Определенный интеграл - Кыргызско

© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
УДК 517
Д 13
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Т.М. Иманалиев,
ст. преподаватель Н.М. Комарцов
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
Рекомендовано к изданию решением кафедры
высшей математики КРСУ
Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Д 13 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ: Учебнометодическое пособие. – Бишкек: Изд-во КРСУ, 2010. – с.
Пособие содержит краткие теоретические основы одного из разделов
математического анализа «Определенный интеграл». Решены и разобраны
все типичные задачи данного раздела, они снабжены подробнейшими методическими указаниями.
С целью активизации самостоятельной работы студентов приведено 25
вариантов заданий для самостоятельного решения. Каждый вариант содержит 10 примеров с четырьмя формами ответов, одна из которых является
правильной, остальные – учитывают наиболее часто допускаемые ошибки.
Задачи охватывают основной материал данного раздела и проверяют уровень
подготовленности студентов.
Структура методического пособия направлена на развитие у студентов
навыков самостоятельного решения задач и позволяет до начала экзаменационной сессии проверить уровень усвоения материала путем прохождения
компьютерного тестирования.
Предназначено для студентов естественно-технического, экономического и архитектурно-строительного факультетов дневной и заочной форм
обучения.
© КРСУ, 2010 г.
Бишкек 2010
1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Работа переменной силы. Пусть материальная точка движется по оси
Ox от точки А(а) до точки В( b ) ( b > a ) под действием переменной силы
1.1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
Задача о пройденном пути. Требуется найти путь, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени [t0 ; T ] , если известен закон
F = f ( x ) , направленной вдоль Ox . В этом случае, как и при решении двух
предыдущих задач, найдем, что работа переменной силы
изменения мгновенной скорости v = v (t ) .
Разобьем отрезок времени
[ t0 ; T ]
каждом из них движение можно считать равномерным, что дает приближенное выражение для пути
n
s ≈ v (τ 1 )∆t1 + v(τ 2 )∆t2 + ... + v(τ n )∆tn = ∑ v(τ i )∆ti ,
Эта сумма будет тем точнее выражать искомый путь
s , чем меньше
будет каждый из временных отрезков [ti −1 ; ti ] , i = 1, 2, ..., n . Поэтому за
путь s , пройденный точкой за время T − t0 со скоростью v = v (t ) принимают предел
n
∑ v(τ i )∆ti .
n →∞
( λ →0) i =1
Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию. Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v (t ) . Требуется найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до
T.
Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим
m = lim
n
∑ v(τ )∆t
n →∞
( λ →0) i =1
3
i
i
n
∑ f (τ )∆x .
n →∞
( λ →0) i =1
i
i
Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть требуется найти
площадь плоской фигуры aABb , ограниченной графиком функции
y = f ( x) , непрерывной и неотрицательной для всех x ∈ [ a; b] , и отрезками
прямых y = 0 , x = a и x = b . Эта фигура называется криволинейной трапецией.
у
В
i =1
τ i – одна из точек сегмента [ti −1 ; ti ] .
s = lim
A = lim
моментами времени (точками)
t0 < t1 < t2 < ... < tn = T на n частичных отрезков времени и положим
∆ti = ti − ti −1 , i = 1, 2,..., n . Наибольшую из этих разностей обозначим через
λ = max ∆ti . Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на
где
Кафедра высшей математики
y = f (x)
А
х
a=x0 x1
Разобьем отрезок
xi
ci
[ a; b]
точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b на n
xn=b
частичных отрезков и положим ∆xi = xi − xi −1 , i = 1, 2, ..., n . Наибольшую
из этих разностей обозначим через
λ = max ∆xi . На каждом частичном сег-
менте [ xi −1 ; xi ] , i = 1, 2, ..., n , выберем произвольную точку ci . Произведение f (ci ) ∆xi дает площадь прямоугольника, имеющего основание ∆xi и
высоту f (ci ) . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна
.
4
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
n
S ≈ f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + ... + f (cn )∆xn = ∑ f (ci )∆xi .
i =1
За точное значение площади S криволинейной трапеции принимается
предел
S = lim
n
∑ f (c )∆x .
n →∞
( λ →0) i =1
i
i
1.2. Понятие определенного интеграла
Из решения приведенных выше задач видно, что, хотя они и имеют
различный смысл, математический аппарат для их решения один и тот же.
Поэтому, абстрагируясь от конкретного смысла задачи, введем понятие определенного интеграла.
Пусть функция y = f ( x ) задана на отрезке [ a; b] . Разобьем отрезок
[a; b] произвольными точками a = x0 , x1 , x2 , x3 , ... xn = b на n элементарных отрезков. На каждом отрезке [ xi −1 ; xi ] разбиения выберем произвольно
некоторую точку
ξi , i = 1, n . Вычислим значения рассматриваемой функции
f ( x ) в каждой из выбранных точек, т.е. вычислим f (ξi ) , i = 1, n . Умножим каждое полученное значение функции на длину соответствующего отрезка xi − xi −1 = ∆xi , i = 1, n , т.е. найдем f
(ξi ) ∆xi , i = 1, n . Найдем сумму:
n
f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ 2 ) ∆x2 + ... + f (ξ n ) ∆xn = ∑ f (ξi ) ∆xi . (1)
i =1
Сумма (1) носит название интегральной (n-й интегральной) суммы
функции f ( x ) на отрезке [ a; b] .
Обозначим через max ∆xi максимальную из длин отрезков [ xi −1 ; xi ] ,
i
i = 1, 2,...n .
Определение: Если при стремлении max ∆xi → 0 существует предел
i
n-й интегральной суммы функции f ( x ) , не зависящий ни от способа раз-
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
бора точек
ξi , i = 1, n , то его называют определенным интегралом функции
f ( x ) на отрезке [a; b] и обозначают
b
n
lim
max ∆xi → 0
∑ f (ξ )∆x = ∫ f ( x)dx ,
i =1
i
i
(2)
a
где x – переменная интегрирования, f ( x ) – подынтегральная функция,
f ( x ) dx – подынтегральное выражение, a, b – пределы интегрирования (a –
нижний предел, b – верхний предел).
b
Следует помнить, что
∫ f ( x)dx есть определенное число.
a
Физический смысл определенного интеграла
Путь, пройденный движущейся по прямой материальной точкой за отрезок времени [t0 ; T ] , равен определенному интегралу скорости от v = v (t ) :
T
s = ∫ v(t )dt .
t0
Количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T равно определенному интегралу от скорости химического
превращения:
T
m = ∫ v(t )dt .
t0
Работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная
функция F = f ( x ) , действующая на отрезке [ a; b] , равна определенному
интегралу
b
A = ∫ f ( x) dx .
a
Геометрический смысл определенного интеграла
биения отрезка [ a; b] на элементарные отрезки [ xi −1 ; xi ] , ни от способа вы-
5
Кафедра высшей математики
6
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
y = f ( x) неотрицательна для всех
Пусть непрерывная функция
∫ f ( x)dx
численно равен площади S под
a
кривой y = f ( x ) на отрезке [ a; b] , т.е. площади криволинейной трапеции
3.
∫ f ( x)dx = 0 .
∫ dx = b − a .
a
b
Если f ( x ) ≤ 0 для x ∈ [ a; b] , то
b
a
b
4.
a
a
a
b
S = ∫ f ( x ) dx .
a
∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b
x ∈ [ a; b] . Определенный интеграл
b
5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
∫ f ( x)dx ≤ 0 и тогда
a
b
a
Если f ( x ) конечное число раз меняет знак на отрезке [ a; b] , то интеграл разбивают на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл по
всему отрезку [ a; b] дает соответствующую алгебраическую сумму площадей, лежащих выше и ниже оси Оx.
Ри
y= f (x)
x
+
b
1.3. Свойства определенного интеграла
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
1. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования
∫
a
b
b
a
a
a
f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f ( z )dz = ...
b
b
b
a
a
a
Это свойство распространяется и на случай алгебраической суммы любого
конечного числа функций.
∫
a
-
b
a
∫ ( f1 ( x) + f 2 ( x) ) dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx .
b
а
b
6. Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от этих функций:
7.
+
b
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .
S = − ∫ f ( x ) dx .
0
c
b
a
c
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ,
где точка x = c может лежать как внутри, так и вне отрезка [a; b] .
8. Если подынтегральная функция f ( x) на всем отрезке интегрирования
[a; b] принимает значения одного знака, то определенный интеграл есть
число того же знака:
b
а) f ( x) ≥ 0, x ∈ [ a; b] , тогда
∫ f ( x)dx ≥ 0 ;
a
b
б) f ( x) ≤ 0, x ∈ [a; b] , тогда
∫ f ( x)dx ≤ 0 .
a
9. Неравенства можно почленно интегрировать:
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
7
Кафедра высшей математики
8
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
а) f ( x) ≥ φ ( x), x ∈ [a; b] , тогда
б) f ( x) ≤ φ ( x), x ∈ [a; b] , тогда
Кафедра высшей математики
b
b
a
b
a
b
∫
f ( x)dx ≤ ∫ φ ( x)dx .
a
10. Если наименьшее значение функции f ( x) на отрезке [a; b] обозначить
через m , а наибольшее через M , то
b
m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
a
11. Теорема о среднем. Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [a; b] ,
то существует хотя бы одно значение x = c , для которого
b
∫ f ( x)dx = f (c)(b − a) .
a
Значение функции f (c) носит название среднего значения функции
f ( x) на [a; b] .
12. Производная определенного интеграла по переменному верхнему
пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.
′
⎛
⎞
⎜ ∫ f (t )dt ⎟ = f ( x) .
⎝a
⎠
x
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2.1. Формула Ньютона–Лейбница
Величина определенного интеграла зависит от вида подынтегральной
функции и от пределов интегрирования a, b . Если подынтегральную функцию f ( x) оставлять неизменной, то величина определенного интеграла будет зависеть только от верхнего и нижнего пределов, т.е. будет функцией
двух переменных. Если один предел менять, а другой не менять, то величина
определенного интеграла будет функцией одного переменного. В частности,
если зафиксировать нижний предел a , а верхний предел менять b = x , то
Кафедра высшей математики
x
∫ f ( x)dx ≥ ∫ φ ( x)dx ;
a
9
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
∫ f (t )dt = Ф( x) .
(3)
a
Согласно теореме Барроу
′
⎛x
⎞
(4)
Ф′( x) = ⎜ ∫ f (t )dt ⎟ = f ( x) .
⎝a
⎠
Из равенства (2) следует, что Ф( x) является первообразной для подынтегральной функции f ( x) , следовательно,
Ф( x) = F ( x) + C ,
(5)
где F ′( x) = f ( x) .
Из (3) при x = a получаем
Ф( a ) = F ( a ) + C .
(6)
Из (1) при x = a получаем
a
a
a
a
Ф(a) = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = 0 .
(7)
Из (6) и (7) следует
F (a) + C = 0 ⇒ C = − F (a) .
(8)
При x = b из (5) получаем
Ф(b) = F (b) + C = F (b) − F (a) .
(9)
Из (3) получаем
b
b
a
a
Ф(b) = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx .
(10)
Из (9) и (10) следует
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
(11)
a
Формулу (11) принято записывать в виде
b
∫ f ( x)dx = F ( x)
b
a
a
10
= F (b) − F (a ) .
(12)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
Формула (12) носит название формулы Ньютона–Лейбница. Если
учесть, что F ( x) =
∫ f ( x)dx , то (10) принимает вид
b
∫
f ( x)dx =
a
( ∫ f ( x)dx )
b
.
(13)
a
Для вычисления определенного интеграла следует найти неопределенный интеграл (найти первообразную функцию), а потом вычислить приращение первообразной функции на отрезке интегрирования [a; b] .
8
Пример 1. Вычислить
∫(
)
2x + 3 x dx .
0
8
∫(
0
)
3
8
4
x2
x3
= 2
+
3
4
2 0 3
3
+
4
e2
∫
e
8
8
8
0
0
0
8
1
1
2 x + 3 x dx = ∫ 2 xdx + ∫ 3 xdx = 2 ∫ x 2 dx + ∫ x 3 dx =
(
0
8
=
2 2
3
8
x3 +
0
33 48 2 2
x =
0
4
3
(
)
83 − 0 +
0
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
1
1
dx
=
x ln x
3⎞
⎛
d⎜x+ ⎟
3
1 d ( x + 3 x + 2) 3
dx
2⎠
⎝
− ∫
= ∫ 2
− ∫
=
2
2 0 x 2 + 3x + 9 − 9 + 2 2 0 x + 3x + 2
20⎛
3⎞ 1
⎜x+ ⎟ −
4 4
2⎠ 4
⎝
1
d (ln x)
∫e ln x = ln ln x
= ln 2 ln e − ln1 = ln 2
1
= ln ln e − ln ln e =
2
e
(т.к. ln e = 1 , ln1 = 0 ).
1
xdx
.
