получим
2 1 ⎞⎛ 1
3 1⎞
⎛1
P ( X < 2, Y < 3) = F (2,3) = ⎜ arctg + ⎟⎜ arctg + ⎟ =
2 2 ⎠⎝ π
3 2⎠
⎝π
⎛ 1 π 1 ⎞⎛ 1 π 1 ⎞ 9
= ⎜ ⋅ + ⎟⎜ ⋅ + ⎟ = .
⎝ π 4 2 ⎠⎝ π 4 2 ⎠ 16
Свойства функции распределения:
1. Функция распределения
F ( x, y )
удовлетворяет двойному неравенству
0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1
14
Доказательство следует из того, что функция
распределения по определению это вероятность, а
вероятность не может быть отрицательной величиной
и превышать 1
2. Функция распределения
F ( x, y )
не убывающая функция по каждому аргументу
x2 > x1 , F ( x2 , y ) ≥ F ( x1 , y ), (5.2)
y2 > y1 , F ( x, y2 ) ≥ F ( x, y1 ). (5.3)
3. Имеют место следующие предельные соотношения
15
F ( −∞, y ) = 0, c )
F ( −∞,−∞ ) = 0,
b) F ( x,−∞) = 0, d )
F ( ∞ , ∞ ) = 1.
a)
Доказательство
a) Функция распределения
F ( −∞, y )
представляет собой вероятность события
X < −∞, Y < y
Это не возможное событие. Поэтому вероятность
такого события равна
нулю.
16
Аналогично доказываются пункты b) и c).
d) Функция распределения
F (∞, ∞ )
представляет собой вероятность того, что
X < ∞, Y < ∞.
В этом случае квадрант занимает всю плоскость, а
следовательно вероятность того, что случайная точка
( X ,Y )
4. При
попадет в этот квадрант равна 1.
y = ∞,
функция распределения
становится функцией только составляющей Х
F ( x, ∞) = F1 ( x).
17
Т.к. событие
Y <∞
F ( x, ∞ )
Если
достоверно, то
определяет вероятность события
X<x.
x = ∞, F (∞, y ) = F2 ( y ),
функция распределения становится функцией только
составляющей Y.
5.3 Вероятность попадания случайной
точки в полуполосу
Используя функцию распределения системы
случайных величин X и Y можно найти вероятность
того, что в результате испытания случайная точка
попадет в полуполосу
18
Y
y
0
x1 < X < x2 , Y < y,
(x ,y)
1
(x2,y)
или X < x, y1 < Y < y2 .
X
Y
y
2
y
1
0
X
x
19
Вычитая из вероятности попадания случайной точки в
квадрант с вершиной
( x2 , y ),
вероятность попадания точки в квадрант с вершиной
( x1 , y ),
мы получим:
P( x1 ≤ X ≤ x2 , Y < y ) = F ( x2 , y ) − F ( x1 , y ).
Аналогично имеем
P( X < x, y1 ≤ Y ≤ y 2 ) = F ( x, y 2 ) − F ( x, y1 ).
20
5.4 Вероятность попадания
случайной точки в прямоугольник
Y
y
2
y
1
A(x1,y )
2
С (x ,y )
1 1
x
1
Нам нужно найти
вероятность
попадания точки в
прямоугольник
ABDC
B(x ,y2)
2
D(x ,y )
2 1
x2
X
21
Для этого мы можем найти вероятность попадания
точки в полуполосу AB
F ( x 2 , y 2 ) − F ( x1 , y 2 ),
а затем из нее отнять вероятность попадания точки
в полуполосу CD
F ( x 2 , y1 ) − F ( x1 , y1 )
P( x1 ≤ X ≤ x2 ,
y1 ≤ Y ≤ y2 ) =
= ( F ( x2 , y2 ) − F ( x1 , y2 )) − ( F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y1 )).
22
5.5 Плотность совместного распределения
вероятностей непрерывной случайной
величины (двумерная плотность
вероятности)
Пусть функция распределения
F ( x, y )
непрерывна и имеет непрерывную частную
производную второго порядка.
