ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» ВАРИАНТ № 1 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 + 1, y = 9 − x2 . 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4cos ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π 4 ρ =2 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = 2x − x2 , y=0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x2 y= , 4 x2 y= + 2, 4 5. Найти длину дуги кривой y = сой x = 4 . x = 1, x = 4. x от начала координат до точки с абсцис- 6. Определить величину силы давления воды на вертикальный параболический сегмент, если его основание равно 4 м и расположено на поверхности воды, а самая низкая точка является вершиной параболы и находится на глубине 4 м. ВАРИАНТ № 2 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , y = 4x . 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4sin 3ϕ , (внутри одной петли «трехлепестковой розы»). 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = 2x 2 , y=2 x вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x + y = 6, x = 0, y = 0. 5. Найти длину дуги кривой x = t 1 2 y = 2 t , если 0 ≤ t ≤ 1 6. Канат подъемного крана прикреплен к вершине круглого конуса, который погружен в воду настолько, что его вершина находится на поверхности воды. Какую работу затратит подъемный кран на извлечение конуса из воды? ВАРИАНТ № 3 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = − x2 + x + 6 , y = 0, x = −1 , x=2 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = a cos ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: xy = 64 , x = 8, x = 16 , y=0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x = 0, x= π , 2 y = 0, y = cos x . 5. Найти длину дуги кривой y = ln cos x , 0≤ x≤ π . 4 6. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если от нагрузки в 1 кг она растягивается на 1 см? ВАРИАНТ № 4 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 − x − 6 , y = 4− x. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = a cos 2ϕ , − π 4 ≤ϕ ≤ π 4 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: 9 x 2 − 25 y 2 = 225 , 3x − 10 y = 0 , y=0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = 9 − x2 , y = 0. 5. Найти длину дуги кривой x = t 2 y = −t + 4, если 0 ≤ t ≤ 2 6. Найти работу, затрачиваемую на выкачивание воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2 м, радиус r = 0,25 м. ВАРИАНТ № 5 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x + y = 6, y = x2 − x − 3 . y − x = 5, 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4cos3ϕ , − π 6 ≤ϕ ≤ π 6 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = 3, y = 3 + 9 − x2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = 2x − x2 , y = 0. 5. Найти длину дуги кривой y= x, 0 ≤ x ≤ 1. 6. Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении железобетонной надолбы со дна реки глубиной в 5 м, если надолба имеет форму прямого параллелепипеда со сторонами 1, 2 и 3 м, удельный вес железобетона 2500 кг/м3? ВАРИАНТ № 6 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: xy = 6 , x + y − 7 = 0. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 2a cos ϕ . ρ = a cos ϕ , 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y= 1 2 x , 4 1 y = x3 8 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = sin x , y = 0, x= π . 2 5. Найти длину дуги кривой y = ln x , 3 ≤ x ≤ 8. 6. Водопроводная труба имеет диаметр 6 см, один конец ее соединен с баком, в котором уровень воды на 100 см выше верхнего края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти величину силы полного давления на заслонку. ВАРИАНТ № 7 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y= 1 2 x , 2 x + 2y − 6 = 0. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 3cos 4ϕ , − π 8 ≤ϕ ≤ π 8 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = − x2 + 5x − 6 , y=0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: верхней половиной эллипса, опирающейся на большую ось. 5. Найти длину дуги кривой y 2 = x3 , 0 ≤ x ≤ 1. 6. Найти величину силы давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого равен 6 м и находится на поверхности воды. ВАРИАНТ № 8 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = − x2 , x + y + 2 = 0. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 2cos ϕ , ρ = 4cos ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π 4 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = 3 sin x , y = sin x , 0≤ x≤π вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 + 1, y = 9 − x2 . 5. Найти длину дуги кривой y = 5(1 − cos t ) x = 5(t − sin t ), 0≤t ≤π 6. Найти величину силы давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3,5 м и радиусом r = 1,5 м на его стенки, если удельный вес бензина равен 900 кг/м3. ВАРИАНТ № 9 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = sin x , y = cos x , x = 0. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4, ρ = 4cos ϕ , − π 4 ≤ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = 2x − x2 , y = −x + 2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = x2 , y = 4x , 2x + y − 3 = 0 . 5. Найти длину дуги кривой x = 4(t − sin t ) y = 4(1 − cos t ), π 2 ≤t ≤ 2π . 