ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла. Рис. 1. Рис. 2. Пусть на отрезке a; b задана непрерывная функция y f x (рис. 1 и 2). Обозначим через m и М ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок a; b на n частей точками деления a x0 , x1, x2 ,..., xn1, xn b , причем x0 x1 x2 ... xn , и положим x1 x0 x1 , x2 x1 x2 ,..., xn xn1 xn . Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции f x на отрезке x0 ; x1 через m1 и M 1 на отрезке x1; x2 через m2 и M 2 ,..., на отрезке xn1; xn через mn и M n . Составим суммы n S n m1x1 m2x2 ... mn xn mi xi , (1) i 1 n S n M1x1 M 2x2 ... M n xn M i xi . i 1 (2) Сумму S n называют нижней интегральной суммой, а сумму S n - верхней интегральной суммой. Если f x 0 , то нижняя интегральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры» AC0 N1C1N2 ...Cn1Nn BA, ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры» AK0C1K1...Cn1Kn1Cn BA, ограниченной «описанной» ломаной. 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла В каждом из отрезков x0 , x1 , x1 , x2 ,..., xn1 , xn возьмем по точке, которые обозначим 1,2 ,...,n (рис. 3): x0 1 x1 , x1 2 x2 ,..., xn1 n xn . Рис. 3. В каждой из этих точек вычислим значение функции f 1 , f 2 ,..., f n . Составим сумму n Sn f 1 x1 f 2 x2 ... f n xn f i xi . (3) i 1 Эта сумма называется интегральной суммой для функции f x на отрезке a; b . Так как при произвольном i , принадлежащем отрезку xi 1 , xi , будет mi f i M i и все xi 0 , то mi xi f i xi M i xi , следовательно, n n n i 1 i 1 i 1 mi xi f i xi M i xi , или S n Sn S n . (4) Геометрический смысл последнего неравенства при f x 0 состоит в том, что фигура, площадь которой равна S n , ограничена ломаной, заключенной между «вписанной» ломаной и «описанной» ломаной. Сумма S n зависит от способа разделения отрезка a, b на отрезки xi 1 , xi и от выбора точек i внутри получающихся отрезков. Обозначим теперь через max xi1, xi наибольшую из длин отрезков x0 , x1 , x1, x2 ,..., xn1, xn . Рассмотрим различные разбиения отрезка a, b на отрезки xi1, xi такие, что xi1, xi 0 . Очевидно, что при этом число отрезков n в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения i можно составить интегральную сумму n Sn f i xi . (5) i 1 Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, при которых max xi 0 , при этом n . При каждом разбиении выбираем значения i . Предположим, что эта последовательность интегральных сумм S n* (в данном случае сумма является упорядоченной переменной величиной) стремится к некоторому пределу lim Sn* lim max xi 0 max xi 0 n f x S. i 1 i i (6) Теперь мы можем сформулировать следующее Определение 1. Если при любых разбиениях отрезка max xi 0 , и при любом выборе точек i на отрезках a, b таких, что xi1, xi интегральная сумма n Sn f i xi (7) i 1 стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называют определенным интегралом от функции f x на отрезке a, b и обозначают b f x dx. a Таким образом, по определению b n lim max xi 0 f x f x dx. i i 1 i (8) a Число а называется нижним пределом интеграла, b – верхним пределом интеграла. Отрезок a, b называется отрезком интегрирования, х – переменной интегрирования. Определение 2. Если для функции f x предел (8) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке a; b . Заметим, что нижняя интегральная сумма S n и верхняя интегральная сумма S n являются частными случаями интегральной суммы (7), поэтому если f x ин- тегрируема, то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу S, и потому на основании равенства (8) можем написать b n m x f x dx, lim max xi 0 i i 1 i a b n lim max xi 0 M x f x dx. i 1 (9) i i (10) a Если построить график подынтегральной функции y f x , то в случае f x 0 интеграл b f x dx a будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми x a, x b и осью Ox (рис. 4). Поэтому если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f x , прямыми x a, x b и осью Ox то эта площадь Q вычисляется с помощью интеграла: b Q f x dx. (11) a Рис. 4. Теорема 1. Если функция f x непрерывна на отрезке a, b , то она интегрируется на этом отрезке. Отметим, что среди разрывных функций есть как интегрируемые, так и неинтегрируемые. Если функция f x непрерывна на отрезке a, b то при любой последовательности разбиений отрезка a, b на отрезки xi 1 , xi , если только max xi 0 * * , нижняя интегральная сумма S m и верхняя интегральная сумма S m стремятся к пределу S. b При введении понятия определенного интеграла f x dx. мы предполагали, a что a b . В случае b a примем по определению b a f x dx f x dx. a 0 5 5 0 (12) b Так, например, x 2 dx x 2dx. Замечание 3. В случае a b полагаем по определению, что для любой функции f x имеет место a f x dx 0. (13) a Это естественно и с геометрической точки зрения. В самом деле, основание криволинейной трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь этой криволинейной трапеции равна нулю. Результат вычисления определенного интеграла не зависит от способа построения интегральной суммы – лишь бы шаг разбиения стремился к нулю. 3. Основные свойства определенного интеграла Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если A const , то b b Af x dx A f x dx. a (14) a Свойство 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Так, в случае двух слагаемых b b b f x f x dx f x dx f x dx. 1 2 1 a a 2 (15) a Свойства 1 и 2, хотя и доказаны только для случая a b , остаются в силе и при a b . Однако следующее свойство справедливо при a b : Свойство 3. Если на отрезке a, b , где a b , функции f x и x удовлетворяют условию f x x , то b b f x dx x dx. a (16) a Если f x 0 и x 0 , то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически (рис. 7). Так как x f x , то площадь криволинейной трапеции aA1B 1b не больше площади криволинейной трапеции aA2 B 2 b . Свойство 4. Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f x на отрезке a, b и a b , то b m b a f x dx M b a . (17) a Рис. 7. Рис.8. Если f x 0 то это свойство легко иллюстрируется геометрически (рис. 8): площадь криволинейной трапеции aABb содержится между площадями прямоугольников aA1B 1b и aA2 B 2 b . Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция f x непрерывна на отрезке a, b , то на этом отрезке найдется такая точка , что справедливо следующее равенство: b f x dx b a f . a (18) Свойство 6. Для любых трех чисел а, b, с справедливо равенство b c b f x dx f x dx f x dx, a a (19) c только все эти три интеграла существуют. Рис. 9. Это свойство справедливо и при любом другом расположении точек a, b и с. 4. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона – Лейбница Непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм (8) связано с большими трудностями. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов. Этот метод, открытый Ньютоном и Лейбницем, использует глубокую связь, существующую между интегрированием и дифференцированием. b Пусть в определенном интеграле f x dx нижний предел а закреплен, а a верхний предел b меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т. е. интеграл есть функция верхнего предела. Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, последнюю обозначим через t. (от обозначения переменной интегрирования значение интеграла не зависит.) x Получим интеграл f t dt . При постоянном а этот интеграл будет представa лять собой функцию верхнего предела х. Эту функцию мы обозначим через Ф x : x Ф x f t dt. (20) a Если f t – неотрицательная функция, то величина Ф x численно равна площади криволинейной трапеции aAXx (рис. 10). Рис. 10. Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от изменения х. Найдем производную от Ф x по х, т. е. найдем производную определенного интеграла (20) по верхнему пределу. x Теорема 1. Если f x - непрерывная функция и Ф x f t dt , то имеет a место равенство Ф x f x . Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна). Данная теорема просто иллюстрируется геометрически (рис. 10): приращение Ф f x равняется площади криволинейной трапеции с основанием x , а производная Ф x f x равна длине отрезка xX. Замечание. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция f t непрерывна на отрезке a, x , то в этом случае определенный интеграл x f t сущеa x ствует, т. е. существует функция Ф x f t dt. Но по доказанному выше она a является первообразной от f x . Теорема 2. Если F x есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f x , то справедлива формула b f x dx F b F a . a (21) Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница, Необходимо отметить, что такое название формулы (21) условно, поскольку ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном смысле этого слова. Но важно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычисления определенных интегралов. Доказательство. Пусть F x есть некоторая первообразная от функции f x . По теореме 1 функция x f t dt есть также первообразная от f x . Но две a любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое С*. Следовательно, можно написать x f t dt F x C *. a Это равенство при соответствующем выборе С* справедливо при всех значениях х, т. е. является тождеством. Для определения постоянного С* положим в этом тождестве x a тогда a f t dt F a C * , a или 0 F a C*, откуда C* F a . Следовательно, x f t dt F x F a . a Полагая x b , получим формулу Ньютона – Лейбница: b f t dt F b F a , a или, заменив обозначение переменной интегрирования на х: b f x dx F b F a . a Отметим, что разность F b F a не зависит от выбора первообразной F, так как все первообразные отличаются на постоянную величину, которая при вычитании все равно уничтожается. Формулу (21) можно переписать так: b f x dx F x b a F b F a . a Выражение | называется знаком двойной подстановки. Формула Ньютона – Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя с процессом, аналогичным вычислению определенного интеграла как предела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архимед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона – Лейбница значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т. д. b a b x2 b2 a 2 Пример 1. xdx . 2 2 a a b b x3 b3 a 3 Пример 2. x dx . 3 3 a a b 2 b x n1 b n1 a n1 Пример 3. x dx n 1 a n 1 a b n b n 1. Пример 4. e x dx e x eb ea . b a a 2 sin xdx cos x Пример 5. 2 0 cos 2 cos0 0. 0 1 Пример6. 0 5. xdx 1 x2 1 1 x 2 2 1. 0 Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть дан интеграл b f x dx, a где функция f x непрерывна на отрезке a, b . Введем новую переменную t no формуле x t . Если 1) a, b, 2) t и t непрерывны на отрезке , , 3) f t определена и непрерывна на отрезке , , то b f x dx f t t dt. (22) a Доказательство. Если F x есть первообразная для функции f x , то можем написать следующие равенства: f x dx F x C, (23) f t t dt F t C. (24) Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей по t. Из равенства (23) получаем b f x dx F x a F b F a . b a Из равенства (24) получаем f t t dt F t F F F b F a . Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые. Замечания. При вычислении определенного интеграла по формуле (22) возвращаться к старой переменной не требуется; Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных. r Пример. Вычислить интеграл r 2 x 2 dx. 0 Решение. Сделаем замену переменной: x r sin t , dx r cos tdt . Определим новые пределы: x 0 при t 0 , x r при t 2 . Следовательно, r 0 2 r x dx r r sin t r cos t dt r 2 2 2 0 2 2 2 2 cos 0 2 tdt 2 1 1 t sin 2t 2 r r 2 cos 2t dt r 2 . 2 2 2 4 4 0 0 2 Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет пло1 щадь круга, ограниченного окружностью x 2 y 2 r 2 (рис.11). 4 Рис. 11. 6. Интегрирование по частям Пусть u и v – дифференцируемые функции от х. Тогда uv uv uv. Интегрируя обе части тождества в пределах от а до b, получим b b b uv dx uvdx uvdx. a Так как uv dx uv C , то a (25) a b uv dx uv b a ; поэтому равенство (25) может a быть записано в виде b b a a uv a vdu udv, b или окончательно b udv uv a b b a vdu. a