Плотностью совместного распределения вероятностей
f ( x, y )
двумерной случайной величины
называют вторую смешанную производную от
функции распределения
2
( X ,Y )
∂ F ( x, y )
f ( x, y ) =
. (5.4)
∂x∂y
23
Пример.
Найти плотность совместного распределения
системы случайных величин (X,Y) по известной
функции распределения
F ( x, y ) = sin x sin y, (0 ≤ x ≤
Решение.
По определению
π
2
, 0≤ y≤
f ( x, y )
π
2
).
∂ F ( x, y )
.
f ( x, y ) =
∂x∂y
2
Найдем частную производную по x от функции
распределения
∂F ( x, y )
= cos x sin y.
∂x
24
Найдем от полученного результата частную
производную по y, в итоге получим искомую
плотность совместного распределения
∂ F ( x, y )
f ( x, y ) =
=
∂x∂y
2
∂ ⎛ ∂F ⎞ ∂
= ⎜
⎟ = (cos x sin y ) = cos x cos y,
∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y
(0 ≤ x ≤
π
2
,0 ≤ y ≤
π
2
).
25
5.6 Нахождение функции распределения
системы по известной плотности
распределения
f ( x, y )
F ( x, y )
Зная плотность совместного распределения
можно найти функцию распределения
по формуле
x y
F ( x, y ) =
∫∫
f ( x, y )dxdy. (5.5)
Пример.
− ∞− ∞
Найти функцию распределения двумерной случайной
величины по данной плотности совместного
распределения
1
f ( x, y ) = 2
.
2
2
π (1 + x )(1 + y )
26
x y
Решение.
F ( x, y ) =
∫∫
f ( x, y )dxdy,
− ∞− ∞
1
x y
1
F ( x, y ) = 2 ∫ ∫
dxdy =
2
2
π −∞−∞ (1 + x )(1 + y )
1
y
x
1
1
1
= 2 ∫
dx ∫
dy = 2
2
2
π −∞1 + x −∞1 + y
π
1
x
y
1
∫−∞1 + x 2 dx ⋅ arctgy − ∞ =
x
1
= 2 ∫
dx (arctgy − arctg (−∞ )) =
2
π −∞1 + x
27
1
π
= 2 ∫
dx (arctgy + ) =
2
2
π −∞1 + x
x
1
π
x
= 2 (arctgy + )arctgx
=
−∞
2
π
1
=
1
π
2
(arctgy +
π
2
)(arctgx +
π
2
).
28
5.7 Вероятностный смысл двумерной
плотности вероятности
В вопросе 5.4 была получена формула для
вероятности попадания точки в прямоугольник
ABCD
PABCD = P ( x1 < X < x 2 , y1 < Y < y 2 ) =
= F ( x 2 , y 2 ) − F ( x1 , y 2 ) − ( F ( x 2 , y1 ) − F ( x1 , y1 )).
Применяя к правой части теорему Лагранжа,
согласно которой: Если функция
непрерывна на отрезке
[ a, b]
и дифференцируема на интервале
f ( x, y )
(a, b),
29
то всегда найдется такая точка
f (b) − f ( a ) = f ′(c )(b − a )
C ∈ ( a, b),
что
, получим
⎡ξ ∈ ( x1 , x2 ) ⎤
=
PABCD = (Fx′(ξ , y2 ) − Fx′(ξ , y1 ) )∆x = ⎢
⎥
⎣∆x = x2 − x1 ⎦
⎡η ∈ ( y1 , y2 ) ⎤
,
= Fxy′′ (ξ ,η )∆x∆y = ⎢
⎥
⎣∆y = y2 − y1 ⎦
PABCD
Fxy′′ (ξ ,η ) =
.
∆x∆y
30
Учитывая выражение (5.4)
PABCD
f (ξ ,η ) =
. (5.6)
∆x∆y
Т.е. функция
f (ξ ,η ) равна отношению
вероятности попадания случайной точки в
прямоугольник
ABCD
к площади этого прямоугольника.