Пример 3. Вычислить ∫ 2
x + 3x + 2
0
′
2
Найдем производную ( x + 3 x + 2 ) = 2 x + 3 и получим ее в числите-
1
2
1
3 1
x+ −
1
1
3 1
2 2 = 1 ( ln 6 − ln 2 ) −
ln
= ln x 2 + 3 x + 2 −
0
1
3
1
2
2 2⋅
2
x+ +
2
2 2 0
3
3⎛ 2
1⎞ 1
3 4 1⎛
⎛4⎞ ⎞
− ⎜ ln − ln ⎟ = ln 3 − ln = ⎜ ln 3 − ln ⎜ ⎟ ⎟ =
2⎝ 3
2⎠ 2
2 3 2 ⎜⎝
⎝ 3 ⎠ ⎟⎠
1⎛
64 ⎞ 1 3 ⋅ 27
81
9
= ⎜ ln 3 − ln ⎟ = ln
= ln
= ln .
2⎝
27 ⎠ 2
64
64
8
π
Пример 4. Вычислить
∫2
3
sin 2 x cos 4 xdx .
0
π
π
2
1 − cos 2 x ⎛ 1 + cos 2 x ⎞
∫0 2 sin x cos xdx = 2 ∫0 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx =
3
2
4
3
π
e2
e2
1
1 2x + 3 − 3
1
2x + 3
xdx
∫0 x 2 + 3x + 2 = 2 ∫0 x 2 + 3x + 2 dx = 2 ∫0 x2 + 3x + 2 dx −
)
2 2
3
64
100
3 4
⋅16 ⋅ 2 + ⋅16 =
+ 12 =
8 −30 =
3
4
3
3
e2
dx
.
Пример 2. Вычислить ∫
x ln x
e
π
= ∫ (1 − cos 2 2 x)(1 + cos 2 x)dx = ∫ sin 2 2 x(1 + cos 2 x)dx =
0
0
π
π
0
0
π
1 − cos 4 x
dx +
2
0
= ∫ sin 2 2 xdx + ∫ sin 2 2 x cos 2 xdx = ∫
π
π
π
π
1
1
1
1 sin 3 2 x
+ ∫ sin 2 2 xd (sin 2 x) = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx +
=
20
20
20
2 3 0
ле
11
Кафедра высшей математики
12
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
π
x
1
1
π
π
− sin 4 x 0 + ( sin 3 2π − sin 3 0 ) =
20 8
6
2
(т.к. sin kπ = 0 , k ∈ Z ).
=
2.3. Замена переменной в определенном интеграле
b
Пусть требуется вычислить
∫ f ( x)dx , где функция
f ( x) непрерывна
a
2.2. Определенное интегрирование по частям
Пусть u и v непрерывно дифференцируемые функции, зависящие от
х. Тогда
d (u ⋅ v) = vdu + udv .
(14)
Проинтегрируем обе части (14) в пределах от а до b:
b
b
b
a
a
a
∫ d (u ⋅ v) = ∫ vdu + ∫ udv ,
b
или
a
∫ udv = u ⋅v
a
a
[α ; β ] , где
(15)
ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b ,
b
− ∫ vdu .
(16)
a
2
∫ x ln xdx .
β
определяются просто
строго монотонной на интервале
64
Разобьем подынтегральное выражение на части: u = ln x , dv = x dx ,
dx
x
2
, v = ∫ x dx =
. Согласно формуле (16) получим:
x
3
2
2 3
2
x3
x dx 1 3
1 2
2
2
x
xdx
=
x
−
=
−
−
ln
ln
2
ln
2
ln1
) 3 ∫ x dx =
∫1
∫1 3 x 3 (
1
3
1
8
1 x3
8
1
8
7 24 ln 2 − 7
= ln 2 −
= ln 2 − ( 23 − 13 ) = ln 2 − =
.
3
3 3 1 3
9
3
9
9
( a; b )
Пример 6. Вычислить
∫
1
(
dx
x 1+ 3 x
)
.
Первообразную найдем, введя подстановку
6
x = t , тогда x = t ,
6
dx = 6t 5 dt . При x = 1 , t1 = 6 1 = 1 ; при x = 64 , t = 6 64 = 2 (функция 6 x
′
1
для всех x ∈ [1;64] возрастает и 6 x =
не обращается в нуль для
6 5
6 x
x ∈ [1;64] ).
( )
Согласно формуле (18) имеем:
13
и иметь производную, не равную
нулю ни в одной точке этого интервала.
2
3
(18)
ϕ (a) = t1 , ϕ (b) = t2 , но функция ϕ ( x) должна быть
1
2
(17)
Формула (18) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. При вычислении определенного интеграла по формуле
(18) не требуется возвращения к старой переменной х. Достаточно из формул
(17) найти пределы изменения новой переменной t .
В случае введения подстановки ϕ ( x) = t , пределы новой переменой
2
тогда du =
ϕ (t ) , ϕ ′(t ) , f (ϕ (t )) непрерывны на отрезке
a
Формула (16) носит название формулы определенного интегрирования
по частям.
Пример 5. Вычислить
Теорема. Если функции
∫ f ( x)dx = α∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt .
Из равенства (15) следует
b
по формуле x = ϕ (t ) , тогда
dx = ϕ ′(t )dt .
b
a
b
t
то
b
u ⋅v a = ∫ vdu + ∫ udv .
b
на отрезке [ a; b ] . Введем новую переменную
14
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
64
2
Кафедра высшей математики
2
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
b
2
6t 5 dt
t 2 dt
t 2 + 1 −1
=∫ 3
=
6
=
6
∫1 1 + t 2 dt =
t (1 + t 2 ) ∫1 1 + t 2
x 1+ 3 x
1
∫
(
1
dx
S = ∫ f ( x)dx .
)
2
Площадь
2
плоской
фигуры,
2
y = f1 ( x)
кривыми
и
b
S = ∫ ( f 2 ( x) − f1 ( x) ) dx .
(20)
a
1 − x2
dx .
x2
∫
ограниченной
y = f 2 ( x) (рис. 2), вычисляется по формуле
π⎞
3π
⎛
−6(arctg 2 − arctg1) = 6 − 6 ⎜ arctg 2 − ⎟ = 6 +
− 6arctg 2.
4⎠
2
⎝
1
(19)
a
t2 +1
1
2
2
= 6∫
dt −6∫
dt =6 t 1 − 6arctg t 1 = 6(2 − 1) −
2
2
1+ t
1+ t
1
1
Пример 7. Вычислить
Кафедра высшей математики
у
y = f ( x)
y = f 2 ( x)
у
2
Для отыскания первообразной, введем подстановку x = sin t , тогда
dx = cos tdt , t = arcsin x . При x =
t 2 = arcsin1 =
1
=
2
∫
π
π
0
π
2
2
4
2
π
2
4
4
π
2
dt
− dt = − ctgt
sin 2 t π∫
= −(0 − 1) −
π
4
4
= 1−
2
π
4
π
π
2
4
π
−t
2
π
y = f1 ( x)
х
0
b
а
2
2
х
b
а
Рис. 2
Рис. 1
1− x
1 − sin t
cos t
1 − sin t
dx = ∫
cos tdt = ∫
dt = ∫
dt =
2
2
2
2
x
sin
t
sin
t
sin
t
π
π
π
2
∫
2
π . Тогда
2
2 π
, t1 = arcsin
= ; при x = 1 ,
2
2
4
Более сложные фигуры (рис. 3) следует разбивать на части, к каждой из которых применима либо формула (19), либо формула (20):
c
b
a
c
S = ∫ ( f 3 ( x) − f1 ( x) ) dx + ∫ ( f 3 ( x) − f 2 ( x) ) dx.
4
π
π ⎞ ⎛π π ⎞
⎛
= − ⎜ ctg − ctg ⎟ − ⎜ − ⎟ =
π
2
4⎠ ⎝2 4⎠
⎝
4
2
.
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
3.1. Площадь плоской фигуры
r = f (ϕ )
y = f 3 ( x)
у
y = f 2 ( x)
y = f1 ( x)
Площадь криволинейной трапеции (рис. 1) вычисляется по формуле
0
а
c
b
0
Рис. 3
15
ϕ1
х
16
ϕ2
Рис. 4
p
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
⎧ x = ϕ (t )
площадь криволиней⎩ y = ψ (t )
При задании кривой параметрически ⎨
ной трапеции вычисляется по формуле
t2
t2
t1
t1
S = ∫ y (t ) x′(t )dt = ∫ψ (t )ϕ ′(t )dt ,
(21)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
S=
π
3
0
= = −(ln cos
π
3
− ln cos 0) =
1
1
= −(ln − ln1) = − ln = ln 2 (кв.ед.).
2
2
Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = x − 2 x + 3 , y = 3x − 1 .
Решение:
2
Сделаем чертеж. Уравнению y = x − 2 x + 3 соответствует пара2
t ∈ [t1 ; t2 ] ).
Если кривая задается в полярных координатах уравнением r = f (ϕ ) ,
то площадь сектора (рис. 4) вычисляется по формуле
ϕ
∫ tgxdx = −l n cos x
0
где t1 , t2 определяются из уравнений a = ϕ (t1 ) , b = ϕ (t2 ) (ψ (t ) ≥ 0 для
S=
3
Кафедра высшей математики
бола с вершиной в точке
x =1,
y = 2 , т. к.
y = x2 − 2 x + 3
ϕ
1 2 2
1 2 2
r
d
ϕ
=
f (ϕ )dϕ .
2 ϕ∫1
2 ϕ∫1
(22)
y
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = tgx , y = 0 , x =
π
3
.
Решение:
Сделаем чертеж. Плоская фигура есть криволинейная трапеция.
Следовательно,
x
0
у
π
2
0
4
⇒ y − 2 = ( x − 1) 2 . Уравнению y = 3 x − 1 соответствует прямая.
⎧ y = x 2 − 2 x + 3,
Найдем точки пересечения заданных линий ⎨
⎩ y = 3 x − 1.
x 2 − 2 x + 3 = 3x − 1 , x 2 − 5 x + 4 = 0 ,
x1 = 1 , x2 = 4 .
х
−
1
π
π
3
2
Согласно формуле (20)
4
∫ (3x − 1 − ( x
1
17
4
2
− 2 x + 3)) dx = ∫ (3 x − 1 − x 2 + 2 x − 3)dx =
1
18
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
4
4
Кафедра высшей математики
0
4
10.
Вычислить
площадь
⎧ x = a cos3 t ,
⎨
3
⎩ y = a sin t.
При x = 0 , a cos t = 0 , t =
3
π
2
ограниченную
2
0
3
1 − cos 4t
3
dt + a 2 ∫ sin 2 2td (sin 2t ) =
= − a2 ∫
8 π
2
16 π
2
2
0
2
π
х
.
а
=−
3 2 0 3 2 sin 4t
1
a tπ + a
+ a 2 (sin 3 0 − sin 3 π ) =
16
16
4 π 16
2
2
3 2⎛
π⎞ 3
3 π 3π a 2
(кв.ед.).
a ⎜ 0 − ⎟ + a 2 (sin 0 − sin 2π ) = a 2 =
16 ⎝
2 ⎠ 64
16 2
32
(т.к. sin 0 = 0 , sin π = 0 , sin 2π = 0 ).
Тогда S = 4 ⋅
3π a 2 3π a 2
(кв. ед.).
=
32
8
Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Имеем:
0
0
S
= − ∫ a sin 3 t ⋅ 3a cos 2 t sin tdt = −3a 2 ∫ sin 4 t cos 2 tdt =
4
π
π
2
2
⎧⎪ x = 2 cos t
, y = 3 ( y ≥ 3 ).
⎨
⎪⎩ y = 3 2 sin t
Решение:
⎧⎪ x = 2 cos t
2
⎛ 1 − cos 2t ⎞ 1 + cos 2t
∫π ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 dt =
Уравнениями ⎨
⎪⎩ y = 3 2 sin t
2
0
= −3a 2
2
2
0
=−
≥ t ≥ 0.
0
0
0
3
3
3
sin 3 2t
= − a 2 ∫ dt + a 2 ∫ cos 4tdt + a 2
=
16 π
16 π
16
3 π
Аргумент t для одной четвертой
всей
площади
изменяется
= −3a 2
астроидой
а
2
3
При y = 0 , a sin t = 0 , t = 0 .
x′ = −3a cos 2 t sin t .
части
0
2
0
у
Решение:
Сделаем чертеж.
Кафедра высшей математики
3
3
= − a 2 ∫ sin 2 2tdt + a 2 ∫ sin 2 2t cos 2tdt =
8 π
8 π
5x2
x3
9
4
= ∫ (5 x − 4 − x )dx =
−4x1 −
= (кв. ед.).
2 1
31 2
1
2
Пример
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
0
1
3
(1 − cos 2 2t )(1 − cos 2t )dt = − a 2 ∫ sin 2 2t (1 − cos 2t )dt =
∫
8π
8 π
2
2
задается эллипс с полуосями a =
b = 3 2 (параметрические уравнения эллипса x = a cos t ,
0 ≤ t ≤ 2π ).
