3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное

2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n — натуральное число):
1) xn + 3 + xn;3) z3n - zn;
2) yn + 2 - yn - 2, n > 2;
4) 5n + 4 + 2 · 5n + 2 - 3 · 5n + 1.
2.23. Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта.
Объясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой f, найдите f (2), f (-5), f (0). Какая из данных формул
задаёт функцию f:
1) y = x;2) y = -x;3) y = | x|;4) y = x2?
3 Формула включения-исключения.
Взаимно однозначное соответствие
Если множество содержит конечное количество элементов, то его
называют конечным, а если в нём бесконечно много элементов, то бесконечным. Пустое множество считают конечным.
Например, множество учащихся вашего класса — конечное множество, а множество натуральных чисел — бесконечное множество.
Если A — конечное множество, то количество его элементов обозначают так: n (A). Понятно, что n (∅) = 0.
Например, если A — это множество дней недели, то n (A) = 7; если
B — это множество двузначных чисел, то n (B) = 90.
Пусть A и B — такие конечные множества, что A ∩ B = ∅. Тогда
очевидно, что
n (A ∪ B) = n (A) + n (B).
(1)
Если A и B — конечные множества, причём A ∩ B ≠ ∅ (рис. 3.1), то
в сумму n (A) + n (B) дважды входит количество элементов их пересечения, т. е. дважды учитывается число n (A ∩ B). Следовательно, в этом
случае
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B)
(2)
Если A ∩ B = ∅, то n (A ∩ B) = 0. Поэтому формула (2) является
обобщением формулы (1).
Пример 1. В математическом классе 25 учащихся, и все они любят
математику. Известно, что 23 ученика любят алгебру, а 21 — геометрию.
Сколько учащихся этого класса любят и алгебру, и геометрию?
Решение. Пусть A — множество учащихся, которые любят алгебру,
B — множество учащихся, которые любят геометрию. Тогда n (A) = 23,
18
n (B) = 21, n  (A ∪ B) = 25. Вместе с тем A ∩ B — множество учащихся,
которые любят и алгебру, и геометрию. Из формулы (2) получаем
n  (A ∩ B) = n  (A) + n  (B) - n  (A ∪ B) = 23 + 21 - 25 = 19.
Ответ: 19 учащихся.
Выясним, как найти количество элементов множества A ∪ B ∪ C,
где A, B и C — конечные множества.
Если A ∩ B ∩ C = ∅ (рис. 3.2), то
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) - n (B ∩ C) - n (C ∩ A).
(3)
Если A ∩ B ∩ C ≠ ∅ (рис. 3.3), то в правой части формулы (3) не учтено количество общих элементов множеств A, B и C. Следовательно,
в этом случае формула принимает вид:
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) - n (B ∩ C) - n (C ∩ A) + n (A ∩ B ∩ C)
A
A
B
A
B
B
C
C
3.1
(4)
3.2
3.3
Аналогичную формулу можно получить для любого количества
множеств. Её называют формулой включения-исключения.
Пример 2. В спортивной школе есть три секции: акробатики, баскетбола, волейбола. Известно, что школу посещают 200 школьников,
а каждую из секций — 80 школьников. Докажите, что найдётся не менее
14 школьников, которые посещают одни и те же две секции.
Решение. Обозначим множества школьников, посещающих секции
акробатики, баскетбола и волейбола, буквами А, Б и В соответственно.
Тогда n (A ∪ Б ∪ В) = 200, n (A) = n (Б) = n (В) = 80. Подставим указанные значения в формулу (4):
200 = 80 + 80 + 80 - n (A ∩ Б) - n (Б ∩ В) - n (В ∩ A) + n (A ∩ Б ∩ В).
Отсюда n (A ∩ Б) + n (Б ∩ В) + n (В ∩ A) = 40 + n (A ∩ Б ∩ В). Тогда
n (A ∩ Б) + n (Б ∩ В) + n (В ∩ A) I 40.
19
Если предположить, что каждое из чисел n  (A ∩ Б), n  (Б ∩ В),
n (В ∩ A) не превосходит 13, то их сумма не превосходит 39. Получили
противоречие.
Нам нередко приходится сравнивать количества элементов конечных множеств.
Как узнать, хватит ли в школьной библиотеке учебников по алгебре
для восьмиклассников? Конечно, можно посчитать учащихся и отдельно
пересчитать учебники. А можно выдать учебники учащимся. И если, например, всем учебников хватило, а в библиотеке не осталось ни одного
учебника, то это означает, что восьмиклассников и учебников по алгебре
одинаковое количество.
Так же, чтобы узнать, хватит ли стульев в классе, совсем не обязательно их пересчитывать. Достаточно попросить учащихся сесть на стулья. И если, например, мест хватило не всем, то это означает, что количество учащихся больше, чем количество стульев.
