2-àÿ êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè (ÌÔÒÈ, ÔÈÂÒ, âåñíà 2009). 1. - Îáîçíà÷èì Φ(n) ôîðìóëó â ÿçûêå àðèôìåòèêè ∀m(Proof(m, n) → DisProof(m + 100, n)) ãäå Proof(m, n) åñòü ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ â P A îòíîøåíèå ñëîâî ñ íîìåðîì m ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëû íîìåð n; DisProof(m, n) åñòü ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ â P A îòíîøåíèå ñëîâî ñ íîìåðîì m ÿâëÿåòñÿ îïðîâåðæåíèåì (ò.å., äîêàçàòåëüñòâîì îòðèöàíèÿ) àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëû íîìåð n. Ïî òåîðåìå î äèàãîíàëèçàöèè ñóùåñòâóåò òàêàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà A, ÷òî PA ` A ↔ Φ(dAe) Äîêàæèòå, ÷òî 2. Îáîçíà÷àåì òîð IFF A íåäîêàçóåìà è íåîïðîâåðæèìà â True = λxy.x è False = λxy.y . Ïîñòðîéòå òàêîé êîìáèíà- òàêîé, ÷òî IFF True True IFF True False IFF False True IFF False False = = = = True False False True 3. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì öèþ P A. λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê- f : n 7→ n2 + 2n. 4. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê- öèþ, çàäàííóþ ðåêóðñèâíûì ñîîòíîøåíèåì f (n) = 5. Äîïîëíèòåëüíàÿ : λ-èñ÷èñëåíèè 2, f (n − 1) · f (n − 2), åñëè åñëè n=0 n>1 èëè n=1 Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì ôóíêöèþ √ n 7→ d ne. 2-àÿ êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè (ÌÔÒÈ, ÔÈÂÒ, âåñíà 2009). 1. Îáîçíà÷èì Φ(n) ôîðìóëó â ÿçûêå àðèôìåòèêè ∃m DisProof(m, n) DisProof(m, n) ãäå åñòü ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ â PA îòíîøåíèå ñëîâî ñ íîìåðîì m ÿâëÿåòñÿ îïðîâåðæåíèåì (ò.å., äîêàçàòåëüñòâîì îòðèöàíèÿ) àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëû íîìåð n. Ïî òåîðåìå î äèàãîíàëèçàöèè ñóùåñòâóåò òàêàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà A, ÷òî PA ` A ↔ Φ(dAe) Äîêàæèòå, ÷òî 2. Îáîçíà÷àåì XOR òîð A íåäîêàçóåìà è íåîïðîâåðæèìà â True = λxy.x è False = λxy.y . Ïîñòðîéòå òàêîé êîìáèíà- òàêîé, ÷òî XOR True True XOR True False XOR False True XOR False False = = = = False True True False 3. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì öèþ P A. λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê- f : n 7→ n2 − 2n + 2. 4. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê- öèþ, çàäàííóþ ðåêóðñèâíûì ñîîòíîøåíèåì f (n) = 5. 1, f (n − 1) + f (n − 3), Äîïîëíèòåëüíàÿ : λ-èñ÷èñëåíèè åñëè åñëè n = 0, n = 1 n>2 èëè n=2 Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì ôóíêöèþ √ n 7→ d ne.