3 2
у=3
х
0
2
y = b sin t ,
Уравнению y = 3 соответствует
прямая, параллельная оси Ох. Сделаем
чертеж. Получаем фигуру, площадь которой будем вычислять по формуле
у
19
2,
20
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
b
⎧⎪ x = 5 2 cos t
S = ∫ ( f 2 ( x) − f1 ( x) ) dx .
Сделаем чертеж. Уравнениям ⎨
a
Найдем пределы изменения параметра
t . Решим систему уравнений:
⎧⎪ y = 3 2 sin t
⇒ 3 = 3 2 sin t ,
⎨
y=3
⎪⎩
Найдем точки пересечелиний:
k ∈Z
2 π
π
3π
= ; при k = 1 , t2 = − + π =
.
2
4
4
4
3π
π
≥ t ≥ , dx = − 2 sin tdt .
4
4
Значит
S=
∫ (3
4
3π
)
4
∫
3π
4
3π
1 − cos 2t
dt − 3 2 cos t
2
π
3π
⎛
−3 2 ⎜ cos − cos
4
4
⎝
⎛ π 3π
= −3 ⎜ −
⎝4 4
⎞
⎟ = − 3t
⎠
4
∫
2 sin t − 3 − 2 sin tdt = −6
4
π
= −6
)(
π
π
3π
π
π
4
= −3
4
3π
⎞ 3⎛ π
⎟ + ⎜ sin − sin
2
2
⎠ 2⎝
⎧⎪ x = 5 2 cos t
⎨
x=5
⎪⎩
⇒ 5 = 5 2 cos t
π
dt + 3
∫
3π
π
4
х=5
3 2
х
0
5 2
4
∫ sin tdt =
3π
4
3
+
sin 2t
3π
2
4
4
sin 2 tdt + 3 2
4
∫
3π
4
π
ния
у
1
2
cos t =
=
,
2
2
Искомая площадь равна
π
соответствует эллипс с
⎪⎩ y = 3 2 sin t
полуосями a = 5 2 , b = 3 2 . Уравнению x = 5 соответствует прямая, параллельная оси Оу.
1
2
2
k
sin t =
=
, t = ( −1) arcsin
+ kπ ,
2
2
2
При k = 0 , t1 = arcsin
Кафедра высшей математики
4
cos 2tdt −
t = ± arccos
2
+ 2 kπ ,
2
k∈Z.
t1 = −
π
4
; t2 =
π
4
.
Вычислим:
4
⎛ 2
2⎞
−
+
3
2
⎜
⎟⎟ =
⎜ 2
3π
2
4
⎝
⎠
4
3π
⎞
− 3 (кв. ед.).
⎟−6 =
2
⎠
0
0
S
= ∫ 3 2 sin t ⋅ 5 2(− sin t )dt = −30 ∫ sin 2 tdt =
2 π
π
4
4
0
15π 15
⎛ sin 2t ⎞
= −15 ∫ (1 − cos 2t )dt = − 15 ⎜ t −
− .
⎟ =
2 ⎠π
4
2
⎝
π
4
0
4
Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧⎪ x = 5 2 cos t
, x = 5 ( x ≥ 5 ).
⎨
⎪⎩ y = 3 2 sin t
Решение:
Тогда площадь всей фигуры
⎛ 15π 15 ⎞ 15π
S = 2⋅⎜
− ⎟=
− 15 (кв. ед.).
2⎠
2
⎝ 4
Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
r = 2sin ϕ , r = 4sin ϕ .
21
22
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
Решение:
Уравнения линий заданы в полярной системе координат. Выясним, какая линия задается уравнением r = 2sin ϕ .
Зная, что r = x + y ,
2
2
2
у
r sin ϕ = y , и умножая обе
равенства r = 2sin ϕ на r ,
части
4
2
r = 2r sin ϕ ,
x2 + y 2 = 2 y ,
x2 + y 2 − 2 y + 1 −1 = 0 ,
x 2 + ( y − 1) 2 = 1 –
2
r = 0 ⇒ sin 5ϕ = 0 , 5ϕ = kπ ,
ϕ1 = 0 , ϕ2 =
а
по-
лучим
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
1
х
0
это окружность с центром в точке (0; 1) и радиусом равным 1. Аналогично,
уравнению r = 4sin ϕ соответствует окружность с центром в точке (0; 2) и
(
1
S = 5⋅
2
π
π
π
1 − cos 2ϕ
= 6∫
dϕ = 3∫ dϕ − 3∫ cos 2ϕ dϕ = 3ϕ
2
0
0
0
= 3(π − 0) −
π
0
3
− sin 2ϕ
2
5
2
∫0 sin 5ϕdϕ = 2
π
0
5
, а всего имеется пять
π
1 − cos10ϕ
5
dϕ =
∫0
2
4
5
π
5
∫ (1 − cos10ϕ )dϕ =
0
⎞
⎟ π
⎟ = (кв. ед.).
⎟ 4
⎠
3.2. Длина дуги плоской линии
y = f (x)
=
Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
r = sin 5ϕ (пятилепестковая роза).
Решение:
График функции r = sin 5ϕ в полярной системе координат имеет вид, указанный на рисунке. Пределы изменения
π
угла ϕ можно найти из условия
23
π
ϕ изменяется от 0 до
π
⎛
π
sin10
5⎛
sin10ϕ ⎞ 5 5 ⎜ π
5
= ⎜ϕ −
⎟ = ⎜ −
4⎝
10 ⎠ 0
4⎜ 5
10
⎝
у
3
( sin 2π − sin 0 ) = 3π (кв. ед.).
2
5
.
5
1
1
2
2
S = ∫ ( 4sin ϕ ) − ( 2sin ϕ ) dϕ = ∫ 12sin 2 ϕdϕ =
20
20
π
k ∈Z ;
лепестков. Площадь всей фигуры, ограниченной этой линией, будет равна
π
)
5
Для одного лепестка
радиусом равным 2. Угол ϕ меняется в пределах 0 ≤ ϕ ≤ π .
Площадь будет равна
π
π
Кафедра высшей математики
х
0
b
а
Рис. 5
Длина дуги кривой y = f ( x) , содержащейся между двумя точками с
абсциссами x = a и x = b (рис. 5), вычисляется по формуле
b
b
L = ∫ 1 + ( f ′( x) ) dx = ∫ 1 + ( y′ ) dx .
2
a
a
24
2
(23)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Если
кривая
⎧ x = ϕ (t )
, то
⎨
⎩ y = ψ (t )
t2
L=∫
задается
Кафедра высшей математики
уравнениями
(ϕ ′(t ) ) + (ψ ′(t ) )
2
t1
2
t2
в параметрической
( xt′ ) + ( yt′) )
dt = ∫
2
2
dt ,
форме
(24)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
=
где t1 , t2 – значения параметра, соответствующие концам дуги.
L=
ϕ2
∫
r 2 + ( r ′) ) dϕ ,
2
(25)
ϕ1
где
ϕ1 , ϕ2 – значения полярного угла в крайних точках дуги.
Пример 15. Вычислить длину дуги линии y = ( x + 1) , отсеченной
2
3
прямой x = 4 .
Решение:
Уравнению
у
y 2 = ( x + 1)3 ,
или
3
2
y = ± ( x + 1) = ± ( x + 1) , соответствует по3
лукубическая парабола.
х
-1
4
Вычислим половину длины дуги
4
L
= ∫ 1 + ( y′) 2 dx .
2 −1
3
2
1
3
Возьмем y = ( x + 1) , y′ = ( x + 1) 2 .
2
Тогда
∫
−1
В случае задания кривой в полярных координатах r = f (ϕ ) длина дуги вычисляется по формуле
4
4
1
L
9
9
9
⎛3
⎞
= ∫ 1 + ⎜ ( x + 1) 2 ⎟ dx = ∫ 1 + ( x + 1)dx = ∫ 1 + x + dx =
2 −1
4
4
4
⎝2
⎠
−1
−1
4
t1
2
4
Кафедра высшей математики
=
1
27
4
1
9
13
1
2 (9 x + 13)
2 d (9 x + 13) =
9
+
13
x + dx =
x
(
)
∫
4
4
2 ⋅ 9 −1
18
3
(
)
493 − 43 =
4
2
=
−1
1
1
335
.
( 343 − 8) = ⋅ 335 =
27
27
27
Следовательно, вся длина дуги равна
L = 2⋅
335 670
(лин. ед.).
=
27
27
⎧
t6
⎪⎪ x = 6
Пример 16. Вычислить длину дуги линии ⎨
между точками
4
t
⎪y = 2−
⎪⎩
4
пересечения с осями координат.
Решение:
Кривая задана в параметрической форме. Найдем, при каких значениях
параметра t кривая будет пересекать координатные оси.
t6
=0⇒t =0.В
6
Уравнение оси Оу имеет вид x = 0 . Следовательно,
это время y = 2 .
y = 0 , следовательно,
Уравнение оси Ох задается уравнением
(
±4 8
t4
4
4
2 − = 0 ⇒ t = 8 ⇒ t = ± 8 . В это время x =
6
4
тельным и отрицательным значениям параметра
вые значения переменных x, y ).
25
3
26
t
)
6
=
8 2
(положи3
соответствуют одинако-
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
4
8
∫ ( xt′ ) + ( yt′) )
Согласно формуле (24) длина дуги равна L =
2
2
dt .
0
L=
4
8
∫ ( t ) + ( −t ) ) dt = ∫
5 2
3
2
0
=
1
4
1
=
6
4
4
8
0
8
∫ (t
4
1
2
+ 1) d (t 4 + 1) =
0
(
∫
3
1 ⋅ 2 (t + 1)
4
3
3
4
= x 1+ x − ∫
=
0
)
2
8
2
1
6
(t
4
+ 1)
4
3
8
=
+∫
0
1
26 13
(8 + 1) − 1 = ( 27 − 1) = = (лин. ед.)
6
6
3
3
p
Согласно
2π
L=
∫
′
Найдем r ′ = ( aϕ ) = a . Следовательно,
0
2π
a 2ϕ 2 + a 2 dϕ =a ∫ ϕ 2 + 1dϕ =
0
2π
1
⎛1
⎞
= a ⎜ ϕ 1 + ϕ 2 + ln ϕ + 1 + ϕ 2 ⎟ =
2
⎝2
⎠0
27
формуле
r + ( r ′) ) dϕ .
2
0
∫
1+ x
2
( x 2 + 1) − 1
1 + x2
du =
xdx
x 2 dx
1 + x2 = x 1 + x2 − ∫
=
1 + x2
v = ∫ dx = x
dx = x 1 + x − ∫
2
x2 + 1
1 + x2
dx =x 1 + x 2 − ∫ 1 + x 2 dx + ln x + 1 + x 2 ;
∫
1 + x 2 dx = x 1 + x 2 + ln x + 1 + x 2 − ∫ 1 + x 2 dx ;
2 ∫ 1 + x 2 dx = x 1 + x 2 + ln x + 1 + x 2 ;
∫
dx +
1 + x 2 dx =
(
)
1
x 1 + x 2 + ln x + 1 + x 2 + C .
2
3.3. Вычисление объема тела
0
L=
1
Имеем
Пример 17. Вычислить длину дуги первого витка спирали Архимеда r = aϕ .
Решение:
Кривая задана в полярной системе координат. Первому витку спирали
соответствуют значения полярного угла 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
2π
u = 1 + x2
1 + x dx =
dv = dx
2
t 4 + 1dt =
0
4
a
= π a 1 + 4π 2 + ln 2π + 1 + 4π 2 (лин. ед.).
2
8
∫t
t10 + t 6 dt =
Кафедра высшей математики
Покажем нахождение неопределенного интеграла:
′
′
⎛ t6 ⎞
⎛
t4 ⎞
5
3
Найдем xt′ = ⎜ ⎟ = t , yt′ = ⎜ 2 − ⎟ = −t . Тогда
4⎠
⎝
⎝6⎠
4
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
2
(25)
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных
сечений. Объем V тела, если известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox – S = S ( x) ,
a ≤ x ≤ b , вычисляется по формуле
b
V = ∫ S ( x)dx .
a
x2 y 2 z 2
Пример 18. Найти объем эллипсоида 2 + 2 + 2 = 1 .
a
b
c
28
(26)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
При вращении этой трапеции вокруг оси Оу
z
b
Vy = 2π ∫ xydx .
y
с
b
(28)
a
S = S ( x)
y
у
d
x
a
х
0 а
Решение:
Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на
расстоянии x от нее − a ≤ x ≤ a , получим эллипс:
y2
⎛
x2 ⎞
⎜ b 1− 2 ⎟
⎜
a ⎟⎠
⎝
2
+
z2
⎛
x2 ⎞
⎜ c 1− ⎟
⎜
a ⎟⎠
⎝
Площадь
2
S ( x) = π ⋅ b 1 −
0
Рис. 6.
эллипса
равна
⎛ x ⎞
x
x
⋅ c 1 − 2 = π bc ⎜1 − 2 ⎟ .