Если перейти к пределу, при
тогда точка
∆x → 0, ∆y → 0
ξ → x ,η → y ,
31
PABCD
.
f ( x, y ) = lim
∆x →0 ∆x∆y
∆y →0
Итак, функцию
f ( x, y )
можно рассматривать
как предел отношения вероятности попадания
случайной точки в прямоугольник к площади этого
прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника
стремятся к нулю.
5.8 Вероятность попадания случайной
точки в произвольную область
Учитывая (5.6), вероятность попадания случайной
точки в прямоугольник
32
PABCD = f (ξ ,η )∆x∆y.
Пусть дана произвольная область D.
Обозначим событие состоящее в попадании
случайной точки в эту область
( X ,Y ) ⊂ D
Нужно найти вероятность попадания случайной
точки в эту область
P (( X , Y ) ⊂ D ) − ?
Разобьем нашу область прямыми параллельными
оси Oy, находящимся на расстоянии
∆x
одна от другой, и прямыми параллельными оси Ox,
находящимися на расстоянии
одна от другой.
∆y
33
Y
D
∆y
O
∆X
X
Т.к. события, состоящие в попадании случайной точки
в элементарные области, несовместны, то
вероятность попадания в область D, приближенно
равна сумме вероятностей попаданий точки в
элементарные области
34
n
P (( X , Y ) ⊂ D ) ≈ ∑ f (ξ i ,η i )∆x∆y,
i =1
Переходя к пределу при
∆x → 0, ∆y → 0,
мы получим
P(( X , Y ) ⊂ D) = ∫∫ f ( x, y )dxdy. (5.7)
D
Итак, для того чтобы вычислить вероятность
попадания случайной точки (X,Y) в область D,
достаточно вычислить двойной интеграл.
Геометрически выражение (5.7) можно
истолковать следующим образом:
35
вероятность попадания случайной точки (X,Y) в
область D, равна объему тела, ограниченного сверху
поверхностью
z = f ( x, y ),
основанием, которого служит проекция этой
поверхности на плоскость xOy.
Пример. Плотность
распределения
двумерной
случайной величины:
1
.
f ( x, y ) = 2
2
2
π (1 + x )(1 + y )
Найти вероятность попадания случайной точки в
прямоугольник с вершинами
K (1,1), L( 3 ,1), M (1,0), N ( 3 ,0).
36
Решение.
Y
P(( X , Y ) ⊂ D) =
K(1,1)
O
P(( X , Y ) ⊂ D) = ∫∫ f ( x, y )dxdy.
1
π2
D
31
1
∫1 ∫0 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) dxdy =
L( 3 ,1)
N( 3 ,0)
X
37
1
3
1
1
1
1
= 2 ∫
dx ∫
dy = 2
2
2
π 1 1+ x 0 1+ y
π
1
3
1
1
∫1 1 + x 2 dx ⋅ arctgy 0 =
3
1
= 2 ∫
dx(arctg1 − arctg 0) =
2
π 1 1+ x
1 π
3
π
1
= 2 ∫
dx ( − 0) = 2 ( − 0)arctgx
=
2
π 1 1+ x
π 4
4
1
1
3
1
1 ⎛π π ⎞ 1
=
(arctg 3 − arctg1) =
⎜ − ⎟= .
4π
4π ⎝ 3 4 ⎠ 48
38
5.9 Свойства двумерной плотности
вероятности
1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна
f ( x , y ) ≥ 0.
Доказательство.
Из выражения (5.6) следует
PABCD
f (ξ ,η ) =
.
∆x∆y
Вероятность попадания случайной точки в
прямоугольник со сторонами
∆x , ∆y
есть неотрицательное число,
площадь прямоугольника положительное число.
39
Следовательно, отношение этих двух чисел, а значит
и их предел есть неотрицательное число, т.е.
f ( x , y ) ≥ 0.
2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными
пределами от двумерной плотности равен единице
∞ ∞
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = 1.
