Лекция 1. Понятие вероятности

С. А. Лавренченко
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
«Замечательно, что науке, которая начиналась
с рассмотрения азартных игр, суждено было стать
наиболее важным объектом человеческого знания.»
Пьер-Симон Лаплас, 1812 г.
Лекция 1. Понятие вероятности
1.1. Введение
Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных
явлений, наблюдающиеся при массовом повторении испытаний. На первый взгляд это
определение кажется противоречивым. Какие могут быть закономерности, если явления
случайные? И все же такие закономерности есть, и их мы и будем изучать в данном курсе.
Фото 1. Архивное фото Андрея Николаевича Колмогорова (1903–1987).
Классическая теория вероятностей родилась в 17-м веке. Основы теории вероятностей
как науки заложили французские классики. Блез Паскаль был первым, кто начал
применять математику для анализа азартных игр. Это было в 17-м веке, когда и родилась
математическая наука — теория вероятностей.
В 18-м и в начале 19-го веков другой классик, Пьер-Симон Лаплас, продолжил
изучение азартных игр и предложил первое математическое определение вероятности. В
своей основополагающей работе по теории вероятностей «Аналитическая теория
вероятностей» (“Théorie Analytique des Probabilités”), опубликованной в 1812 г., он писал:
«Замечательно, что науке, которая начиналась с рассмотрения азартных игр, суждено
2
было стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь большей частью
важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории
вероятностей.»
Во второй половине 19-го века основной вклад в теорию вероятностей внесли русские
математики: П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов, а в 20-м веке академик А. Н.
Колмогоров (см. фото 1) и советская теоретико-вероятностная школа. В результате теория
вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала признаваться
как раздел современной математики.
В качестве пререквизита для данного курса рекомендуется прослушать хотя бы
начальный курс теории множеств и комбинаторики; см. источники [1, 4, 13, 14, 18] в
списке рекомендованной литературы. Мы будем рассматривать конечные множества и
бесконечные счетные множества. Бесконечное множество называется счетным, если
существует взаимнооднозначное соответствие между его элементами и натуральными
числами. Мощность конечного множества A обозначается A и определяется как число
элементов в A. Универсальное множество — это такое всеобъемлющее множество, что
все рассматриваемые множества являются его подмножествами. В каждой конкретной
задаче свое универсальное множество. Роль универсального множества в этом курсе будет
играть так называемое множество всех исходов, обозначаемое  . Для иллюстрации
рассматриваемых понятий служат диаграммы Венна. На этих диаграммах 
изображается в виде прямоугольника, а рассматриваемые множества в виде
геометрических фигур внутри этого прямоугольника.
1.2. Классическое определение вероятности
1.2.1. Основные понятия
Эксперимент — это некоторая процедура, ведущая к одному и только одному исходу
из некоторого множества возможных исходов, обозначаемого  . Каждое осуществление
эксперимента называется испытанием. Событие — это подмножество множества  .
Пример 1.2.1.1. Бросание игральной кости есть эксперимент. Каждое конкретное
бросание есть испытание. Множество исходов в этом эксперименте есть множество шести
возможных чисел выпадающих очков. Обозначается это так:   {1,2,3,4,5,6} , |  | 6 .
Рассмотрим событие A , состоящее в том, что при бросании игральной кости выпадет
нечетное число очков. Имеем: A  {1,3,5} , | A | 3 . Здесь A — событие во множестве
исходов  . Обозначается это так: A   , и иллюстрируется диаграммой Венна на рис. 1.
■
Рисунок 1. A — событие во множестве исходов  .
3
1.2.2. Классическое определение вероятности
Это определение предложил еще Лаплас, поэтому оно также называется лапласовским
определением вероятности. Область его применения ограничена, а именно
предполагается, что A — событие в конечном множестве равновероятных исходов,
обозначаемом в дальнейшем  . Тогда вероятность события A обозначается p(A) и
определяется так:
p( A) 
| A|
,
||
т. е. как отношение числа исходов, благоприятных событию A , к общему числу исходов.
■
Пример 1.2.2.1. Найти вероятность того, что на игральной кости выпадет нечетное число
очков.
Решение: Имеем A  {1,3,5} ,   {1,2,3,4,5,6} . Значит число благоприятных исходов равно
3, а число всех исходов равно 6, поэтому
p( A) 
| A| 3 1
  .■
|| 6 2
Замечание 1.2.2.2. Мы предполагаем, что кость справедливая, т. е. все исходы
равновероятны, и поэтому классическое определение вероятности применимо.
Пример 1.2.2.3. В урне 4 синих шара и 5 красных. Какова вероятность того, что наудачу
вытащенный шар окажется синим?
Решение: Имеем: | A | 4 , |  | 4  5  9 , поэтому p( A)  4 . ■
9
1.2.3. Вероятности комбинаций событий
Рис. 2. Слева событие A , справа противоположное событие выделено зеленым.
Определение 1.2.3.1. Пусть A   , т. е. A — событие во множестве исходов  .
Противоположное к A событие определяется как теоретико-множественная разность:
A    A.
4
Словами, противоположное к событию A событие A состоит из тех и только тех
исходов, которые не принадлежат A . Это определение иллюстрируется диаграммами
Венна на рис. 2. ■
Заметим, что появление события A состоит в непоявлении события A , и обратно.
Таким образом, A  A , отношение противоположности событий симметрично.
Теорема 1.2.3.2 (о вероятности противоположного события). Если A   , то
p( A )  1  p( A) .
Доказательство: Заметим, что | A |  |  |  | A | . Следовательно,
p( A ) 
| A| || | A|
| A|