2
a
a
⎝ a ⎠
2
d
b
c
a
y
⎛ x2 ⎞
4
V = π bc ∫ ⎜1 − 2 ⎟dx = π abc (куб. ед.).
a ⎠
3
−a ⎝
a
y = x2 + 1
Объем тела вращения. Объем тела, полученного вращением вокруг
оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f ( x)
( f ( x) ≥ 0 , x ∈ [ a, b ] ), y = 0 , x = a , x = b (рис. 6), вычисляется по форму-
0
ле
b
Vx = π ∫ f 2 ( x)dx =π ∫ y 2 dx .
(27)
a
29
(29)
Пример 19. Вычислить объем тел, полученных вращением вокруг осей
2
Ох и Оу фигуры, ограниченной линиями: y = x + 1 , y = 0 , x = 1 , x = 2 .
Решение:
Поэтому по формуле (26) имеем
a
Рис. 7.
V = π ∫ψ 2 ( y )dy =π ∫ x 2 dy .
2
b
x
Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси Оу (трапеция прилежит оси Оу) (рис. 7), то объем тела можно вычислить по формуле
= 1.
этого
2
c
b
30
1
2
x
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
Сделаем чертеж.
2
2
∫
2
∫
2
2
∫
∫
вен Vx = π ( x 2 + 1) 2 dx =π x 4 dx + 2π x 2 dx + π dx =π
1
2
+π x 1 =
π
1
(2
5
5
− 1) +
1
1
2
x5
x3
+ 2π
+
5 1
3 1
2π 3
178
2 − 1) + π (2 − 1) =
π (куб. ед.)
(
3
15
2
2
2
2
x4
x2
Vy = 2π ∫ x( x + 1)dx = 2π ∫ x dx + 2π ∫ xdx = 2π
+ 2π
=
4 1
2 1
1
1
1
2
=
π
(2
2
4
3
− 1) + π (4 − 1) =
бола, с вершиной (4; 0) , симметричная относительно оси Ох, и с ветвями,
направленными влево.
Объем тела вращения согласно формуле (29) равен
2
2
Vy = π ∫ (4 − y 2 ) 2 dy =π ∫ (16 − 8 y 2 + y 4 )dy =
−2
При вращении заштрихованной фигуры вокруг оси Оу объем тела вращения равен
2
Кафедра высшей математики
Сделаем чертеж, зная что уравнению y = 4 − x соответствует пара-
При вращении фигуры вокруг оси Ох объем тела вращения ра2
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
−2
y
5
4. МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
15π
15π + 6π 21π
+ 3π =
=
(куб.ед.).
2
2
2
Пример 20. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг
2
оси Оу фигуры, ограниченной линиями y = 4 − x , x = 0 .
Решение:
2
⎛
8y
y ⎞
8
1
⎛
⎞
= π ⎜ 16 y −
+ ⎟ = π ⎜16(2 + 2) − (8 + 8) + (32 + 32) ⎟ =
3
5 ⎠ −2
3
5
⎝
⎠
⎝
512
=
π (куб. ед.).
15
3
4.1. Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = f ( x) , направленной параллельно этой оси. Работа,
произведенная силой при перемещении точки М из положения x = a в положение x = a ( a < b ), находится по формуле
b
A = ∫ f ( x)dx .
2
(30)
a
4
-4
0
y2 = 4 − x
-2
x
Пример 21. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение:
По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению x , т.е. F = kx , где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину
на x = 0, 01 м; следовательно, 100 = k ⋅ 0, 01 , откуда k = 10000 ;
F ( x) = 10000 x .
Искомая работа на основании формулы (30) равна
0,05
A=
∫ 10000 xdx = 5000 x
0
31
2 0,05
0
= 12,5 (Дж).
32
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
b
4.2. Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t ) . Путь, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2 ,
вычисляется по формуле
t2
s = ∫ v(t )dt .
m = ∫ ρ ( x) 1 + ( y′ ) dx .
Статические
4
s = ∫ (10t + 2)dt = ( 5t 2 + 2t ) = 80 + 8 = 88 (м).
4
b
b
S x = ∫ ρ ( x) y 1 + ( y′ ) dx , S y = ∫ ρ ( x) x 1 + ( y′ ) dx
2
a
Центром
(33)
a
тяжести
материальной
плоской
кривой
Координаты центра тяжести материальной плоской кривой находятся
по формулам
b
xc =
Sy
m
=
∫ ρ ( x) x
1 + ( y ′ ) dx
∫ ρ ( x)
1 + ( y ′ ) dx
a
b
2
2
a
b
Статическим моментом S x системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на расстояние
S
yc = x =
m
n
∑m ⋅ y .
i
i =1
n
∑m ⋅x .
i
∫ ρ ( x) y
(34) ,
1 + ( y ′ ) dx
2
a
b
∫ ρ ( x)
1 + ( y ′ ) dx
2
a
i
Аналогично определяется статический момент S y этой системы от-
i =1
y = f ( x)
если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен
статическому моменту всей кривой y = f ( x) относительно той же оси.
m2 , …, mn .
носительно оси Оу: S y =
2
Из определения центра тяжести следует m ⋅ xc = S y , m ⋅ yc = S x .
4.3. Масса, статические моменты и координаты
центра тяжести плоской кривой
Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек
M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y2 ) , …, M n ( xn , yn ) соответственно с массами m1 ,
этих точек от оси Ох: S x =
y = f ( x)
( x ∈ [ a; b ] ) называется точка плоскости, обладающая следующим свойством:
0
0
моменты материальной плоской кривой
( x ∈ [ a; b ] ) относительно осей Ох и Оу соответственно равны
t1
( t = 0 ) до конца 4-й секунды, равен
(32)
a
(31)
Пример 22. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала
движения, если скорость тела v(t ) = 10t + 2 ( м / с ).
Решение:
Если v(t ) = 10t + 2 , то путь, пройденный телом от начала движения
2
i
Пусть y = f ( x) ( x ∈ [ a, b ] ) – это уравнение материальной кривой АВ.
Будем считать ее неоднородной с линейной плотностью
масса вычисляется по формуле
33
ρ = ρ ( x) . Тогда ее
Пример 23. Найти центр тяжести однородной дуги окружности
x + y 2 = R 2 , расположенной в первой координатной четверти.
Решение:
2
Очевидно, длина указанной дуги окружности равна l =
πR
2
, ее масса
равна m = ρ l ( ρ = Const ). Найдем статический момент этой кривой отно-
34
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
сительно оси Ох. Поскольку уравнение дуги есть
y′ =
−x
R −x
2
2
y = R2 − x2
и
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Тогда масса всей пластинки равна
b
m = ρ ∫ f ( x)dx .
, то
(35)
a
2
⎛
−x ⎞
Sx = ρ ∫ R2 − x2 ⋅ 1 + ⎜
⎟ dx =
2
2
⎝ R −x ⎠
0
R
R
R
R
2
2
= ρ∫ R − x ⋅
dx = ρ R ∫ dx =ρ R x 0 = ρ R 2
2
2
R −x
0
0
2
S
ρR
2R
Тогда yc = x =
=
.
m ρ ⋅πR π
2
R
Статические моменты материальной плоской фигуры относительно
осей Ох и Оу соответственно равны
b
координатного угла, xc = yc =
2R
π
b
1
ρ ∫ y 2 dx ,
2 a
Sx =
Координаты центра тяжести
( ρ = Const ) находятся по формулам
S y = ρ ∫ xydx .
xc =
Sy
m
=
∫ xydx
a
b
материальной
плоской
4.4. Статические моменты и координаты
центра тяжести плоской фигуры
yc =
,
∫ ydx
Sx
=
m
y = f (x)
1 2
y dx
2 ∫a
b
∫ ydx
a
π R2
2
.
Находим S x :
R
1
Sx = ρ ∫
2 −R
х
a
b
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная
кривой y = f ( x) ≥ 0 и прямыми y = 0 , x = a , x = b .
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна
( ρ = Const ).
35
(37)
Пример 24. Найти координаты центра тяжести полукруга
2
x + y 2 ≤ R 2 , y ≥ 0 ( ρ = Const ).
Решение:
Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Оу), что
xc = 0 . Площадь полукруга равна
у
фигуры
b
a
.
(36)
a
b
Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого
0
Кафедра высшей математики
Тогда
(
yc =
R −x
2
2
)
2
R
1 ⎛
x3 ⎞
2
dx = ρ ⎜ R 2 x − ⎟ = ρ ⋅ R 3 .
2 ⎝
3 ⎠ −R
3
Sx
2 ρ R3
4 R
=
= ⋅ .
2
πR
ρS
3 π
3ρ
2
⎛
⎝
Таким образом, центр тяжести имеет координаты ⎜ 0;
36
4R ⎞
⎟.
3π ⎠
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Ответы: а) 2π a ;
2
б)
5 2
πa ;
2
Кафедра высшей математики
в) 3π a ;
2
г)
3 2
πa .
2
7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = ( x + 4 ) , x = 0 .
3
2
Ответы: а) 32π ;
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант №1
a 3
1. Вычислить определенный интеграл
∫
a
Ответы: а)
π
a
;
б)
3π
;
2a
в)
π
12a
;
π
12
в)
x=
.
б) ln 2 ;
Ответы: а) ln 3 ;
∫ ln( x + 1)dx .
9.
0
Ответы: а) 2 ln 2 − 1 ;
в) 1 − 2 ln 2 ;
б) 2 ln 2 ;
π
0
б)
ln 2
;
2
в)
1
;
2
г)
Ответы: а)
1 − ln 2
.
2
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , y = 2 − x .
2
Ответы: а)
5
;
2
б)
2
;
3
в)
3
;
2
г)
2
8
.
3
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧ x = a(t − sin t )
, y = 0 , 0 ≤ t ≤ 2π .
⎨
⎩ y = a(1 − cos t )
Ответы: а) 3π a ;
2
б)
π
от t1 = 0 до t2 =
3
∫ tg xdx .
Ответы: а) 1 ;
Вычислить
г) 1.
4
3. Вычислить
π a2 ;
в)
π a2 ;
8
1
;
2
в)
;
π
2
a2 .
длину
дуги
π a
8
;
в)
Ответы: а) 3π a ;
б)
πa
2
;
π a2
32
в) π a ;
;
3
г)
ϕ
3
aπ 2
.
32
.
г)
3π a
.
2
Вариант №2
∫x
1
Ответы: а) ln
1
;
3
dx
.
+x
2
б) ln
3
;
2
3
до
⎧ x = a(cos t + t sin t )
⎨
⎩ y = a (sin t − t cos t )
линии
.
б)
π
г) 1 .
10. Вычислить длину дуги линии r = a sin
1. Вычислить
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1 − cos ϕ ) .
37
π 2a
4
3
г)
г) 4π .
2π
.
3
1
2. Вычислить
15
π;
2
8. Вычислить длину дуги линии y = ln sin x от точки с абсциссой x =
dx
.
2
a + x2
г)
б) 64π ;
в) ln 3 ;
38
г) ln 2 .
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
2. Вычислить
Кафедра высшей математики
9. Вычислить длину дуги линии ⎨
x cos xdx .
0
Ответы: а)
π
2
−1 ;
4
3. Вычислить
∫
1
б)
1
(1 + x )
Ответы: а) −3 ;
2
π
2
Ответы: а)
г) −1 .
в) 1 ;
;
3 1
г) 2 ln − .
2 3
в) 1 ;
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
⎧ x = a(2 cos t − cos 2t )
.
⎨
⎩ y = a(2sin t − sin 2t )
2
2
б) 2π a ;
Ответы: а) π a ;
б) 32π ;
(
)
3 + ln 1 + 3 ;
)
e2
в)
π
32
;
г)
π2
32
2
2
в) 8π ;
г)
π
2
.
б)
г) ln 2 .
39
(
⎛
2⎞
2⎞
⎟⎟ ; б) ⎜⎜1 −
⎟⎟ ;
2 ⎠
2
⎝
⎠
в) 2 − 2 ;
π
2
.
.
г) 3 + 2 .
dx
∫ x ln x .
1. Вычислить
e
Ответы: а) 2 ;
б) ln 2 ;
ln 5
∫ xe
2. Вычислить
−x
г) 1 .
в) ln 3 ;
dx .
0
б)
π
3. Вычислить
4 − ln 5
;
5
в)
4
;
5
г)
1
ln 5 .
5
dx
∫ 3 + 2 cos x .
0
Ответы: а)
π;
б)
5;
в)
π
5
;
г)
π.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , y = 1 +
2
8. Вычислить длину дуги линии y = 2 x от точки с абсциссой x = 0 до
в) 1 + ln 1 + 2 ;
16
;
Вариант №3
Ответы: а) 0 ;
в) 4π a ;
г) 6π a .
7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ог2
раниченной линиями y = 4 x , x = 4 .
(
16
π2
б)
⎛
⎜
⎝
2
x 5
, y=− − .
2 2
x
1
16 ln 2
15 − 16 ln 2
15
б)
;
в)
;
г)
.
Ответы: а) ln 2 ;
4
3
4
4
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r = 3sin ϕ ,
r = 5sin ϕ .
Ответы: а) 4π ; б) 2π ; в) 16π ; г) 8π .
Ответы: а)
;
Ответы: а) 12 ⎜1 −
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y =
x =1.
