1) Вычислить предел последовательности и обосновать результат, исходя из определения предела (по ε >0 найти соответствующее M ( ε ) ): 4n 2 + 1 lim n →∞ 3n 2 +2 Вычислим предел: 1 4n + 1 ⎡ ∞ ⎤ n2 = 4 + 0 = 4 = = lim lim ⎢ ∞ ⎦⎥ n →∞ 2 n →∞ 3n 2 + 2 ⎣ 3+ 2 3+0 3 n 4+ 2 Обоснуем полученный результат. По определению предела по Гейне ⎧ ⎫ ⎨ lim x n = a ⎬ ⎩ n →∞ ⎭ ⇔ ∀ε > 0 ∃ M ( ε ) : ∀n > M ( ε ) ⇒ x n − a < ε . Т.е. в соответствии с определением число 4 3 будет пределом последовательности x n = если ∀ε > 0 найдётся натуральное число 4n 2 + 1 3n 2 + 2 , n∈ N , M такое, что для всех n > M выполняется неравенство 2 4n + 1 4 − <ε 3n 2 + 2 3 (1) Это неравенство справедливо для всех n , удовлетворяющих условию ( −5 3 ⋅ 3n 2 + 2 ( 5 3 ⋅ 3n 2 + 2 ) ) <ε <ε 5 3⋅ε 5 2 − n> 9 ⋅ε 3 3n 2 + 2 > т.е. для всех n > M ⎡ ⎡ 5 2⎤ 5 2⎤ − ⎥ , где ⎢ − ⎥ - целая часть числа ⎣ 9 ⋅ε 3 ⎦ ⎣ 9 ⋅ε 3 ⎦ (ε ) = ⎢ неравенство (1). Следовательно lim 4n 2 + 1 n →∞ 3n 2 +2 = 5 2 − , справедливо 9 ⋅ε 3 4 . 3 1 2) Вычислить предел функции и обосновать результат, исходя из определения предела (по соответствующее δ ( ε ) ): ε >0 найти 6x 2 − x − 1 lim 1 1 x→ x− 2 2 Вычислим предел: 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 6⋅⎜ x − ⎟⋅⎜ x + ⎟ 6x − x − 1 ⎡ 0 ⎤ 1⎞ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ ⎛1 1⎞ lim = ⎢ ⎥ = lim ⎝ = lim 6 ⋅ ⎜ x + ⎟ = 6 ⋅ ⎜ + ⎟ = 5 1 1 ⎝ 1 1⎞ 3⎠ ⎛ ⎣0 ⎦ x→1 ⎝2 3⎠ x→ x→ x− x− ⎟ ⎜ 2 2 2 2 2⎠ ⎝ 2 Обоснуем полученный результат. По определению предела по Коши ⎧ ⎫ f ( x) − A < ε . ⎨ lim f ( x ) = A⎬ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : x − a < δ ⇒ ⎩x →a ⎭ Возьмём произвольное ε > 0 и найдём δ = δ ( ε ) > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x− 1 < δ , выполняется неравенство 2 ⎛ ⎞ ⎜ 6x 2 − x − 1 ⎟ −5 <ε ⎜ 1 ⎟ ⎜ x− ⎟ ⎝ 2 ⎠ (1) 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 6 ⋅⎜ x − ⎟ ⋅⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ −5 <ε 1⎞ ⎛ ⎜x− ⎟ 2⎠ ⎝ 6x + 2 − 5 < ε 6x − 3 < ε x− Итак, взяв δ= ε 6 1 ε < 2 6 , видим,что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − 1 ⎛ ε⎞ < δ ⎜ = ⎟ , выполняется 2 ⎝ 6⎠ 6x 2 − x − 1 неравенство (1). Следовательно lim = 5. 1 1 x→ x − 2 2 2 4n + 2 4 = . n →∞ 3n − 7 3 3) Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim По определению, число 4 3 является пределом числовой последовательности xn = 4n + 2 , n ∈ N , если 3n − 7 ∀ε > 0 найдётся натуральное число N ( ε ) , такое, что ∀n > N ( ε ) выполняется неравенство 4n + 2 4 − <ε . 3n − 7 3 Решим последнее неравенство относительно n : 12n + 6 − 12n + 28 <ε 3 ⋅ ( 3n − 7 ) 34 <ε 3 ⋅ 3n − 7 34 3ε 34 3n − 7 > 3ε 34 3n > +7 3ε 7 34 n> + 3 9ε 3n − 7 > (начиная с n > 2 ) ⎡ 7 34 ⎤ ⎡ 7 34 ⎤ ⎛ 7 34 ⎞ , где ⎢ + - целая часть числа ⎜ + ⎟. ⎥ ⎥ ⎣ 3 9ε ⎦ ⎣ 3 9ε ⎦ ⎝ 3 9ε ⎠ Например, если ε = 0, 1 , то N ( ε ) = 41 ; если ε = 0, 01 , то N ( ε ) = 381 , и т.д. Следовательно, N ( ε ) = ⎢ + 4n + 2 4 = . n →∞ 3n − 7 3 Итак, ∀ε > 0 указано соответствующее значение N ( ε ) . Этим доказано, что lim Литература: 1) Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. "Математический анализ в вопросах и задачах", 2001, стр. 18 (примеры 3, 4). 3