(5.8)
− ∞− ∞
Доказательство.
Бесконечные пределы интегрированные по x и y
указывают, что областью интегрирования является
вся плоскость xOy.
40
Поскольку событие состоящее в том, что случайная
точка попадет при испытании на плоскость xOy
достоверно, то вероятность этого события равна
единице.
Пример.
Задана плотность совместного распределения
непрерывной случайной величины
( X ,Y )
f ( x, y ) = C ⋅ cos x cos y,
а вне
0≤ x≤
π
2
,0 ≤ y ≤
π
2
f ( x, y ) = 0
Найти постоянный параметр С.
Решение.
41
,
Для решения воспользуемся выражением (5.8)
π π
∞ ∞
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = 1, C ∫ ∫ cos x cos ydxdy = 1,
2 2
− ∞− ∞
0 0
π
π
2
2
0
0
π
π
2 ⋅ sin y 2 = 1,
C
sin
x
C ∫ cos xdx ∫ cos ydy = 1,
0
0
⎛ π
⎞⎛ π
⎞
C ⎜ sin − sin 0 ⎟⎜ sin − sin 0 ⎟ = 1,
2
2
⎝
⎠⎝
⎠
C = 1.
42
5.10 Отыскание плотностей
вероятности составляющих двумерной
случайной величины
Пусть известна плотность совместного распределения
вероятности системы двух случайных величин, т.е.
f ( x, y ).
Нужно найти плотность вероятности каждой из
составляющих f ( x), f ( y ).
1
Согласно (5.5)
2
x y
F ( x, y ) =
∫ ∫ f ( x, y)dxdy.
− ∞− ∞
43
На основании свойства 4 функции распределения
двумерной случайной величины (вопрос 5.2)
F1 ( x) = F ( x, ∞),
поэтому что бы найти F ( x ),
1
мы должны проинтегрировать по y, по всем
возможным значениям
x ∞
F1 ( x) =
∫ ∫ f ( x, y)dxdy.
(5.9)
− ∞− ∞
По
определению
плотности
одномерной случайной величины
распределения
∂F1 ( x)
f1 ( x) =
.
∂x
44
Продифференцировав обе части равенства (5.9) по x и
учитывая свойства интегралов
∫ f ( x)dx = F ( x) + c, (∫ f ( x)dx ) = F ′( x) = f ( x),
′
получим
∞
∂F1 ( x)
f1 ( x) =
= ∫ f ( x, y )dy. (5.10)
∂x
−∞
Аналогично мы
можем записать
y ∞
F2 ( y ) =
∫ ∫ f ( x, y)dxdy,
− ∞− ∞
∞
∂F2 ( y )
f 2 ( y) =
= ∫ f ( x, y )dx.
∂y
−∞
(5.11)
45
Пример.
Двумерная случайная величина
( X ,Y )
задана плотностью совместного распределения:
⎧1
⎪⎪ ,
6π
f ( x, y ) = ⎨
⎪0,
⎪⎩
2
2
x
y
при
+
< 1,
9
4
2
2
x
y
при
+
> 1,
9
4
Найти плотность распределения составляющих Х и У.
Решение.
Для решения воспользуемся формулами (5.10) и (5.11)
46
2
2
2
2
x
y
y
x
+
< 1,
< 1− ,
9
4
4
9
4
2
2
2
2
y < (9 − x ), y <
9− x
9
3
∞
f1 ( x) =
∫
−∞
f ( x, y )dxdy =
2
9− x 2
3
∫
2
− 9− x 2
3
1
dy,
6π
47
2
9 − x2
1 3
f1 ( x) =
y
=
2
6π
9 − x2
−
3
1 ⎛2
2
2
2 ⎞
=
9− x +
9− x ⎟ =
⎜
6π ⎝ 3
3
⎠
1 4
2
2
2
=
⋅
9− x =
9− x .
6π 3
9π
48
Итак
⎧ 2
⎪
f1 ( x) = ⎨ 9π
⎪0,
⎩
9− x ,
2
x < 3,
x ≥ 3.