π
10. Вычислить длину дуги линии r = 3(1 − sin ϕ ) , 0 ≤ ϕ ≤
dx .
б) 2 ln1,5 ;
Ответы: а) 16π ;
Кафедра высшей математики
⎧ x = cos t + t sin t
π
, 0≤t ≤ .
4
⎩ y = sin t − t cos t
2
∫
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
)
2 + ln 1 + 2 ;
Ответы: а)
5.
8
;
3
Вычислить
б)
1
;
3
площадь
в)
фигуры,
5
;
3
г)
4
.
3
ограниченной
r = 2 cos ϕ .
40
линиями
3 2
x .
4
r = cos ϕ ,
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Ответы: а) 2π ;
б) π ;
Кафедра высшей математики
1
π;
4
в)
г)
3
π.
4
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x2 y 2
раниченной эллипсом 2 + 2 = 1 .
a
b
4 2
4
4 3 3
3
2
б) π ab ;
в) π a b ;
г) π ab .
Ответы: а) π a b ;
3
3
3
4
x
8. Вычислить длину дуги линии y = e − 2 , содержащейся между точками
ln 24 ≤ x ≤ ln 35 .
1 10
1 9
4
15
; б) 1 + ln
; в) 2 − ln ; г) 1 + ln
.
Ответы: а) 1 + ln
2 9
2 10
5
14
⎧ x = 3(cos t + t sin t )
π
, 0≤t ≤ .
9. Вычислить длину дуги линии ⎨
3
⎩ y = 3(sin t − t cos t )
3
;
б)
π
3
;
в)
π2
6
;
г)
10. Вычислить длину дуги линии r = 8sin ϕ .
Ответы: а) 8π ;
б) 16π ;
в) 4π ;
π
6
.
г) 4 .
4
Ответы: а)
1+ x
dx .
x2
1
∫
3
;
2
б)
3
;
2
в)
г) 2.
Ответы: а)
π
4
π
б) arctge −
;
4
в) arctge ; г) 1 .
;
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 − 2 x − x ,
2
y = 0.
Ответы: а)
5.
5
;
3
Вычислить
б)
4
;
3
площадь
в)
фигуры,
32
;
3
ограниченной
в)
3
;
4
∫ ln(1 + x )dx .
г)
7
.
4
Ответы: а)
21
π;
4
б)
63
π;
4
в)
r = sin ϕ ,
г) 10π .
π;
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧ x = 2t − t 2
1
, 0≤t ≤
⎨
2
2
⎩ y = 2t − t
1
1
Ответы: а) ;
б) ;
4
8
1
;
16
в)
г) 1 .
7. Вычислить длину дуги линии y = 1 − ln cos x , 0 ≤ x ≤
3π
б) ln
;
8
3π
в) ln tg
;
4
⎛
π
⎞
Ответы: а) 10 ⎜ e 6 − 1⎟ ;
⎝
⎠
⎛
π
⎞
б) 5 ⎜ e 6 − 1⎟ ;
⎝
⎠
0
41
линиями
r = 8sin ϕ
42
π
4
г) ln tg
ϕ
5
;
2
13
.
3
г)
8. Вычислить длину дуги линии r = 5 2e , 0 ≤ ϕ ≤
1
2. Вычислить
б) 1 ;
3π
;
Ответы: а) ln
4
Вариант №4
1. Вычислить
1
;
2
e x dx
3. Вычислить ∫
.
1 + e2 x
0
Ответы: а) 280;
б) 125;
в) 270;
г) 135.
7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ог-
π2
Ответы: а)
Кафедра высшей математики
1
⎧ x = 5(t 2 + 1)
, y = 0, 0 ≤ t ≤ 3.
⎨
2
⎩ y = 2(t − 3t )
Ответы: а)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
6
3π
.
8
.
π
в) e 6 − 1 ;
г) 10 .
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
⎧ x = 7(cos t + t sin t )
,
⎩ y = 7(sin t − t cos t )
0≤t ≤
9. Вычислить длину дуги линии ⎨
Ответы: а)
7π 2
;
8
б)
7π 2
;
4
в)
3π 2
;
4
г)
π
2
.
3π 2
.
8
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
x
ограниченной линиями y = xe , y = 0 , x = 1 .
Ответы: а)
π e2 − 1 ; б)
π ( e − 2)
2
2
π (e − 1)
2
;
в)
4
π (e + 1)
2
;
г)
4
.
3
∫
0
Ответы: а) 1;
4 − x2
dx .
б) 2;
π
2. Вычислить
x
г)
1
.
2
2
;
9
в) −1 ;
dx
∫0 1 + 2 x + 1 .
Ответы: а) 2 − ln 2 ;
б) ln 2 ;
7. Вычислить длину дуги линии y = 4 x , отсеченной прямой x = 1 .
в) 2;
г) 1 + ln 2 .
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = x2 + 2 ,
2
7
г) .
3
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
(
)
в) 2π ;
43
в) 1 − ln 2 2 ;
г)
2 2 + 2 ln 1 + 2 .
35
π;
3
б) 6 2 ;
в)
0≤t ≤π .
2;
π
2
г)
≤ϕ ≤
3 2
.
2
π
2
.
г) 3π .
б)
4
π;
3
в)
32
π;
3
г)
10
π.
3
Вариант №6
4
1. Вычислить
∫x
3
Ответы: а) ln
r = 2sin ϕ ,
2
;
3
π
2. Вычислить
б) 10π ;
б) 2 2 + ln 2 ;
Ответы: а) 3 + 2 ln 2 ;
Ответы: а)
3. Вычислить
5
в) ;
3
г) 4π .
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры,
2
2
ограниченной линией x + y = 4 .
г) 1.
4
y = 1− x x = 0 , x = 1 .
2
1
Ответы: а) ;
б) ;
3
3
в) 8π ;
2
π
π
4 ( eπ − 1)
− ⎞
⎛ π2 ⎞
⎛ π2
2
; г) 10e 2 .
Ответы: а) 4 ⎜ e − 1⎟ ; б) 8 ⎜ e − e ⎟ ; в)
π
2
⎝
⎠
⎝
⎠
e
0
r = 4sin ϕ .
Ответы: а) 12π ;
б) 16π ;
ϕ
∫ x cos 3xdx .
б) −
⎧ x = 4 cos t
.
⎨
⎩ y = 4sin t
Ответы: а) 2π ;
9. Вычислить длину дуги линии r = 8e , −
3
Ответы: а) 0;
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
Ответы: а) 3 2 ;
в) 3;
Кафедра высшей математики
⎧⎪ x = 2 2 cos3 t
,
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
3
⎪⎩ y = 2 2 sin t
Вариант №5
1. Вычислить
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
2
dx
.
− 3x + 2
б) ln
3
;
4
в) ln
∫ x sin xdx .
0
44
1
;
2
г) ln
4
.
3
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Ответы: а) π ;
5
3. Вычислить
∫
1
в) −π ;
г) 0.
xdx
.
4x + 5
б)
1
;
6
в)
17
;
6
г)
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧ x = 7(t 2 + 1)
,
⎨
2
⎩ y = 3(t − 3t )
257
Ответы: а)
;
6
y = 0,
0 ≤ t ≤ 3.
765
567
;
г)
.
3
2
x
7. Вычислить длину дуги линии y = e + 2 , содержащейся между точками
б)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
137
;
3
в)
ln 24 ≤ x ≤ ln 35 .
1 10
1 9
4
15
; б) 1 + ln
; в) 2 − ln ; г) 1 + ln
.
Ответы: а) 1 + ln
2 9
2 10
5
14
⎧ x = et (cos t + sin t )
, 0 ≤ t ≤1.
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
t
⎩ y = e (cos t − sin t )
Ответы: а) 2(e − 1) ;
б) 2e ;
в) 2e − 3 ;
г) 2e + 2 .
9. Вычислить длину дуги линии r = 10sin ϕ .
б) 10π ;
в) 15π ;
г) 20π .
Ответы: а) 5π ;
б) 23, 4π ;
в) 20,5π ;
г) 16, 4π .
Вариант №7
e
sin(ln x)
dx .
x
1
б) 1;
Ответы: а) 1 − sin 1 ;
1. Вычислить
∫
в) 0;
г) 1 − cos 1 .
2
2. Вычислить
∫ x cos xdx .
0
Ответы: а) sin 2 − 2 cos 2 ;
г) sin 2 + cos 2 .
29
∫
3
б) 1 − 2 cos 2 ;
3
в) 1 + 2 cos 2 ;
( x − 2) 2
dx .
( x − 2) 2 + 3
9
5
Ответы: а) 8 −
π;
б) 1;
в) 6 +
π;
23
2 3
3. Вычислить
3
г) 2 −
4
π.
3 3
1
x2
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y =
,
y
=
.
1 + x2
2
π
π 1
π
б) ;
в)
− ;
г)
+2.
Ответы: а) π − 1 ;
2
2 3
2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r = 4 cos ϕ ,
r = 6 cos ϕ .
б) 2π ;
в) 4π ;
г) 6π .
Ответы: а) 5π ;
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧ x = 6(t 2 + 1)
,
⎨
2
⎩ y = 4(t − 3t )
y = 0 , t ∈ [ 0;3] .
Ответы: а) 320;
б) 324;
в) 128;
г) 256.
2
7. Вычислить длину дуги линии y = 1 − ln( x − 1) , содержащейся между точками 9 ≤ x ≤ 16 .
45
Кафедра высшей математики
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры,
3
ограниченной линиями y = x , x = 0 , y = 8 .
Ответы: а) 19, 2π ;
5
.
6
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , y = 2 − x
y = 0.
1
7
5
11
Ответы: а) ;
б) ;
в) ;
г)
.
6
6
6
6
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r = 5cos ϕ ,
r = 6 cos ϕ .
11
5
Ответы: а) 8π ;
б)
π;
в) π ;
г) 5π .
4
4
Ответы: а) −
1
;
6
б) 2π ;
Кафедра высшей математики
46
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
68
75
75
; в) 5 + ln
; г) 7 + ln
.
75
68
68
⎧ x = t2
3
⎪
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
t3 , 0 ≤ t ≤ 2 .
⎪y = t −
3
⎩
3
5
16
21
Ответы: а) ;
б) ;
в)
;
г)
.
2
8
8
8
9. Вычислить длину дуги линии r = 4 cos ϕ .
б) 8π ;
в) 6π ;
г) 2π .
Ответы: а) 4π ;
Ответы: а) 7 + ln
12
;
17
Кафедра высшей математики
б) 5 + ln
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
2
ограниченной линиями y = − x + 5 x − 6 , y = 0 .
Ответы: а)
π
;
30
π
б)
;
5
π
в)
;
6
г)
2π
.
15
Вариант №8
−3
1. Вычислить
∫
0
Ответы: а)
5
;
3
dx
.
25 + 3x
1
2. Вычислить
в) −
б) 1;
∫ ( x − 1)e
−x
2
;
3
г) −
5
.
3
dx .
0
−1
Ответы: а) −e ;
π
3. Вычислить
4
б)
1
;
e
dx
∫ 1 + sin
0
Ответы: а) arctg 2 ;
2
x
в)
2
;
e
г) −
2
.
e
.
б)
π
4
;
в) π ;
г)
arctg 2
.
2
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = −x .
7
;
2
9
;
2
б)
в)
45
;
2
y = 2x − x2 ,
3
.
2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = 5(1 − cos ϕ ) .
75
5π
π
57π
Ответы: а)
π;
б)
;
в) ;
г)
.
2
2
2
2
Ответы: а)
г)
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧ x = 3cos t
, y ≥ 0.
⎨
⎩ y = 8sin t
б) 48π ;
Ответы: а) 72π ;
в) 24π ;
г) 12π .
2
x ln x
−
, 1≤ x ≤ 4.
4
2
7
15
15
15
Ответы: а) − ln 2 ; б)
+ 2 ln 2 ; в)
+ ln 2 ; г)
+ ln 4 .
4
2
4
4
⎧ x = 6 cos3 t
π
,
.
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
0
≤
t
≤
3
4
y
6sin
t
=
⎩
7. Вычислить длину дуги линии y =
Ответы: а) 36;
б) 9;
в) 6;
г) 4.
9. Вычислить длину дуги линии r = 3e
15 ⎛ π6 ⎞
Ответы: а)
⎜ e − 1⎟ ;
4⎝
⎠
π
⎞
15 ⎛
г) ⎜ e 8 − 1⎟ .
4⎝
⎠
3ϕ
4
, 0≤ϕ ≤
7 ⎛ π8 ⎞
б) ⎜ e − 1⎟ ;
2⎝
⎠
π
.
2
7 π
в) ( e − 1) ;
2
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
2
ограниченной линиями y = −4 x − x , y = 0 .
Ответы: а) 512π ;
б) 486π ;
в) 375π ;
Вариант №9
47
Кафедра высшей математики
48
г) 256π .
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
Кафедра высшей математики
4
⎧ x = 10(cos t + t sin t )
, 0≤t ≤π .
