Математический анализ. Программа курса. 2-ой семестр. Лектор Колкер Л. Ф.

Математический анализ. Программа курса. 2-ой семестр. Лектор Колкер Л. Ф.
Дифференциальное исчисление функции многих переменных
1.
2.
3.
4.
Функции многих переменных. Точечные множества в n-мерном пространстве.
Окрестность точки. Граница множества. Открытые, замкнутые множества. Определение
функции многих переменных. Способы задания. Геометрическая интерпретация функции
двух переменных. Поверхности второго порядка. Предел функции многих переменных.
Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Частные приращения и частные
производные функции многих переменных. Геометрическая интерпретация частных
производных функции двух переменных. Полное приращение функции многих
переменных. Дифференцируемость. Дифференциал, его связь с частными производными.
Частные дифференциалы. Линеаризация функции. Дифференцирование сложной
функции многих переменных. Полная производная. Инвариантность формы первого
дифференциала. Неявная функция. Теорема существования неявной функции.
Дифференцирование неявной функции.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве
старших смешанных производных. Формула Тейлора для функции многих переменных.
Операторная запись формулы Тейлора.
Экстремумы функции многих переменных. Локальные экстремумы. Необходимые
условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее
значения непрерывной функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный
экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент
скалярного поля и его свойства. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
Кратные интегралы
1. Интегралы по мере. Фигура, диаметр, мера фигуры. Задача о массе фигуры.
Определение интеграла по мере. Свойства интегралов. Классификация.
2. Двойной интеграл. Механическая и геометрическая интерпретация. Вычисление
двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
3. Тройной интеграл. Механическая и геометрическая интерпретация. Вычисление
тройного интеграла в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Общий
метод замены переменных в кратных интегралах. Якобиан перехода, геометрическая
интерпретация якобиана.
4. Применение двойных и тройных интегралов. Вычисление площадей и объемов.
Решение задач механики и физики.
Дифференциальные уравнения системы
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация
дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Построение интегральных
кривых по изоклинам. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого
порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные,
уравнение Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Понятие об особых
решениях диф. уравнений первого порядка. Уравнения Лагранжа и Клеро.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения,
допускающие понижение порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения.
Свойства решений. Линейно независимые решения. Определитель Вронского и его свойства.
Структура общего решения линейного однородного уравнения. Фундаментальная система
решений. Неоднородные линейные уравнения. Свойства решений. Структура общего
решения. Метод вариации произвольных постоянных .
4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений и общего
решения по корням характеристического уравнения. Неоднородные уравнения с правой
частью специального вида. Нахождение частного решения методом неопределенных
коэффициентов.
5. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы линейных уравнений с
постоянными коэффициентами. Однородные системы. Построение фундаментальной
системы решений и общего решения по корням характеристического уравнения (метод
Эйлера).
Ряды.
1. Числовые ряды. Определение числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Необходимый
признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами. Ряды с
положительными членами. Теоремы сравнения рядов. Признаки сходимости: Даламбера,
Коши, интегральный признак. Свойство коммутативности сходящегося положительного
ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда. Знакочередующиеся
ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
2. Функциональные ряды. Определение и область сходимости функционального ряда.
Равномерная сходимость. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Свойства
равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, по членное интегрирование и
дифференцирование.
3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Свойства степенных рядов.
5. Ряды Тейлора и Маклорена. Условие разложимости функции в ряд Тейлора. Ряды Тейлора
для функций ex, sinx, cosx, (1+x)m. Интегрирование биномиального ряда. Разложение
функций ln (1+x), arctg x, arcsin x в ряды Тейлора.
6.
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Лекции(36час)
Дифференциальное исчисление функции многих переменных (12 часов)
1) Функции многих переменных. Производные и дифференциалы .
2) Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора .
3) Экстремумы функций многих переменных .
4) Скалярное поле. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности .
Кратные интегралы (6 часов).
1) Двойной интеграл (4часов).