1
 1  p( A) ,
||
||
||
что и требовалось доказать. ■
Пример 1.2.3.3. Случайным образом генерируется последовательность десяти битов.
Какова вероятность того, что, по меньшей мере, один из этих битов окажется нулевым?
Решение: Множество исходов  данного эксперимента — это множество всех битовых
строк длины десять. Пусть A — событие, состоящее в том, что хотя бы один из десяти
генерируемых битов нулевой. Тогда A — событие, состоящее в том, что все десять битов
единичные. Следовательно, есть ровно один исход, благоприятный для события A — это
битовая строка 1111111111 . Следовательно, по теореме о вероятности противоположного
события имеем:
p( A)  1  p( A)  1 
|A|
1
1
1023
.
 1
 1

10
||
1024 1024
2
Заметим, что намного труднее было бы искать эту вероятность непосредственно по
определению, без использования теоремы о вероятности противоположного события. ■
Определение 1.2.3.4. Пусть A , B   . Сумма событий A и B обозначается A  B и
определяется как теоретико-множественное объединение:
A B  A B ,
а произведение событий обозначается AB и определяется как теоретико-множественное
пересечение:
AB  A  B .
Словами, сумма событий есть событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих
событий, а их произведение — событие, состоящее в одновременном появлении обоих
событий. Понятие суммы и произведения событий иллюстрируются на рисунках 3 и 4,
соответственно. ■
5
Таким образом, наступление события A  B состоит в том, что наступило событие A
или событие B , а наступление события AB состоит в том, что наступило событие A и
событие B .
Рис. 3. Диаграммы Венна, иллюстрирующие сумму событий.
Рис. 4. Диаграммы Венна, иллюстрирующие произведение событий.
Теорема 1.2.3.5 (о вероятности суммы событий). Пусть A и B — события во
множестве исходов  . Тогда
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( AB) .
Доказательство: Заметим, что | A  B |  | A |  | B |  | A  B | . Это очевидное теоретикомножественное тождество. (Докажите его самостоятельно, используя рисунки 3 и 4.)
Следовательно,
p( A  B ) 

| A B | | A|  | B |  | A B |


||
||
| A| | B | | A B |


 p( A)  p( B)  p( AB) ,
|| ||
||
что и требовалось доказать. ■
Пример 1.2.3.6. Какова вероятность того, что число, выбранное наугад из множества
целых чисел от 1 до 100, делится на 2 или на 5?
Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что выбранное число делится на 2, и
пусть событие B состоит в том, что оно делится на 5. Тогда событие A  B состоит в том,
что число делится на 2 или на 5, а событие AB состоит в том, что число делится и на 2, и
на 5, т. е. делится на 10. Значит, | A | 50 , | B | 20 , | AB | 10 , и, по теореме о вероятности
суммы событий имеем:
6
p ( A  B )  p ( A)  p ( B )  p ( A  B ) 
50
20
10
60



 0 .6 . ■
100 100 100 100
1.3. Общее определение вероятности
1.3.1. Введение
Классическое определение вероятности, p( A)  A  , работает в случае, когда все
исходы равновероятны. Например, если бросается справедливая монета, то вероятность
выпадения орла p("" )  1/ 2 и вероятность выпадения решки p("" )  1 / 2 .
Фото 2. Решка.
Однако многие эксперименты имеют неравновероятные исходы. Например, если
бросается монета со смещенным центром тяжести, может оказаться, например, что
p("" )  2 / 3 , а p("" )  1 / 3 , т. е. орел выпадает в среднем в два раза чаще, чем решка.
(См. фото 2.) Эту общую ситуацию необязательно равновероятных исходов мы сейчас и
рассмотрим.
1.3.2. Назначение вероятностей исходам
Пусть  — множество исходов некоторого эксперимента. Будем предполагать, что 
— конечное или бесконечное счетное множество. Каждому исходу    назначается
вероятность p() таким образом, что выполняются следующие два условия:
Условие 1:
и
Условие 2:
0  p()  1 для каждого    ,
 p( )  1 .