⎩ y = 10(sin t − t cos t )
π
3π
2
б) 10π ;
в) ;
г)
.
2
2
0
Ответы: а)
π
4
;
2
2. Вычислить
π
1
+ ;
4 8
б)
π
в)
8
+
1
;
4
π
г)
8
Ответы: а) 5π ;
2
.
9. Вычислить длину дуги линии r = 5e
x
−
2
∫ xe dx .
0
−1
−1
Ответы: а) 4 − 8e ;
−1
б) 2 − 4e ;
Ответы: а)
−1
в) −4e ;
г) −8e .
(
Ответы: а)
dx
∫0 (1 + x) x .
π;
б) 0;
в) 1;
г)
π
2
.
2
8
;
3
б)
16
;
3
в)
3
;
2
г)
48
e ;
5
)
11
.
2
Ответы: а)
π
4
6
;
б)
3
;
Ответы: а)
в) 6π ;
в)
π
6
;
г) 3π .
г)
2
б)
π
;
6
2
∫ sin x cos
π
4
3
+ ln 2 ;
7
в) ln 3 −
49
1
;
4
1
;
3
в)
)
(
65 5π 12
e
− 1 ; г)
12
в)
π
12
;
г)
π
.
2
2
xdx .
в)
3
;
2
г) 3.
∫ ln( x + 1)dx .
0
.
Ответы: а) 2 ln 2 ;
3
.
4
г) ln 7 −
2
;
3
б)
1
2. Вычислить
2 sin 3ϕ .
7. Вычислить длину дуги линии y = ln(1 − x ) , 0 ≤ x ≤
Ответы: а) 1 + 3ln 2 ;
35 5π
( e − 1) ;
12
0
б) 3 2π ;
π
б)
1. Вычислить
6. Вычислить площадь одного лепестка розы r =
2π
Ответы: а)
;
3
;
π
⎧⎪ x = 2 cos t
, y = 0 ( y ≥ 0 ).
⎨
3
2
sin
y
t
=
⎪⎩
Ответы: а)
, 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
Вариант №10
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
π
б)
12
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
2
ограниченной линиями y = x , y = x .
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2( x − 1) , x = 3 .
Ответы: а)
5π
12
5ϕ
75 5π 12
e
−1 .
12
1
3. Вычислить
Кафедра высшей математики
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
2
∫ cos xdx .
1. Вычислить
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
б) 2 ;
в) 2 ln 2 − 1 ;
г)
1
ln 2 + 1 .
2
3
3. Вычислить
3
.
4
∫x
1 + xdx .
0
Ответы: а)
131
;
15
б)
416
;
15
в)
50
116
;
15
г)
2
.
3
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x , y = cos x ,
x = 0 ( x ≥ 0 ).
Ответы: а) 2 ;
б) 2 − 1 ;
в) 2 3 ;
г) 2 − 2 .
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = 4 cos 4ϕ ,
−
π
8
≤x≤
π
Ответы: а)
8
1. Вычислить
Кафедра высшей математики
cos xdx
∫ 2 + sin x .
0
б) 1 ;
Ответы: а) 0 ;
в) ln 2 ;
г) 2 ln 2 .
e
∫ x ln xdx .
1
π;
б)
π
8
;
в)
⎧ x = 4 cos t
, x = 0 ( x ≥ 0 ).
⎨
⎩ y = 2sin t
б) 8π ;
Ответы: а) π ;
π
4
в) 2π ;
б) 4;
в) 3;
9. Вычислить длину дуги линии r =
3π
;
Ответы: а)
2
б) 3 2π ;
г) 6.
ϕ
3
π2
4
;
б)
3π
;
4
π
4
в) 1 −
4
;
площадь
фигуры,
б) 6 − ln 2 ;
в) 2 + ln 2 ;
г) 2π − π .
2
линиями
г) ln 2 .
ϕ
Ответы: а)
e 2π − 1
2π
2π
π
; б) 2e ; в) e − 1 ; г) e + 1 .
2
58
;
3
54
37
;
г)
.
5
4
e x + e− x
, 0 ≤ x ≤ 2.
7. Вычислить длину дуги линии y =
2
Ответы: а) cth 2 ; б) th 2 ; в) ch 2 ; г) sh 2 .
⎧ x = cos t + sin t
π
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
, 0≤t ≤ .
2
⎩ y = cost-sint
б)
27
;
2
в)
Вариант №11
51
ограниченной
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r = 2e , 0 ≤ ϕ ≤ π .
Ответы: а)
.
π2
Вычислить
xy = 4, x = y, x = 4 .
Ответы: а) 6 − 4 ln 2 ;
0 ≤ t ≤ 3.
3π
г)
.
2
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной линиями y = tgx , y = 0 , x =
4.
∫ 1+
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, 0 ≤ ϕ ≤ 3π .
в) 3π ;
dx
.
3x − 2
1
2
1 2
2⎛ 2 ⎞
2
Ответы: а) ln − 3 ; б) ln ; в) ⎜ ln + 3 ⎟ ; г) ln 5 .
5
3 5
3⎝ 5
3
⎠
3. Вычислить
г) 4π .
2 sin 3
e2 + 1
г)
.
4
1
в) ;
4
6
1 4x
e , ln 8 15 ≤ x ≤ ln 8 35 .
4
1 1 25
1 1 3
1 1 25
1 21
; б) + ln ; в) + ln
; г) ln
.
Ответы: а) + ln
2 8 21
8 2 7
4 2 21
8 26
⎧ x = t − sin t
, 0≤t ≤π .
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
⎩ y = 1 − cos t
Ответы: а) 2;
б) ln 2 ;
Ответы: а) 0 ;
г) 2π .
;
7. Вычислить длину дуги линии y = 4 +
π−
π
2. Вычислить
.
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Ответы: а)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
52
⎧ x = t2 +1
,
⎨
2
⎩ y = t − 3t
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
2
π;
2
2π ;
б)
в)
Ответы: а)
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг Ох фигуры, огра2
ниченной линиями y = 3 x − x , y = 0 .
Ответы: а)
71
π;
10
б)
81
π;
10
в)
81
π;
5
г)
771
π.
10
1. Вычислить
∫x
1
1
2. Вычислить
∫ xe
б) 0 ;
−x
в) 1 ;
2
б) 1− ;
e
2
в) ;
e
Ответы: а)
2
г) 1 + .
e
площадь
в) 3ln 2 ;
г) ln 2 .
фигуры,
ограниченной
3
, x=9.
x
Ответы: а) 10 ln 3 ; б) 3 − ln 2 ; в) 52 − 6 ln 3 ;
5
;
53
π
6
−2
в) 2 ⎜ e − ⎟ ;
;
б) 64;
15π
;
2
б)
в) 8;
5π
;
2
.
e x + e− x
, заключенной между прямыми
2
г)
e2 − 1
.
e
0 ≤ t ≤ 2π .
г) 4.
3ϕ
3
, 0 ≤ ϕ ≤ 3π .
3π
;
2
в)
г)
б)
216π
;
3
в)
109π
;
3
π
2
.
в) π ;
г)
г) 54π .
Вариант №13
π
г) 42 + 6 ln 3 .
⎧ x = 6(t + 1)
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ⎨
,
2
y
=
4
(t
3
t)
⎩
y = 0 , t ∈ [ 0; 3] .
в) 100 ;
г)
линиями
2
б) 324 ;
б) e
Ответы: а) 36π ;
y = 3 x, y =
Ответы: а) 342 ;
π
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
2
2
ограниченной линиями x − y = 9 , x = 6 .
∫
Вычислить
2
в)
9. Вычислить длину дуги линии r = 5sin
dx .
x
dx .
x
−
1
4
б) 5 − 2 ln 2 ;
Ответы: а) 7 + 2 ln 2 ;
4.
1
;
e
Ответы: а) 56;
г) 2 .
9
3. Вычислить
;
⎛ 1⎞
e⎠
⎝
⎧⎪ x = 8 ( t − sin t )
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
,
⎪⎩ y = 8 (1 − cos t )
0
Ответы: а) e − 1 ;
π
б)
7. Вычислить длину дуги линии y =
Ответы: а)
dx
1 + ln x .
Ответы: а) −1 ;
1
π;
3
x = ±1 .
Вариант №12
e3
Кафедра высшей математики
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним лепестком линии
r = 2sin 5ϕ .
2
π
π;
г) .
3
4
9. Вычислить длину дуги всей линии r = 3cos ϕ .
б) π ;
в) 4π ;
г) 3π .
Ответы: а) 2π ;
Ответы: а)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
1. Вычислить
4
∫ sin
2
2 xdx .
0
Ответы: а)
π
8
;
б)
π
2
;
г) 200 .
54
π
4
.
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
1
2. Вычислить
∫ xe
2x
Ответы: а) 3 ;
dx .
2e 2 − 1
;
4
б)
2
3. Вычислить
∫
0
Ответы: а) π ;
e2 + 1
;
2
dx
( x + 1)
x +1 +
б)
π
6
;
в)
e2 + 1
;
4
г)
e2 − 1
.
4
.
3
π
в)
3
;
г)
π +1.
б)
56
;
3
в)
128
;
3
г)
⎧ x = 2(t 2 − 1)
, y = 0 , t ∈ [ 0; 4] .
⎨
2
⎩ y = 4(4t − t )
1024
1025
Ответы: а)
;
б)
;
3
3
256
.
3
г) 54π .
1. Вычислить
dx
∫ (11 + 5 x )
.
3
Ответы: а)
7
;
72
5
;
34
б)
7
;
36
в)
г)
3
.
34
∫ x ⋅ arctgxdx .
0
в)
1031
;
3
г)
1034
.
3
3
32
б)
;
27
Ответы: а)
r = 5cos ϕ ,
π
2
+1;
1
3. Вычислить
∫
−1
11π
г)
.
3
7. Вычислить длину дуги линии y = x , отсеченной прямой x =
56
;
Ответы: а)
27
109π
;
3
в)
1
11π
в)
;
2
2
−1
2. Вычислить
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
б) 11π ;
64π
;
3
б)
−2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
r = 6 cos ϕ .
11π
Ответы: а)
;
4
г) 5.
Вариант №14
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 x , x = 8 .
27
;
3
в) 2 3 ;
Ответы: а) 40;
б) 10;
в) 15;
г)5.
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
2
2
ограниченной линиями x − y = 4 , y = ±2 .
Ответы: а) 36π ;
2
Ответы: а)
б) 4 3 ;
Кафедра высшей математики
9. Вычислить длину дуги линии r = 10 (1 + cos ϕ ) , 0 ≤ ϕ ≤ π .
0
Ответы: а)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Ответы: а)
4
.
3
112
110
в)
;
г)
.
27
27
⎧
x = t2
⎪
, между точками пересечения
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
t 2
y
=
t
−
3
(
)
⎪
3
⎩
13
;
5
б)
π
4
;
в)
4
−
1
;
2
3.
г)
xdx
.
5 − 4x
б)
16
;
3
в)
1
;
5
г)
1
.
6
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 x + 4 , x = 0 .
2
8
.
3
5. Вычислить площадь фигуры, одного лепестка розы r = 4sin 5ϕ .
20π
4π
2π
2π
Ответы: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7
5
5
7
Ответы: а)
14
;
3
б)
16
;
3
в)
с осью Ох.
55
π
56
17
;
3
г)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
⎧ x = 5(t 2 + 1)
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ⎨
⎩ y = 3(t - 3t)
y = 0 , t ∈ [ 0; 3] .
353
Ответы: а)
;
2
2
ln 2
,
395
405
в)
;
г)
.
2
2
4
3
2
7. Вычислить длину дуги линии y = ( 2 − x ) , отсеченной прямой
9
x = −1 .
5
10
28
14
Ответы: а) ;
б)
;
в)
;
г)
.
3
3
3
3
⎧ x = ( t 2 − 2 ) sin t + 2t cos t
⎪
, 0≤t ≤π .
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
2
⎪⎩ y = ( 2 − t ) cos t + 2t sin t
Ответы: а)
π3
2
425
б)
;
2
;
б)
π2
2
;
в)
9. Вычислить длину дуги линии r = 4e
(
π
Ответы: а) 5 e
3
)
(
−1 ;
π
б) 3 e
3
4ϕ
)
−1 ;
π
3
3
;
г)
, 0 ≤ϕ ≤
(
π
в) 4 e
π
4
4
π3
3
.
.
)
π
− 1 ; г) 4e 4 .
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной линиями y = ( x + 4 ) , x = 0 .
3
2
Ответы: а) 36,5;
б) 58,5;
в) 56,5;
г) 52,5.
Вариант №15
⎛
1
∫1 ⎜⎝ 5 x x + 3 3 x 2
2
1. Вычислить
Ответы: а) 4 2 + 3 2 ;
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
2. Вычислить
б) 4 − 2 ;
г) 8 2 + 3 2 − 3 .
57
в)
1 3
+ 2;
2
−x
dx .
0
1
Ответы: а) (1 + ln 2 ) ;
4
1
г) ( 2 + ln 2 ) .
