Òêà÷åâ Ñ.Á. êàô. Ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÈÓ5 | 4 ñåìåñòð, 2015 ã. Ëåêöèÿ 10. ÃÐÀÔÛ. ÇÀÄÀ×À Î ÏÓÒßÕ ÂÎ ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ ÎÐÈÅÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÃÐÀÔÀÕ • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô G çàäàåòñÿ äâóìÿ ìíîæåñòâàìè G = (V, E), ãäå V | êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþò âåðøèíàìè èëè óçëàìè; E |ìíîæåñòâî íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð íà V , ò.å. ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ V , ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþò ðåáðàìè. Äëÿ êàæäîãî ðåáðà {u, v} ∈ E ñ÷èòàåì, ÷òî u è v | ðàçëè÷íûå âåðøèíû. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Åñëè ðåáðî e = (u, v) , òî ãîâîðÿò, ÷òî ðåáðî e ñîåäèíÿåò âåðøèíû u è v , è îáîçíà÷àþò ýòî u p|p v ; åñëè íåîáõîäèìî, óêàçûâàþò èìÿ ãðàôà G : u p|pG v . Âåðøèíû u è v , ñîåäèíåíûå ðåáðîì ( u p|p v ), íàçûâàþò ñìåæíûìè, à òàêæå êîíöàìè ðåáðà {u, v} . Åñëè u p|p v , ãîâîðÿò, ÷òî âåðøèíû u è v ñâÿçàíû îòíîøåíèåì íåïîñðåäñòâåííîé äîñòèæèìîñòè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îðèåíòèðîâàííûé ãðàô G çàäàåòñÿ äâóìÿ ìíîæåñòâàìè G = (V, E), ãäå V | êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþò âåðøèíàìè èëè óçëàìè; E | ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð íà V , ò.å. ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà V × V , ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþò äóãàìè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Åñëè äóãà e = (u, v) , òî ãîâîðÿò, ÷òî äóãà e âåäåò èç âåðøèíû u â âåðøèíó v , è îáîçíà÷àþò ýòî u → v ; åñëè íåîáõîäèìî, óêàçûâàþò èìÿ ãðàôà G : u →G v . Âåðøèíû u è v , òàêèå, ÷òî èç âåðøèíû u â âåðøèíó v âåäåò äóãà ( u → v ), íàçûâàþò ñìåæíûìè, u íàçûâàþò íà÷àëîì, à v | êîíöîì äóãè (u, v) . Äóãó, íà÷àëî è êîíåö êîòîðîé åñòü îäíà è òà æå âåðøèíà, íàçûâàþò ïåòëåé. Åñëè u → v , òî ãîâîðÿò, ÷òî âåðøèíû u è v ñâÿçàíû îòíîøåíèåì íåïîñðåäñòâåííîé äîñòèæèìîñòè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Öåïü â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G | ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) v0 , v1 , . . . , vn , . . . , òàêàÿ, ÷òî vi p|p vi+1 äëÿ ëþáîãî i , åñëè vi+1 ñóùåñòâóåò. (Ïîä êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîíèìàåòñÿ êîðòåæ âåðøèí.) Äëÿ êîíå÷íîé öåïè v0 , v1 , . . . , vn ÷èñëî n ( n ≥ 0 ) íàçûâàþò äëèíîé öåïè. Òàêèì îáðàçîì, äëèíà öåïè åñòü ÷èñëî åå ðåáåð, ò.å. âñåõ ðåáåð, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû vi è vi+1 ( i = 0, n−1 ). Öåïü äëèíû 0 | ýòî ïðîèçâîëüíàÿ âåðøèíà ãðàôà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ãîâîðÿò, ÷òî âåðøèíà v íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà G äîñòèæèìà èç âåðøèíû u ýòîãî ãðàôà è îáîçíà÷àþò u |==|∗ v , åñëè ñóùåñòâóåò öåïü v0 , v1 , . . . , vn , òàêàÿ, ÷òî u = v0 , vn = v (ïðè ýòîì ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî äàííàÿ öåïü ñîåäèíÿåò âåðøèíû u è v , êîòîðûå íàçûâàþò êîíöàìè öåïè). Òàêèì îáðàçîì, çàäàíî îòíîøåíèå äîñòèæèìîñòè |==|∗ â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå. Îíî ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíî-òðàíçèòèâíûì çàìûêàíèåì îòíîøåíèÿ p|p íåïîñðåäñòâåííîé äîñòèæèìîñòè. Îòíîøåíèå äîñòèæèìîñòè â íåîðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî, ò.å. ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïóòü â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G | ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) v0 , v1 , . . . , vn , . . . , òàêàÿ, ÷òî vi → vi+1 äëÿ ëþáîãî i , åñëè vi+1 ñóùåñòâóåò. Äëÿ êîíå÷íîãî ïóòè v0 , v1 , . . . , vn ÷èñëî n íàçûâàþò äëèíîé ïóòè (n ≥ 0) . Òåì ñàìûì äëèíà ïóòè åñòü ÷èñëî åãî äóã, ò.