Условие 2 означает полноту множества  , т.е. что в каждом испытании один из
исходов обязательно произойдет. В случае, когда  конечно, т. е. когда
  {1, 2 , , n } , условие 2 записывается в виде
n
 p( j )  1 .
j 1
Если же  — бесконечное счетное множество, то вместо конечной суммы получается
бесконечный числовой ряд.
7
На практике, для моделирования эксперимента, в качестве вероятности p() ,
назначаемой исходу  , берется отношение числа появлений исхода  к общему числу
испытаний при достаточно большом числе испытаний. Это отношение называется
относительной частотой появления исхода  . Таким образом, в качестве вероятности
исхода принимают относительную частоту его появления. Так определенная вероятность
называется статистической вероятностью.
Пример 1.3.2.1. Какие вероятности следует назначить исходам “О” (орел) и “Р” (решка),
когда бросается (а) справедливая монета? (б) Когда бросается монета, центр тяжести
которой смещен так, что орел выпадают в два раза чаще, чем решка?
Решение: (а) Имеем p(" " )  p(" " )  1 / 2 .
(б) Составляем систему уравнений:
 p (" " )  2 p (" " )

 p (" " )  p (" " )  1
из которой находим p(" " )  1 / 3 , p(" " )  2 / 3 . ■
1.3.3. Общее определение вероятности
Область применения общего определения вероятности шире, чем классического, а
именно, предполагается, что A — событие в конечном или бесконечном счетном
множестве  необязательно равновероятных исходов. Пусть всем исходам   
назначены вероятности p() , удовлетворяющие условиям 1 и 2 из пункта 1.3.2. Тогда
общее определение вероятности следующее.
Определение 1.3.3.1. Вероятность события A определяется так:
p ( A) 
 p( ) ,
 A
т.е. как сумма вероятностей составляющих его исходов. В частности, если
A  {a1, a2 , , am } ,
m
p ( A)   p( ai ) . ■
i 1
Пример 1.3.3.2. Пусть центр тяжести игральной кости смещен так, что три очка выпадают
в два раза реже, чем не три, а другие числа очков выпадают с одинаковой относительной
частотой. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?
Решение: Надо найти вероятность события A  {1, 3, 5} . Необходимо найти вероятности
этих исходов. Для этого обозначаем через p(i ) вероятность того, что выпадет i очков, и
составляем систему уравнений:
2 p(3)  p(1)  p(2)  p( 4)  p(5)  p(6)

 p(1)  p(2)  p(4)  p(5)  p(6)
 p(1)  p( 2)  p(3)  p(4)  p(5)  p(6)  1

8
Решая эту систему из шести линейных уравнений с шестью неизвестными, находим:
p(3)  1 / 3 , p(1)  p(2)  p(4)  p(5)  p(6)  2 / 15 . Таким образом, по общему
определению вероятности имеем
p ( A)  p (1)  p (3)  p (5) 
2 1 2
9
 

 0.60 . ■
15 3 15 15
Замечание 1.3.3.3. На первый взгляд ответ в предыдущем примере неожиданный.
Кажется, что вероятность 0.60 (что больше 50%) преувеличена, ведь все исходы, кроме
трех очков, равновероятны, а три очка выпадают в два раза реже, чем не три. На самом
деле, все правильно, потому что имеется в виду, что три очка выпадает в два раза реже,
чем любое другое число очков в совокупности. Это значит, три очка выпадают в среднем
при каждом третьем бросании кости, т.е. чаще, чем любое другое число очков по
отдельности. ■
Замечание 1.3.3.4. В частном случае, когда число исходов в  конечно и они
равновероятны, общее определение вероятности совпадает с классическим. В самом деле,
пусть  состоит из n равновероятных исходов. Тогда, в силу условия 2, каждый исход
должен иметь вероятность 1 / n . Далее, пусть некоторое событие A  {a1 , , am }  
состоит из m исходов. Тогда, по общему определению вероятности, имеем
m
m
1 1 1
1 m | A|
,
    
n 
n 
n 
n n ||

i 1
p( A)   p(ai )  
i 1
m
что совпадает с классическим определением вероятности. Таким образом, общее
определение вероятности является обобщением классического. ■