5
π
3. Вычислить
2
б)
1
(1 − ln 2 ) ;
2
в) 2 ln 2 ;
dx
∫ 3 + 2 cos x .
0
2
1
arctg
Ответы: а)
;
5
5
1
1
; г) 0.
arctg 5 ; в) arctg
5
5
2
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 2 x ,
y = x+2.
7
5
9
Ответы: а) ;
б) ;
в) ;
г) 3.
2
2
2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями r = 3cos ϕ ,
r = 6 cos ϕ .
25
27π
27
25π
Ответы: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4
4
4
4
⎧ x = 4(t 2 − 1)
,
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ⎨
2
⎩ y = 5(4t − t )
б)
y = 0 , t ∈ [ 0; 4] .
2081
.
2
π
2π
до x2 =
.
7. Вычислить длину дуги линии y = ln(sin x) от x1 =
3
3
б) 3ln 2 ;
в) ln 2 ;
г) ln 3 .
Ответы: а) 2 ln 3 ;
ϕ
8. Вычислить длину дуги линии r = 8e , 0 ≤ ϕ ≤ π .
Ответы: а)
⎞
⎟ dx .
⎠
∫ xe
Кафедра высшей математики
1874
;
3
б)
2560
;
3
в)
58
1154
;
4
г)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
π
Ответы: а) 2(e − 1) ;
б) 4(e − 1) ;
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
⎧ x = 2(t 2 + 1)
, y = 0, 0 ≤ t ≤ 3.
⎨
2
⎩ y = 3(t − 3t )
π
в) 6(e − 1) ;
г) 8(e − 1) .
⎧⎪ x = 4 ( cos t + t sin t )
,
⎪⎩ y = 4 ( sin t − t cos t )
0≤t ≤π .
9. Вычислить длину дуги линии ⎨
Ответы: а) 2π ;
б) 3π ;
в) 4π ; г) 5π .
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды y = sin x и осью Ох.
2
Ответы: а)
π
2
3
;
2
б)
π
2
;
2
π
в)
2
2
2
;
г)
π
3
5π
;
2
xdx .
б)
∫
3π
;
2
в) 2π ;
г) π .
Ответы: а)
б) 48;
π
2
;
б)
в) 64;
3π
;
2
x2 y 2
+
= 1.
a 2 b2
4
2
Ответы: а) π ab ;
3
0
б) ln 2 ;
в) 1;
г) 0.
3
3. Вычислить
4
2
∫ x 9 − x dx .
г) ln
1
;
6
б)
13
;
6
в)
28
;
3
г)
32
.
3
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
r = 5sin ϕ
1
Ответы: а) π ;
4
π
3
.
6
.
3
3
ϕ
3
г) 32
, 0 ≤ ϕ ≤ 3π .
г) 2π .
в) π ;
б)
4 2
πa b;
3
в) 4π ab ;
2
г) 4π a b .
0
Ответы: а) 9;
б) 6;
в) 3;
г) 1 .
2
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 − x , x = −3 .
Ответы: а)
до x2 =
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу эллипса
ln( x + 1)dx .
Ответы: а) e ;
в) ln 3 ;
б) ln 3 ;
9. Вычислить длину дуги линии r = sin
e −1
2. Вычислить
3
;
3
Ответы: а) ln
π
⎧ x = 4(2 cos t − cos 2t )
, t ∈ [ 0; 2π ] .
⎩ y = 4(2sin t − sin 2t )
−
Ответы: а)
г) 63.
7. Вычислить длину дуги линии y = 4 + ln sin x от x1 =
Ответы: а) 100;
2
в) 81;
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
2π
∫π sin
б) 80;
.
Вариант №16
1. Вычислить
Ответы: а) 78;
Кафедра высшей математики
r = 4sin ϕ ,
Вариант №17
4
1. Вычислить
Ответы: а)
1+ x
dx .
x2
1
∫
1
;
4
б) 2;
2π
9
б) π ;
4
в) 9π ;
г)
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
59
π
2
2. Вычислить
.
∫x
0
Ответы: а) 2π ;
2
в)
11
;
4
г)
7
.
4
cos xdx .
б) 4π ;
в) −4π ;
60
г) 3π .
2
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
1
∫4 x − 1dx .
Ответы: а) 2 + 2 ln 2 ;
г) 3 + 2 ln 2 .
3. Вычислить
б) 1 − 2 ln 2 ;
в) 3 − 2 ln 2 ;
Ответы: а)
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , x = 3 .
2
4
3;
5
б)
9 3
;
5
36 3
;
5
в)
г)
18 3
.
5
в)
25
π;
4
г)
r = 5cos ϕ ,
75π
.
4
⎧ x = 3(t + 1)
, y = 0, 0 ≤ t ≤ 3.
⎨
2
⎩ y = 2(t − 3t )
2
б) 80;
г) 65.
б) 4π ;
3
ϕ
3
3π
в)
;
2
61
16 3
πa ;
5
г) 16π a .
3
, 0 ≤ ϕ ≤ 3π .
г) 6π .
в) 30
2
+ 20 ln 3 ;
15
e
∫ ln xdx .
Ответы: а) 2 − 2 ln 2 ;
1 3x
7. Вычислить длину дуги линии y = 2 − e от x = ln 6 3 до x = ln 6 8 .
3
3
1 1 3
1
3
1 1 3
б) + ln ;
в) + ln ; г) + ln .
Ответы: а) 1 + ln ;
2
6 3 2
3
2
3 6 2
3
⎧⎪ x = 2 cos t
π
, 0≤t ≤ .
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
3
4
⎪⎩ y = 2 sin t
3
2
3
3
Ответы: а)
б)
;
в) ;
г) .
2;
4
4
4
8
5π
;
Ответы: а)
2
x5
∫ x + 2dx .
−1
520
Ответы: а)
− 32 ln 3 ; б) 10 + 3ln 3 ;
15
1
г) 35 − 32 ln 3 .
15
2
9. Вычислить длину дуги линии r = 4sin
в)
Вариант №18
2. Вычислить
в) 78;
13 3
πa ;
5
1
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Ответы: а) 81;
б)
1. Вычислить
r = 10 cos ϕ .
б) 25π ;
8 3
πa ;
5
3
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Ответы: а) 75π ;
Кафедра высшей математики
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
2
ограниченной линиями y = 4ax , x = a .
9
Ответы: а)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
4
3. Вычислить
1
∫ 1+
0
x
б) e − 2 ln 2 ;
в) 3 + 2 ln 2 ;
г) 1 + 2 ln 2 .
dx .
Ответы: а) 2 + 3ln 3 ;
в) 4 − 2 ln 3 ;
б) 2 ln 3 ;
г) 1 − 2 ln 3 .
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 x − x , y = x .
2
Ответы: а)
3
;
2
б)
5
;
2
в)
7
;
2
г)
9
.
2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧ x = 8(t 2 − 1)
, y = 0, 0 ≤ t ≤ 4 .
⎨
2
y
7(4
t
t
)
=
−
⎩
5312
7168
Ответы: а)
;
б)
;
3
3
в)
2236
;
5
г)
1138
.
7
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
r = 8cos ϕ .
Ответы: а) 48π ;
б) 24π ;
в) 12π ;
62
г) 4π .
r = 4 cos ϕ ,
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
3
12
до x2 =
.
4
5
27
1
в)
+ ln 2 ; г) + ln 2 .
20
3
7. Вычислить длину дуги линии y = ln x от x1 =
Ответы: а) 1 − ln 3 ;
б) 2 + 3ln 2 ;
32eϕ , 0 ≤ ϕ ≤
8. Вычислить длину дуги линии r =
π
π
π
б) 32e 2 − 1 ;
Ответы: а) 8e 2 ;
π
2
.
⎛
π
⎞
г) 8 ⎜ e 2 − 1⎟ .
в) 16e 2 ;
⎝
⎠
π
⎪⎧ x = e ( cos t + sin t )
, 0≤t ≤ .
t
4
⎪⎩ y = e ( cos t − sin t )
t
9. Вычислить длину дуги линии ⎨
π
Ответы: а) e 4 − 2 ;
π
⎛ π
⎞
в) 2 ⎜ e 4 − 1⎟ ; г) e 4 − 1 .
⎝
⎠
⎞
1⎛ π
б) ⎜ e 4 − 1⎟ ;
2⎝
⎠
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
2
ограниченной линиями y = x + 1 , y = 0 , x = 1 , x = 2 .
169
π;
Ответы: а)
15
178
б)
π;
15
в)
π
15
2π
г)
.
3
;
Вариант №19
π
1. Вычислить
4
∫
0
Ответы: а) 1;
π
2. Вычислить
arctgx
dx .
1 + x2
1
б) ;
3
в)
1
;
2
г)
π
4
.
∫ x sin 2 xdx .
0
Ответы: а) −
π
2
;
б)
π
2
;
в) −1 ;
63
г) 1.
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
3. Вычислить
2
dx
∫ 1 + 4sin
2
0
Ответы: а)
π
2
;
б)
x
Кафедра высшей математики
.
3π
;
5
в)
π
5
;
г)
π
.
2 5
2
2
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , y = 2 − x .
5
8
7
Ответы: а) 2;
б) ;
в) ;
г) .
3
3
3
⎧ x = 5(t 2 − 1)
,
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ⎨
2
⎩ y = 6(4t − t )
y = 0 , t ∈ [ 0; 4] .
1133
.
3
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = a cos 3ϕ (рассмотОтветы: а) 1178;
б) 1280;
в)
255
;
4
г)
реть один лепесток).
a 2π
2
;
г) a π .
2
x
7. Вычислить длину дуги линии y = e + 8 , ln 8 ≤ x ≤ ln 24 .
1 4
1 4
4
1 4
Ответы: а) 2 + ln ; б) 1 + ln ; в) 2 + ln ;
г) ln .
2 3
2 3
3
2 3
ϕ
8. Вычислить длину дуги линии r = 18e , 0 ≤ ϕ ≤ π .
Ответы: а)
a 2π
;
3
π
Ответы: а) 18(e − 1) ;
б)
a 2π
;
12
π
в)
б) 6(e − 1) ;
π
в) 18(e + 1) ;
1
⎧
⎪⎪ x = cos t − 2 cos 2t
,
9. Вычислить длину дуги линии ⎨
⎪ y = sin t − 1 sin 2t
⎪⎩
2
15
.
Ответы: а) 1;
б) 2;
в) 4;
г)
2
64
π
г) 3(e + 1) .
0≤t ≤π .
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
2
ограниченной линиями y = 4 − x , y = 0 , x = 0 , x ≥ 0 .
Ответы: а) 2π ;
б) 4π ;
в) 6π ;
г) 8π .
Вариант №20
1
1. Вычислить
x2
∫
x6 + 4
0
Ответы: а) ln
dx .
1+ 5
1 1+ 5
1 1− 5
1
; б) ln
; в) ln
; г) ln(2 + 5) .
2
3
2
2
2
3
e
2. Вычислить
∫x
3
ln xdx .
1
4
3e + 1
;
Ответы: а)
16
π
3. Вычислить
2
∫
0
3e 4 + 2
б)
;
16
Ответы: а)
б) 3 − arctg
1
;
5
в)
2
1
arctg
;
5
5
г)
1
.
5
б)
4π
;
3
в)
3
π;
7
б)
4
π;
7
в)
1
π;
7
г)
7
π.
3
Вариант №21
π
2
∫ sin x cos 3xdx .
1. Вычислить
0
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 x , x = 3 y .
2
Ответы: а) 3;
8π
;
г) 4π .
3
x
7. Вычислить длину дуги линии y = 1 + e от x1 = ln 8 до x2 = ln 15 .
1 3
1 3
6
1 6
; б) 1 + ln
;
в) 1 + ln ;
г) 1 + ln .
Ответы: а) 1 − ln
2 10
2 10
5
2 5
3
⎧ x = cos t
π
, 0≤t ≤ .
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
3
2
⎩ y = sin t
3
3
Ответы: а) ;
б)6;
в)3;
г) .
2
4
9. Вычислить длину дуги линии r = 2(1 − cos ϕ ) .
Ответы: а)
2π
;
3
Кафедра высшей математики
Ответы: а) 2;
б) 4;
в) 8;
г) 16.
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
2
3
ограниченной линиями y = x , y = 0 , x = 1 .
3e 4 − 1
г)
.
8
dx
.
2 cos x + 3
Ответы: а) 2arctg 5 ;
arctg
3e 4 + 1
в)
;
8
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
б)
13
;
3
в)
10
;
3
г)
2
7
.
3
⎧ x = 3(t 2 − 1)
,
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ⎨
2
=
−
y
4t
t
⎩
y = 0 , t ∈ [ 0; 4] .
Ответы: а) 112;
б) 125;
в) 128;
г) 132.
6. Вычислить площадь одного лепестка розы r = 4sin 3ϕ .
65
Ответы: а)
1
1
; б) 1; в) 0; г) − .
2
2
1
2
2. Вычислить
∫ arcsin xdx .
0
Ответы: а)
π
12
;
8
3. Вычислить
∫
3
б)
π
− 3;
12
x +1 +1
dx .
x +1 −1
в)
π
12
66
+
3
− 1;
2
г)
π
12
−1 .