Покажем, что
∞
∫
f 1 ( x)dx = 1.
−∞
49
3
2
∫−3 9π
⎡ x = 3 sin t ,
⎢dx = 3 cos tdt ,
⎢
⎢ x = −3, − 3 = 3 sin t ,
⎢
2
π
9 − x dx = ⎢
sin t = −1, t = − ,
⎢
2
⎢ x = 3,
3 = 3 sin t ,
⎢
π
⎢
sin t = 1, t =
⎢⎣
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
50
π
2
=
9π
2
∫π
−
2
π
2
2
9 − 9 sin 2 t 3 cos tdt =
⋅ 9 ∫ cos 2 tdt =
9π
π
−
2
⎛ π
π ⎞
⎜
⎟
2
1
2 1 + cos 2t
1⎜ 2
2
⎟=
= ∫
+ sin 2t
dt =
t
π⎟
π π
π⎜ π 2
2
−
−
−
⎜
⎟
2
2⎠
⎝ 2
1 ⎛π π ⎞
= ⎜ + ⎟ = 1,
π ⎝2 2⎠
π
Найдем плотность распределения составляющей y
51
∞
∫
f 2 ( y) =
f ( x, y )dx.
−∞
2
2
x
y
< 1− ,
9
4
f 2 ( y) =
9
2
x < (4 − y ),
4
2
3
4− y 2
2
∫
3
− 4− y 2
2
3
2
x<
4− y ,
2
3
2
4− y
1
1 2
dx =
x
=
3
6π
6π
2
−
4− y
2
52
1
1
2
=
3 4− y =
2π
6π
⎧ 1
⎪
f 2 ( y ) = ⎨ 2π
⎪0,
⎩
4− y .
2
4− y ,
2
y < 2,
y ≥ 2.
Так же как и для составляющей х можно показать, что
для составляющей у будет выполняться условие
∞
∫
−∞
f 2 ( y )dy = 1.
53
5.11 Условные законы распределения
составляющих системы дискретных
случайных величин
Если события А и В зависимы, то условная
вероятность
события
В
отличается
от
его
безусловной вероятности. В этом случае
P ( AB) = P ( A) PA ( B ),
P ( AB)
PA ( B ) =
.
P ( A)
Рассмотрим двумерную дискретную случайную величину
( X , Y ).
Возможные значения составляющих будут
x1 , x2 ,..., xn ; y1 , y2 ,..., ym .
54
Пусть в результате испытания величина Y приняла
значение
Y = y1 ,
тогда условная вероятность, того что Х примет значение
X = x1 ,
будем записывать в виде:
P( x1 y1 )
В общем случае условные вероятности
составляющей будем записывать в виде
P( xi y j ),
(i = 1,2,..., n,
j = 1,2,..., m)
55
Условным распределением составляющей Х при
условии
называют
совокупность
j
условных вероятностей
Y=y ,
P( x1 y j ), P( x 2 y j ),..., P( x n y j ),
вычисленных в предположении, что событие
уже наступило.
Y = yj
Зная закон распределения двумерной дискретной
случайной величины, можно вычислить условные
законы составляющих
P ( xi y j ) =
P ( xi , y j )
P( y j )
, (5.12) P ( y j xi ) =
P( xi , y j )
P( xi )
.(5.13)
56
Замечание.
Сумма
вероятностей
условного
распределения равна единице.
Пример. Дискретная двумерная случайная величина
задана таблицей:
Y
X
x1
x2
x3
y1
0.10
0.30
0.20
y2
0.06
0.18
0.16
57
Найти условный закон распределения
составляющей Х при условии, что составляющая
У приняла значение
1
y
Y = y1.
Решение.
Данный закон будет определяться совокупностью
следующих условных вероятностей
P( x1 y1 ), P( x2 y1 ), P( x3 y1 ).
Для каждой условной вероятности мы должны
применять выражение
58
P( xi , y1 )
P( xi y1 ) =
.