3 6. Найти величину силы давления на пластинку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями а = 24 см, b = 20 см и высотой h = 15 см, погруженную вертикально в жидкость на глубину с = 18 см. Нижнее основание трапеции меньше верхнего. ВАРИАНТ № 10 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x, y = 1 − x2 . y = 0, 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 2, π ρ = 4sin ϕ , 4 ≤ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = x2 , y2 − x = 0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = sin x , y = 0, x= π . 4 5. Найти длину дуги кривой x 2 ln x y= − , 4 2 1≤ x ≤ 2. 6. Найти работу, затрачиваемую на выкачивание воды из конического сосуда, основание которого горизонтально и расположено ниже вершины, если радиус основания r = 8 см и высота h = 20 см. ВАРИАНТ № 11 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 2 x − x2 , y = 4 x − x2 , x = y. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 1, ρ = 2 + cos ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π 3 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси 0х: y = x3 , y= x. 4. Найти координаты центра тяжести y = − x2 + x + 6 , x = −1 , x = 2, y = 0. 5. Найти длину дуги кривой y = 1 − x 2 + arcsin x , 7 0≤ x≤ . 9 6. Найти величину силы давления на пластинку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями а = 24 см, b = 20 см, h = 15 см, погруженную вертикально в жидкость на глубину с = 18 см. Нижнее основание трапеции меньше верхнего. ВАРИАНТ № 12 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y2 = 4x , x + y = 3. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 2, ρ = 3 + sin ϕ , π 6 ≤ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: 2 x − x2 − y = 0 , 2 x2 − 4 x + y = 0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: xy = 6 , x + y − 7 = 0. 5. Найти длину дуги кривой y = − ln cos x , 0≤ x≤ π . 6 6. Подъемным краном при помощи каната, прикрепленного к вершине, поднимается конической формы камень из воды. Какую работу затратит подъемный кран на полное извлечение камня из воды, если вершина конуса находилась на поверхности воды? Радиус основания конуса 1 м, высота 3 м, удельный вес 2,5 г/см3. ВАРИАНТ № 13 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 + 1, y = 9 − x2 . 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4cos ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π 4 , ρ = 2. 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = 2x − x2 , y=0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x2 y= , 4 x2 y= + 2, 4 x = 1, x = 4. 1 8 5. Найти длину дуги кривой y = ⋅ x 2 от начала координат до точки с абсцис- сой x = 4 . 6. Определить величину силы давления воды на вертикальный параболический сегмент, если его основание равно 4 м и расположено на поверхности воды, а самая низкая точка является вершиной параболы и находится на глубине 4 м. ВАРИАНТ № 14 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x + y = 1, x + y = 2, y = 0,5 , x = 0. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4cos3ϕ , ρ = 2, 0 ≤ϕ ≤ π 6 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: x =3 y−2, x = 1, y =1 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = − x2 , 5. Найти длину дуги кривой ( x + y + 2 = 0. ) y = ln x 2 − 1 , 2 ≤ x ≤ 3. 6. Пластина имеющая форму параболического сегмента с основанием 6 м и высотой 2 м, погружена в воду так, что ее вершина расположена на поверхности воды. Определить величину силы давления воды на пластину. ВАРИАНТ № 15 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 . y = x, 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 3 cosϕ , ρ = sin ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = 2x − x2 , y = −x + 2 , 1 ≤ x ≤ 2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = x, y = 2 x − x2 . 5. Найти длину дуги кривой ( ) y = ln 1 − x 2 , 1 0≤ x≤ . 4 6. Вычислить работу, которую надо затратить на постройку пирамиды с квадратным основанием, если высота пирамиды 50 м, сторона основания 50 м, удельный вес материала 2,5 г/см3. ВАРИАНТ № 16 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x − y + 2 = 0, y = x2 . 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 2cos ϕ , ρ = 2 3 sin ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: x 2 + ( y − 2) 2 = 1 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: xy = 4 , x2 = 2 y , y = 4, x = 0. 5. Найти длину дуги кривой y = 1 − ln cos x , 0≤ x≤ π . 6 6. Найти массу стержня длиной l = 4 м, если линейная плотность стержня меняется по закону γ = 1 + 0,2х2 (кг/м), где х – расстояние от одного из концов стержня. ВАРИАНТ № 17 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 − 10 x = 25 , 9 − 6x = y2 . 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = cos ϕ , ρ = sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = x2 , y = 1, x=2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y= x, x + y = 2, y = 0. 5. Найти длину дуги кривой y = 1 − ln sin x , π π ≤x≤ . 3 2 6. Найти массу стержня, длина которого l = 5 м. Линейная плотность стержня меняется по закону γ = 2 + 1,3х2 (кг/м), где х – расстояние от одного из концов стержня. ВАРИАНТ № 18 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x + y − 2 = 0, y = x2 . 