å. âñåõ äóã, êîòîðûå âåäóò èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vi+1 ( i = 0, n−1 ). Ïóòü äëèíû 0 | ýòî ïðîèçâîëüíàÿ âåðøèíà ãðàôà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ãîâîðÿò, ÷òî âåðøèíà v îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà G äîñòèæèìà èç âåðøèíû u ýòîãî ãðàôà è îáîçíà÷àþò u ⇒∗ v , åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü v0 , v1 , . . . , vn , òàêîé, ÷òî u = v0 , v = vn (ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî äàííûé ïóòü âåäåò èç âåðøèíû u â âåðøèíó v , íàçûâàÿ ïåðâóþ âåðøèíó íà÷àëîì, à âòîðóþ | êîíöîì äàííîãî ïóòè). Òàêèì îáðàçîì, çàäàíî îòíîøåíèå äîñòèæèìîñòè ⇒∗ â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå. Îíî ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíîòðàíçèòèâíûì çàìûêàíèåì îòíîøåíèÿ → íåïîñðåäñòâåííîé äîñòèæèìîñòè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îòíîøåíèå äîñòèæèìîñòè â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå ðåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî, íî â îáùåì ñëó÷àå íå àíòèñèììåòðè÷íî: åñëè äâå âåðøèíû îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà äîñòèæèìû îäíà èç äðóãîé, òî èç ýòîãî âîâñå íå ñëåäóåò, ÷òî îíè ñîâïàäàþò. Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå äîñòèæèìîñòè â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå åñòü îòíîøåíèå ïðåäïîðÿäêà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Åñëè ñóùåñòâóåò öåïü íåíóëåâîé äëèíû, ñîåäèíÿþùàÿ u è v , òî ïèøóò u |==|+ v . Åñëè íåîáõîäèìî ÿâíî óêàçàòü äëèíó öåïè, òî ïèøóò u |==|n v è ãîâîðÿò, ÷òî ñóùåñòâóåò öåïü äëèíû n , ñîåäèíÿþùàÿ u è v . Ïðîñòàÿ öåïü | ýòî öåïü, âñå âåðøèíû êîòîðîé, êðîìå, áûòü ìîæåò, ïåðâîé è ïîñëåäíåé, ïîïàðíî ðàçëè÷íû è âñå ðåáðà ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ïðîñòóþ öåïü íåíóëåâîé äëèíû ñ ñîâïàäàþùèìè êîíöàìè íàçûâàþò öèêëîì. Ïðîèçâîëüíóþ öåïü íåíóëåâîé äëèíû ñ ñîâïàäàþùèìè êîíöàìè, âñå ðåáðà êîòîðîé ïîïàðíî ðàçëè÷íû, áóäåì íàçûâàòü çàìêíóòîé öåïüþ. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü íåíóëåâîé äëèíû, âåäóùèé èç u â v , òî ïèøóò u ⇒+ v . Åñëè íåîáõîäèìî ÿâíî óêàçàòü äëèíó ïóòè, òî ïèøóò u ⇒n v è ãîâîðÿò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïóòü äëèíû n ,âåäóùèé èç u â v. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðîñòîé ïóòü | ýòî ïóòü, âñå âåðøèíû êîòîðîãî, êðîìå, áûòü ìîæåò, ïåðâîé è ïîñëåäíåé, ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ïðîñòîé ïóòü íåíóëåâîé äëèíû, íà÷àëî è êîíåö êîòîðîãî ñîâïàäàþò, íàçûâàþò êîíòóðîì. Ïðîèçâîëüíûé ïóòü íåíóëåâîé äëèíû, íà÷àëî è êîíåö êîòîðîãî ñîâïàäàþò, áóäåì íàçûâàòü çàìêíóòûì ïóòåì. Íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô, íå ñîäåðæàùèé öèêëîâ, íàçûâàþò àöèêëè÷åñêèì ãðàôîì. Îðèåíòèðîâàííûé ãðàô, íå ñîäåðæàùèé êîíòóðîâ, íàçûâàþò áåñêîíòóðíûì ãðàôîì. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îïðåäåëåíèå 10.1. Âçâåøåííûì (èëè ðàçìå÷åííûì) îðèåíòèðîâàííûì ãðàôîì íàçûâàþò ïàðó W = (G, ϕ) , ãäå G = (V, E) | îáû÷íûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô, ϕ: E → R | âåñîâàÿ ôóíêöèÿ (èëè ôóíêöèÿ ðàçìåòêè) ñî çíà÷åíèÿìè â íåêîòîðîì èäåìïîòåíòíîì ïîëóêîëüöå R = (R, +, ·, 0, 1) , ïðè÷åì (∀e ∈ E)(ϕ(e) 6= 0) . Ìû áóäåì â ýòîì ñëó÷àå òàêæå ãîâîðèòü, ÷òî îðèåíòèðîâàííûé ãðàô ðàçìå÷åí íàä èäåìïîòåíòíûì ïîëóêîëüöîì R . ×àñòî ïîëóêîëüöî R ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, õîòÿ ýòî òðåáîâàíèå íåîáÿçàòåëüíî. R | îáÿçàòåëüíî ïîëóêîëüöî ñ èòåðàöèåé. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïóñòü âåðøèíû îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà êàêèì-ëèáî îáðàçîì ïðîíóìåðîâàíû. Òîãäà âçâåøåííûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô ìîæåò áûòü çàäàí ìàòðèöåé A , ýëåìåíò êîòîðîé aij ðàâåí çíà÷åíèþ ϕ((i, j)) âåñîâîé ôóíêöèè íà äóãå (i, j) , åñëè èç âåðøèíû i âåäåò äóãà â âåðøèíó j , èëè íóëþ ïîëóêîëüöà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ýòó ìàòðèöó áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöåé ìåòîê äóã. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Âàæíûå çàäà÷è àíàëèçà îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ. 1. Âû÷èñëåíèå äëÿ çàäàííîãî îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà åãî ìàòðèöû äîñòèæèìîñòè. Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. Ìàòðèöó äîñòèæèìîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòðèöó òðàíçèòèâíîãî è ðåôëåêñèâíîãî çàìûêàíèÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ íåïîñðåäñòâåííîé äîñòèæèìîñòè â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå. 2. Çàäà÷à î êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèÿõ . Âû÷èñëåíèå íàèìåíüøèõ ðàññòîÿíèé ìåæäó âñåìè ïàðàìè âåðøèí â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå. Ðàññòîÿíèåì îò âåðøèíû v äî âåðøèíû w ïî ïóòè S íàçûâàþò ñóììó ìåòîê äóã, âõîäÿùèõ â ýòîò ïóòü. Íàèìåíüøèå ðàññòîÿíèå ýòî ìèíèìàëüíîå èç ðàññòîÿíèé ìåæäó âåðøèíàìè v è w ïî âñåì âîçìîæíûì ïóòÿì. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3. Ïåðå÷èñëåíèå âñåõ ïóòåé ìåæäó äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè âåðøèíàìè. Ýòó çàäà÷ó áóäåì íàçûâàòü çàäà÷åé î ïåðå÷èñëåíèè ïóòåé. Ïðè åå ðåøåíèè òðåáóåòñÿ äëÿ ëþáîé çàäàííîé ïàðû âåðøèí u è v îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ïîëó÷èòü âñå ïóòè, äëÿ êîòîðûõ u ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì, à v | êîíöîì. Âû÷èñëåíèå èòåðàöèè A∗ ìàòðèöû A äàåò ðåøåíèå âñåõ ñôîðìóëèðîâàííûõ çàäà÷, åñëè äëÿ êàæäîé çàäà÷è âûáèðàòü ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëóêîëüöî. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit  ñëó÷àå ïîëóêîëüöà B ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäà÷è î òðàíçèòèâíîì çàìûêàíèè, â ñëó÷àå ïîëóêîëüöà R+ | ðåøåíèå çàäà÷è î êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèÿõ. Çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû A∗ äëÿ îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà, ðàçìå÷åííîãî íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëóêîëüöîì ñ èòåðàöèåé, â ÷àñòíîñòè íàä çàìêíóòûì ïîëóêîëüöîì, áóäåì íàçûâàòü îáùåé çàäà÷åé î ïóòÿõ âî âçâåøåííûõ îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ðàññìîòðèì òåïåðü ðåøåíèå îáùåé çàäà÷è î ïóòÿõ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çàìêíóòîãî ïîëóêîëüöà R . Îïðåäåëåíèå 10.2. Ìåòêà ïóòè, âåäóùåãî èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vj , åñòü ïðîèçâåäåíèå â ïîëóêîëüöå R ìåòîê âõîäÿùèõ â ïóòü äóã â ïîðÿäêå èõ ñëåäîâàíèÿ (äëÿ ïóòè íåíóëåâîé äëèíû) è åñòü 1 (åäèíèöà ïîëóêîëüöà R ) äëÿ ïóòè íóëåâîé äëèíû. Îïðåäåëåíèå 10.3. Ñòîèìîñòü ïðîõîæäåíèÿ èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vj (èëè ìåæäó i -é è j -é âåðøèíàìè) | ýòî ñóììà â ïîëóêîëüöå R ìåòîê âñåõ ïóòåé, âåäóùèõ èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vj . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñóììà, îïðåäåëÿþùàÿ ñòîèìîñòü ïðîõîæäåíèÿ åñòü áåñêîíå÷íàÿ ñóììà çàìêíóòîãî ïîëóêîëüöà, ò.å. òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåòîê. Åñëè ñòîèìîñòü ïðîõîæäåíèÿ ìåæäó ïàðîé âåðøèí ïî êàêîìó-ëèáî ìíîæåñòâó ïóòåé ðàâíà 0 , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïóòè, ïðèíàäëåæàùåãî äàííîìó ìíîæåñòâó ïóòåé, âåäóùåãî èç ïåðâîé âåðøèíû ðàññìàòðèâàåìîé ïàðû âî âòîðóþ âåðøèíó. Ìàòðèöà ìåòîê äóã ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïîëóêîëüöà ìàòðèö íàä ïîëóêîëüöîì R .  