В этих примерах, сравнивая количество элементов двух множеств A
и B, мы рассматриваем пары вида (a; b), где a ∈ A и b ∈ B. Воспользуемся этим приёмом в следующем примере.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Пример 3. Сравните количество элементов множества A двузначных чисел и множества B трёхзначных чисел, десятичная запись которых
оканчивается цифрой 1.
Решение. Поставим в соответствие каждому двузначному числу то
трёхзначное число, которое получается из него приписыванием справа
цифры 1. Получим:
10,
11,
12,
…,
98,
99
101,
111,
121,
…,
981,
991
Таким образом, каждому элементу множества А мы поставили в соответствие единственный элемент множества В. Заметим, что при таком
соответствии каждый элемент множества B оказался «соответствующим
единственному элементу множества А». Действительно, если в числе вида ab1 зачеркнуть последнюю цифру, то получим двузначное число ab.
Установленное соответствие между элементами множеств A и B позволяет сделать вывод, что n (A) = n (B).
Определение
Если каждому элементу множества A поставлен в соответствие единственный элемент множества B и при этом любой элемент множе-
20
2)
2
1
3
−
=
;
x 2 − 9 2 x 2 − 12 x + 18 2 x 2 + 6 x
3)
9 x + 12
1
1
−
= 2
.
x 3 − 64 x − 4
x + 4 x + 16
11.17. Решите уравнение:
1)
4 y + 24
y+3
y−3
+
= 2
;
y + 3y
5 y2 − 45 5 y2 − 15 y
2)
y+2
y+3
1
−
= 2
.
3
y
+
4
2
8y + 1
8y − 4y + 2
Упражнения для повторения
11.18. На конец года численность населения города составляла 72 100 жи-
телей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3 %.
11.19. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за
45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдёт это
расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями?
11.20. Докажите, что при любом значении переменной данное выражение принимает неотрицательное значение:
1) (a - 5)2 - 2(a - 5) + 1;
2) (a - b)(a - b - 8) + 16.
11.21. Решите уравнение:
1) bx = 2;
2) (a - 1)x = a - 1.
11.22. При каких натуральных значениях a корень уравнения является
натуральным числом:
1) (a + 2)x = 5;
2) (a + 3)x = 6?
12 Рациональные уравнения с параметрами
Рассмотрим линейное уравнение ax = 1.
Если a = 0, то данное уравнение корней не имеет. Если a ≠ 0, то
уравнение имеет единственный корень x =
1
.
a
Решая это уравнение, мы придавали буквам a и x разный смысл:
буква x играла роль неизвестного числа, а буква a — роль известного
числа. В таких случаях говорят, что a является параметром, а уравнение
называют уравнением с параметром.
Подчеркнём двойственную природу параметра: с одной стороны,
мы считаем параметр фиксированным числом, с другой — это число не83
известно. Именно это не позволяет, решая уравнение ax = 1, записать
в ответе x =
1
. Мы должны рассматривать два случая: a = 0 и a ≠ 0.
a
Хотя термин «параметр» для вас новый, ситуации, в которых фиксированное число обозначалось буквой, уже встречались. Например, линейным уравнением называют уравнение вида ax = b. Здесь a и b — параметры. Линейную функцию задают формулой y = kx + b, где k и b —
параметры.
В курсе алгебры 7 класса вам не раз приходилось решать уравнения
с параметрами (например, задачи 2.32, 2.33, 2.36). Процесс решения заключался в построении алгоритма, позволяющего для любого значения
параметра найти соответствующее множество корней.
x 2 + ax − 2
= x − a.
x +2
x 2 + ax − 2 − ( x + 2)( x − a)
Решение.
= 0;
x +2
Пример 1. Решите уравнение
2ax − 2 x + 2a − 2
x 2 + ax − 2 − x 2 + ax − 2 x + 2a
= 0;
= 0.
x +2
x +2
Полученное уравнение равносильно системе:
2ax − 2 x + 2a − 2 = 0,
 x(a − 1) = 1 − a,
Отсюда 

 x ≠ −2.
 x ≠ −2.
Если a = 1, то уравнение системы становится таким: 0x = 0, и его
корнем является любое число. С учётом ограничения x ≠ -2 приходим
к выводу, что при a = 1 множеством корней исходного уравнения является {x | x ≠ -2}.
Если a ≠ 1, то получаем:
 x = 1 − a ,  x = −1,

a −1 

 x ≠ −2.
 x ≠ −2;
Отсюда x = -1.
Ответ: если a = 1, то корнем уравнения является любое число, кроме -2; если a ≠ 1, то x = -1.