P( y1 )
P( y1 ) = 0.10 + 0.30 + 0.20 = 0.60,
0.10 1
P( x1 y1 ) =
= ,
0.60 6
P( x2 , y1 )
P( x2 y1 ) =
=
P( y1 )
0.30 1
=
= ,
0.60 2
P ( x3 , y1 )
P( x3 y1 ) =
=
P( y1 )
0.20 1
=
= .
0.60 3
59
Замечание: Сумма вероятностей условного
распределения равна 1, а поэтому в качестве
контроля берут
1 1 1 1+ 3 + 2
+ + =
= 1.
6 2 3
6
5.12 Условные законы распределения
составляющих системы непрерывных
случайных величин
Пусть
( X ,Y )
непрерывная двумерная случайная
величина.
60
Условной плотностью
ϕ ( x y)
распределения
составляющих Х при условии, что составляющая У
примет значение
Y = y,
называется отношение плотности совместного
распределения
к плотности
f ( x, y )
распределения
f 2 ( y)
составляющей У
f ( x, y )
ϕ ( x y) =
.
f 2 ( y)
(5.14)
Аналогично можно записать условную плотность
распределения составляющей У
61
f ( x, y )
ψ ( y x) =
.
f1 ( x)
(5.15)
Для непрерывных случайных величин формула (5.14)
и (5.15) примет вид
ϕ ( x y) =
f ( x, y )
∞
∫
, (5.16) ψ ( y x) =
f ( x, y )dx
−∞
f ( x, y )
∞
∫
. (5.17)
f ( x, y )dy
−∞
Как и любая плотность распределения, условные
плотности распределения обладают следующими
свойствами
∞
ϕ ( x y ) ≥ 0,
∫ ϕ ( x y)dx = 1,
−∞
62
ψ ( y x) ≥ 0,
∞
ψ
(
y
x
)
dy
=
1
.
∫
−∞
Пример.
Двумерная случайная величина
задана плотностью совместного распределения
( X ,Y )
⎧ 1
2
2
2
⎪ 2, x +y <r ,
f ( x, y ) = ⎨πr
⎪0, x 2 + y 2 > r 2 ,
⎩
Найти условные плотности вероятности
составляющих Х и У.
Решение.
63
ϕ ( x y) =
f ( x, y )
∞
∫
,
f ( x, y )dx
−∞
1
πr 2
ϕ ( x y) =
2
r −y
−
2
1
∫2 2 πr 2 dx
r −y
1
=
r −y
2
x
2
− r −y
2
=
1
2 r −y
2
2
;
2
y < r −x ,
2
2
64
1
⎧
,
⎪
2
2
ϕ ( x y) = ⎨ 2 r − y
⎪
⎩0,
y < r −x ,
2
y > r 2 − x2 ,
Аналогично можно найти
ψ ( y x) =
f ( x, y )
∞
∫
2
ψ ( y x)
,
f ( x, y ) dy
−∞
65
5.13 Условное математическое ожидание
Условным математическим ожиданием дискретной
случайной величины У, при
X = x,
называют произведение возможных значений У на
их условные вероятности
m
M (Y X = x) = ∑ y j P( y j x). (5.18)
j =1
Для непрерывных
M (Y
величин
∞
X = x) =
∫ yψ ( y x)dy
−∞
(5.19)
66
Условное математическое ожидание
является функцией от Х
M (Y X = x),
M (Y X = x) = f ( x)
которую называют функцией регрессии Y на X.
Аналогично можно определить математическое
ожидание случайной величины Х.
Пример.
Дискретная случайная величина задана таблицей.
Найти условное математическое ожидание У при
X = x1 = 1
67
Y
X
x1 = 1 x2 = 3 x3 = 4 x4 = 8
y1 = 3
0.15
0.06
0.25
0.04
y2 = 6
0.30
0.10
0.03
0.07
Решение.