ýòîì ïîëóêîëüöå îïðåäåëåíû îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìàòðèö, à òàêæå âîçâåäåíèå ìàòðèöû â íåîòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 10.1. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Mm×n (S) ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö òèïà m×n ñ ýëåìåíòàìè èç ïðîèçâîëüíîãî èäåìïîòåíòíîãî ïîëóêîëüöà S = (S, +, ·, 0, 1) . Ìíîæåñòâî âñåõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè èç ïîëóêîëüöà S îáîçíà÷èì Mn (S) . Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìàòðèö îïðåäåëÿþò òî÷íî òàê æå, êàê è â ÷èñëîâîì ñëó÷àå , | ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ ìàòðèö ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå äàííîãî èäåìïîòåíòíîãî ïîëóêîëüöà S : • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1) ñóììîé ìàòðèö A = (aij ) è B = (bij ) òèïà m × n íàçûâàþò ìàòðèöó C = (cij ) òîãî æå òèïà ñ ýëåìåíòàìè cij = aij + bij , i = 1, m , j = 1, n , è èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå s = A + B ; 2) ïðîèçâåäåíèåì AB ìàòðèö A = (aij ) òèïà m × n è B = (bij ) òèïà n × p íàçûâàþò ìàòðèöó C = (cij ) òèïà m × p ñ ýëåìåíòàìè cij = n X aik bkj . k=1 Íóëåâàÿ (O) è åäèíè÷íàÿ (E) ìàòðèöû ëþáîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ åäèíèöû è íóëÿ ïîëóêîëüöà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Íà ìíîæåñòâå Mn (S) âñåõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà n ìîæíî îïðåäåëèòü àëãåáðó Mn(S) = (Mn(S), +, ·, O, E). Òåîðåìà 1. Àëãåáðà Mn (S) åñòü èäåìïîòåíòíîå ïîëóêîëüöî. Åñëè ïîëóêîëüöî S çàìêíóòî, òî ïîëóêîëüöî Mn (S) òîæå çàìêíóòî. (áåç äîêàçàòåëüñòâà ) Ïîëóêîëüöî Mn (S) áóäåì íàçûâàòü ïîëóêîëüöîì ìàòðèö íàä ïîëóêîëüöîì S . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Òåîðåìà 1 ïîçâîëÿåò ðåøàòü ïðîèçâîëüíûå óðàâíåíèÿ âèäà X = AX + B (10.1) X = XA + B (10.2) èëè îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ìàòðèöû X . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Íàèìåíüøèå ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé åñòü X = A∗ B (10.3) X = BA∗ (10.4) è ñîîòâåòñòâåííî, ãäå A∗ | èòåðàöèÿ ìàòðèöû A â Mn (S) . Èòåðàöèÿ A∗ ìàòðèöû A èãðàåò â òåîðèè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â çàìêíóòûõ ïîëóêîëüöàõ òàêóþ æå ðîëü, êàê îáðàòíàÿ ìàòðèöà â êëàññè÷åñêîé ëèíåéíîé àëãåáðå. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îñíîâíóþ ðîëü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òåîðèè îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ è òåîðèè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ èãðàþò ïðàâîëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âèäà (10.1), ïîýòîìó ìû áóäåì, êàê ïðàâèëî, ðàññìàòðèâàòü òîëüêî èõ. Ëåâîëèíåéíîå óðàâíåíèå (10.2) ìîæåò áûòü ïðîàíàëèçèðîâàíî àíàëîãè÷íî. Ðàçðàáîòàåì òåõíèêó ïîèñêà ðåøåíèé ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîì ïîëóêîëüöå íàä çàìêíóòûì ïîëóêîëüöîì. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïóñòü X j | j -é ñòîëáåö ìàòðèöû X , B j | j -é ñòîëáåö ìàòðèöû B . Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (10.1) êàê ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû X : X j = AX j + B j , 1 ≤ j ≤ n. (10.5) Íàèìåíüøåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû, êàê ñëåäóåò èç (10.3), åñòü X j = A∗B j . 1 ≤ j ≤ n. (10.6) • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Êàæäàÿ ñèñòåìà âèäà (10.5) åñòü ìàòðè÷íàÿ ôîðìà çàïèñè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà x1 = a11x1 + . . . + a1nxn + b1, ........................ x = a x + ... + a x + b , n n1 1 nn n n (10.7) ãäå âñå ýëåìåíòû aij , 1 ≤ i, j ≤ n , bi , 1 ≤ i ≤ n , åñòü ýëåìåíòû íåêîòîðîãî çàìêíóòîãî ïîëóêîëüöà. Äëÿ ïîèñêà ðåøåíèÿ ñèñòåìû âèäà 10.7 ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ, àíàëîãè÷íûì êëàññè÷åñêîìó ìåòîäó Ãàóññà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (10.7). Çàïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû òàê: x1 = a11x1 +(a12x2 +. . .+a1nxn +b1). Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû âûðàçèì x1 ÷åðåç îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé x = a∗ b : x1 = a∗11(a12x2 + . . . + a1nxn + b1). (10.8)  ôîðìóëå (10.8) âûðàæåíèå â ñêîáêàõ íå ñîäåðæèò íåèçâåñòíîãî x1 . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïîäñòàâëÿÿ (10.8) âìåñòî x1 â îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì ñèñòåìó èç n − 1 óðàâíåíèé, êîòîðàÿ óæå íå ñîäåðæèò x1 : ∗ x = a a 2 21 11 (a12 x2 + . . . + a1n xn + b1 ) + + a22x2 + . . . + a2nxn + b2, ∗ x3 = a31a11(a12x2 + . . . + a1nxn + b1) + + a32x2 + . . . + a3nxn + b3, ........................ xn = an1a∗11(a12x2 + . . . + a1nxn + b1) + + an2x2 + . . . + annxn + bn. (10.9) • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíû â êàæäîì óðàâíåíèè ñèñòåìû è ïîëó÷èì: x2 = (a21a∗11a12 + a22)x2 + . . . ∗ ∗ . . . + (a 21 a11 a1n + a2n )xn + a21 a11 b1 + b2 , x3 = (a31a∗11a12 + a32)x2 + . . . . . . + (a31a∗11a1n + a3n)xn + a31a∗11b1 + b3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn = (an1a∗11a12 + an2)x2 + . . . . . . + (an1a∗11a1n + ann)xn + an1a∗11b1 + bn. (10.10) • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû: x2 = (a21a∗11a12 + a22)x2 + γ2, ãäå γ2 = a21 a∗11 (a13 x3 + . . . + a1n xn + b1 ) + a23 x3 + . . . + a2nxn + b2. γ2 íå ñîäåðæèò x1 è x2 . Âûðàçèì x2 ÷åðåç îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé x = a∗ b : x2 = α2∗γ2, (10.11) ãäå α2 = a21 a∗11 a12 + a22 íå ñîäåðæèò íåèçâåñòíûõ. Èñêëþ÷àåì x2 èç îñòàëüíûõ óðàâíåíèé. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Äåéñòâóÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, íà i -ì øàãå ( 1 ≤ i ≤ n ) ïîëó÷àåì xi = αi∗γi, (10.12) ãäå âûðàæåíèå αi∗ íå ñîäåðæèò íåèçâåñòíûõ, à âûðàæåíèå γi ìîæåò ñîäåðæàòü òîëüêî íåèçâåñòíûå, íà÷èíàÿ ñ (i + 1) -ãî, ò.å. xi+1 , . . . , xn . Ïðè i = n èìååì xn = αn∗ γn, (10.13) ãäå âûðàæåíèÿ αn∗ è γn íå ñîäåðæàò íåèçâåñòíûõ. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ ñèñòåìà (10.7) ïðåîáðàçîâàíà ê òðåóãîëüíîìó\ âèäó: ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10.13) íå " ñîäåðæèò íåèçâåñòíûõ, óðàâíåíèå (10.12) ïðè i = n − 1 â ïðàâîé ÷àñòè ñîäåðæèò òîëüêî îäíî íåèçâåñòíîå xn−1 è êàæäîå ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ïðè ïðîñìîòðå ñíèçó ââåðõ\ " íà îäíî íåèçâåñòíîå áîëüøå, ÷åì ïðåäûäóùåå. Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû | óðàâíåíèå (10.8) | â ïðàâîé ÷àñòè ñîäåðæèò âñå íåèçâåñòíûå îò x2 äî xn . Íà ýòîì çàâåðøàåòñÿ ïåðâûé ýòàï àëãîðèòìà, êîòîðûé íàçûâàþò ïðÿìûì õîäîì ìåòîäà Ãàóññà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà Âòîðîé ýòàï àëãîðèòìà ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ âñåõ íåèçâåñòíûõ x1 , . . . , xn−1 , íà÷èíàÿ ñ xn−1 . Íàéäåì xn−1 , ïîäñòàâèâ â âûðàæåíèå äëÿ xn−1 âìåñòî xn ïðàâóþ ÷àñòü (10.13). Çàòåì îïðåäåëèì xn−2 , ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ xn è xn−1 â ïðàâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (10.12) ïðè i = n − 2 , è òàê äàëåå äî òåõ ïîð, ïîêà íå íàéäåì x1 . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïîëîæèâ B = E â óðàâíåíèè (10.1), ïîëó÷èì X = A∗ E = A∗ . Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âû÷èñëèòü èòåðàöèþ ìàòðèöû A , äîñòàòî÷íî ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (10.5) äëÿ âñåõ j = 1, n ïðè βj , ðàâíîì j -ìó ñòîëáöó åäèíè÷íîé ìàòðèöû E . Óòâåðæäåíèå 10.1. Åñëè A | ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó ïîëóêîëüöó ñ èòåðàöèåé, òî âñå ýëåìåíòû åå èòåðàöèè A∗ òàêæå ïðèíàäëåæàò ýòîìó ïîëóêîëüöó ñ èòåðàöèåé. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit (l) Ëåììà 1. Ýëåìåíò aij ìàòðèöû Al , l ≥ 0 , ðàâåí ñòîèìîñòè ïðîõîæäåíèÿ èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vj ïî âñåì ïóòÿì äëèíû l . J Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî l . Ïðè l = 0 ïîëó÷àåì A0 = E , ãäå E | åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ áóäåò ìàòðèöåé ñòîèìîñòè ïðîõîæäåíèÿ ïî âñåì ïóòÿì äëèíû 0. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì 10.3. Ïðè l = 1 ïîëó÷àåì A1 = A . Ìàòðèöà ìåòîê äóã A | ìàòðèöà ñòîèìîñòè ïðîõîæäåíèÿ ïî âñåì ïóòÿì äëèíû 1. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit (l−1) Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, ýëåìåíò aik ðàâåí ñòîèìîñòè ïðîõîæäåíèÿ èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vk ïî âñåì ïóòÿì äëèíû l − 1 . Ìíîæåñòâî âñåõ ïóòåé äëèíû l èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vj , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ k -þ âåðøèíó òàê, ÷òî âåðøèíà vk ñâÿçàíà äóãîé ñ âåðøèíîé vj (vk → vj , ) îáðàçóåòñÿ ïóòåì ïðèñîåäèíåíèÿ äóãè (vk , vj ) ê êàæäîìó èç ïóòåé, âåäóùèõ èç vi â vk è èìåþùèõ äëèíó l − 1 . Ðèñ. 1 (l) aij n P (l−1) (l) aik akj . Âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòà aij äàåò k=1 ñòîèìîñòü ïðîõîæäåíèÿ èç âåðøèíû vi â âåðøèíó vj ïî âñåì ïóòÿì äëèíû l I = • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñòîèìîñòü ïðîõîæäåíèÿ ìåæäó ïàðîé âåðøèí (vi , vj ) ðàâíà ñóììå ìåòîê âñåõ ïóòåé, âåäóùèõ èç ïåðâîé âåðøèíû âî âòîðóþ, óêàçàííóþ ñóììó ìîæíî ìîæíî ïîëó÷èòü, ñóììèðóÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ìåòêè ïóòåé äëèíû 0, äëèíû 1, äëèíû 2 è ò.ä. Ìàòðèöà ñòîèìîñòåé âçâåøåííîãî îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 (ëåêöèÿ 15) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå 0 1 2 n C = A + A + A + ... + A + ... = X An = A∗ . n≥0 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ìàòðèöû íàä çàìêíóòûì ïîëóêîëüöîì. Îäíàêî, åñëè ýëåìåíòû ìàòðèöû A ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó ïîëóêîëüöó ñ èòåðàöèåé, èç óòâåðæäåíèÿ 1(ëåêöèÿ 15) ñëåäóåò, ÷òî è âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû ñòîèìîñòåé C = A∗ îñòàíóòñÿ â ýòîì æå ïîëóêîëüöå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïåðåíåñòè íà ïðîèçâîëüíîå ïîëóêîëüöî ñ èòåðàöèåé. Òåîðåìà 2. Ìàòðèöà ñòîèìîñòåé îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà G , ðàçìå÷åííîãî íàä ïîëóêîëüöîì ñ èòåðàöèåé R (â ÷àñòíîñòè, íàä çàìêíóòûì ïîëóêîëüöîì), ðàâíà èòåðàöèè ìàòðèöû A ìåòîê äóã îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà G . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Äëÿ âû÷èñëåíèÿ C = A∗ äîñòàòî÷íî ðåøèòü (ò.å. íàéòè íàèìåíüøåå ðåøåíèå) â R ïðè âñåõ j = 1, n ñèñòåìó óðàâíåíèé X j = AX j + E j , ãäå E j ∈ Rn | j -é åäèíè÷íûé âåêòîð, ò.å. âåêòîð, âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî, êðîìå j -ãî, ðàâíû 0 , à j -é ðàâåí åäèíèöå ïîëóêîëüöà R , j -é ñòîëáåö ìàòðèöû E . Íàèìåíüøåå ðåøåíèå èìååò âèä X j = A∗ E j . Òîãäà ñòîëáåö X j = A∗ E j åñòü j -é ñòîëáåö ìàòðèöû A∗ . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñìûñë ìàòðèöû ñòîèìîñòåé C = A∗ äëÿ ïîëóêîëåö B è R+ .  