2) Приложения кратных интегралов.(2)
Дифференциальные уравнения. системы уравнений (10 часов).
1) Дифференциальные уравнения первого порядка (4 часов).
2) Дифференциальные уравнения высших порядков (2 часа).
3) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (2 часа).
4) Системы дифференциальных уравнений (2 часа).
Pяды (8часов).
1) Числовые ряды (2 часов).
2) Степенные ряды (2 часа).
3) Ряды Тейлора и Маклорена (2 часа).
4) Приложение рядов (2 часа).
Вопросы к экзамену ФБИ-2 семестр
1. Определение функций многих переменных, предела, непрерывности.
2. Определение частной производной 1-го порядка, геометрический смысл. Производные
высших порядков.
3. Дифференцируемость функции, необходимое, достаточное условия. Дифференциал.
4. Дифференцирование сложной функции. Полная производная. Частные производные
сложной функции.
5. Дифференцирование функции заданной неявно.
6. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формулы 1-го дифференциала.
1. Уравнение касательной и нормали к поверхности.
2. Производная по направлению, градиент. Геометрический и физический смысл градиента.
Связь градиента с производной по направлению
9. Определение квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
3. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
4. Наибольшие, наименьшие значения функции в области.
5. Условный экстремум.
6. Определение двойного интеграла. Свойства.
7. Вычисление двойного интеграла.
8. Определение и свойства тройного интеграла.
9. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан.
10. Переход к полярной системе в двойном интеграле.
11. Замена переменных в тройном интеграле.
12. Приложение двойных и тройных интегралов.
Диф. уравнения
1. Диф. уравнения 1-го порядка. Основные определения, задача Коши. Теорема
существования и ед-ти решения (без док-ва).
2. Геометрический смысл уравнения . Поле направлений, изоклины. Решение методом
Эйлера.
3. Уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные,
Бернулли.
4. Диф. уравнения п-го порядка. Основные определения. Уравнения, допускающие
понижение порядка.
5. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка. Фундаментальная система
решений. Критерий линейной независимости, определитель Вронского.
6. Множество решений линейного однородного диф.уравнения . Теорема о структуре
общего решения.
7. Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения(лнду).
8. Линейное диф.уравнение с постоянными коэффициентами множество решений.
9. Метод вариации произвольных постоянных для лнду.
10. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения лнду со
спец.правой частью.
11. Решение систем однородных линейных диф.уравнений 1-го порядка с постоянными
коэффициентами.
Ряды
1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости.
Действия с рядами.
2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: сравнения,
Даламбера, интегральный, радикальный.
3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница.
4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости. Свойства степенных
рядов .
5. Ряды Тейлора. Теорема о разложении функции в степенной ряд. Основные разложения.
6. Применение рядов.
Работа в семестре (60 баллов)
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Индивидуальное задание по функциям некольких переменных 5
Контрольная работа № 1 по функциям нескольких переменных.20
Типовой расчет по кратным интегралам.5
Защита типового расчета по кратным интегралам. 10
Типовой расчет по дифференциальным уравнениям и рядам.10
Контрольная работа № 2 по рядам и дифференциальным уравнениям20
Экзамен(40 баллов)
Штрафные баллы (вычитаются из накапливаемой суммы) за неполное и (или)
несвоевременное выполнение текущих заданий – до 2 баллов.
Возможные дополнительные виды работы, повышающие рейтинг:
– реферативное изложение какой-либо темы или вопроса по согласованию с лектором
(В программе такие темы и вопросы выделены курсивом) .
Критерии оценок контрольных недель:
Доля заработанных относительно возможного баллов
Менее 33%
33–66%
Более 67%
Оценка
0
1
2
Допуск к экзамену 30-60 (сумма баллов за контрольные не менее 20 баллов).
Оценка: удовлетворительно 50 – 69, хорошо 70 – 84, отлично 85-– 100.
Литература
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.
2. Бермант А.Ф. Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа.
3. Шипачев В.С.Высшая математика.
4. Д.Письменный. Конспект лекций по высшей математике.