2
M (Y X = x1 ) = ∑ y j P( y j x1 ) = y1 P( y1 x1 ) + y2 P( y2 x1 ).
j =1
Согласно (5.13) можно записать
68
P ( y j xi ) =
P ( xi , y j )
P ( xi )
,
P ( x1 , y2 )
P( x1 , y1 )
,
P( y1 x1 ) =
, P ( y2 x1 ) =
P ( x1 )
P( x1 )
P( x1 ) = 0.15 + 0.30 = 0.45, P ( y x ) = 0.15 = 1 ,
1 1
0.30 2
P ( y2 x1 ) =
= ,
0.45 3
0.45
3
2
1
M (Y X = x1 ) = 3 ⋅ + 6 ⋅ = 5.
3
3
69
5.14 Зависимые и независимые случайные
величины
Две случайные величины называют независимыми,
если закон распределения одной из них не зависит
от того, какие возможные значения приняла другая
величина.
Теорема. Для того, что бы случайные величины Х и У
были независимыми необходимо и достаточно, что
бы функция распределения системы
F ( X ,Y )
была равна произведению функций распределения
составляющих
1
2
F ( X , Y ) = F ( X ) F (Y ).
70
Следствие.
Для того, что бы непрерывные случайные величины Х
и У были независимыми необходимо и достаточно, что
бы плотность совместного распределения системы
была равна произведению плотностей распределения
составляющих
f ( x, y ) = f1 ( x) f 2 ( y ).
Пример.
Двумерная случайная непрерывная величина задана
плотностью совместного распределения:
sin x sin y
,
f ( x, y ) =
4
вне
0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π,
f ( x , y ) = 0.
Доказать, что Х и У независимы.
71
Решение:
π
∞
π
sin x sin y
sin x
sin ydy =
f 1 ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ∫
dy =
∫
4
4 0
−∞
0
π sin x
sin x
sin x
(− cos y ) =
,
(−(−1 − 1)) =
=
0
4
2
4
∞
π
sin x sin y
f 2 ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ∫
dx =
4
−∞
0
π
sin y
sin y
=
sin xdx =
.
∫
4 0
2
72
Таким образом
sin x sin y sin x sin y
=
⋅
.
4
2
2
Вывод: составляющие Х и У независимы.
5.15 Корреляционный момент.
Коэффициент корреляции
Корреляционным моментом
µ xy
случайных величинX и Y называют математическое
ожидание произведения отклонений этих величин
µ xy = M [( X − M ( X )) ⋅ (Y − M (Y ))].
73
Для
вычисления
корреляционного
дискретных величин используют формулу
n
момента
m
µ xy = ∑∑ ( xi − M ( X ))( y j − M (Y )) P( xi y j ).
i =1 j =1
Для непрерывных величин - формулу
µ xy =
∞ ∞
∫ ∫ ( X − M ( X ))(Y − M (Y )) f ( x, y)dxdy.
− ∞− ∞
Теорема. Корреляционный момент двух независимых
случайных величин, равен 0.
Доказательство.
74
Т.к. случайные величины Х,У независимы, то
математическое ожидание произведения отклонений
будет равно произведению математических ожиданий
этих отклонений и учитывая, что математическое
ожидание отклонения равно 0, можно записать
µ xy = M (( X − M ( X )) ⋅ (Y − M (Y ))) =
= M ( X − M ( X )) M (Y − M (Y )) = 0.
Поскольку
корреляционный
момент
равен
математическому
ожиданию
произведения
отклонений случайных величин Х,У, то его
размерность
будет
равна
произведению
размерностей величин Х,У.
75
Пример: Х и У измеряются в (см), то получим
Если же Х,У измеряются в (мм), то
µ xy = 2см 2
µ xy = 200мм
2
Т.е. для одних и тех же величин величина
корреляционного момента имеет различные значения
в зависимости от того в каких единицах были
измерены величины.
Для устранения этого недостатка вводят новую
величину- коэффициент корреляции.
Коэффициентом корреляции
xy
случайных величин Х,У называют отношение
корреляционного момента к произведению средних
квадратических отклонений этих величин
r
µ xy
rxy =
.
σ xσ y
76