ïîëóêîëüöå B ìåòêà îòäåëüíîãî ïóòè âñåãäà ðàâíà 1 (òàê êàê ìåòêà äóãè â ðàçìå÷åííîì íàä ïîëóêîëüöîì ãðàôå íå ìîæåò, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, áûòü íóëåì ïîëóêîëüöà). Ñëåäîâàòåëüíî, ñòîèìîñòü cij = 1 , åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ïóòü èç i -é âåðøèíû â j -þ, è cij = 0 , åñëè èíà÷å. Äëÿ ïîëóêîëüöà B ìàòðèöà ñòîèìîñòåé ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé äîñòèæèìîñòè îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit  ïîëóêîëüöå R+ ìåòêà ïóòè | ýòî àðèôìåòè÷åñêàÿ ñóììà ìåòîê åãî äóã, òàê êàê óìíîæåíèå â R+ | ýòî îáû÷íîå àðèôìåòè÷åñêîå ñëîæåíèå. Ïîñêîëüêó ñëîæåíèå â R+ | ýòî âçÿòèå íàèìåíüøåãî èç ñëàãàåìûõ, òî ñòîèìîñòü cij | ýòî íàèìåíüøàÿ èç ìåòîê ïóòè ñðåäè âñåõ ïóòåé, âåäóùèõ èç i -é âåðøèíû â j -þ, ò.å. ýòî è åñòü íàèìåíüøàÿ äëèíà ïóòè ìåæäó óêàçàííûìè âåðøèíàìè. Òàêèì îáðàçîì, â ïîëóêîëüöå R+ ìàòðèöà ñòîèìîñòåé ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèé, ò.å. íàèìåíüøèõ äëèí ïóòåé ìåæäó âñåìè ïàðàìè âåðøèí îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 10.1. Ðèñ. 2 Âû÷èñëèì ìàòðèöó äîñòèæèìîñòè èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå ãðàôà â ïîëóêîëüöå R+ . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1. Âû÷èñëèì ìàòðèöó äîñòèæèìîñòè â ïîëóêîëüöå B . Ñ÷èòàåì, ÷òî îðèåíòèðîâàííûé ãðàô ðàçìå÷åí íàä ïîëóêîëüöîì B è ìåòêà êàæäîé äóãè ðàâíà 1 (íà ÷èñëîâûå ìåòêè äóã âíèìàíèÿ ïîêà íå îáðàùàåì). Îðèåíòèðîâàííûé ãðàô çàäàí ìàòðèöåé: 0 0 A= 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé â ïîëóêîëüöå B äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðâîãî ñòîëáöà ìàòðèöû A∗ : x 1 x2 x3 x4 = = = = x1 x2 + x3 + x4 + 1, x2 + x3 + 0, x2 + 0, + x3 + 0. (10.14) ×àñòî íóëåâûå ñëàãàåìûå íå çàïèñûâàþò, êàê è â ñèñòåìàõ óðàâíåíèé â ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû äîñòèæèìîñòè âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit  ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íåò ïåðåìåííîé x1 , èñêëþ÷èì ýòó ïåðåìåííóþ èç ñèñòåìû, ïîäñòàâèâ â îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ (â 4-îå). Ñ ó÷åòîì èäåìïîòåíòíîñòè ñëîæåíèÿ (x3 + x3 = x3 ) , ïîëó÷èì x2 = x2 + x3 + 0, x3 = x2 + 0, x = x + x + x + 1. 4 2 3 4 Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ èìååì x2 = 1∗ (x3 + 0) .  ïîëóêîëüöå B èòåðàöèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà ðàâíà åäèíèöå ïîëóêîëüöà. Ïîýòîìó x2 = x3 + 0 . Èñêëþ÷èì x2èç ñèñòåìû, ïîëó÷èì x3 = x3 + 0, x4 = x3 + x4 + 1 (∗). x3 = 1∗0 = 1 · 0 = 0 . Ïîäñòàâèì x3 = 0 â (∗) , x4 = 1∗1 = 1 . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Äàëåå ïîäñòàâëÿåì x3 = 0 â âûðàæåíèå x2 = x3 + 0 , x2 = 0 , çàòåì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ x2, x3 è x4 ïîäñòàâèì â ïåðâîå óðàâíåíèå x1 = x2 +x3 +x4 +1 = 0+0+1+1; x1 = 1. Ïåðâûé ñòîëáåö A∗ 1 0 0. 1 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Âòîðîé ñòîëáåö A∗ îïðåäåëèì èç ñèñòåìû x 1 x2 x3 x4 = x2 + x3 + x4 + 0, = x2 + x3 + 1, = x2 + 0, = x1 + x3 + 0. x2 = x2 + x3 + 1, x3 = x2 + 0, Èñêëþ÷èì x1 . x = x + x + x + 0. 4 2 3 4 ∗ Èç (∗) ïîëó÷èì x2 = 1 (x3 + 1) = x3 + 1 . (∗) • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit x3 = (x3 + 1) + 0, x4 = x3 + x4 + 1. (∗∗) Èç (∗∗) ïîëó÷èì x3 = x3 + 1; ⇒ x3 = 1∗ 1 = 1 x4 = 1 + x4 + 1 ⇒ x4 = 1∗1 = 1; x2 = 1 + 1 = 1; x1 = 1+1+1+0 = 1. 1 1 Âòîðîé ñòîëáåö A∗ 1. 1 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåì òðåòèé è ÷åòâåðòûé ñòîëáöû è â ∗ ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ìàòðèöó A : 1 0 A∗ = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 . 0 1 Àíàëèç ýòîé ìàòðèöû ïîêàçûâàåò , ÷òî äàííûé ãðàô ñâÿçåí è èìååò äâå áèêîìïîíåíòû: {v1 , v4 } è {v2 , v3 } . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit  ïîëóêîëüöå B ìîæíî óïðîñòèòü ðåøåíèå ñèñòåì óðàâíåíèé, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìè ïîëóêîëüöà. Íàèìåíüøåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ xk = n P ai x i + 1 i=1 åñòü xk = 1 è íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ðåøåíèå ñèñòåìû (10.14) óïðîñòèòñÿ. Òàê, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñðàçó ïîëó÷àåì x1 = 1 . Òîãäà ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä x4 = x3 + 1 , îòêóäà x4 = 1 . Ïîñêîëüêó x1 è x4 íå âõîäÿò â îñòàâøèåñÿ äâà óðàâíåíèÿ, èõ ðåøåíèå íóæíî èñêàòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2. Âû÷èñëèì ìàòðèöó äîñòèæèìîñòè â ïîëóêîëüöå R+ . Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ∞ çäåñü áóäåì ïîíèìàòü êàê +∞ . Âçâåøåííûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô çàäàí ìàòðèöåé: ∞ ∞ A= ∞ 3 5 2 1 ∞ 10 3 ∞ 4 1 ∞ . ∞ ∞ (10.15) • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit  ïîëóêîëüöå R+ : ýëåìåíòû 1 è 0 íå ÿâëÿþòñÿ åäèíèöåé è íóëåì ïîëóêîëüöà, ò.å. x 6= x + 0 è x 6= 1 · x â îáùåì ñëó÷àå; ñëîæåíèå ( ⊕ ) | âçÿòèå íàèìåíüøåãî èç äâóõ ÷èñåë, óìíîæåíèå ( ) | îáû÷íîå àðèôìåòè÷åñêîå ñëîæåíèå; íàëè÷èå ñëàãàåìîãî 0 â ëþáîé ñóììå îçíà÷àåò, ÷òî âñÿ ñóììà ðàâíà 0; ñëàãàåìîå +∞ ìîæíî íå çàïèñûâàòü (êàê íóëü ïîëóêîëüöà); èòåðàöèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà ðàâíà åäèíèöå ïîëóêîëüöà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñèñòåìà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðâîãî ñòîëáöà ìàòðèöû A∗ èìååò âèä x 1 x2 x3 x4 = = = = 3 x1 5 x2 ⊕ 10 x3 ⊕ 1 x4 ⊕ 0, 2 x2 ⊕ 3 x3 ⊕ ∞, 1 x2 ⊕ ∞, ⊕ 4 x3 ⊕ ∞. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî x1 = 0 , òàê êàê îäíî èç ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè åñòü ýëåìåíò 0 . Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì x2 = 2∗ (3 x3 ⊕ ∞) = 3 x3 ⊕ ∞ . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Èñêëþ÷àÿ x2 èç îñòàëüíûõ óðàâíåíèé ñèñòåìû è ó÷èòûâàÿ, ÷òî x1 = 0 , ïîëó÷àåì x2 = 3 x3 ⊕ ∞, x3 = 1 (3 x3) ⊕ ∞, x = 3 0 ⊕ 4 x ⊕ ∞. 4 3 Äàëåå, èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ èìååì x3 = (1 3) x3 ⊕ ∞ = 4 x3 ⊕ ∞, îòêóäà x3 = 4∗ ∞ = ∞ , è ïîýòîìó x4 = 3 0 ⊕ 4 ∞ ⊕ ∞ = 3 ⊕ ∞ = 3. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå x3 â âûðàæåíèå äëÿ x2 , ïîëó÷àåì x2 = ∞ . Ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû A∗ : 0 ∞ ∞ . 3 Ýòîò ñòîëáåö ñîäåðæèò êðàò÷àéøèå ðàññòîÿíèÿ îò âñåõ âåðøèí ãðàôà äî âåðøèíû v1 . Íàëè÷èå â íåì íóëåé ïîëóêîëüöà âî âòîðîé è òðåòüåé ñòðîêàõ ãîâîðèò î òîì, ÷òî âåðøèíà v1 íå äîñòèæèìà èç âåðøèí v2 è v3 . Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿþòñÿ îñòàëüíûå ñòîëáöû ìàòðèöû A∗ . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 0 ∞ Ðåçóëüòàò: A∗ = ∞ 3 5 0 1 5 5 3 0 4 1 ∞ . ∞ 0 Äëÿ äàííîãî ïðîñòîãî îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ëåãêî ñîïîñòàâèòü ïîëó÷åííûé àëãåáðàè÷åñêèé ðåçóëüòàò ñ ðåçóëüòàòîì âèçóàëüíîãî\ àíàëèçà îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. " • First • Prev • Next • LastÐèñ.• 3Go Back • Full Screen • Close • Quit Ðàññìîòðèì âåðøèíû (v1 , v3 ) . Èç âåðøèíû v1 â âåðøèíó v3 åñòü ðàçëè÷íûå ïóòè. Ïóòè, ñîäåðæàùèå êîíòóðû è ïåòëè ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì. Âû÷èñëèì ìåòêè ïî ïðîñòûì ïóòÿì. Ïî ïóòè v1 → v4 → v3 ñóììà ìåòîê ðàâíà 5, ïî ïóòè v1 → v3 | 10, ïî ïóòè v1 → v2 → v3 | 8. Êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå | 5, ñîâïàäàåò ñ îòâåòîì, ïîëó÷åííûì àëãåáðàè÷åñêè: ýëåìåíò a∗13 òàêæå ðàâåí 5. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit