Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Îñíîâû êîìáèíàòîðèêè è òåîðèè ÷èñåë, îñåíü 2012 Çàäà÷è ïðî îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé íàáîð êàêèõ-òî îáúåêòîâ. Åñòü äâà ñòàíäàðòíûõ ñïîñîáà çàïèñè ìíîæåñòâ: ïåðå÷èñëåíèåì ýëåìåíòîâ (A = {1, 8, 14, 345}, N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }) èëè óêàçàíèåì êàêîãî-òî ñâîéñòâà (ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë ýòî {x ∈ N | x äåëèòñÿ íàöåëî òîëüêî íà ñåáÿ è íà åäèíèöó}). Ïóñòûì ìíîæåñòâîì ∅ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ âî ìíîæåñòâàõ ∅, {∅}, {∅, {∅}}? Åñëè îáúåêò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, òî ïèøóò x ∈ A. Åñëè ëþáîé ýëåìåíò A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B , òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B , ïèøóò A ⊂ B . Äâà ìíîæåñòâà ñîâïàäàþò (A = B ), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A, B è C âûïîëíåíî: a) A ⊂ A; b) åñëè A ⊂ B è B ⊂ A, òî A = B ; c) åñëè A ⊂ B è B ⊂ C , òî A ⊂ C ; d) ∅ ⊂ A. Ìîæåò ëè áûòü òàê, ÷òî îäíîâðåìåííî A ∈ B è A ⊂ B ? Ïðî êàæäîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé äîêàæèòå, ÷òî îíî âñåãäà âåðíî, íèêîãäà íå âåðíî èëè ìîæåò áûòü êàê âåðíûì, òàê è íåâåðíûì: a) åñëè a ∈ B è B ∈ C , òî a ∈ C ; b) åñëè a ∈ B è B ⊂ C , òî a ∈ C ; c) åñëè a ⊂ B è B ∈ C , òî a ∈ C . Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A∪B = {x | x ∈ A èëè x ∈ B}. Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A ∩ B = {x | x ∈ A è x ∈ B}. Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A \ B = {x | x ∈ A è x 6∈ B}. Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A4B = {x | x ∈ A è x 6∈ B, èëè x ∈ B è x 6∈ A}. Åñëè çàäàíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî U (óíèâåðñóì ), êîòîðîìó çàâåäîìî ïðèíàäëåæàò âñå ðàññìàòðèâàåìûå ýëåìåíòû, òî äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A = U \ A. Äîêàæèòå, ÷òî: a) A ∪ B = B ∪ A; b) A ∩ B = B ∩ A; c) A4B = B4A; d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); e) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); f) (A4B)4C = A4(B4C); g) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); h) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); 1. 2. 3. 4. 5. 1 i) j) k) l) m) n) o) (A ∪ B) = A ∩ B ; (A ∩ B) = A ∪ B ; A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B); A \ (A \ B) = A ∩ B ; (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C); A ∩ (B4C) = (A ∩ B)4(A ∩ C); A ∪ B = A4B4(A ∩ B); Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà ìíîæåñòâà A, B , C è D íàéä¼òñÿ ìíîæåñòâî X , óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì? ×åìó ìîæåò ðàâíÿòüñÿ X â òàêîì ñëó÷àå? a) A ∩ X = B è A ∪ X = C ; b) A ∩ X = B è A \ X = C ; c) A ∩ X = B è X \ C = B ; d) A ∩ X = B è C ∪ X = D; e) A \ X = B è X \ C = D. Êîðòåæåì äëèíû 0 íàçûâàåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî. Åñëè T = (a1, . . . , an) êîðòåæ äëèíû n, òî (a, a1, . . . , an) = {a, {a, T }} åñòü êîðòåæ n + 1. Êîðòåæ äëèíû 2 íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé. Íàïèøèòå, ÷òî òàêîå óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (a, b). Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Äåêàðòîâîé ñòåïåíüþ An ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî êîðòåæåé äëèíû n ýëåìåíòîâ A. Ïóñòü â ìíîæåñòâå A åñòü k ýëåìåíòîâ, à â ìíîæåñòâå B m. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâàõ A × B , An? ×òî òàêîå A0? A1? Ïóñòü S 1 îêðóæíîñòü, D2 êðóã. ×òî òàêîå [a, b] × [c, d], [a, b] × S 1, [a, b] × D2, S 1 × S 1 , S1 × D2 ? Åñëè n1 6 n2 6 · · · 6 nk , à T1 = (a1, . . . , an ), T2 = (an +1, . . . , an ), . . . , Tk = (an +1 , . . . , an ) êîðòåæè, òî åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâèì êîðòåæè (T1 , . . . , Tk ) è (a1, . . . , an ). Îòîæäåñòâèì òàêæå êîðòåæ (a) è ýëåìåíò a. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè òàêîì îòîæäåñòâëåíèè: a) A × (B × C) = (A × B) × C ; b) An = A × A × · · · × A (n ðàç); c) An × Ak = An+k ; d) (An)k = Ank . Äîêàæèòå, ÷òî: a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C); b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C); c) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D). Êîãäà âûïîëíåíî (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D)? 6. 7. 8. 9. 10. 1 k−1 k k 11. 12. 13. 2 1 2