Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèé, îñåíü 2015 Ñëîæíîñòü çàäà÷ ïîäñ÷¼òà Çàäà÷åé ïîäñ÷¼òà íàçûâàåòñÿ çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè èç {0.1}∗ â {0.1}∗ (èëè èç {0.1}∗ â N, ÷òî îïðàâäûâàåò ñëîâî ïîäñ÷¼ò â íàçâàíèè).1 Êëàññîì FTIME(t(n)) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, êîòîðûå ðàçðåøèìû çà âðåìÿ O(t(n)). Èíà÷å ãîâîðÿ, f ∈ FTIME(t(n)), åñëè ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà M è êîíñòàíòà c, òàêèå ÷òî íà ëþáîì x ìàøèíà M îñòàíàâëèâàåòñÿ íå áîëåå ÷åì çà ct(|x|) øàãîâ è âîçâðàùàåò f (x). Êëàññîì FP íàçûâàåòñÿ ∪∞k=1 FTIME(nk ), ò.å. ìíîæåñòâî çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, ðàçðåøèìûõ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Êëàññîì #P íàçûâàåòñÿ êëàññ çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ìàøèíà T , ðàáîòàþùàÿ ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, òàêàÿ ÷òî f (x) = |{y | T (x, y) = 1}|. Äîêàæèòå, ÷òî FP ⊂ #P. Êëàññîì FPf íàçûâàåòñÿ êëàññ çàäà÷ ïîäñ÷¼òà, êîòîðûå ðåøàþòñÿ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ñ îðàêóëîì f , ò.å. åñëè çà îäèí øàã ìîæíî âû÷èñëÿòü ôóíêöèþ f . Àíàëîãè÷f íûé êëàññ äëÿ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ íàçûâàåòñÿ P . Çàäà÷à ïîäñ÷¼òà f íàçûâàåòñÿ NPòðóäíîé, åñëè NP ⊂ Pf . Çàäà÷à ïîäñ÷¼òà f íàçûâàåòñÿ #P-òðóäíîé, åñëè #P ⊂ FPf . Çàäà÷à ïîäñ÷¼òà íàçûâàåòñÿ #P-ïîëíîé, åñëè îíà #P-òðóäíà è ñàìà ëåæèò â #P. Ïóñòü #CYCLE çàäà÷à ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ öèêëîâ â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G. Äîêàæèòå, ÷òî #CYCLE ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ CYCLE ëåæèò â P. Ïóñòü #UCYCLE çàäà÷à ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ öèêëîâ â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G. Äîêàæèòå, ÷òî #UCYCLE ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ UCYCLE ëåæèò â P. Ïóñòü #MAXCLIQUE çàäà÷à ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ìàêñèìàëüíûõ (ò.å. íåóâåëè÷èâàåìûõ) êëèê â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G. Äîêàæèòå, ÷òî #MAXCLIQUE ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ MAXCLIQUE ëåæèò â P (â ëþáîì ãðàôå åñòü ìàêñèìàëüíàÿ êëèêà). Êëàññîì PP íàçûâàåòñÿ êëàññ ÿçûêîâ A, òàêèõ ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ïîëèíîìèàëüíîé ìàøèíû Òüþðèíãà M è íåêîòîðîãî ïîëèíîìà p âûïîëíåíî x ∈ A ⇔ |{u ∈ {0, 1}p(|x|) | M (x, u) = 1}| > 21 · 2p(|x|) . Äîêàæèòå, ÷òî BPP ⊂ PP. Äîêàæèòå, ÷òî êëàññ PP íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïðè x ∈ A áûëî âûïîëíåíî Prr {M (x, r) = 1} > 12 , ïðè x 6∈ A áûëî âûïîëíåíî Prr {M (x, r) = 1} < 12 Äîêàæèòå, ÷òî P = PP ⇔ #P = FP. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè f ÿâëÿåòñÿ #P-ïîëíîé è f ∈ FP, òî #P = FP. Äîêàæèòå #P-ïîëíîòó çàäà÷è #SAT (çàäà÷è ïîäñ÷¼òà êîëè÷åñòâà âûïîëíÿþùèõ íàáîðîâ äëÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëû ϕ). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1 Âû÷èñëèòü ôóíêöèþ f : {0, 1}∗ → N åñòü òî æå ñàìîå, ÷òî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî y < f (x). 1 y ∈ N, òàêèõ ÷òî Äîêàæèòå NP-òðóäíîñòü çàäà÷è MAXCLIQUESIZE (çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ðàçìåðà ìàêñèìàëüíîé êëèêè â ãðàôå G). Äîêàæèòå NP-òðóäíîñòü çàäà÷è CHROMNUMBER (çàäà÷è íàõîæäåíèÿ õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà ãðàôà G). 10. 11. 2