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Ответы: а) 4 − 9 ln 2 ;
4.
Вычислить
б) 9 − 4 ln 2 ;
Кафедра высшей математики
в) 2 + 3ln 2 ;
площадь фигуры, ограниченной
г) 8ln 2 .
линиями
343
.
6
⎧ x = 3cos t
.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией ⎨
⎩ y = 8sin t
б) 8π ;
в) 24π ;
г) 12π .
Ответы: а) 48π ;
6. Вычислить площадь одного лепестка розы r = 7 sin 2ϕ .
49π
7π
49π
7π
Ответы: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
8
8
2
49
б)
321
;
3
в)
243
;
6
г)
7. Вычислить длину дуги линии y = ln sin x + 1 ,
π
≤x≤
6
π
3
.
⎛ 3
⎛ 3
π ⎞
π ⎞
− tg ⎟⎟ ; б) ln ⎜⎜
ctg ⎟⎟ ;
12 ⎠
12 ⎠
⎝ 3
⎝ 3
⎛ 3 π ⎞
π ⎞
⎛ 3
в) ln ⎜
; г) ln ⎜
tg
ctg
⎟
⎟.
⎜ 3 12 ⎟
12
3
⎝
⎠
⎝
⎠
⎧ x = 5(t − sin t )
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
, 0≤t ≤π .
⎩ y = 5(1 − cos t )
Ответы: а) ln ⎜
⎜
Ответы: а) 10;
б) 20;
в) 30;
г) 40.
9. Вычислить длину дуги всей кривой r = a sin
3π a
б)
;
2
Ответы: а) 3π a ;
в) π a ;
3
ϕ
3
, 0 ≤ ϕ ≤ 3π .
3π a
г)
.
4
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной линиями y = x , y =
2
Ответы: а)
1
1. Вычислить
125
;
3
3
π;
5
б)
5
π;
3
x.
10
в)
π;
3
67
г)
3
π.
10
Кафедра высшей математики
Вариант №22
y = x2 − 4 ,
y = x+8.
Ответы: а)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
x
∫ 1+ x
4
dx .
0
Ответы: а) π ;
б)
π
2
;
в)
π
4
;
π
г)
8
.
π
6
∫ x cos 3xdx .
2. Вычислить
0
Ответы: а)
π +2
9
;
б)
π −1
18
;
π −2
в)
18
;
π −2
г)
9
.
13
x +1
dx .
3
2x +1
0
243
393
Ответы: а)
;
б)
;
10
10
3. Вычислить
4.
∫
Вычислить
площадь
в)
фигуры,
243
;
5
г)
ограниченной
393
.
5
линиями
xy = 2 ,
x + 2y −5 = 0.
15
15
15
Ответы: а)
− 4 ln 2 ; б)
− ln 2 ; в) 15 − 4 ln 2 ; г)
− 3ln 2 .
4
4
4
⎧ x = t2 +1
,
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией ⎨
2
⎩ y = t − 3t
t ∈ [ 0; 3] .
13
.
5
6. Вычислить площадь одного лепестка розы r = a sin 2ϕ .
Ответы: а)
Ответы: а)
27
;
2
π a2
2
б)
;
27
;
4
б)
в)
π a2
4
9
;
2
;
в)
68
г)
π a2
8
;
г)
π a2 .
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
1 5x
e − 6 от x1 = ln 10 3 до x2 = ln 10 8 .
5
1 1 2
1 3
1 1 2
Ответы: а)
+ ln ; б) ln ; в) + ln ;
10 5 3
5 2
5 10 3
1 1 3
г) +
ln .
5 10 2
⎧ x = t2
⎪
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
t3 , 0 ≤ t ≤ 1 .
=
−
y
t
⎪
3
⎩
5
7
8
4
Ответы: а) ;
б) ;
в) ;
г) .
3
3
3
3
9. Вычислить длину дуги линии r = 5cos ϕ .
3π
π
Ответы: а) 5π ;
б) 10π ;
в)
;
г) .
2
4
7. Вычислить длину дуги линии y =
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
2
ограниченной линиями y = ax − x , y = 0 ( a > 0 ).
Ответы: а)
π a4
8
;
б)
π a5
6
;
в)
π a5
30
;
г)
π a3
30
.
e
Ответы: а)
π
2
∫x
1
dx
1 − ln x
;
2
2
dx
∫ 2 − cos x .
0
3
π.
9
x
−x
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e , y = e ,
x =1.
2
1
(e − 1) 2
2
Ответы: а) − 1 ;
б) − 1 ;
в) (e − 1) ;
г)
.
e
e
e
⎧ x = 2(t 2 − 1)
,
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ⎨
2
y
3(4t
t
)
=
−
⎩
Ответы: а)
2
π;
9
3
π;
3
б)
2 3
π;
9
в)
г)
y = 0 , t ∈ [ 0; 4] .
Ответы: а) 132;
б) 225;
в) 187;
г) 256.
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли
r 2 = a 2 cos 2ϕ .
Ответы: а)
a2
;
2
б)
Ответы: а) 8ln 3 ;
.
2
б) a ;
2
2
в) 2a ;
г) 3a .
π
4
;
в)
π;
г) 0.
∫ xarctgxdx .
2π
3
−
;
3
2
б) 2π −
б) 4 ln 2 ;
в) 3ln 2 − 1 ;
9. Вычислить длину дуги линии r = 2e
3
;
2
69
в)
π
3
−
3
;
2
1
1
до x = .
2
2
г) 2 ln 3 − 1 .
t
⎧
π
π
⎪ x = cos t + ln tg
≤t ≤ .
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
2,
6
2
⎪⎩
y = sin t
б) 2 ln 2 ;
в) ln 3 ;
г) 2 ln 3 .
Ответы: а) ln 2 ;
0
Ответы: а)
3. Вычислить
2
3
2. Вычислить
π
Кафедра высшей математики
7. Вычислить длину дуги линии y = ln(1 − x ) от x = −
Вариант №23
1. Вычислить
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
г)
2π
+ 3.
3
4ϕ
3
, 0 ≤ϕ ≤
π
2
.
π
⎛ 23π
⎞
⎞
3 ⎛ π3 ⎞
5 ⎛ 23π
Ответы: а) ⎜ e − 1⎟ ; б) 5 ⎜ e − 1⎟ ; в) ⎜ e − 1⎟ ; г) e 3 − 1 .
2⎝
2⎝
⎠
⎝
⎠
⎠
70
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры,
2
ограниченной линиями y = 2 − x , y = 0 .
Ответы: а)
3π
;
2
π;
б)
в) 2π ;
г) 3π .
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
r = 2 cos φ .
Ответы: а) 825π ;
1. Вычислить
x+4
∫
9 − x2
0
1
Ответы: а) + 2π ;
2
π
2. Вычислить
2
∫ cos
x=
dx .
б) 3 + 2π ;
5
в) 3 + π ;
7
;
5
π
3. Вычислить
5
;
7
в)
2
;
5
г)
г) 1 + π .
π
2
.
7
∫ x sin 3xdx .
6
π
б)
9
;
в)
1
;
9
г)
π
3
Ответы: а)
.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , 4 y = x ,
2
2
x = ±2 .
б) 4;
в) 8;
г)
8
.
3
200
;
3
б)
127
;
3
в)
71
64
;
3
б) ln 2 ;
в)
8
;
б)
2π
;
5
в)
3π
;
10
г)
7π
.
10
Вариант №25
4
x
∫ x + 4dx .
0
Ответы: а) 1 − ln 2 ;
⎧ x = t 2 −1
,
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ⎨
2
⎩ y = 2(4t − t )
y = 0 , t ∈ [ 0; 4] .
Ответы: а)
π
1. Вычислить
Ответы: а) 2;
г)
до точки
б) 6π ;
в) 4π ;
г) 2π .
Ответы: а) 8π ;
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
2
2
ограниченной линиями y = x , y = x .
6
;
3
Ответы: а) 8;
б) 4;
в) 2;
г) 10.
9. Вычислить длину дуги линии r = 4sin ϕ .
0
Ответы: а)
π
1
3
г) ln 2 .
ln 3 ;
2
2
⎧ x = 2 cos t − cos 2t
, 0 ≤ t ≤ 2π .
8. Вычислить длину дуги линии ⎨
⎩ y = 2sin t − sin 2t
x sin 2 xdx .
б)
r = 7 cos ϕ ,
г) 10π .
2π
.
3
Ответы: а) ln 3 ;
0
Ответы: а)
в) 11, 25π ;
б) 45π ;
7. Вычислить длину дуги линии y = ln(sin x) от точки x =
Вариант №24
3
Кафедра высшей математики
256
.
3
1
2. Вычислить
2
∫
−1
Ответы: а) −
б) 2 − ln 2 ;
в) 4 − 4 ln 2 ;
г) 4 − 2 ln 2 .
xe −2 x dx .
2
1
;
e
б)
1
;
2e
в)
1
;
e
72
г) −
1
.
2e
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
3. Вычислить
Кафедра высшей математики
∫ tg xdx .
3
1 − ln 2
;
2
1 x −x
( e + e ) , y = 0 , x = ±1 .
2
π 2 −2
3π 2 −2
3π 2 −2
e − e + 4 ) ; б)
Ответы: а)
e − e + 4 ) ; в)
(
(
(e + e − 4) ;
4
4
4
ограниченной линиями y =
2 − ln 2
;
2
1
ln 2 .
2
x
1
, y=
,
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y =
2
2x
x = 16 .
64
56
64
56
Ответы: а)
;
б)
− ln 2 ; в)
− 2 ln 2 ; г)
+ ln 2 .
3
3
3
3
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = 5sin 3ϕ .
25
25
5
5
Ответы: а)
π;
б)
π;
в) π ;
г)
π.
4
12
4
12
б) 1 + ln 2 ;
в)
г)
г)
π
4
(e
2
+ e −2 ) .
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
⎧⎪ x = 2 2 cos t
, y = 4 ( y ≥ 4 ).
⎨
=
y
4
2
sin
t
⎪⎩
Ответы: а) 4π ;
б) 4π − 8 ;
в) 2π − 8 ;
г) 2π + 8 .
2
3
7. Вычислить длину дуги линии y = ( x + 1) , отсеченной прямой x = 3 .
8
8
160
Ответы:
а)
10 10 − 1 ; б)
10 10 − 1 ; в)
10 ; г)
9
27
27
16
10 10 − 1 .
27
(
(
)
(
)
)
8. Вычислить длину дуги линии r = 8cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
Ответы: а) 2π ;
б) 3π ;
в) 4π ;
⎧ x = 2(t − sin t )
,
⎩ y = 2(1 − cos t )
б) 4;
в) 2π ;
г)
73
π
2
.
г) 8π .
9. Вычислить длину дуги линии ⎨
Ответы: а) 8;
Кафедра высшей математики
10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры,
4
0
Ответы: а)
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
π
6
0≤t ≤π .
.
74
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
Литература
СОДЕРЖАНИЕ
1.
Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. для студентов естественнонаучных специальностей педагогических вузов. 3-е изд., стереотип. М.:Изд.
центр «Академия», 2003. 616 с.
2.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т.
М.: Наука, 1970.
3.
Бермант А.Ф., Араманович Г.А. Краткий курс математического анализа для втузов. М.: Наука, 1973. 720 с.
4.
Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П.
Демидовича. М., 1969.
5.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.:
Наука, 2006. 416 с.
6.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. – СПб.: Лань, 2007. 288 с.
Кадыров Т.К., Могилевский Р.И. Урдинов А.У. Математика в упраж7.
нениях и задачах: Учеб. пособие для студентов вузов. Бишкек, 1995. Ч.1.
1. Определенный интеграл ........................................................................
1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ........
1.2. Понятие определенного интеграла ...............................................
1.3. Свойства определенного интеграла..............................................
2. Вычисление определенного интеграла ................................................
2.1. Формула Ньютона-Лейбница ........................................................
2.2. Определенное интегрирование по частям....................................
2.3. Замена переменной в определенном интеграле...........................
3. Геометрические приложения определенного интеграла ....................
3.1. Площадь плоской фигуры .............................................................
3.2. Длина дуги плоской линии............................................................
3.3. Вычисление объема тела ...............................................................
4. Механические приложения определенного интеграла.......................
4.1.Работа переменной силы ................................................................
4.2.Путь, пройденный телом ................................................................
4.3. Масса, статические моменты и координат центра
тяжести плоской кривой .......................................................................
4.4. Статические моменты и координаты центра тяжести
плоской фигуры.....................................................................................
Задания для самостоятельной работы ......................................................
Список литературы ....................................................................................
75
76
© КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В.
Кафедра высшей математики
Т.А. Давидюк, И.В. Гончарова
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Редактор И.В. Верченко
Компьютерная верстка Г.Н. Кирпа
Подписано в печать 24.06.10.
Формат 60×841/16. Печать офсетная.
Объем. Тираж. Заказ 267.
Издательство КРСУ
Отпечатано в типографии КРСУ
77