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: π 3 ≤ϕ ≤ π . 4 4 ρ = 0,5 + sin ϕ , 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = x 2 + 1, y = 9 − x2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x = 2 y − y2 , 5. Найти длину дуги кривой ( x = y, ) y = 1 − ln x 2 − 1 , x = 0. 3≤ x ≤ 4. 6. Найти величину силы давления воды, находящейся в цилиндрическом баке высотой h = 4 м и радиусом r = 1 м, на его стенки. ВАРИАНТ № 19 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y= x, y = 2, x=0 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4sin 3ϕ , ρ = 2, 0 ≤ϕ ≤ π . 6 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = − x2 + x + 6 , y = 0, x = −1 , x=2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y 2 − 10 x = 25 , 9 − 6x = y2 . 5. Найти длину дуги кривой t x = e (cos t + sin t ) t y = e (cos t − sin t ), π 6 ≤t ≤ π 4 . 6. Из цилиндрического бака выкачивается вода. Какую работу надо затратить на это, если высота бака 1,5 м, диаметр 1,2 м. ВАРИАНТ № 20 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = e− x , y = ex , x = 1. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 1 + 2 cos ϕ , ρ = 1, π 6 ≤ϕ ≤ π 3 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: xy = 6 , x+ y−7 =0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x + y − 2 = 0, y = x2 , x = 0. 5. Найти длину дуги кривой x = 2cos3 t 3 y = 2sin t , 0≤t ≤ π 4 . 6. Сосуд имеет форму параболоида вращения, обращенного вершиной вниз. Радиус основания равен 2 см, высота 50 см. Он наполнен жидкостью с удельным весом 2,5 г/см3. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать всю жидкость. ВАРИАНТ № 21 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x, y = 2 − x2 , y ≥ 0. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 3sin ϕ , π 2 ≤ϕ ≤ π . 3 3 ρ = 5sin ϕ 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = − x2 , x+ y+2=0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = 5 cos x , y = cos x , − π π ≤x≤ . 2 2 5. Найти длину дуги кривой 3 φ 4 ρ = 3e , − π 2 ≤ϕ ≤ π 2 . 6. Определить величину силы давления воды на вертикальный параболический сегмент, если его вершина лежит на поверхности воды, а основание равно 4 м и находится на глубине 4 м. ВАРИАНТ № 22 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 − 1, y = x + 1. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 6sin ϕ , π ρ = 4sin ϕ , 6 ≤ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y2 = 4x , x + y = 3, x=0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y=2 x, y= 1 2 x . 4 5. Найти длину дуги кривой ρ = 1 − sin ϕ , − π 2 ≤ϕ ≤ − π 6 . 6. Определить величину силы давления воды на вертикальную пластину, имеющую форму равнобедренного прямоугольного треугольника, если его катет равен 4 м и расположен на поверхности воды. ВАРИАНТ № 23 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 − 10 x = 25 , 9 − 6x = y2 . 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = cos ϕ , ρ = sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = x2 , y = 1, x=2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y= x, x + y = 2, y = 0. 5. Найти длину дуги кривой y = 1 − ln sin x , π π ≤x≤ . 3 2 6. Найти массу стержня, длина которого l = 5 м. Линейная плотность стержня меняется по закону γ = 2 + 1,3х2 (кг/м), где х – расстояние от одного из концов стержня. ВАРИАНТ № 24 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 . x + y − 2 = 0, 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 0,5 + sin ϕ , π 3 ≤ϕ ≤ π . 4 4 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: y = x 2 + 1, y = 9 − x2 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x = 2 y − y2 , 5. Найти длину дуги кривой ( x = y, ) y = 1 − ln x 2 − 1 , x = 0. 3≤ x ≤ 4. 6. Найти величину силы давления воды, находящейся в цилиндрическом баке высотой h = 4 м и радиусом r = 1 м, на его стенки. ВАРИАНТ № 25 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = e− x , y = ex , x = 1. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 1 + 2 cos ϕ , ρ = 1, π 6 ≤ϕ ≤ π 3 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: xy = 6 , x+ y−7 =0 вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: x + y − 2 = 0, y = x2 , x = 0. 5. Найти длину дуги кривой x = 2cos3 t 3 y = 2sin t , 0≤t ≤ π 4 . 6. Сосуд имеет форму параболоида вращения, обращенного вершиной вниз. Радиус основания равен 2 см, высота 50 см. Он наполнен жидкостью с удельным весом 2,5 г/см3. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать всю жидкость. ВАРИАНТ № 26 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x= y, x + 2y = 3, y = 0. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 1 + 2 sin ϕ , ρ = 1, π 4 ≤ϕ ≤ π 3 . 3. Найти объем тела, полученного при вращении фигуры: x2 y= , 2 x + 2y − 6 = 0. вокруг оси 0х. 4. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: y = e− x , y = ex , x = 2. 5. Найти длину дуги кривой y = 1 + arcsin x − 1 − x 2 , 3 0≤ x≤ . 4 6. Найти работу, затрачиваемую на выкачивание жидкости с удельным весом γ = 1,8 г/см3 из сосуда, имеющего форму конуса, вершина которого расположена выше основания. Радиус основания равен R = 1,2 м, высота H = 4 м.