Пример 2. Решите уравнение
Решение. Имеем:
84
b( x + 1) b + 1
+
= b.
x
x −1
b( x + 1)( x − 1) + x(b + 1) − bx( x − 1)
= 0;
x( x − 1)
3
Основы теории
делимости
Изучив материал этой главы, вы познакомитесь с целым рядом понятий и теорем, связанных с делимостью целых чисел. Научитесь доказывать свойства и признаки делимости нацело на 3, на 9, на 11. Познакомитесь с эффективным приёмом нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Узнаете об особой роли простых
чисел. Изучите основную теорему арифметики.
16
Делимость нацело и её свойства
Определение
Говорят, что целое число a делится нацело на целое число b (b ≠ 0), если существует такое целое число k, что a = bk.
Если целое число a делится нацело на целое число b, то пишут:
a  b. Например, 12  -3, 0  1000, -2  -1.
Если a  b, то число b называют делителем числа a, а число a —
кратным числа b. Также говорят, что число a кратно числу b.
Например, {-4, 4, -2, 2, -1, 1} — множество делителей числа 4;
{3k | k ∈ Z} — множество чисел, кратных числу 3.
Рассмотрим основные свойства делимости нацело (буквами обозначены целые числа).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Если
Если
Если
Если
Если
Если
a ≠ 0, то a  a.
a ≠ 0, то 0  a.
a  b, то ka  b.
a  b и b  c, то a  c.
a  m и b  n, то ab  mn.
a  c и b  c, то (a ± b)  c.
Эти свойства доказывают с помощью определения деления нацело.
Докажем, например, свойство 6 (остальные свойства докажите самостоятельно).
Так как a  c и b  c, то существуют такие целые числа m и n, что
a = mc и b = nc.
117
Имеем: a ± b = mc ± nc = (m ± n)c. Так как (m ± n) ∈ Z, то по определению делимости нацело получаем, что (a ± b)  c.
Пример 1. Целые числа a, b и c таковы, что (a + b)  c, ab  c. Докажите, что (a3 - b3)  c.
Решение. Имеем: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) = (a - b)((a + b)2 - ab).
Так как (a + b)2  c и ab  c, то по свойству 6 получаем, что ((a + b)2 - ab)  c.
Тогда из свойства 3 следует справедливость доказываемого утверждения.
Решить уравнение с двумя переменными в целых (натуральных)
числах означает найти все пары целых (натуральных) чисел, являющиеся решениями этого уравнения.
Пример 2. Решите в целых числах уравнение x2 + xy - x - y = 5.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем:
x (x + y) - (x + y) = 5; (x + y)(x - 1) = 5. Отсюда получаем, что значения выражений x + y и x - 1 являются делителями числа 5. Тогда возможны четыре случая:
 y = 3,
 x + y = 5,
1) 
Отсюда 
 x = 2;
 x − 1 = 1.
x
2) 
x
x
3) 
x
+ y = 1,
 y = −5,
Отсюда 
− 1 = 5.
 x = 6;
+ y = −5,
 y = −5,
Отсюда 
− 1 = −1.
 x = 0;
 x + y = −1,
 y = 3,
4) 
Отсюда 
 x − 1 = −5.
 x = −4.
Ответ: (2; 3), (6; -5), (0; -5), (-4; 3).
Пример 3. Целые числа x и y таковы, что (6x + 11y)  31. Докажите, что (x + 7y)  31.
Решение. Запишем: x + 7y = 31(x + 2y) - 5(6x + 11y). Из условия
и свойства 3 следует, что 5(6x + 11y)  31. Кроме того, 31(x + 2y)  31.
Тогда по свойству 6 разность 31(x + 2y) - 5(6x + 11y) делится нацело
на 31.
Пример 4. Решите в целых числах уравнение x2 - y2 = 14.
Решение. Имеем: (x + y)(x - y) = 14. Далее можно воспользоваться
методом, описанным в примере 2. Однако эффективнее воспользоваться
118
3
Делимость нацело
Говорят, что целое число a делится нацело на целое число b
(b ≠ 0), если существует такое целое число k, что a = bk.
Основные свойства делимости нацело
1. Если a ≠ 0, то a  a.
2. Если a ≠ 0, то 0  a.
3. Если a  b, то ka  b.
4. Если a  b и b  c, то a  c.
5. Если a  m и b  n, то ab  mn.
6. Если a  c и b  c, то (a ± b)  c.
Деление с остатком
Для любого целого числа a и натурального числа b существует
единственная пара целых чисел q и r таких, что a = bq + r, где
0 J r H b.
Числа, сравнимые по модулю
Целые числа a и b называют сравнимыми по модулю m, где
m ∈ N, если эти числа дают одинаковые остатки при делении на
число m. Пишут: a ≡ b (mod m).
Необходимое и достаточное условие сравнимости чисел
Для того чтобы целые числа a и b были сравнимы по модулю m,
где m ∈ N, необходимо и достаточно, чтобы разность a - b делилась нацело на число m.
Основные свойства сравнений
1. Если a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), то a ≡ c (mod m).
