Нечто линейное

Центр дополнительного образования «Дистантное обучение»
МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА)
10«Б»
Нечто линейное
Линейные уравнения, их геометрический смысл. Системы
линейных уравнений. Методы решения,правило Крамера
• Геометрический смысл системы линейных уравнений с двумя неизвестными.
Уравнение ax+by
+c = 0 задает прямую на координатной плоскости; решеa1 x + b 1 y + c 1 = 0
ние системы
соответствует точке пересечения пряa2 x + b 2 y + c 2 = 0
мых `1 = {a1 x + b1 y + c1 = 0} и `2 = {a2 x + b2 y + c2 = 0}.
• Общая точка однопараметрического линейного семейства прямых.
Семейство прямых вида y = f1 (a)x + f2 (a), где f1 и f2 — линейные функции,
имеет общую точку (возможно, на бесконечности).
• Уравнение семейства наклонных прямых, проходящих через заданную точку.
Через точку (x0 , y0 ) проходит любая прямая вида a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0,
т.е. ax+by = ax0 +by0 . И наоборот, любая прямая, проходящая через (x0 , y0 )
(даже вертикальная), имеет вид ax + by = ax0 + by0 , где |a| + |b| =
6 0.
• Уравнение вектора, параллельного прямой. Направление прямой.
Если уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0, то уравнение параллельного ей вектора (∆x, ∆y) имеет вид a∆x + b∆y = 0.
• Уравнение вектора, перпендикулярного прямой. Скалярное произведение.
−
Вектор (a, b) перпендикулярен прямой ax + by + c = 0. Векторы →
v1 = (x1 , y1 )
→
−
и v = (x , y ) перпендикулярны, если и только если x x + y y = 0.
2
2
2
1 2
• Правило Крамера (метод определителей).
a1 x + b1 y = c1
введем определители
Для системы
a2 x + b2 y = c2
a1 b 1 c1 b1 a1 c1 p q
, ∆x = , ∆y = ∆ = c2 b2 a2 c2 r s
a2 b 2 1 2
= ps − rq .
∆x
∆y
,y=
.
∆
∆
Если ∆ = 0, но ∆x =
6 0 или ∆y =
6 0, система не имеет решений.
Если ∆ 6= 0, то система имеет единственное решение x =
Если ∆ = ∆x = ∆y = 0, то система либо не имеет решений, либо имеет
бесконечно много решений.
Центр дополнительного образования «Дистантное обучение»
МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА)
10«Б»
Графики линейных уравнений и систем линейных уравнений. Решение и анализ систем линейных уравнений.
1. Напишите общее уравнение наклонной (т.е. не вертикальной) прямой, проходящей через точку (−2, 3).
2. Проходят ли все прямые с уравнением вида (2a − 3)x + (4 − 3a)y + 1 = 0
через одну точку, и, если да, то через какую?
3. Проходят ли все прямые с уравнением вида (2a − 3)x + (4 − 3a)y + 5 = 0
через одну точку, и, если да, то через какую?
4. Проведите прямую через точки (1, 2) и (−3, 8).
5. Через точку (3, 5) проведите две прямые, одну параллельную, а другую перпендикулярную прямой 3x + 5y = 7.
(a − 4)x + y = a
6. При каких значениях a система уравнений
имеет больше
−3x + ay = 1
одного решения?
mx + 2y = 1
7. При каких действительных m система
имеет решение, удо8x + my = 1
влетворяющее x < y?
8. На плоскости (p, q) изобразите множество точек таких, что уравнение
x2 + px + q = 0
имеет одним из корней фиксированное число a.
9. Имеется система линейных уравнений
∗x + ∗y = 0
.
∗x + ∗y = 0
Два человека вписывают по очереди вместо звездочек действительные числа. Начинающий выигрывает, если система имеет только нулевое решение; иначе выигрывает второй. Кто выиграет при правильной игре?
10. Треугольник задан координатами своих вершин (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ).
Выпишите уравнения его медиан и докажите алгебраически, что они пересекаются
в одной точке.