2. Если a ≡ b (mod m), то a + c ≡ b + c (mod m).
3. Если a ≡ b (mod m), то ac ≡ bc (mod m).
4. Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a ± c ≡ b ± d (mod m).
5. Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то ac ≡ bd (mod m).
6. Если a ≡ b (mod m), то an ≡ bn (mod m).
Свойства наибольшего общего делителя и наименьшего
общего кратного
• Если a G b, то НОД (a; b) = НОД (a - b; b).
158
• Если число r — остаток при делении числа a на число b, т. е.
a = bq + r, где 0 H r H b, то НОД (a; b) = НОД (b; r).
• НОК (a; b) является делителем любого общего кратного чисел
a и b.
ab
является общим кратным чи• Если a  c и b  c, то число
c
сел a и b.
• НОК (a; b) · НОД (a; b) = ab.
Взаимно простые числа
Если НОД (a; b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми.
Свойства взаимно простых чисел
Если НОД (a; b) = 1, то НОК (a; b) = ab.
Если НОД (b; c) = 1, a  b и a  c, то a  bc.
Если НОД (a; b) = 1 и ac  b, то c  b.
Признаки делимости
• Признак делимости на 9: натуральное число делится нацело
на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной
записи делится нацело на 9.
• Признак делимости на 3: натуральное число делится нацело
на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной
записи делится нацело на 3.
• Признак делимости на 11: натуральное число делится нацело
на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр
с чётными номерами и суммой цифр с нечётными номерами
делится нацело на 11.
Простые числа
Натуральное число называют простым, если оно имеет только
два разных натуральных делителя: единицу и само это число.
Составные числа
Натуральное число, имеющее более двух натуральных делителей,
называют составным.
Свойства простых чисел
• Множество простых чисел бесконечно.
• Если простое число p1 делится нацело на простое число p2, то
p1 = p2.
• Для любого натурального числа n и данного простого числа p
справедливо одно из двух утверждений: n  p или НОД (n; p) = 1.
159
Оглавление
Глава 1
§ 1.
§ 2.
§ 3.
Множества и операции над ними
Множество. Подмножества данного множества . . . . . . . . . . . .
Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Формула включения-исключения. Взаимно однозначное
соответствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4. Равномощные множества. Счётные множества . . . . . . . . . . . .
• «Я вижу это, но никак не могу этому поверить!» . . . . . . . . . .
Итоги главы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2
§ 5.
§ 6.
§ 7.
Рациональные выражения
Рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Основное свойство рациональной дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сложение и вычитание рациональных дробей
с одинаковыми знаменателями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8. Сложение и вычитание рациональных дробей
с разными знаменателями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 9. Умножение и деление рациональных дробей.
Возведение рациональной дроби в степень . . . . . . . . . . . . . . .
§ 10. Тождественные преобразования рациональных
выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 11. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.
Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 12. Рациональные уравнения с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 13. Степень с целым отрицательным показателем . . . . . . . . . . . . .
§ 14. Свойства степени с целым показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15. Функция y =
4
11
18
25
29
33
34
38
48
53
60
67
73
83
89
97
k
и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
x
Итоги главы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Глава 3 Основы теории делимости
§ 16. Делимость нацело и её свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства . .
§ 18. Наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное двух натуральных чисел.
Взаимно простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19. Признаки делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 20. Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• О проблемах, связанных с простыми числами . . . . . . . . . . . . .
Итоги главы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
122
131
138
143
152
158
383
Глава4 Неравенства
§ 21. Числовые неравенства и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 22. Сложение и умножение числовых неравенств.
Оценивание значения выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 23. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки .
§ 24. Системы и совокупности линейных неравенств
с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 25. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля . . . . . . .
Итоги главы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 5 Квадратные корни. Действительные числа
§ 26. Функция y = x2 и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 27. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень .
• Растут ли в огороде радикалы? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 28. Множество действительных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Когда тайное становится явным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• О счётности числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 29. Свойства арифметического квадратного корня . . . . . . . . . . . .
§ 30. Тождественные преобразования выражений,
содержащих арифметические квадратные корни . . . . . . . . . .
161
168
174
185
196
207
211
217
228
229
237
239
240
250
§ 31. Функция y = x и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Итоги главы 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Глава 6 Квадратные уравнения
§ 32. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 33. Формула корней квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 34. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 35. Квадратный трёхчлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 36. Решение уравнений, сводящихся к квадратным
уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 37. Решение уравнений методом замены переменной . . . . . . . .
• Тайное оружие Сципиона дель Ферро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 38. Рациональные уравнения как математические модели
реальных ситуаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 39. Деление многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 40. Корни многочлена. Теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 41. Целое рациональное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Итоги главы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
328
332
338
342
Проектная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Дружим с компьютером . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Алфавитно-предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345
350
359
380
272
278
289
296
304
310
322